Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95 В. Б. Дмитриев

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРА ЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Рассматривается задача для гиперболического уравнения с интегральным условием вместо стандартного граничного. Задача рассмотрена в пространстве произвольной размерности. Доказаны существование и единственность решения.

К настоящему времени опубликовано уже значительное число работ, в которых рассматриваются нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений. Однако большая их часть посвящена исследованию одномерных по пространственной переменной уравнений. Отметим в этой связи работы Д. Г. Гордезиани и Г. А. Авалишвили [1] и Л. С. Пулькиной [2-4]. Смешанная задача для гиперболического уравнения с п пространственными переменными с интегральным условием, содержащим след искомого решения на границе области, исследована в работе [5].

В настоящей работе доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи с нелокальным условием, содержащим как интегральный оператор от искомого решения, так и значение производной от него на границе.

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение п Э п

1и ° ии - X э-((х,^ )+)а‘(х, + ап+1(х^+а(х>0м=Дх>о (1)

I, ]=1 Эх1 1 1=1

в цилиндре QT = {(х, т): х еОс • п ,0 < т< Т}, где а — ограниченная область в • п с гладкой

границей, и поставим для него задачу с начальными условиями Коши

и( х,0) = ф( х), (2)

щ (х,0) = у( х) (3)

и нелокальным условием

п Эи

X ау(x,^Э-cos(n, х‘) |^Т = 1К(x, ^',t,и(у^ ?)) ёу, (4)

г, ]=1 Эх] а

где ф(х), у(х), К(х,у,t,и(у,t)) заданы, а 8Т = {(х,/): хеЭа,0 < t < Т} — боковая поверхность цилиндра QT.

Стандартным образом получим тождество, с помощью которого введем понятие обобщенного решения:

Т п п

11(-utvt + X а^ (х, ()ихух + Ха (х, ()иху + ап+1(х, ()иу + а( х, ?)иу) dxdt -

0 а г,}=1 г=1

Т Т

-11 у( х, t) 1К (х, у, t, и( у, t)) dydsdt = Ц / (х, t )у( х, t) dxdt + 1у( х)у( х,0) dx. (5)

0 эа а 0 а а

Определение. Назовем обобщенным решением из И'2&Т) задачи (1)-(4) функцию и( х, t), принадлежащую И^^т ), равную ф (х) при t = 0 и удовлетворяющую тождеству (5) V у е^21^Т), у( х,Т) = 0.

Обозначим ^2 1©т ) — банахово пространство, состоящее из всех определенных и измеримых по Лебегу на Qт функций и(х, t), имеющих конечную норму

Т ( ' 1

| и ||2 I =| |и2(X,/)^

Ж.

Основным результатом работы является следующее утверждение.

ТЕОРЕМА. Задача (1)-(4) имеет единственное обобщенное решение из №І(<2Т) для / є Ь21^Т), фє ^(Ц) и ує і2(^) при выполнении следующих условий:

ау = ар,

п^2 < X а](x, Х] < М^2, п> 0; і, ]=1

тах

<2т

да у да I

—-, —-, а,-,а |£ ті; IК(х, у,ґ,щ) - К(х, у,ґ,и2)|< Я(у, ґ)| иі - и2 |; дґ дхі І

тах [л2( у, ґ) dy = Я,; | К (х, у, ґ,0)|< Г (у, ґ) "х єЦ;

ґє[0,Т] •>

а

тах [Г(у, ґ) dy = М1;

^ ] а

дК ( х, у, ґ, и )

дґ Т (

< А(у,ґ)| и | + В(у, ґ);

2

тах [А (у, ґ) dy = М2; [ [В(у, ґ) ф

ґє[0,Т ] •' •> •>

а о , а

dґ = М3.

/

2. Доказательство единственности решения. Пусть задача (1)-(4) имеет два обобщенных решения и1 и м2 из W21(Qт). Тогда их разность и = и! - м2 е W21(Qт) удовлетворяет тождеству

Т п п

11(-utvt + X а^ (х, t)ихух, + Хаг (х, t)ux у + ап+1(х, t)utv + а( х, ?)иу) dxdt -

о а і, ]=і

Т

і=1

-11 у(х,Г) 1 {К(х, у,t,и1(у,t)) - К(х, у,t,и2(у,t))}dyds'dt = 0. 0 эа а

и при t = 0 обращается в нуль. Возьмем в этом тождестве

0, при Ь < t < Т;

(6)

у( х, ґ) =

| и(х, т) dт, при 0 < ґ < Ь.

В силу того, что и є №І(<2Т), существуют и{,их є Ь2^Т), поэтому є І2(0Т).

