CC BY
51
Радиофизика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 1, с. 72-78
УДК 537.86+621.371.399+519.21
НЕЛИНЕЙНОЕ ИСКАЖЕНИЕ ПРОСТЫХ СИГНАЛОВ В ЗАШУМЛЁННОЙ НЕЙРОПОДОБНОЙ СИСТЕМЕ
© 2011 г. Ю.В. Ушаков
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 05.03.2010
Исследуется зашумленная нейроподобная система, входной сигнал которой является суммой двух синусоидальных колебаний с разными частотами. Показано, что степень нелинейного искажения сигнала может зависеть лишь от отношения частот входных колебаний при постоянных параметрах шума и системы. Даётся теоретическое объяснение эффекта и его интерпретация в контексте восприятия музыки.
Ключевые слова: нейрон, информация, сигнал, шум, статистика, радиофизика.
Введение
Сумма двух гармонических колебаний с соизмеримыми частотами (О^О2 = т:п - несократимое отношение натуральных чисел) является, как известно, периодическим сигналом. Однако если зафиксировать одну из частот, например
О2, а другую получать из соответствующей пропорции: О] = (т:п)^О2, то при больших т и п период тО2 суммарного колебания может оказаться больше времени наблюдения, отчего наблюдатель может распознать сигнал как нерегулярный. В то же время в спектре проявятся всего две частотные компоненты. Любое линейное преобразование такого сигнала, в том числе и зашумлённой (в разумных пределах) системой, картину, в принципе, не изменит. Что же касается нелинейного преобразования, то здесь спектр выходного сигнала может оказаться «размазанным» до такой степени, что будут утеряны всякие признаки исходного воздействия, и эта проблема усугубляется влиянием шума. Вполне понятно, что мало отличающиеся частоты входных колебаний (О] « О2), действительно, могут смешиваться в спектре выходного сигнала нелинейной зашумлённой системы. Однако далее речь пойдёт о менее тривиальном эффекте. