Нелокальная краевая задача для вырождающегося уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ*)

Е, С, Ефимова, В, Е, Федоров

Пусть Л С М" — ограниченная область с гладкой границей Бт = Б х (0,Т); Т > 0. В цилиндрической области Q = Л х (0, Т) рассмотрим уравнение

Ьи = к3(х)пш + к2(х^)пи + кх(х^)щ + ^

Ь3=1

+ 5Дх^)пх, + с(х,Ь)и = ¡(х,Ь), (1) i=l

где

Q(x,t,£) = ац(^ > 0, а^ = а(х,г) € С € М". Положим

Г0 = {(х,^ € Бт : Q(x,t,n) = 0}, Г2 = € Г0 : Ф(х^) = ^ ^ - ^ а^^ ni < о|,

Г3=Бт\Г0, Б+ = {х €П :к3(х)>0}, Б- = {х €П : к3(х) <0},

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации № 02.740.11.0609.

© 2010 Ефимова Е. С., Федоров В. Е.

п = (п1,...,пп) — единичный вектор внутренней нормали к Для простоты будем предполагать, что коэффициенты уравнения (1) — функции, достаточно гладкие в Q.

Краевая задача. Найти в области Q решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

щ(х,0) = Лх,Т), х £ х, Т) = х, 0), х £ 5(4)

где Л М — постоянные, причем |Л| |м| ^ 1.

Отметим, что в работе [1] исследована разрешимость краевой задачи с локальными условиями для вырождающегося уравнения вида (1), а в работах [2,3] рассмотрены нелокальные краевые задачи для уравнений вида (1) в случае, когда эллиптическая часть оператора Ь не вырождается. В настоящей работе доказывается существование слабого и обобщенного решений нелокальной краевой задачи (1)-(4).

Обозначим через Сх (С'ь) класс гладких в замкнутой области <3 функций, удовлетворяющих краевым условиям (2)-(4) ((2), (3)).

Лемма. Пусть коэффициент с(х,Ь) < 0 достаточно большой по модулю и выполнено условие ^(х,^ ^ 6 > 0. Тогда для любой функции м(х,£) £ Сь имеет место неравенство

где Ci = const > 0, а (,) обозначает скалярное произведение в Доказательство леммы следует из тождества

м1г2иг3 ~~ u(x, 0) = 0, u(x, Т) = 0, x £ ft,

(2) (3)

^ (кг - к2г)г + ^ Е ( Ь* - Е . ¿=1 V ¿=1

Бт

Ф(х, ¿)и2 + и а^^-ихгп ¿,¿=1

которое получено интегрированием по частям для функций и £ Сх.

В силу однородности граничных условий на Гз = \ Го и того, что на множестве Го

п

=0, г = 1,п, (ж,£) £ Го,

¿=1

следует, что

/п

и ^^ a¿¿•(х,Ь)п2ихг = 0.

Бт

¿,3=1

В результате на основании условий леммы и граничных условий (2)—(4) получаем утверждение леммы.

Заметим, что из этой леммы, в частности, следует единственность регулярного решения краевой задачи (1)-(4).

Пусть Ь* — оператор, сопряженный по Лагранжу к Ь:

= -к3уш + + (2к2г - Ь^г + ^ а-

¿3 VXiXj

¿,¿=1

-Е ^-2Е<

'¿Зх3 I Жг

¿=1

-Е ь-Е-

Н]хз

■ (кгг - к1 )г + с

¿=1

Через Сх* обозначим масс гладких в Q функций, удовлетворяющих краевым условиям:

«1г1С/г3=°; «(я,0)=0, у(х,Т) = 0, хеП; (5)

vг(х, Т) = Avг(х, 0), х £ vг(х, 0) = х,Т), х £ Б(6)

где ^ = {(х,£) £ Г0 : Ф(х^) > 0}.

V.

Введем следующие обозначения: Их — гильбертово пространство, полученное замыканием множества С¿,' по норме

Е

||'"||#1 — / I "i Т aij UXi UXj Т и I КЛ^,

Q \ i,j = 1 )

H-i — замыкание пространства L2(Q) по норме

Mill f'u)

II/||я_! = sup ——, «ен llullHi

и H2 — гильбертово пространство, полученное замыканием класса CL* по норме

1м1н= / vii dQ + llvhH•

Q

Скалярное произведение в H будем обозначать через (,); ll • ll — норма в L2(Q); Cj (г = 2,3, • • •) — положительные постоянные. Для функций u G CL,v G CL * имеет место равенство

(Lu, v) = (u, L*v).

