CC BY
6УДК 620.179.15;621.396.965.8
«НЕЛИНЕЙНЫЙ ТОМОСИНТЕЗ» КАК МЕТОД РЕШЕНИЯ РЕКОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ РАДИАЦИОННОГО КОНТРОЛЯ
В. А. Баранов, У. Эверт, В. К. Кулешов, М.Н. Янушевская
Рассмотрены методы нелинейного томосинтеза, основанные на оценках нелинейного обратного проецирования, пригодные для решения задач малоракурсной томографии. Проведено их сравнение с классическими методами обратного проецирования. Приведены примеры реконструкции и математического моделирования. Перечислены сферы успешного применения нелинейного томосинтеза. Отмечены преимущества оценок нелинейного обратного проецирования над линейными при решении остро некорректных реконструктивных задач.
Ключевые слова: обратная задача, некорректная задача, нелинейное обратное проецирование, обработка изображений, пространственная фильтрация.
Методы нелинейного обратного проецирования и «нелинейный томосинтез»
В настоящее время усилился интерес исследователей к нелинейным статистическим методам решения реконструктивных задач, которые в своей изначальной постановке являются линейными и детерминистскими [1-10]. Среди факторов, обуславливающих данную тенденцию, необходимо отметить следующие: 1) нелинейные оценки решений интегральных проекционных уравнений, как правило, значительно более точны, чем линейные, и могут быть получены без дополнительных вычислительных затрат, 2) они работоспособны при восстановлении изображений по неполным данным, в то время как для многих практически важных задач данного класса подходы, основанные на линейных оценках непригодны в принципе, 3) априорная информация о восстанавливаемом объекте естественным образом учитывается в форме нелинейных статистических ограничений на решение, 4) статистический подход позволяет разрабатывать «мягкие» математические модели, преодолевая тем самым «жесткость» детерминистских методов в которых опытные данные и лежащие в основе решения задачи гипотезы часто оказываются несовместными, 5) статистические методы более, чем детерминистские, пригодны для решения синтетических задач, поскольку в них имеются пригодные для этой цели формальные процедуры («решаюшие правила», «решающие функции» и т.п.).
Среди методов этого класса наиболее последовательными и концептуально безупречными являются методы, основанные на
вариационных принципах статистики (максимума энтропии [10], максимального правдоподобия и др.), однако сфера их применимости достаточно ограничена прежде всего благодаря отсутствию гибкости в учете специфики объекта контроля, что, приводит к известной «бедности» синтезированных изображений конкретным содержанием, а иногда и к грубым артефактам. Отмеченные недостатки в значительной степени преодолены в рамках «структурно-ориентированного» подхода [9] к исследованию и реконструкции объектов Разработанные прежде этого подхода методы нелинейного обратного проецирования [1-7] оказались тесно связанными с ним как идеологически, так и технически. «Математическая техника» нелинейного обратного проецирования активно используется в нем для конструирования «мер сходства» и «мер различия» как неклассических статистик [8,9]
Концепция обратного проецирования является одной из старейших и, в то же время одной из наиболее жизнеспособных в томографии.
Функция t (х, у, г), описывающая внутреннее строение объекта исследования, должна быть решением системы N интегральных проекционных уравнений. Луч-суммы Рп (х, у, г), инцидентные точке (х, у, г) объекта контроля, определены во всем объекте, хотя и измеряются на какой-то «плоскости регистрации». (Здесь N число ракурсов, а п номер ракурса). Базовой оценкой для t (х, у, г), в классическом методе обратных проекций является линейное усреднение (т.е. средне-арифметическое):
Т(х, у, г) = (Р1 + Р2 + ...+ Р^/N . (1)
«нелинейный томосинтез» как метод решения реконструктивных задач
РАДИАЦИОННОГО КОНТРОЛЯ
Характерно, что, несмотря на обилие новых реконструктивных алгоритмов, наиболее часто употребляемые среди них это модификации метода обратных проекций. Осуществляемые путем внесения в этот базовый «суммационный» алгоритм (1) различных процедур фильтрации — предобработки проекций и постобработки томограмм (таких, например, как «метод обратных проекций с фильтрацией сверткой» и пр.). В рамках этих модификаций относительно легко могут быть решены проблемы с «некорректностью» задачи реконструкции путем специальной фильтрации с учетом особенностей типичного объекта контроля. К сожалению, этим путем преодолевается лишь «слабая некорректность» и такого рода методы применимы лишь для решения многоракурсных задач.
В работах [1, 6, 4] была осуществлена более радикальная модификация классического обратного проецирования за счет смены самой базовой оценки на нелинейную,
Т (х, у, I) = Г (Рь Р2,..., Ры) (2)
где функция f инвариантна относительно любых перестановок своих неотрицательных аргументов.
Дальнейшее совершенствование методов (2) нелинейного обратного проецирования достигается за счет процедур предобработки и постобработки т.е. как и в случае (1) базовая оценка (2) «обрастает» техникой фильтрации. Для этой цели систематически используются структурно-ориентированные (т.е. теоретико-групповые статистические) методы обработки изображений [9]. В отличие от модификаций (1) методы нелинейного обратного проецирования (НЛОП) пригодны для решения остро некорректных задач, в частности они вполне адекватны для решения задач малоракурсной томографии.
С математической точки зрения методы НЛОП уже хорошо изучены [4, 6] В частности, показано, что метод минимальных проекций (частный случай (2) с использованием в качестве f первой порядковой статистики) является решением задачи минимизации с ограничениями для норм невязок на классе нелинейных усреднений. Проведено сравнение классического обратного проецирования с методом минимальных проекций. Выявлены связи между методами НЛОП и известными методами ПНВМ (проекций на выпуклые множества) [11]. Разработаны итерационные алгоритмы НЛОП
К настоящему моменту на основе этих методов (известных также как методы «нелинейного томосинтеза») решен ряд актуальных задач неразрушающего контроля. Перечислим некоторые из них:
1) контроль крупногабаритных изделий (деталей машин, компонентов авиационной и космической техники и т.п.) с использованием малогабаритных бетатронов и линейных ускорителей в качестве источников излучений;
2) контроль микросхем и других изделий микроэлектроники;
3) контроль компонентов ядерных реакторов и атомных электростанций в действии (в особенности томографическая визуализация трещин в работающих компонентах);
4) диагностика сварных швов;
5) контроль строительных конструкций (в частности, железобетонных стен, толщиной до 0.6 м.)
6) контроль багажа на транспорте в условиях террористической угрозы;
7) решение некоторых задач обработки изображений в криминалистике;
8) томографическое исследование произведений искусства и памятников архитектуры.
Поскольку данный класс реконструктивных методов пока еще недостаточно полно представлен в литературе, задачей этой короткой статьи является дать о нем самое общее представление и проиллюстрировать некоторыми примерами.
Типичные оценки нелинейного обратного проецирования
Оценки НЛОП могут быть как аналитическими, так и статистическими. Наиболее употребителен статистический подход, так что функция (2) может рассматриваться как некоторая статистика - функция случайной выборки (Р1, Р2,..., Ры) . Например, оценка (1) есть просто частный случай (2) - линейное усреднение. Еще один важный (существенно нелинейный) частный случай (2)
Т = Т {х, у, 1}= ш1п(Р„ Р2,..., Рк ) (3)
— оценка НЛОП, широко используемая в «методе минимальных проекций» [1,4,6]. Одна из основных предпосылок концепции нелинейного обратного проецирования заключается в том, что (2) в действительности представляет собой некоторое нелинейное усреднение, используемое вместо (1) и, таким образом, большое значение имеет класс оценок из
где F(P) в (6) монотонная, неотрицательная функция, так что нелинейное уравнение (6) разрешимо относительно f и существует обратное преобразование Г1 (например, f есть среднее геометрическое при F(P) = lnP, среднее геометрическое при F(P) = 1/Р и т.д.).
Схемы регистрации проекционных данных в цифровом томосинтезе
При решении задачи трехмерной реконструкции схема регистрации проекций чаще всего выбирается такой же, как в классическом томосинтезе. На рисунке 1 приведена типичная схема регистрации проекций в томосинтезе с «копланарной» геометрией, хорошо приспособленной для последующей «послойной визуализации» объекта контроля, в силу чего томосинтез довольно часто называется также «ламинографией» [5], что нередко дает повод считать копланарность одним из основных признаков томосинтеза. Тем не менее цифровой томосинтез вовсе не привязан жестко к такой геометрии и, в принципе, визуализируемыми сечениями могут быть любые поверхности, проходящие через объект контроля.
С теоретической точки зрения важны два типа оценок НЛОП: 1) порядковые статистики
/ = Бк (Р„ Р2,..., Рн ) (4)
(например, медиана, в случае к = N/2 или (Ы+1)/2, или оценка по методу минимальных проекций (7), в случае к = 1) и 2) нелинейные усреднения вида,
вольного сечения объекта определяется параметром г (г < F) — «глубиной залегания».
1 N
F (f) = N Z F (pn)
N n=l
(5)
подмножества (2), определяемого ограничениями
Ш1П(Р1,Р2Ры) < / < тах(р,Р2,...,Ры) (6)
В классической копланарной геометрии объект контроля предполагается расположенным между плоскостью источников и плоскостью регистрации, которые параллельны друг другу. Ось г в этом случае считается перпендикулярной плоскости регистрации и, таким образом, х, у — координаты на плоскости. Начало координат находится на плоскости регистрации (г = 0). N фиксированных положений источника излучения на плоскости источника (г = F, где F — фокусное расстояние) соответствуют N проекциям на плоскости регистрации. Положение произ-
Рисунок 1- Регистрация проекций в классическом томосинтезе
При решении задач нелинейного томосинтеза удобным приемом является редуцирование путем несложных преобразований некомпланарной геометрии исходной задачи в компланарную. Например, некомпланарной (рисунок 2) является геометрия регистрации проекций при контроле, заполненных теплоносителем трубопроводов на атомных электростанциях [8]. При преобразовании схемы регистрации в копланарную в роли визуализируемых сечений выступают развертки цилиндра. Разные ракурсы получаются за счет сдвига источника излучения вдоль оси вращения трубы.
X-ray source
/
♦с
Isolation
Detector Radiographic Image
Рисунок 2 - Регистрация проекционных данных для томосинтеза (сканирование трубы)
При этом параметр «глубины залегания сечения» меняется в пределах от внутреннего радиуса трубы до ее внешнего радиуса. При регистрации проекционных данных (рисунок 2) сканер вращается вокруг трубы.
«НЕЛИНЕЙНЫЙ ТОМОСИНТЕЗ» КАК МЕТОД РЕШЕНИЯ РЕКОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ
РАДИАЦИОННОГО КОНТРОЛЯ
Сравнение классического и нелинейного томосинтеза путем математического моделирования
Некоторое представление о возможностях томосинтеза с оценками НЛОП можно получить рассматривая следующий пример послойного восстановления по двумерным проекциям. На рисунке 3 представлены результаты численного моделирования для томосинтеза. Объект контроля (математически сгенерированный фантом) состоит из 8 параллельных друг другу плоских слоев. Информационным содержанием отдельного слоя является изображение буквы из набора А, В, С,..., Н. На рисунке 3, а показаны четыре «тенеграммы» — результаты «просвечивания» объекта контроля с четырех позиций. На рис.Зб представлены результаты восстановления для двух слоев по четырем проекциям. Слева — по классическому методу обратных проекций (1). Справа — по методу минимальных проекций (3). На рисунке 3,в представлены результаты восстановления для тех же самых слоев по 8 проекциям (помехи отсутствуют). На рисунке 3, г можно видеть результаты восстановления для двух других слоев объекта по 4 проекциям.