Подставим V в (6) и выразим и,щ и их через V и их производные. Это даст после изменения знака в (6)

Л

о а

- X аі] (- ґ) %■ (х, ґК,(X ґ) - Хаі(х, ґ) (- ґ)у(х, ґ) -

і, ]=1 і=1

-ап +1 (х, ґ )уи (х, ґ)у( х, ґ) - а( х, ґ )у (х, ґ )у( х, ґ)] dхdґ =

Ь

-| |у(х,ґ)|{К(х, у, ґ, и1 (у, ґ)) - К(х,у,ґ,и2(у,ґ))}dy dґ.

о да а Так как у ґ=о = и ґ=о = оУх,. |ґ=ь = о, то

1

V? (х, Ь) + X а] (х, ґ)Ух] (- ґ)Ухі (X, ґ) |ґ=о і, ]=1

dх =

1

2ь

п да ■■ (х ґ) п

X ]д/ ^ (X, 0Ух, (X, ґ) + 2Хаі(х, ґ)Ух (X ґ)уґ (X, ґ) +

і, ]=1 дґ і=1

+2ап +1Уґ (х, ґ) + 2

X да';(х' >+дап1іі<м - а( х, ґ)

і=1 дхі

дґ

Уґ (х, ґ )у( х, ґ)

й^ґ -

-211 у(х, ґ) 1 {К(х, у, ґ, и1(у, ґ)) - К(х, у, ґ, и2 (у, ґ))}у ^,5 dґ.

о да а

Далее нам понадобится неравенство

1 | и |ds < с 1(|Уи | +1 и |)й-,

(7)

(8)

да

а

справедливое Vие №/(а) в области а с гладкой границей ([6], с. 77). Применяя это неравенство и учитывая, что = и при t < Ь , получаем:

11у(х, 01 {К(х,у,t,М1(у,0) - К(х, у,t,М2(у, t))}dyds <

Эа а

< 1 I у(х, t)| 1 Я(у,^1 и |dyds = 1 | у(х,t)| 1Я(у, t)| |ЗуЗ? <

Эа

Эа

dx <

< £

< с| 1 у(x,t) 1 1Я(y, t)| vt1Ф + 1 Vv(x,о 1 |я(y, t)| У 1 Зу а^ а а

(

21 v2 + 1Я 2(У, ^ 3у 11 vt( У, t)|2 3у +1 ^|2 +1Я 2(У, t) 3у Jvt2(У, t) 3у

а

а

Зх <

< £

2

"1 (v2 + | Vv |2)Зх + с | а | Я1^2(х,t)Зх < М1 (v2 + | Vv |2 + v^2)Зх. 'а а а

Здесь М = тах(с /2, с | а | Я1).

Тогда из (7) и условий теоремы мы получаем

^(x, Ь) + X ад (X, tК/х,- |t=0 г, }=1

Здесь С1 зависит только от М и . Кроме того, для почти всех х еа

Л2

Зх < с11 (v2 +1 Vv |2 + vt2)dxdt.

Qь

ь( t

.2 Ь

1v2dt = 1 1иЗт dt <1 (Ь -1)1м 2Зтdt < — 1м 2Зт.

Ввиду этого из (9) следует неравенство

2(x, Ь) + X ау (^tК/х 1=0

г, }=1

Введем функции яг( х, t) = 1 их г (х, т) З т. Имеем

Зх < с11 (| Vv |2 +(Ь2 + 1)м21 dxdt.

Qь

Vxi = 1Мх (х т) Зт = Яг(X, Ь) - Яг (X, t), t < Ь.

Подставляя это в (10), получаем

1м 2( х, Ь) Зх + (V- 2с1Ь) 1X? г2 (х, Ь) Зх < с2 1 X?2

2 2 2 + М

аг=1

Qь

г=1

dxdt,

(9)

(10)

где с2 = с1(2 + Ь ). Воспользуемся теперь произволом в выборе Ь . Для Ь е [0, V /(4с1)] коэффициент V- 2сЬ>п/2, а и(х, Ь) и я,( х, Ь) при Ь = 0 равны нулю. Тогда получаем

1 и 2( х, Ь) + Xя г (х, Ь)

г=1

Ь

тт(1, V /2)

11 и 2(х, т) + X?г2(х, т)

0 а

=1

ЗхЗт.

Это в силу неравенства Гронуолла ([7], с. 23), где я ^) = 0, означает, что

и2(х,Ь) + XЯ?(х,Ь) IЗх = 0 и тогда и(х,Ь) = 0 и Яг(х,Ь) = 0 при Ье [0,V/(4с1)]. Повторяя

рассуждение для t е [V /(4с1), V /(2^)], убедимся, что и(х,?) = 0 на этом промежутке. И так в конечное число шагов докажем обращение м(х, () в нуль для всех t е [0,Т]. Единственность доказана.

