CC BY
33
УДК 536.2.01
Введение
Асимметричные свойства стационарных тепловых процессов изучались экспериментально на двухслойных образцах из латуни, стали, железа армко, электрокорунда [1]. Сущность явления в том, что ql/qr ^ 1, где ql - тепловой поток, проходящий через двухслойную пластину в направлении от первого (левого) слоя ко второму (правому); qr - тепловой поток, проходящий через пластину от второго слоя к первому. Опыты проводились в диапазоне температур от комнатной до 673 К и при разности температур на границах образца до 500 К . Максимальное значение ql/qr составило 1,4.
Наша цель заключается в том, чтобы исследовать: 1) явление тепловой асимметрии в нестационарных условиях; 2) энтропийные и гистерезисные свойства теплопереноса в зоне контакта слоев.
Постановка и решение задачи
Уравнение энергии и закон Фурье для теплового потока имеют вид:
где х - декартова координата; і - время; Т - температура; q - удельный тепловой поток; л- коэффициент теплопроводности; с - объемная теплоемкость. Искомыми функциями являются температура и тепловой поток в двух контактирующих областях. Первый слой: Т = Т(1)(х, і), q = q(1)(х, і), х є [0, Л1]. Второй слой:
Т = Т (2)( х, і), q = q (2)( х, і) , х є [Н1, И]. Толщина образца равна И = И1 + И2. Условия идеального теплового контакта:
(1)
Т
Т
и(Т) = | с(Т^Т, к(Т) = | л(Т^Т,
0
0
(2)
Редакция приносит свои извинения авторам статьи «Нелинейные тепловые процессы при импульсном нагреве двухслойной металлической пластины» Шабловскому О.Н. и Кролю Д.Г. за допущенные опечатки в № 4, 2004.
x = h, T(2) (h, t) = Tw = const. (3)
Тепловой поток q0(t) характеризует поверхностный источник энергии на левой границе:
x = °, q(1)(0,t) = qo(t). (4)
Начальная температура образца однородная по координате:
t = 0, T(x, 0) = T0 = const, (5)
причем Tw = T0.
Теплофизические свойства металлов аппроксимируются полиномами третьей степени с постоянными коэффициентами:
c = c0 + c1T + c2T2 + c3T 3;л = л0 + л1Т + л2Т2 + л3Т3, Т е [T', T"]. (6)
Процесс нагрева рассматривается в интервалах температур, для которых
фазовые превращения не происходят. Построение аппроксимирующих полиномов выполняется на основе справочных данных [2].
д
Производство энтропии подсчитываем по формуле [3]: у = q—
дх
Изучаем важный на практике случай, когда нагрев осуществляется импульсом треугольной временной формы:
q0 (t) = Btn exp(mt); B > 0, n > 0, m < 0; B, n, m - const.
Характеристики этого импульса такие:
• максимальное значение поверхностного теплового потока:
t = t0, qmax = q0(t0);
• длительность импульса:
t = ^ q0(t1) = 0,001qmax.
Численные расчеты проводятся в безразмерных величинах. При обезразмеривании применяются масштабы величин (они отмечены нижним индексом b), обеспечивающие инвариантность размерной и безразмерной форм
записи: лb = xbcb/tb, qb = лbTb/xb и т. д.
Решение краевой задачи (1)-(5) выполняется численным методом интегральн^1х соотношений А.А. Дородницына. Алгоритм построения расчетной схемы подробно изложен в [4]. В n -м приближении область х е [0, h] разделяется на n полос: xt = ih/n, i = 0,1,...,n. В данной задаче n = 10; берем по 5 полос в каждом слое. Строим замкнутую систему интегральных соотношений и редуцируем их к аппроксимирующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Итоговая задача Коши решается методом Рунге-Кутта пятого порядка точности. В результате получаем температуру T(xi, t) и тепловой поток q(xi, t) на границах полос.
Результаты и обсуждение
При обработке результатов расчетов применяем следующие критерии:
h_ГдГ'
T01"дХ
q(x, t) h
• безразмерный градиент температуры g = 7^ I I;
безразмерный тепловой поток Q =
T0 л^0)
• безразмерное производство энтропии £ = ] , у0 = л(Т0)/ h2.