б)
г)
Рисунок 3- Сравнение классического метода обратных проекций с методом минимальных проекций
«Бетатронная томография» на основе нелинейного томосинтеза
В предыдущем примере проекционные данные незашумлены. Для иллюстрации возможностей нелинейного томосинтеза при работе с реальными зашумленными данными рассмотрим пример послойной визуализации стального слитка (после обработки на обжимном стане) размерами 250*120*60 мм. (Эксперимент был подготовлен и осуществлен совместно с коллегами из Фраунгофе-ровского института 1г1Р, Саарбрюккен, Германия).
Объект контроля просвечивался малогабаритным бетатроном МИБ-6 и проекции регистрировались на рентгеновской пленке. Каждая из проекций соответствует определенному положению объекта на поворотном столе. Шаг угла поворота был равен 45°. (Кассета с пленкой поворачивалась вместе с объектом). Фокусное расстояние было равно 890 мм, расстояние от источника излучения до оси вращения — 250 мм. Проекционные изо-
бражения на пленках оцифровывались при помощи автоматического микроденситометра. На рисунке 4 представлены 8 нефильтрованных радиографических проекций объекта.
На рисунке 5 - рисунке 7 представлены 3 томограммы объекта, синтезированные по набору из 8 фильтрованных проекций (использовался вариант локально-линейной фильтрации) двумя способами. Вверху — по классическому методу обратных проекций. Внизу — по одному из вариантов нелинейного обратного проецирования.
Рисунок 4- Радиографические проекции стального слитка
(В этом случае в качестве оценки НЛОП использовался аналог 2-й порядковой статистики, точнее, из 8 луч-сумм выбиралась 2-я по близости к низкочастотному «тренду» соответствующей проекции). На всех томограммах видны пустоты в куске стали на соответствующей глубине залегания.
Томограммы на рисунке 5, рисунке 6 и рисунке 7 соответствуют глубины залеганий Z = 0.34, Z = 0.61 и Z = 0.85, которые даны в относительных единицах (Z = 0.0 соответствует метке на нижней стороне объекта и Z = 1.0 - на верхней).
Сравнение результатов, полученных двумя методами, позволяет оценить преимущества НЛОП. Синтез по классическому методу обратных проекций дает большое количество артефактов (превосходящих по амплитуде полезный сигнал), что не обеспечивает надежную диагностику.
Синтез по методу НЛОП с соответствующим типом фильтрации и выбором параметров оценок НЛОП позволяет сразу же отсеять большой объем ненужной информации (в частности, информацию о низкочастотной составляющей проекций) и радикально упростить ситуацию, не нарушая структуры дефектов.
Фактически, томограммы по методу
НЛОП представляют собой «карты дефектности». Они точны, хотя и упрощены.
Рисунок 5-Томограммы для слоя с глубиной залегания Z = 0.34
Рисунок 6- Томограммы для слоя с глубиной залегания Z = 0.61
Рисунок 7- Томограммы для слоя с глубиной залегания Z = 0.85
Если бы в дополнение к ним была проведена еще реконструкция объекта по полному (т.е. 100-200) набору проекций в лабораторных условиях, скажем, по алгоритму РеМкатр, она не обеспечила бы дефектоско-писту нового знания об объекте контроля
«нелинейный томосинтез» как метод решения реконструктивных задач
РАДИАЦИОННОГО КОНТРОЛЯ
(знания, а не информации). Поскольку такая реконструкция была бы перегружена «пустой» (не нагруженной смыслом) информацией, затрудняющей выбор правильных решений, то потребовалась бы дополнительная работа по ее редуцированию в приемлемую форму. Проблема редуцирования данных на начальном этапе реконструкции является весьма актуальной в современной томографии.
Основные результаты и выводы
Метод обратного проецирования был и остается концептуально привлекательным для томографической 30-реконструкции. Среди его достоинств — возможность визуализировать каждое отдельное сечение объекта контроля независимо от остальных (как и в классическом томосинтезе) Попытки улучшить классический алгоритм в его цифровых реализациях за счет линейной фильтрации приводят к успеху только при большом числе ракурсов (сотни) и только при «слабой некорректности» Для того, чтобы сделать метод работоспособным при малом (4-8) числе ракурсов необходимо использовать оценки нелинейного обратного проецирования. Дальнейшее усовершенствование метода требует вовлечения в алгоритм нелинейной фильтрации, основанной на структурно-ориентированном подходе к обработке изображений.
