Нелокальная краевая задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2019. Том 26, № 1

УДК 517.95

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА М. О. Мамчуев

Аннотация. Исследуется нелокальная краевая задача в прямоугольной области для линейной системы уравнений с частными производными дробного порядка в смысле Римана — Лиувилля с постоянными коэффициентами. Знакоопределенность собственных значений матричных коэффициентов в главной части является существенным признаком таких систем, и эти системы можно разделить на два разных типа, которые заметно отличаются в плане постановок корректных краевых задач. Исследуемая система относится к типу II, т. е. к системам с собственными значениями матричных коэффициентов в главной части разных знаков. Доказана теорема о существовании и единственности решения исследуемой краевой задачи. Получены условия однозначной разрешимости в терминах собственных векторов матричного коэффициента в главной части системы. Б01: 10.25587/8УРи.2019.101.27244

Ключевые слова: производные дробного порядка, дробные гиперболические системы, нелокальная краевая задача, условия однозначной разрешимости.

Введение

В прямоугольной области О = {(х, у) : ¡х < х < ¡2, 0 < у < Т} рассмотрим систему уравнений

д

Ооуи(х, у) + В—и(х, у) + у) = /(ж, у), (1)

где 0 < а < 1, и(х, у) = ||и1(х, у), и2(х, у)|| и / (х, у) = ||/х(х, у), /2(ж, у)|| соответственно искомая и заданная вектор-функции, В, Вх — заданные постоянные матрицы размера 2 х 2, — оператор дробного интегродифференцирования в смысле Римана — Лиувилля порядка V, который определяется следующим образом [1, с. 9]:

у

а

при V > 0 оператор .Оау можно определить с помощью рекуррентного соотношения

°"аУ9{у) = - а)-^в'/ау19{у), ^>0.

© 2019 Мамчуев М. О.

Работы, в которых исследуются системы уравнений с частными производными дробного порядка, немногочисленны, отметим среди них [2-4].

В работе [4] А. Н. Кочубей описал класс систем уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, содержащими дробную производную по одной из независимых переменных, для которых разрешима задачи Коши и существуют фундаментальные решения, экспоненциально растущие вне множества {|ж|£-а < 1}. Такие системы были названы дробными гиперболическими системами. Система (1) также относится к этому классу систем.

Следует отметить, что в зависимости от знакоопределенности или знако-неопределенности собственных значений матричного коэффициента в главной части системы такие системы существенно отличаются постановками начальных и краевых задач.

В работах [5-8] исследованы краевые задачи в прямоугольных областях для систем со знакоопределенными собственными значениями, в том числе и для систем с частными производными, порядок которых строго ниже единицы. Для таких систем ситуация с постановками краевых задач схожа со случаем одного уравнения. Будем называть такие системы системами типа I. Обзор результатов, связанных со скалярным случаем можно найти в [7].

В [9-13] исследованы задача Коши и смешанные задачи для системы с собственными значениями разных знаков. Постановки начальных и краевых задач для этих систем существенно отличаются от систем типа I Их будем называть системами типа II.

В настоящей работе исследуется нелокальная краевая задача для системы (1) типа II.

1. Постановка задачи

Задача 1. Найти решение и(ж, у) системы (1) в области О, удовлетворяющее условиям

Иш £?у-1и(ж,у) = <^(ж), 1х < ж < 12, (2)

у^О у

М«(1ьу) + N«,(¿2, у) = р(у), 0 < у < Т, (3)

где <^(ж) = ||^1(ж),^2(ж)У, р(у) = ||Р1Ы,Р2Ы|| — заданные функции, М = || и N = 1| — заданные постоянные матрицы размера 2 х 2.

Ранее были исследованы следующие важные частные случаи задачи 1.