3. Доказательство существования решения. Воспользуемся методом Галеркина. Пусть {ф^ (х)} есть фундаментальная система в ^(а) (то есть замыкание линейной оболочки этой системы в норме №2 (а) совпадает с пространством ^ (а)) и выполняется свойство ортонор-

0

а

Ь

а

мированности: (ф*,ф/) = 1 фкф^ = 8к. Приближенное решение иМ(х,ґ) ищем в виде:

а

иН = ХСк (ґ)фк (X), из соотношений

к=1

Г- п п

и, ф/) +1[ X аі](- ґ)иМ(х, ґф (х) + Хаі(х, ґ)иМ(х, ґ)ф/(х) + ап+1(X, ґи (х, ґ) +

а і, ]=1 ;=1

+а(х,ґ)иМ(х,ґ)ф/(х)]а-- 1ф/ 1к(х,у,ґ,иМ(у,ґ))dyds = (/,ф/), / = 1,2,* ,М, (11)

(12) (13)

да а

сМ (о) = аМ,

0-4(ґ) и = (у ф*). dґ

N

Здесь ак — коэффициенты сумм ф (х) = X ак фк (х), аппроксимирующих при N

к=1

функцию ф(х) в норме №^(а). Подставим выражение для ик (х, Г) в (11) и после несложных преобразований и смены порядка суммирования получаем

dґ

2/

(ґ) + XcN (ґ) 1

к=1

X аі] (х, ґ)фкх] (х)ф/хі.(х) + XaiФkхi■(х)ф/(х) + і, ]=1

і=1

ап+1фкґ (х)ф/(х) + афк (х)ф/(х) ) ^ -

N

- 1 ф/ (х) 1к(х,у,t, XсkN (t)фk (у)) ЗуЗ8 = (/,ф/), / = 1,* ,N. эа а к=1

Рассмотрим последнее слагаемое левой части (14), которое мы обозначим s(t, с Используя условия теоремы, получаем

(14)

N N

СМ).

^(ґ, сМ,..., сМ )|=

да а

N

1 ф/ (х) 1к (х, у, ґ, XcМ (ґ )фк (у)) dyds к=1

1 | ф/ (х)|1

да

Г (у, ґ)+

N

К(X, у, ґ, XcМ (ґ)фк (у)) - К(х, у, ґ, о)

к=1

1 | ф/ (х)| 1Г (у, ґ) dyds +1 | ф/ (х)| 1Я( у, ґ)

да

да

N

XcМ (ґ)фк(у) к=1

dyds <

dyds.

Заметим, что первый член здесь ограничен по / в силу условий теоремы. Второй же —

ограниченная функция переменных с{к (Г), это легко доказывается при помощи неравенства (8) и неравенства Коши-Буняковского.

Нетрудно также доказать, что функция я(ґ,^,...,cN) липшицева по каждой из перемен-

ных.

Получаем, что вместе с начальными условиями (12) и (13) система (14) представляет собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по ґ

для неизвестных ckN (ґ), к = 1,* , N , разрешенной относительно

d(ґ)

dґ2

остальные слагаемые

которой представляют собой липшицевы функции неизвестных ckМ (ґ), к = 1,* , N ; ее свободные члены // ° (/,ф/)є і2(о,Т), если / є І21(0Т), ф є ^(а) и у є і2(а). Таким образом, система (14) "М однозначно разрешима при начальных условиях (12), (13) ([8], с. 27),

причем

d 4

dґ2

є І2(о, Т) .

В итоге построена последовательность {ик}к=1. Отметим, что для ик Vt е [0,Т] справедлива оценка (выводится по аналогии с оценкой решения стандартной задачи см. [6], с. 209)

*40 < р(0^(0) + д(0 II /112,1,+ г(t), (15)

а

где р(/), д(?) и г(/) определяются постоянными с и Я и величиной /,

\

Жх. Это энергетическое неравенство, позволяющее оце-

и1=1

N ,

нить энергетическую норму решения и (х, ґ) через начальные данные Коши и /(х, ґ) .

Правая часть (11) мажорируется постоянной, не зависящей от N и ґ є [0, Т], так что

/[(и* )2 + | У и* |2 +(и* )2 ] Сх < с3, ґ є [0, Т ] (16)

и тогда

и

||^2(Єт)

и*іи.(^) < с(т). (17)

Благодаря неравенству (17), из последовательности {uN}, N = 1,2,* , можно выбрать подпоследовательность (за которой сохраним то же наименование), сходящуюся слабо в ^(вг) к некоторому элементу и е ^(вг). Согласно условию (16) имеет место равномерная по / ограниченность полученной последовательности {^}, N = 1,2,* , в норме ^2(0). То

есть — в норме || и ||=

/

/[(и*)2 +1Уи* |2]Сх

(здесь ґ считается параметром). Поэтому из

ч 0

этой последовательности можно выделить подпоследовательность (за которой вновь сохраним то же обозначение), которая будет сходиться равномерно по / е [0, Г] в норме ^(О) слабо к

элементу и е £2(0)"tе [0,Г], при этом в силу (17) и е ^'21(вг) ([6], с. 214).