у
Параметры асимметрии (ПА), характеризующие тепловые свойства двухслойной пластины, такие:
• ПА температуры на левой границе AT ) =
/гр \rnax
(0) _ (T0)M-1-M.
х2
T (ГГ \ max
(T0/
• ПА температуры в зоне контакта A(TZ) =
/Гр \ma:
(T z )Mx
0 ' M 2 -Mj max
M2
(T)
max
12 -Mx
max
(q )тах
ТТЛ л( z) \4zJM, -М 2
• ПА теплового потока в зоне контакта Л: =--------------------;
Ч (: )тах
\4zJM 2 -М1
• ПА теплового потока на правой изотермической границе х№ = h
(q )max
<(w) Vi ^/M[ —M2
Aqw) = -
(q )max
VdwJM 2 -Mj
Р (я, £ )
1-ГА л( Z) Мл -М 2
ПА производства энтропии в зоне контакта Лу = —( 8) ;
РМ 2 -М1
ПА динамического теплового гистерезиса (ДТГ) в зоне контакта
Р (я, Q )
Л_( z) = М М
° р(я, <2)
1 М 2 -М;
Индексом г отмечены значения функций при х = ^. В качестве М1, М2 применяем химические символы металлов; расположение индексов М1 - М2 и М2 - М1 указывает на расположение металлических слоев до и после перестановки. Полагаем, что поверхностный источник энергии всегда действует на левую границу образца. Буквами РМ1-м2, ^Мни) и т. д. обозначаем площади петель ДТГ в плоскостях «градиент температуры - производство энтропии» и «градиент температуры - тепловой поток». При вычислении ЛТ°'}, Л(Тг), Л(ч2), Л(чж) применяем максимальные, достигаемые в данном процессе, значения функций: Т0 = Т(0,1),
Т = Т(hl,t), = ч(Кt), = q(h,^, *е[0,^
Асимметричные свойства теплопереноса выражены тем сильнее, чем больше ПА отличается от единицы.
Динамический тепловой гистерезис, существующий при нагреве однослойной пластины поверхностным источником энергии, изучен в работах [5], [6]. Практика наших расчетов показала, что для двухслойного образца закономерности гистерезисных процессов в основном такие же: в плоскостях (я, 2) и (я, £) петли ДТГ имеют, как правило, форму лепестка. Свойство ДТГ в локально-неравновесных условиях изучены в [7].
Температурная зависимость Л(Т) играет ведущую роль в обнаружении явления тепловой асимметрии, поэтому рассматриваем два варианта: 1) в каждом слое
d^dT < 0; берем здесь железо и вольфрам; 2) в одном слое dn/dT < 0, а в другом dn/dT > 0; берем здесь вольфрам и ванадий. Построение аппроксимирующих полиномов вида (6) выполняем в следующих температурных интервалах: Fe - [300,1040]; W - [300,3600]; V - [300,2000]; значения температуры указаны в
кельвинах. При подсчете Q, S применяем л^0) = лW(T0).
Для каждой пары металлов приведем результаты двух серий расчетов: 1) теплообмен при перестановке металлов, когда в каждом варианте толщины слоев зафиксированы и не переставляются (табл. 1 и 3); 2) теплообмен при перестановке металлических слоев разной толщины (табл. 2 и 4).
Во всех рассмотренных вариантах Tb = 100 K, Tw = 300 K; лb = 100Вт/(м • K),
qb = 1 •106Вт/м2.
Система Fe - W
Обсудим табл. 1. Здесь 10 = 0,3 c, tj = 1,245 с. На левой границе образца наблюдается асимметрия температуры (см. AT°'}), причем имеется слабовыраженный максимум при h2/h1 « 0,82 . В зоне контакта хорошо видна асимметрия температуры и теплового потока. По мере роста толщины первого слоя имеем: параметр A(TZ) меняется немонотонно, имеет минимум при h2/hj « 0,82; параметр A(qz) имеет два участка монотонного убывания, а между ними находится «полочка»: участок насыщения, h2/hj е (1,85; 0,42). Очень хорошо выражена асимметрия теплового потока на правой границе; важная характерная особенность: при h2 « hx получаем Aqw) «1. В зоне контакта асимметрия энтропийных и гистерезисных процессов весьма чувствительно реагирует на отношение толщин h2/h1; во всех представленных вариантах Az) < 1, AG) < 1.
