Нелокальная задача с интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

22

УДК 517.95

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №2(61).

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ1

© 2008 Н.В. Бейлина2

В работе рассматривается задача для псевдогиперболического уравнения с интегральными условиями. Доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи.

Введение

В последнее время появилось значительное количество работ, посвященных исследованию нелокальных задач. Подобные задачи возникают при математическом моделировании процессов различной природы, например, влагопереноса, теплопроводности, при изучении задач математической биологии, задач управления и других. Одним из классов таких задач являются нелокальные задачи с интегральными условиями. Эти условия описывают поведение решения во внутренних точках области в виде некоторого среднего. Ранее задачи с интегральными условиями на плоскости и в пространстве для параболических уравнений исследованы в [1, 5], для гиперболических в [2,6,8,10].

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

Ьи = ип(х, 0 - ихх(х, 0 + с(х, 1)и(х, 0 - аиххг(х, I) = /(х, 0 (1.1)

в области <2 = (0,I) X (0, Т) и поставим для него задачу: найти в Q решение уравнения (1.1) с условиями

и(х, 0) = ф(х), щ(х, 0) = у(х), (1.2)

I

их(0, 0 - ^ К (х)и(х, г)йх = 0, (1.3)

0

I

их(1, г) - ^ К2(х)и(х, г)йх = 0. (1.4)

0

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Л.С. Пулькиной.

2Бейлина Наталья Викторовна ([email protected]), кафедра математической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Функции К1(х), К2(х), ф(х), у(х) заданы в [0,1]; с(х, г), /(х, г) заданы в <2, а > 0 — число.

Введем пространство V = {и(х, г) : и(х, г) € Ш^О), ихМ(х, г) € Ь2«)}.

Теорема. Если К(х) € Сг[0,I], с(х, г) € С 1(О), 0 < с0 < с(х, г) < с1,

тах \С[(х, 01 < с2, Дх,1) е Ы<2), /,(х,0 е Ы<2), Ф(х) € ^22(0,/), у(дг) € ^(0,/),

е

1 1

§ К^(х)с1х < —, то существует единственное решение задачи (1.1)—(1.4), принад-

0 21

лежащее пространству V.

2. Доказательство

Определим оператор

х 5 11

Ви = и(х, I) ^ К2(5')и(5', + ^ ^ К1(5')и(5', г)й5'й%.

х 5 11

+ Г Скц

0 0 х 5

Обозначим Ви = V, Ф(х, г, и) = ВЬи - ЬВи. Заметим, что если и(х, г) — решение задачи (1.1)—(1.4), то функция v(x, г) удовлетворяет условию

Vx(0, 0 = Vх(1, 0 = 0.

Рассмотрим вспомогательную задачу: найти в 2 решение уравнения

IV + Ф(х, г, и) = §(х, г), (2.1)

удовлетворяющее условиям:

v(x, 0) = vo(x), Vг(x, 0) = Vl(x), (2.2)

Vx(0, () = Vх(1, 0 = 0, (2.3)

где g(x, г) принадлежит тому же классу, что и функция /(х, г).

Доказательство существования решения вспомогательной задачи проведем методом продолжения по параметру.

Пусть А, — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство задач:

IV + ХФ(х, г, и) = §(х, г) (2.4)

с условиями (2.2) и (2.3).

Обозначим через Л множество тех чисел \ из отрезка [0,1], для которых задача (2.4), (2.2), (2.3) разрешима в пространстве V для любых функций ф(х), у(х) и /(х, г), удовлетворяющих условиям теоремы.

Множество Л не пусто, поскольку в работе [3] доказано, что при \ = 0 существует единственное решения задачи (2.4), (2.2), (2.3), принадлежащее пространству V.

Докажем, что множество Л открыто и замкнуто. Для этого получим априорную оценку.

Умножим уравнение (2.4) на функцию vt(x, г) и результат проинтегрируем по Ох = (0,1) X (0, т), где т € (0, г), г ^ Т. После элементарных преобразований получим следующее равенство:

1 т 1

^ ^2(х, т) + V2(х, т) + с(х, т^2(х, т)] йх + 2а ^ ^ vгxt(x, г)йхйг+ 0 0 0

т I т I

+2Х ^ ^ Ф(х, г, и)уг(х, г)йхйг = 2 ^ ^ g(x, г)уг(х, г)йхйг+

0 0 0 0

I

+ (с(х, 0)у2(х) + у'п2(х) +

^ [с(х, 0)у0(х) + у'(02(х) + сг(х, 0^(х)) йх.

+ ^ v■v + ^ (V

0

Применив неравенство Юнга и учитывая условие 0 ^ С0 ^ с(х, г) ^ сг, получим неравенство:

I т I

I ^ ^(х, т) + г2;.(х, т) + г2(х, т)] йх + 2а ^ ^ г^(х, г)йхйг < 0 0 0

т I т I

2

^^ ^ Ф2(х, г, и)йхйг + 2 ^ ^ сг(х, г)\2(х, г)йхйг+ (2.5)

0 0 0 0

т I I

+ ^ ^g2(x, г)йхйг + М0 ^ (у2(х) + у,02(х) + v2(x^ йх, 0 0 0 где т0 = шт{1, с0}, М0 = шах{1, сг}.