Авторы выражают благодарность проф. В. Моргнеру (Людвигсхаген, Германия), Д-ру У.Шерпелю (Берлин, Германия) и коллегам по ИНК (Томск) В.А.Касьянову и В.В.Романову за помощь в экспериментальной части работы, а также проф. Х.-М. Кренингу (Саарбрюккен, Германия) за поддержку данного научного направления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баранов, В.А. Система цифрового томо-синтеза для неразрушающего контроля / В.А.Баранов, А.С. Чекалин / Дефектоскопия. -1988. - № 5. - С. 30-36.
2. Baranov V., Chakhlov V., Kröning M., Morgner W. High speed computerized tomography on thick-walled steel and concrete components using a portable 6 MeV betatron // 6th European Conference on Non-destructive testing: Collect. of papers. - Nice, France, 1994. - № 2. - P. 1287-1291.
3. Baranov V.A., Temnik A.K., Chakchlov V.L., Chekalin A.S. Betatron tomography with the use of nonlinear backprojection techniques // International
Symposium on Computerized Tomography for Industrial Applications: Collect. of papers. - Berlin, 1994. -P. 271-277.
4. Baranov V.A. Convex projections reconstruction algorithms on the basis of non-linear backprojection approach // International Symposium on Computerized Tomography for Industrial Applications: Collect. of papers. - Berlin, 1994. - P. 88-95.
5. Ewert U., Schumm A., Nockeman C., Baranov V.A. Fortschritte auf dem Gebiet der digitalen Laminographie // Deutsche Gesellschaft für Zerstörungsfreie Prüfung e.V., Jahrestagung 1995 (100 Jahre Röntgenstrahlen und die heutige Vielfalt Industrieller ZfP-Praxis), Aachen. - 1995. - S. 471-475.
6. Baranov V.A. A Variational Approach to NonLinear Backprojection // Computerized Tomography: Collect. of papers / Editor-in-Chief: M.M. Lavrent'ev. -Utrecht, Netherlands, 1995. - P. 82-97.
7. Ewert U., Baranov V., Borchard K. Cross-sectional imaging of building elements by new nonlinear tomosynthesis technique using imaging plates and Co60 radiation // NDT & E International, Elsevier Science Ltd. - 1997. - V. 30. - № 4. - P. 243-248.
8. Баранов, В.А. Структурно-ориентированная визуализация зон образования трещин в компонентах атомных электростанций / В.А. Баранов, В.В. Бразовский, У. Эверт, Б. Редмер / Естественные и технические науки, № 5, 2010, стр. 386-391.
9. Баранов, В.А. Структурно-ориентированный подход к обработке изображений / В.А. Баранов, В.В. Бразовский, О.О. Ивженко, У. Эверт / Естественные и технические науки, № 5, 2010, стр. 407-413
10. Wernecke S.I. and d'Addario L.R. Maximum entropy image restoration // IEEE Trans, Comput. C-26, 351-364 (1977).
11. Youla Dante C., Generalized Image Restoration by the Method of Alternative Orthogonal Projections // IEEE Trans. on Circuits and Systems, CAS-25(9). 694-702 (1978).
Баранов В.А., к.т.н., старший научный сотрудник международной лаборатории радиационного контроля Института неразрушающего контроля Томского политехнического университета, тел.: 8(3822) 41-73-07, E-mail: [email protected]:
Эверт Уве, профессор, директор подразделения 8.3 Радиология в институте Bundesanstalt für Materialforschung und prüfung, г. Берлин, Германия, E-mail: [email protected]:
Кулешов В.К., д.т.н., профессор кафедры физических методов и приборов контроля качества Института неразрушающего контроля Томского политехнического университета, тел.: 8(3822)41-73-07, E-mail: [email protected]:
Янушевская М.Н., ст. преподаватель кафедры физических методов и приборов контроля качества Института неразрушающего контроля Томского политехнического университета, тел.: 8(3822)41-73-07, E-mail: [email protected]