1. В случае, когда В = Л = diag ||А, — А||, А > 0, т. е. для системы

д_

дж

в [12] исследована первая краевая задача с условиями (2) и

«1(11,у)= Р1(у)1 и2(12,у)= Р2(у), 0 < У < Т (4)

Ооуи(х, у) + А—и(х, у) - Аи{ж, у) = /(ж, у), (3)

т. е. случай М =

10 00

N =

00 01

2. При М

М11 М12 0 0 задачу с условиями (2) и

N

00 ^21 ^22

получим смешанную краевую

^11^1^1, у) + М12«2(?1,у) = Р1 (у), 0 < у < Т,

^21^1 (¿2 ,у) + ^22^2(^2, у) = Р2 (у) , 0 < у < Т, исследованную в работе [13 .

(6) (7)

3. При М

М11 0 0 М22

N =

V!! 0 0 V22

получим «покомпонентно» нело-

кальную краевую задачу с условиями (2) и

^11^1^1, у) + VllUl(г2,y) = Р1 (у), 0 < у < Т, ^22^2(11, у) + ^^2и2 (¿2, у) = Р2Ы, 0 < у < Т. Задача (4), (2), (8), (9) изучена в [14].

(8) (9)

2. Теорема о разрешимости

Решение и = и(ж,у) системы (1) называется регулярным в области О, если

у1-"^,у) е ОД, £0>, ^ е ОД.

ди дж

Теорема 1. Пусть В = \\Ь^\\ {г,] = 1,2), 6ц = — Ь22, det В < 0, </?(ж) € С[11,12], у1-ар(у) € С[0,Т], выполняются условия согласования

Иш ^0-1р(у) = М^О + N^2), (10)

у1-"/(ж,у) (Е С(Г2), /(ж, у) удовлетворяет условию Гёльдера по переменной ж, векторы Мг1 и N2^ неколлинеарны, здесь 2 — собственный вектор матрицы В, относящийся к собственному значению Xi = ( — 1)1+1 у^беЬВ (г = 1,2). Тогда существует единственное регулярное в области О решение задачи 1. Доказательство. Рассмотрим сначала случай В = Л = ^ II А, -А||, А > 0.

В этом случае собственные векторы матрицы В имеют вид 21 = ||1, 0||, 22 = ||0,1||, а условие неколлинеарности векторов Мг1 = |^11,^21|, Nz2 = |^12, 1| эквивалентно тому, что

М11 =0. (11) М21 ^2

Из теоремы 2 в [12] следует, что любое регулярное в области О решение системы уравнений (4), удовлетворяющее условию (2), удовлетворяет системе

нагруженных интегральных уравнений

у

и^ья) и2(12,з)

У 12

¿(ж,у) = А У [С(ж,у; ¿1, я) + С(ж,у; ¿2,$)]

О

12

+ У С(ж,у; 0)^(4) + У J С(ж,у; М)/(М) (12)

где С(х, у; г, в) — матрица Грина задачи (4), (2), (5), причем

Сц(х, у; ¡2, я) = С21(х,у; ¡2, я) = Сх2(х,у; ¡1, я) = С22(х,у; ¡1, я) = 0 — элементы матрицы С(х,у; г, я).

Пусть и(х,у) — регулярное в области О решение задачи 1, тогда для него также справедливо равенство (12). Пользуясь представлением (12), выразим граничные значения ^(¡2, у) и ^(¡ьу) через граничные значения ^(¡^у) и

и2 (¡2 , у ):

У

и1 (¡2, у) = ^У ^(¡2, у; ¡1, я)их(¡1, я) ^ о

У

+ ^ ^(¡2, у; ¡2, я)и2 (¡2 , я) ¿я + Ф1 (¡2 , у) , (13) о

У

и2(¡1, у) = ^У ^(¡ъу; ¡1, я)и1 (¡1, я) ¿я о

у

+ АУ С22^1,у; ¡2, я)и2 (¡2 , я) ¿я + Ф^ъу), (14)