Теперь умножим обе части уравнения (2.4) на функцию -аvxxг(x, г) и результат проинтегрируем по <т. После элементарных преобразований получим

^ v2xx(x, т)йх + а2 ^ ^ v2xxг(x, г)йхйг = 0 0 0

т I т I

= аЦ Мх, ^г)йхйг + аЦ с(х г)йхйг-

0 0 0 0

т I т I I

^ ^g(x, 1)ухх1(х, ^йхск + ак ^ ^ Фухх1(х, ^йхск + — ^ г"д(х)с/х.

-а

0 0 0 0 Применяя неравенство Юнга, получим

I т I

уххУ> ' 2 11 ххг\

0 0 0

т I т I т I

< 2^ ^ v2г(x, г)йхйг + 2^ ^с2(х, г)у2(х, г)йхйг + 2^ ^ Ф2йхйг+ (2.6)

0 0 0 0 0 0

т I I

+2 ^ Jg2(x, ^хЛ + ^ J v"l(x)dx.

0

0 0 0 Для того, чтобы оценить первое слагаемое, стоящее в правой части (2.6), умножим (2.4) на игг(х, г) и проинтегрируем по <т. После преобразований и применения неравенства Юнга получим

т 1

/ / '}(Ы' + /

00

у2(х, ОЛЛ+— I

т 1

т 1

т 1

< 2^ ^хх(х, г)йхй + 2^ ^с2(х, г)и2(х, г)йхй + 2^ ^Ф2йхйг+ (2.7)

00

00

00

т 1

1

g2(x, 0йхЖ + ^ ^ г'2(х)с/х. 0 0 0

С учетом (2.7) неравенство (2.6) примет вид

т 1

00

т 1

т 1

т 1

< ^V2xx(x, г)йхйг + 10^ ^ с2(х, гМх, г)2йх& + 10^ ^ Ф2йхйг+ (2.8)

00

00

00

т 1

+ 10 ^ ^g2{x,t)dxdt +2а ^ у,\{х)йх + ^ ^ у"20{х)йх.

00

т 1

В правой части (2.5), (2.7), (2.8) неравенств присутствует слагаемое ^^Ф2йхйг,

где

00

Ф(х, г, и) = Ь

х 5 11

J § К2(5')и(5', №'й5 - ь JJ К1(5')и(5', г)й5'й5

0 0 \ [х 5

1

Оценим его. Для этого заметим, что если выполняется условие | К^х)йх< —,

то существуют числа ц, V > 0 такие, что справедливо неравенство 1 1 1 ^^ и2(х, г)йх < ^ V2(х, г)йх < ц ^ и2(х, г)йх. (2.9)

0 0 0 Используя это неравенство и получив явное представление функции Ф(х, г, и), нетрудно доказать оценку

||ф(х, г, и)\\ь2(а) < ЩШ, что вместе с неравенствами (2.5), (2.7), (2.8) дает

\^(х, г)||V < N1(1 ||Vo(x)||wx(o,l) + |^1(х)|Ц(0,1) +

+ 11«(х, ть2(а) + ||/(х, тьг(а).

Из (2.9) можно получить неравенство ||и(х, г)|| V ^ С^(х, г)||V, откуда следует

(2.10)

||и(х, г)||V < Шх^Щф!) + |И(х)|Ц(0,,

+

-||^(х, т^о + п/(х, т^«).

(2.11)

Оценки (2.10), (2.11) позволяют доказать, что множество Л открыто и замкнуто.

Покажем, что множество Л открытое. Пусть Х0 € Л; покажем, что X = X0 + X, при условии малости |Х| также принадлежит Л. Рассмотрим следующую задачу:

Ь^ + Х0Ф(х, г, и) = g(x, г) - XФ(х, г, w), м>(х, г) € V (2.12)

с условиями (2.2) и (2.3).

Заметим, что в силу условий теоремы и вида функции Ф(х, г, и) Г(х, г) = g(x, г) -— ХФ(х, г, w) € Ь2(2), Бг € Ь2(0). Тогда задача (2.12) (2.2) и (2.3) имеет решение и(х, г) € V (так как Х0 € Л) для Vw(x, г) € V. Таким образом, определен оператор Gw = v, переводящий V в V .В силу оценки (2.10) этот оператор при малой величине |Х| сжимающий. Действительно, пусть Wl, W2 € V, Vl, V2 — соответствующие им значения оператора О. Тогда для Ту = — и^, V = л>\ — л>2, и = щ — и2 имеют место равенства:

П> + Х0Ф(Х й) = -ХФ(х, Тё), ух(0, 0 = ух(1,0 = О, у(х, 0) = Г((лг, 0) = 0. Из оценки (2.10) и оценки Ф(х, г, и) следует

р||у < |Х|С„р||у.