Определение 1. Функцию u(x, t) g L2(Q) будем называть слабым решением краевой задачи (1)-(4), если интегральное тождество

(u,L*v) = (f,v), f g L2(Q),

выполняется для всех v g Cl*.

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы. Тогда для любой функции fx, t) g L2(Q) существует слабое решение u(x,t) g L2(Q) краевой задачи (1)-(4).

Доказательство. Рассмотрим выражение — (L*v, v) для v g CL*. После интегрирования по частям с учетом граничных условий (5), (6) получим

— (L*v,v) = — J kg(x)(l — X2)Vf( x, 0) dx

S+

1

J &з(ж)(1 — М2)^{ж,Т)3,ж + J

Б- Я

хз

^ - к2г)г + ^ Е ( Ь» - Е . ¿=1\ ¿=1

I Ф(ж,ф2 ^

Отсюда следует неравенство ||Ь*у|| > С2 У «Ун • Поэтому при фиксированной функции /(ж,£) £ Ъ2(0) имеем

1СЫ1 < 11/1НМ1 < 11/ШМк < 7^11/1111^11 V« е Сь..

С

В силу этого неравенства выражение (/,у) можно рассматривать как линейный ограниченный функционал относительно переменной Ь*у над некоторым подпространством пространства Ь2^). Продолжая этот функционал на все гильбертово пространство Ь2(0), на основании теоремы Рисса получим, что существует функция и(ж,£) £ Ь2(О) такая, что (и, Ь*у) = (/, у) Уу £ Сь*. Теорема 1 доказана.

Для функций и £ Сь,у £ Сь* справедливо равенство

(Ьи, V) = J [к3щуи — к2щ«г + (кг — к24)>

Е

.ьз=1

иХг УХз

Еь. — Е

¿=1 \ ¿=1

агухз I иУХг

Я

-Е ь. — Е'

¿=1 \ 3=1

иу ¿О = (7)

В дальнейшем будем предполагать, что

Е — Е 3 & < С1 Е а3 &&

¿=1 \ 3=1

¿,3=1

ку

и множество Г2 пустое, т. е. пространство И2 вложено в И плотным образом.

Отметим, что в силу условия (*) можно показать аналогично работе [4], что билинейная форма .(и, V) определена для и € И и V € И2.

Определение 2. Функцию и(х, ^ € И будем называть обобщенным решением краевой задачи (1)-(4), если выполнено тождество

.(и^) = />), / € И-, (8)

для всех функций V € И2.

Теорема 2. Пусть коэффициент с(х, ^ < 0 достаточно большой по модулю и выполнено условие к2 ^ £ > 0. Тогда для любой функции /(х^) € И—1 существует обобщенное решение и(х, ^ € И краевой задачи (1)-(4).

Доказательство. Так как при фиксированном V € И2 интеграл .(и, V) является линейным непрерывным функционалом над и в И±, то согласно теореме Рисса .(и, V) = (и, н, где А — линейный оператор, переводящий И в И • С другой стороны, функционал (/, V) ограничен в И (/ фиксирован, V € И2). Поэтому (/, V) = (Р, V)н € И\. Тогда интегральное тождество (8) эквивалентно операторному уравнению А* и = Р (сопряженный оператор существует, так как область И2 определения оператора А плотна в И).

Далее, из равенства (7), где вместо и берется V, после интегрирования по частям получим

-(V, А^н = -.М > С ||vHH Vv € И.

Отсюда следует, что ||Av||я1 > С||V|^^^, т. е. оператор А-1 существует и ограничен. Тогда, как известно, область значений сопряженного опе-

А* И И

элемент и(х^) такой, что А*и = Р, Р € И\. Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов С. В. О разрешимости краевой задачи для одного уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Дифференц. уравнения и их приложения. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1989. С. 39-47.

2. Федоров В. Е. Нелокальная краевая задача для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Актуальные проблемы современной математики: Сб. науч. тр. Новосибирск: Нзд-во НИИ МИОО НГУ, 1995. Т. 1. С. 153-156.

3. Львов А. П. Нелокальные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики с меняющимся направлением времени: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Якутск: ЯГУ, 2006.

4. Егоров И. Е., Степанова, П. И. О методе Галеркина для эллиптико-параболичес-ких уравнений // Мат. заметки ЯГУ, 2008. Т. 15, вып. 2. С. 19-26.

г. Якутск

1 апреля 2010 г.