где

Ф*(х,у) = Фг(х,у) + ^(х,у), г = 1, 2, ¡2

Фг(х, у) = I[Сг1 (х, у; г, 0)^1 (г) + Сг2(х, у; г, 0)Ыг)] Л, 11

У 12

^(х, у) = у у [Сг1(х, у; г, я)/1 (г, я) + Сг2(х,у; г,в)/2(г,в)] ¿г^. о ¡1

Обозначим для краткости

и' (у) = иг(] ,у), С] (у - я)= С] (¡к, у; ] ,я), Ф/ (у) = Фг(] ,у) (г, ¿к = 1, 2). Тогда соотношения (13), (14) примут вид

и2(у) = АС21(у) * и1(у) + АС12(у) * и2(у) + Ф2(у), и1(у) = АС11(у) * и1(у) + АС22(у) * и2(у) + Ф2(у),

где

^Ы * д(у) = У Чу - «Жя)

о

— свертка Лапласа функций Л.(у) и д(у).

Из (3) с учетом последних равенств относительно функций и1(у) = и^^, у) и и2(у) = и2(^,у) получим систему интегральных уравнений

М11и1(у) + ^12и2(у) + А[м12С21(у) + -п^Ы] * и1(у)

+ А[м12^22(у) + ^цС^у)] * и2(у) = Р1(у) - М12Ф21(у) - ^цФх2(у),

М21и1(у) + ^22и2(у) + А[М22С21(у) + ^СпЫ] * и1(у)

+ А[м22^22(у) + ^21С22 (у)] * и2(у) = Р2 (у) - М22Ф21(у) - ^Ф^Ы,

или в матричном виде

М11 V12 М21 v22

и2Ы u2(y)

+ А

М12 V11 М22 V21

G11(y) G12(y) G21(y) G22(y)

P1(y) P2(y)

и1Ы «2Ы

M12 V11 M22 V21

При выполнении условия (11) получим систему

+ AK (y) *

u1(y)

u2(y)

u1(y)

u2(y)

P1(y) P2(y)

где

K (y)

M11 V12 -1 M12 V11

M21 V22 M22 V21

G11 (y) G12(y) G21 (y) G22(y)

*2(y)

ф?(у)

(15)

P1(y) M11 V12 -1 Р1(У) M11 V12 -1 M12 V11 ^2(y)

P2(y) M21 v22 Р2(У) M21 v22 M22 V21 ф?(у)

В работе [13] доказаны следующие оценки:

|Gj(¿3-i,y, j,s)| < C(y - s)|i-j|(a-1) (i, j = 1, 2),

включения

y1-Q^(Z3_i,y), y1-aFi(l3-i, y) G C[0, T] (i = 1, 2)

и соотношения

lim ЯО-Ч^Чу) = ^fo-i) (i = 1, 2).

y >0

(16)

(17)

(18)

Из (17) и условия на ^(у) следуют включения у1-аРДу) € С[0,Т] (г = 1, 2).

Из соотношений (16)-(18) следует, что система (15) является системой уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью в ядре и имеет единственное решение ^(¡^у), и2^2,у) такое, что у1-аиД^,у) € С[0,Т] (г = 1, 2). После того как найдены и^^, у) и и2^2, у), решение задачи 1 может быть получено из представления (12).

Из теоремы 2 в [12] следует, что для выполнения включения у1-аи(х, у) € С(Г2) необходимо обеспечить выполнение условий

lim D0T4(Zi,y) = ^г(гг) (i = 1, 2).

y^o

(19)

С учетом равенств (15), соотношений (18), оценок (16) и |иД^,у)| < Суа 1 (г = 1, 2) условия (19) можно перписать в виде

Ит Д

у^о

Оу

(у) (у)

Ит Д,

у^о

Оу

Р1(у) Р2(у)

М11 Vl2 М21 ^2

М11

М21 V22

-1

М12 V22

М22 V21

Ит Д

у^о

^2(11) ^1(12)

Оу

Р1(у) Р2(у)

^1(11) ^2(^2)

Следовательно, условие (10) является достаточными для того, чтобы у1 аи(ж, у)

е с(й).