Более того, полученная последовательность будет сходиться равномерно по / е [0, Г] в норме ^(О) к элементу и е ^(О) V/ е [0, Г], сильно. Это следует из ограниченности {uN}, N = 1,2,* , в норме ^2(0), а также из следующего факта. Пусть функции у (х), к = 1,2,* , образуют ортонормированный базис в ^(О). Тогда по любому е> 0 можно указать номер ^ такой, что для любой функции и( х) из ^(О) справедливо неравенство ([9], с. 529)

||2,а<

І(и V*)2

+ є||и ^(а). (18)

Сильная сходимость и* к и в норме ^2(а) следует из (18), примененного для и* — и

к=1

V У

•* к и в норме і2(а) следует из (18), примененного для и* — и*1

при *1 > * , поскольку || и* ||^1(а)< с3 "ґ є [0,Т] в силу (16).

Покажем, что и(х, ґ) есть обобщенное решение задачи (1)-(4). Начальное условие будет

выполнено в силу отмеченной сходимости и* (х, ґ) к и(х, ґ) в І2(а) и того, что

и* (х,0) ®ф(х) в і2(а). Теперь умножим (11) на свою функцию С (ґ) є ^2(0, Т), (Т) = 0,

полученные равенства просуммируем по всем і от 1 до * и проинтегрируем по ґ от 0 до Т .

После этого в первом члене проведем интегрирование по частям, перенося — с и* на

дґ

*

V ° І С (ґ)ф1 (х). Это даст тождество

1=1

КПП V

—и^+ Іау-и*Ух + І_аіи1*у + аП+1и*V + аи*уСх \СхСґ —

Ят ’’ 1=1 1=1

Т

—1у 1к (х, У,ґ,и* (у,ґ))СуС^Сґ = / ^СхСґ +/и1*V |ґ=0 Сх, (19)

0 да а ят а

*

справедливое "V вида І Сі (ґ)фі (х). Совокупность таких V обозначим через X* . В (19) мож-

1=1

но перейти к пределу по выбранной выше подпоследовательности при закрепленном V из какого-либо X*^. Это приведет к тождеству (5) для предельной функции и при "V є X*^.

При этом сильная сходимость {и*} к и в ^(а) нам нужна для того, чтобы

а

1 V | К(х, у,t,ин (у, ф dyds сходился к 1 V 1 К(х, у,и(у, t)) dyds. Действительно, мы оценива-

эо о эо о

ем модуль разности этих интегралов интегралом модуля разности, а далее имеем:

1 | V 111К (х, у, t, ин (у, t)) - К (х, у, t, и( у, t)) |dyds < 1 | V 1^(у, t)| ин (у, 0 - и(у, t)|dyds <

эо

эо

І ІV| \R2(У,0^у11им(у,і)-и(у,/)|2й?у

эо

и# - и

12,0

| | V | ds.

эо

Последнее выражение будет стремиться к нулю, если (и^} стремится к и в Ь2(0) сильно. (Если бы сходимость была лишь слабой, последняя оценка ничего бы нам не дала.)

Но X = • Xы плотно в №2 (<2Т) — пространстве функций из и е №"2 (<2Т), обращающихся в

N =1

нуль при t = Т ([6]), а и е^&т), следовательно, (5) будет выполняться для и(х, ?) при

"V е№2\вт).

Таким образом, доказано, что предельная функция и(х, () есть обобщенное решение из №2(0т ) задачи (1)-(4).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Математическое моделирование, 2000. — Т. 12, №1. — С. 94-103.

2. Пулькина Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Математические заметки, 2003. — Т. 74, Вып. 3. — С. 435-445.

3. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения// Дифференц. уравнения, 2004. — Т. 40, № 7. — С. 887-892.

4. Пулькина Л. С. О разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Вестн. СамГУ, 1998. — № 2 (8). — С. 63-67.

5. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Доклады РАН, 2005. — Т. 404, № 5.

6. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. — 408 с.

7. ГордингЛ. Задача Коши для гиперболических уравнений. — М.: ИЛ, 1961. — 122 с.

8. ПонтрягинЛ. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения — М.: Наука, 1974. — 331 с.

9. Ладыженская О. А., СолонниковВ. А., УральцеваН. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

Поступила 26.01.2006 г.