Таблица 1
Влияние перестановки металлов (Mг = Fe, M2 = W) на ПА при фиксированных в каждом варианте толщинах слоев,
q max = 1,91 • 107Вт/м2
1) 2) h 3) м 4) h 5) ( 6) , 7) ( 8) , 9) , 10) , 11) ^ 12) A
1 0,10 9,000 9,148 1,0272 8,306 0,821 0,8691 2,3516 0,5728 0,4804
2 0,15 5,667 8,926 1,0855 7,756 0,810 0,8037 2,1570 0,4477 0,3608
3 0,20 4,000 8,751 1,1258 7,295 0,799 0,7495 1,9657 0,3474 0,3062
4 0,25 3,000 8,618 1,1529 6,908 0,789 0,7070 1,7897 0,2901 0,2603
5 0,30 2,333 8,522 1,1709 6,579 0,779 0,6754 1,6259 0,2251 0,2212
6 0,35 1,857 8,45 1,1830 6,287 0,770 0,6520 1,4743 0,1747 0,1744
7 0,40 1,500 8,402 1,1907 6,032 0,761 0,6372 1,3377 0,1387 0,1342
8 0,45 1,222 8,366 1,1957 5,801 0,753 0,6300 1,2101 0,1084 0,0999
9 0,50 1,000 8,34 1,1986 5,586 0,747 0,6303 1,0937 0,0838 0,0808
10 0,55 0,818 8,324 1,1992 5,382 0,742 0,6358 0,9869 0,0643 0,0647
11 0,60 0,667 8,312 1,1992 5,181 0,741 0,6421 0,8883 0,0486 0,0566
12 0,65 0,538 8,305 1,1982 4,976 0,742 0,6434 0,8013 0,0339 0,0419
13 0,70 0,429 8,302 1,1962 4,762 0,748 0,6340 0,7192 0,0241 0,0319
14 0,75 0,333 8,303 1,1946 4,534 0,760 0,6075 0,6462 0,0138 0,0327
15 0,80 0,250 8,306 1,1913 4,285 0,779 0,5642 0,5788 0,0090 0,0359
16 0,85 0,176 8,312 1,1874 4,012 0,808 0,5120 0,5154 0,0029 0,0581
17 0,90 0,111 8,319 1,1837 3,709 0,850 0,4155 0,4613 0,0024 0,0699
В табл. 2 приняты чтах, 10, t1 такие же, как в табл. 1. Здесь мы наблюдаем серьезные отличия от первой серии расчетов. А именно: существует такое отношение толщин (^/^)* «2,3, при котором асимметрия проявляется незначительно. По обе стороны от (^/^)* асимметрия в зоне контакта резко возрастает. Важное отличие от результатов в табл. 1: здесь для всех рассмотренных вариантов получается Л(ч^ « 1.
Таблица 2
Влияние перестановки металлических слоев разной толщины
на ПА (М1 = Fe, М2 = W)
13) 14) - 15) ’ м 16) 17) (Т 08) л 19) (Т 20) 21) 22) . 23) л 24) л
1 0,10 9,000 8,319 1,1296 3,709 1,839 2,2841 1,0569 513,133 231,486
2 0,15 5,667 8,312 1,1657 4,012 1,566 1,9846 1,0744 83,4220 78,5946
3 0,20 4,000 8,306 1,1861 4,285 1,361 1,7301 1,0851 23,6645 18,8155
4 0,25 3,000 8,303 1,1967 4,534 1,202 1,4977 1,0938 8,33676 6,77905
5 0,30 2,333 8,302 1,2019 4,762 1,076 1,2762 1,0957 3,08916 2,71182
6 0,35 1,857 8,305 1,2036 4,976 0,972 1,0709 1,0984 1,21880 1,03748
7 0,40 1,500 8,312 1,2036 5,181 0,886 0,8944 1,0971 0,49535 0,49169
8 0,45 1,222 8,324 1,2017 5,382 0,812 0,7481 1,0962 0,20371 0,18044
9 0,50 1,000 8,34 1,1986 5,586 0,747 0,6303 1,0937 0,08376 0,08081
10 0,55 0,818 8,366 1,1932 5,801 0,689 0,5354 1,0895 0,03424 0,03584
11 0,60 0,667 8,402 1,1864 6,032 0,636 0,4575 1,0832 0,01360 0,01543
12 0,65 0,538 8,45 1,1776 6,287 0,587 0,3917 1,0755 0,00486 0,00704
13 0,70 0,429 8,522 1,1653 6,579 0,542 0,3355 1,0672 0,00175 0,00260
14 0,75 0,333 8,618 1,1510 6,908 0,499 0,2868 1,0572 0,00048 0,00125
15 0,80 0,250 8,751 1,1307 7,295 0,458 0,2444 1,0486 0,00013 0,00058
16 0,85 0,176 8,926 1,1058 7,756 0,418 0,2073 1,0348 0,00002 0,00026
17 0,90 0,111 9,148 1,0764 8,306 0,380 0,1581 1,0264 0,00001 0,00014
Итак, если dл/dT < 0 в обоих слоях металлов, то асимметрия теплопереноса сосредоточена, в основном, в зоне контакта слоев.
Система W - V
Таблица 3 составлена при 10 = 0,3 с, t1 = 1,245 с. На левой границе присутствует асимметрия температуры, причем ЛТ°'} мало реагирует на убывание ^/к1 . Параметр ЛТ2) достигает максимума при ^/^ « 0,333. Своеобразие теплового взаимодействия слоев проявляется здесь в хорошо выраженной асимметрии тепловых потоков и в
зоне контакта, и на правой границе. Обращают на себя внимание очень широкие интервалы, в которых изменяются параметры А2), Л(£).
Таблица 3
Влияние перестановки металлов (Mх = W , M2 = V) на ПА при фиксированных в каждом варианте толщинах слоев,
Чmax = 3,97 • 107Вт/м2
25) 26) -27) м 28) 29) (T 30) у 31) (T 32) . 33) 3-4) 35) у 36) У
1 0,10 9,000 18,307 1,0424 16,267 1,374 0,9508 0,2755 0,5110 0,841
2 0,15 5,667 17,566 0,9382 14,845 1,387 0,9527 0,2896 0,5297 1,024
3 0,20 4,000 16,905 0,8703 13,652 1,413 0,9664 0,2996 0,6259 1,216
4 0,25 3,000 16,332 0,8265 12,642 1,450 0,9987 0,3214 0,7461 1,341
5 0,30 2,333 15,856 0,7956 11,784 1,498 1,0416 0,3467 0,9317 1,695
6 0,35 1,857 15,482 0,7746 11,051 1,553 1,0878 0,3857 1,1591 2,495
7 0,40 1,500 15,185 0,7593 10,412 1,613 1,1338 0,4272 1,5650 2,953
8 0,45 1,222 14,935 0,7473 9,858 1,677 1,1770 0,4817 2,0727 4,885
9 0,50 1,000 14,756 0,7392 9,367 1,745 1,2082 0,5501 2,9755 6,498
10 0,55 0,818 14,687 0,7362 8,931 1,811 1,2313 0,6317 4,4729 10,829
11 0,60 0,667 14,623 0,7339 8,517 1,871 1,2462 0,7307 6,8508 13,942
12 0,65 0,538 14,571 0,7324 8,115 1,920 1,2656 0,8553 11,4493 27,155
13 0,70 0,429 14,543 0,7321 7,702 1,949 1,2954 1,0070 21,6832 34,583
14 0,75 0,333 14,517 0,7314 7,261 1,953 1,3711 1,1935 56,1982 43,280
15 0,80 0,250 14,498 0,7316 6,768 1,922 1,5241 1,4486 80,5036 82,689
16 0,85 0,176 14,514 0,7356 6,187 1,843 1,7885 1,7700 108,324 94,639
17 0,90 0,111 14,519 0,7397 5,476 1,701 2,1991 2,1795 161,338 100,32
Таблица 4
Влияние перестановки металлических слоев разной толщины на ПА
(М1 = W, М2 = V)
37) 38) , 39/ м 40) 41) (T 42) у 43) (T 44) 45) 46) 47) у 48) у
1 0,10 9,000 18,307 0,9327 16,267 5,052 7,8174 0,9235 34385,3 35905
2 0,15 5,667 17,566 0,8903 14,845 4,422 6,1095 0,8596 9193,2 10725
3 0,20 4,000 16,905 0,8531 13,652 3,877 4,7593 0,7861 3251,81 3455,6
4 0,25 3,000 16,332 0,8229 12,642 3,401 3,7366 0,7297 1163,11 926,43
5 0,30 2,333 15,856 0,7982 11,784 2,982 2,9533 0,6742 237,654 369,79
6 0,35 1,857 15,482 0,7781 11,051 2,614 2,3590 0,6405 67,0655 152,35
7 0,40 1,500 15,185 0,7621 10,412 2,287 1,8877 0,5998 22,1829 41,778
8 0,45 1,222 14,935 0,7486 9,858 1,999 1,5150 0,5725 7,9199 20,285
9 0,50 1,000 14,756 0,7392 9,367 1,745 1,2082 0,5501 2,97548 6,4981
10 0,55 0,818 14,687 0,7349 8,931 1,519 0,9566 0,5315 1,17056 2,6077
11 0,60 0,667 14,623 0,7312 8,517 1,319 0,7485 0,5204 0,48332 0,9853
12 0,65 0,538 14,571 0,7290 8,115 1,140 0,5836 0,5151 0,19787 0,4446
13 0,70 0,429 14,543 0,7297 7,702 0,979 0,4569 0,5179 0,08500 0,1585
14 0,75 0,333 14,517 0,7346 7,261 0,833 0,3665 0,5257 0,03605 0,0626
15 0,80 0,250 14,498 0,7464 6,768 0,700 0,3095 0,5521 0,01549 0,0291
16 0,85 0,176 14,514 0,7752 6,187 0,578 0,2789 0,5963 0,00624 0,0090
17 0,90 0,111 14,519 0,8267 5,476 0,463 0,2675 0,6502 0,00239 0,0023
В табл. 4 свойства поверхностного источника q0(t) такие же, как в табл. 3. В этой серии расчетов наблюдаем отчетливое влияние конкуренции знаков производных (d.n/dT)W < 0, (d^dT)V > 0. Параметр Af* имеет минимум при
h2/hj « 0,667. На границе слоев: у?) > 1 при h2/h > 1, у?) < 1 при h2/h < 1.
Наиболее выразительным является поведение ) в зоне контакта: при h2/h1 «1
имеем у(чz) «1; по обе стороны этого «порога» асимметрия теплового потока резко
растет. Параметру(чw) принимает минимальное значение при h2/h « 0,538.
Асимметрия гистерезисных процессов проявляется в количественном отношении еще резче, чем для системы Fe - W .
Выводы
Основными факторами влияния на асимметрию тепловых процессов являются знаки производных (d^dT)M и (d^dT)M , а также отношение толщин слоев h2/h.
Г истерезисные процессы в зоне контакта слоев наиболее чувствительным образом реагируют на изменение основных параметров процесса поверхностного нагрева.
Литература
1. Gogol W. Eksperymentalne badania efektu asymetrii przewodzenia ciepla w ukladach dwuskladnikowych //Arch. termodyn. 1984. V. 5. № 3-4. P. 289.
2. Зиновьев, В.Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах /В.Е. Зиновьев. - М.: Металлургия, 1989.
3. Беккер, Р. Теория теплоты /Р. Беккер. - М.: Энергия, 1974.
4. Шабловский, О.Н. Численное решение задач нестационарного нагрева металлов: сб. науч. тр. Ин-та математики НАН Украины /О.Н. Шабловский, Д.Г. Кроль. -Киев, 1998. - С. 234.
5. Шабловский, О.Н. Импульсный нагрев металла в широком интервале температур /О.Н. Шабловский, Д.Г. Кроль, И.А. Концевой //Машиностроение. - Минск. -2002. - Вып. 18. - С. 516-520.
6. Шабловский, О.Н. Динамический тепловой гистерезис в металлах /О.Н. Шаблов-ский, И.А. Концевой //Материалы, технологии, инструменты. - 2004. - Т. 9, № 1. - С. 25-29.
7. Шабловский, О.Н. Релаксационный теплоперенос в нелинейных средах: моногр. /О.Н. Шабловский. - Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 2003. - 382 с.
Получено 27.07.2004 г.