Если |Х< 1, то G — сжимающий оператор. Неподвижная точка этого оператора Guo = и0 и будет решением задачи

Ь (Ви) + Х0Ф(х, г, и0) = g(x, г) - ХФ(х, г, и0), Ви(х, 0) = v0(x), (Ви)г (х, 0) = v1(x), (Ви)х (0, г) = (Ви)х (I, г) = 0.

Все это и означает, что Х0 + X € Л.

Для доказательства замкнутости множества Л возьмем последовательность {Хп} элементов множества Л, сходящуюся к некоторому числу Х0. Покажем, что Х0 € Л. Каждому числу Хп соответствует пара функций ип(х, г), уп(х, г), принадлежащих пространству V и удовлетворяющих уравнению

Ы1 + \пФ(х, г, ип) = g(x, г) (2.13)

и условиям

vn(x, 0) = vo(x), мП(х, 0) = Vl(x),

vnx(0, г) = vnx(l, г) = 0.

Из оценок (2.10) и (2.11) и теорем вложения следует, что существуют подпоследовательности ипк, vnk, слабо сходящиеся в W^(Q) соответственно к функциям и(х, г) и v(x, г) из пространства V и, кроме того, ипххг и ^^^ слабо сходятся в Ь2(2) соответственно к иххг(х, г) и vxxг(x, г).

Переходя теперь к пределу в уравнении (2.13) получаем, что функция v(x, г) — решение задачи (2.4), (2.2), (2.3) при X = Х0, следовательно, Х0 € Л.

Итак, показано, что Л одновременно не пусто, открыто и замкнуто, следовательно [9] совпадает с [0,1], что и доказывает разрешимость задачи (2.4), (2.2), (2.3).

Остается показать, что решение вспомогательной (2.1)—(2.3) задачи позволяет найти и решение поставленной задачи (1.1)—(1.4). Так как Ф = ВЬи-ЬВи, то ЬВи + + Ф = ВЬи. Положим g(x, г) = В/. Так как v = Ви — решение вспомогательной задачи, то ЬВи + Ф = g(x, г), следовательно, в силу выбора g(x, г) имеем ВЬи = В/ откуда Ьи = / то есть и(х, г) — решение уравнения (1.1). Так как Ви = v, то условия (1.3), (1.4) выполняются. Выбор

I I I

+и^

0 0 х |

х I II

.+ Г Гкк

0 0 х I

обеспечивает выполнение условий (1.2).

Единственность решения поставленной задачи (1.1)—(1.4) следует из оценки (2.11).

X I l l

vo(x) = -J J Ъ&Ш')^ + f J К&'Ш'ЖЪ + Ф(х),

0 0 X I

x I l l

vi(x) = -J J K2(I')y(I')dI'dI + J J Ki(|')¥(|')d|'d| + Щ

Литература

[1] Cannon, J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy / J.R.Cannon // Quart. Appl. Math. - 1963. - V. 21. - №2. - P. 155-160.

[2] Бейлин, С.А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения / С.А. Бейлин // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. - 2005. - С. 37-43.

[3] Бейлин, С.А. Вторая краевая задача для одного псевдогиперболического уравнения третьего порядка / С.А. Бейлин, Н.В.Бейлина // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. - 2007. - Т. 36. - С. 29-31.

[4] Гординг, Л. Задача Коши для гиперболических уравнений / Л.Гординг. - М.: Иностр. лит., 1961. - 120 с.

[5] Иванчов, Н.И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями / Н.И. Иванчов // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40. -№4. - С. 547-564.

[6] Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений / А.И.Кожанов, Л.С.Пулькина // Дифференц. уравнения. - 2006. - Т. 42. -№9. - С. 1166-1179.

[7] Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А.Ладыженская, Н.Н.Уральцева. - М.: Наука, 1973. - 576 с.

[8] Пулькина, Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / Л.С.Пулькина // Мат. заметки. - 2003. - Т. 74. - В. 3. -С. 435-445.

[9] Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. - М.:Наука, 1980. -496 с.

[10] Чабакаури, Г.Д. Существование и единственность обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелинейным нелокальным граничным условием / Г.Д. Чабакаури // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40. -№1. - С. 77-81.

Поступила в редакцию 18/1/2008; в окончательном варианте — 18/I/2008.

A NONLOCAL PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITIONS FOR A THIRD-ORDER PSEUDOHYPERBOLIC EQUATION3

© 2008 N.V. Beilina4

In this paper a problem with nonlocal integral conditions for a third-order pseudohyperbolic equation is studied. The existence and uniqueness of the solution is proved by the aid of an a-priory estimate.

Paper received 18/1/2008. Paper accepted 18/I/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. L.S.Pulkina.

4Beilina Natalya Viktorovna (natalieSsaindiff.ru), Dept. of Partial Differential Equations, Samara State University, Samara, 443011, Russia.