CC BY
8
УДК 535.37
НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛАСТИНАХ С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОЛЕЙ ДЕФОРМАЦИИ И КОНЦЕНТРАЦИИ ДЕФЕКТОВ
Ф. Мирзоев, Л. А. Шелепин
Исследованы нелинейные периодические бегущие волны деформации и концентрации точечных дефектов в пластинах, находящихся под воздействием внешних потоков энергии. Получено уравнение изменения амплитуды нелинейных волн, и на его основе рассмотрены особенности затухания солитонных решений.
При рассмотрении эволюции нелинейных упругих волн в кристалле весьма важным является учет структурных неоднородностей (имеющихся в среде или генерирующихся в процессе внешних воздействий), создающих заметную деформацию среды. На дина мику волн заметное влияние также оказывает дисперсия, обусловленная конечностью толщины кристалла. Дисперсия, связанная с конечностью периода кристаллической ре шетки [1], может сказываться на достаточно высоких частотах, где длина свободного пробега фонона меньше длины волны.
В работе исследуется распространение нелинейной продольной упругой волны в кри сталле в виде пластины, в котором под воздействием внешнего потока энергии (лазер ное излучение, потоки частиц) создаются точечные дефекты (вакансии, межузлия) с концентрацией {]= V - для вакансий, ]= г - для межузлий). При прохожде-
нии продольной волны в областях растяжения и сжатия изменяется энергия активация образования дефектов, что приводит к их пространственному перераспределению [2]. Дефекты мигрируют по кристаллу, рекомбинируют на различного рода центрах (р$ плотность центров), роль которых могут играть дислокации, примеси внедрения и т.д. Считается, что длина распространяющихся волн (А) больше толщины пластины (/г).
В рамках перечисленных допущений нелинейное динамическое уравнение, описывающее распространение упругих волн в пластине с квадратичной нелинейностью среды с учетом генерации дефектов, описывается уравнением
д2
и
2д2и /Злг д2и ди ( д4и К0.3 дп
дР ^дх2 р дх2 дх ' \дРдх2 ~тдх4) р дх '
Здесь м(а;,г) - смещение среды, с3 = (Е/р(1 — а2))1/2 и ст = (р/р( 1 — сг2))1/2 - скорости продольной и поперечной волн в кристалле, р - плотность среды, Д/у ~ коэффициент нелинейности и I - параметр дисперсии [3]:
= пЗЕ +ЗД
1 -4<7 + 6ст2
+ Л
1 -
1 — о" / 12(1 - о-)2
.1 - а,
(А, В, С - модули Ландау третьего порядка; Е, а - модуль Юнга и коэффициент Пуассона); К - модуль всестороннего сжатия; - дилатационный параметр, характеризующий изменение объема кристалла при образовании в нем одного точечного дефекта (О,] < 0 для ] = у, > 0 для ] = г). Для большинства твердых тел (металлов, многих полимеров) < 0.
Уравнение (1), является обобщением известного уравнения теории упругости на слу чай наличия в системе концентрационных напряжений, которые аналогичны термонапряжениям [4].
Правая часть уравнения (1) определяется распределением дефектов в среде, зависящим, в свою очередь, от деформаций и напряжений. Поэтому для полного описания распространения упругой волны необходимо уравнение (1) замкнуть уравнением для плотности дефектов. Если принять, что основными процессами, контролирующими поведение во времени дефектов являются процессы генерации, рекомбинации и диффузии, для плотности п} можно записать следующее кинетическое уравнение:
дпл „
=Яо + д'Пх + ~ ( )
где (/о - темп генерации точечных дефектов в отсутствие деформации, второе слагаемое в правой части (2) - деформационная добавка в генерацию (б = их - деформация среды); Б - коэффициент диффузии; /3 - скорость рекомбинации на стоках. Объемная взаимная рекомбинация разноименных дефектов не учитывается.
Система уравнений (1) и (2) замкнута. Она полностью описывает взаимообусловленные изменения плотности дефектов и смещение среды: неоднородное распределение дефектов влияет на смещения среды, которые, в свою очередь, воздействуют на распределение дефектов согласно (2).
В случае, когда рекомбинационно-генерационные процессы существенно преобладают над диффузией дефектов, система уравнений (1) и (2) сводится к уравнению
д_ dt
d2u 2 д2и
/3n d2u du 2 / д4и 2<94гЛ \dt2dx2 ~Стд^)
KQj д2и -Яс--
<9х2
-/5
д2и 2 д2и /5дг д2и — с
ди 2 ( д*4 2^4гЛ \dt2dx2 ~Стд^)
(3)
dt2 sdx2 р дх2
Уравнение (3) является дифференциальным аналогом уравнений, характерных для дис-сипативных сред с деформационной памятью (или с релаксацией). Учитывая, что в нулевом приближении utt ~ c2uxr, из (3) имеем
д2и 2д2и /3n д2и ди 2 2 K^i № &и _п
~ У д^ + ~ dx2dt ~ '
Для длинноволновых возмущений (A/h > 1), следуя работе [5], вводим волновые переменные t\ и б2
l2cs д2
их = 6i + е2, щ = cs(e 1 - е2) + —ф - (5)
В результате уравнение (4) сводится к системе уравнений связанных нормальных воли
^+*>2=^ - +- «>• <б>
где g = qeKttj //эс2, £ = /?/2/cs - коэффициенты соответственно низкочастотных и высо кочастотных потерь, ¡3d = l2(c2s — с2)/2 - коэффициент дисперсии.