Пусть и(ж,у) — решение задачи (4), (2), (5). Тогда если и1(11,у) и и2(12,у) являются решениями системы (15), то (12) — решение задачи 1. Таким образом, задача 1 эквивалентно редуцируется к задаче (4), (2), (5) и имеет единственное решение при выполнении условий теоремы. Рассмотрим случай

Ъц ¿12 621 -&11

Пусть 21 и 22 — собственные векторы матрицы В, соответствующие собственным значениям Л1 = А и Л2 = —А (здесь А = у^и + &12Ь21), т. е.

(В - АгЕ)гг = 0.

Обозначим через Z = ||,г^ || матрицу, столбцы которой составлены из собственных векторов 21 и 22, тогда BZ = ZЛ, или Z— 1BZ = Л, где Л = diag ||А, —А||. Так как А1 = А2, матрица Z невырожденная, поэтому, выполнив обратимую подстановку и(ж,у) = Zv(ж, у), перепишем систему (1) в виде

В

д

Ооуу(х^ У) + У) + Лу(х> У) = У)'

(20)

где А = Z 1В1 Z, д(ж,у) = Z 1/(ж, у). При этом условия задачи 1 примут вид

Ит д0Г!«(ж, у) = Z-1^(ж), 11 < ж < 12,

у^о

(21)

MZv(Zьy) + ^«(1ьу) = р(у), 0 <у<Т. (22)

Из доказанного следует, что задача 1 эквивалентна задаче (21), (22) для системы (20) при выполнении условий

det

М11211 + М12221 VllZl2 + Vl2 222 М21211 + М22221 V2lZl2 + V22 222

а— 1 /Л _ Ъ/Г Г7 Г7— 1,„/7 \ I ЛГ Г7 Г7— 1

= 0,

(23)

lim Д?у—1р(у) = MZZ—1^(11) + NZZ—1<^2).

у^О у

Первое из этих условий равносильно неколлинеарности векторов Мг1 и N22, а второе — условию (10). Теорема 1 доказана.

Замечание. В случае смешанной краевой задачи (1), (6), (7) условие (23) равносильно условиям

М11211 + М12221 = 0, 212 + V22 222 = 0,

которые имеют место тогда и только тогда, когда векторы || — ^12,^п|| и || — , v21|| не являются собственными векторами матрицы В, относящимися к собственным значениям А1 и А2 соответственно.

-1

и

а—1

а—1

и

ЛИТЕРАТУРА

1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.

2. Heibig A. Existence of solutions for a fractional derivative system of équations // Intégral Equation and Operator Theory. 2012. V. 72. P. 483-508.

3. Kochubei A. N. Fractional-parabolic systems // Potential Anal. 2012. V. 37. P. 1-30.

4. Kochubei A. N. Fractional-hiperbolic systems // Fract. Calculus Appl. Anal. 2013. V. 16, N 4. P. 860-873.

5. Мамчуев М. О. Краевая задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 12. С. 1674-1686.

6. Мамчуев М. О. Краевая задача для системы многомерных дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная сер. 2008. Т. 8, № 67. С. 164-175.

7. Мамчуев М. О. Краевая задача для линейной системы уравнений с частными производными дробного порядка // Челяб. физ.-мат. журн. 2017. Т. 2, № 3. С. 295-311.

8. Мамчуев М. О. Задача Коши для системы уравнний с частными производными дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3. C. 76-82.

9. Мамчуев М. О. Краевые задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка в неограниченных областях // Докл. Адыгской (Черкесской) Междунар. АН. 2003. Т. 7, № 1. С. 60-63.

10. Мамчуев М. О. Фундаментальное решение системы уравнений с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 8. С. 1113-1124.

11. Мамчуев М. О. Задача Коши в нелокальной постановке для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 3. С. 351358.

12. Мамчуев М. О. Смешанная задача для нагруженной системы уравнений с производными Римана — Лиувилля // Мат. заметки. 2015. Т. 97, вып. 3. С. 428-439.

13. Мамчуев М. О. Смешанная задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 1. С. 132-137.

14. Мамчуев М. О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2013.

Поступила в редакцию 23 ноября 2018 г. После доработки 18 января 2019 г. Принята к публикации 1 марта 2019 г.

Мамчуев Мурат Османович

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ул. Шортанова, 89 А, Нальчик 360000 [email protected]

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2019. Том 26, № 1

UDC 517.95

NON-LOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SYSTEM OF EQUATIONS WITH THE PARTIAL DERIVATIVES OF FRACTIONAL ORDER M. O. Mamchuev

Abstract: We study a non-local boundary value problem in a rectangular domain for a linear system of equations with partial fractional Riemann—Liouville derivatives with constant coefficients. The eigenvalues of matrix coefficients in the main part have fixed sign, which is an essential feature of such systems. These systems can be divided into two types which differ in terms of formulation of the correct boundary value problems. The system under investigation relates to the type II, i.e. to systems with the eigenvalues of matrix coefficients in the main part having different signs. We prove the existence and uniqueness theorem for the solution of the investigated boundary value problem. The conditions for the unique solvability of the problem are obtained in terms of the eigenvectors of the matrix coefficients in the main part of the system.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.101.27244

Keywords: fractional derivatives, fractional hyperbolic systems, non-local boundary value problem, conditions for unique solvability.

REFERENCES

1. Nakhushev A. M., Fractional calculus and its application [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2003).

2. Heibig A., "Existence of solutions for a fractional derivative system of equations," Integral Equation Oper. Theory, 72, 483-508 (2012).

3. Kochubei A. N., "Fractional-parabolic systems," Potential Anal., 37, 1-30 (2012).

4. Kochubei A. N., "Fractional-hyperbolic systems," Fract. Calc. Appl. Anal., 16, No. 4, 860-873 (2013).

5. Mamchuev M. O., "Boundary value problem for a system of fractional partial differential equations," Differ. Equ., 44, No. 12, 1737-1749 (2008).

6. Mamchuev M. O., "Boundary value problem for a system of multidimentional differential equations of fractional order [in Russian]," Vestn. Samarsk. Gos. Univ., Esstestvennonauchn. Ser., 8, No. 67, 164-175 (2008).

7. Mamchuev M. O., "Boundary value problem for a linear system of equations with a partial derivative of fractional order [in Russian]," Chelyab. Fiz. Mat. Zh., 2, No. 3, 295-311 (2017).

8. Mamchuev M. O., "Cauchy problem for a system of equations with a partial derivative of fractional order [in Russian]," Vestn. KRAUNTS, Fiz.-Mat. Nauki, 3, No. 23, 76-82 (2018).

9. Mamchuev M. O., "Boundary value problem for a system of differential equations with a partial derivative of a fractional order in unbounded domains [in Russian]," Dokl. Adygsk. (Cherkess.) Mezhdunar. Akad. Nauk, 7, No. 1, 60-63 (2003).

10. Mamchuev M. O., "Fundamental solution of a system of fractional partial differential equations," Differ. Equ., 46, No. 8, 1123-1134 (2010).

© 2019 M. O. Mamchuev

11. Mamchuev M. O., "Cauchy problem in non-local statement for a system of fractional partial differential equations," Differ. Equ., 48, No. 3, 354-361 (2012).

12. Mamchuev M. O., "Mixed problem for a loaded system of equations with Riemann-Liouville derivatives," Math. Notes, 97, No. 3, 412-422 (2015).

13. Mamchuev M. O., "Mixed problem for a system of fractional partial differential equations," Differ. Equ., 52, No. 1, 133-138 (2016).

14. Mamchuev M. O., Boundary Value Problems for Equations and Systems of Equations with Partial Derivatives of Fractional Order [in Russian], Izdat. KBNTS RAN, Nal'chik (2013).

Submitted November 23, 2018 Revised January 18, 2019 Accepted March 1, 2019

Murat O. Mamchuev

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 89A Shortanov Street, Nalchik 360000, Russia [email protected]