Как видно из уравнений (6), функции бх и е2 представляют собой бегущие навстречу друг другу волны деформации, взаимодействующие за счет нелинейности и диссипации Рассмотрим эволюцию одной волны деформации б2 = e(x,i), распространяющейся слева направо вдоль оси х. Запишем уравнение изменения энергии, которое имеет вид
л
d_ dt
(А \ А А
J e2dx ) = -2 9 J e2dx -2 (J e2xdx. (7)
0/0 0
А
Здесь Е = / t2dx - энергия волны, о
Ввиду малости эффектов диссипации, ограничимся рассмотрением нелинейных квазистационарных волн, описываемых решением уравнения (6) без учета взаимодействия полей деформации и дефектов (д = £ = 0). При этом система (6) сводится к уравнению
Кортевега - де Вриза, которое допускает решения в виде бегущих стационарных периодических (кноидальных) волн или уединенных волн (солитонов) [5]. Стационарные периодические волны деформации, зависящие от одной бегущей переменной 2: = х — имеют вид [5]
ф) = ~—2 (1 - ф^Ц) + 2азп2[ктг, т]. (8)
тг \ А (т))
Здесь а - амплитуда, 5 = т2 - коэффициент нелинейных искажений (0<з<1),У- скорость волны, К(т) и Е(т) - соответственно полные эллиптические интегралы первого и второго рода, кт = (—/Здга/З/З^т2)1/2 = коа1^2 - аналог волнового числа для нелинейной периодической волны. Связь между амплитудой а, коэффициентом т и периодом волны определяется соотношением А = ^тК(т)а~х^2.
Выражение (8) описывает два различных класса волн: нелинейные квазигармонические волны при малых амплитудах и квазисолитоны при больших амплитудах.
Подставляя в (7) решение (8), получаем
(З^а1'2 + 4<72 а)^ + 4<7(<71а3/2 + д2а2) + 4 (д3а5'2 = 0, (9)
где
4
91
ко I
ХктГ 2(К-Е) 2. . ( 4. '
зга (?/,ш) + вп (у,т)
С2 К
¿У,
2\ ! „
4А / (Е(т)\ \ 16
92 = -7 1 ~
т4
кы) )'д3 = Т0 ] ЗП Ь,гп)сп {у,т)<1у.
При больших амплитудах (для солитонных волн) уравнение изменения амплитуды принимает вид
3 ^ О 2 /пп\
2 л = ~2да + 71Г • (10)
Для значений деформаций (их < Ю-4) высокочастотные потери малы, что позволяет пренебречь вторым слагаемым в правой части (10). Тогда для амплитуды соли-тона получаем экспоненциальное затухание а = аоехр(—7^) с константой затухания 7 = 4^/3. В общем случае из (10) имеем более сложный закон изменения амплитуды а(£) = а(0) ез3' — 0) (е?9' — 1)] ■ Анализируя эти формулы, заметим, что низко-
частотные (д) и высокочастотные (£) потери приводят к различным законам изменения амплитуды солитонных волн.
В другом предельном случае а —> 0, из уравнения (10) также имеем экспоненциальное затухание для амплитуды волны, но с другим декрементом затухания 7 = д.
Таким образом, получено уравнение, описывающее распространение нелинейных волн в упругой среде с учетом генерации дефектов под воздействием внешних потоков энергии. Оно представляет собой обобщение известного уравнения Кортевега де Вриза - Бюргерса [6]. Приведены уравнения для изменения амплитуды нелинейных волн и декременты затухания солитонных волн.
ЛИТЕРАТУРА
[1] К о с е в и ч А. М. Основы механики кристаллической решетки. М., Наука, 1972.
[2] Мирзоев Ф., Панченко В. Я., Шелеп ин Л. А. УФН, 166, N 1, 3 (1996).
[3] Л у р ь е А. И. Нелинейная теория упругости. М., Наука, 1980.
[4] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория упругости. М., Наука, 1965, 204 с,
[5] П о т а п о в А. И. Нелинейные волны деформаций в стержнях и пластинах. Горький, 1985, 107с.
[6] Д а в ы д о в А. С. Солитоны в молекулярных системах. Киев, Наукова Думка, 1988, 303 с.
Поступила в редакцию 16 ноября 1999 г
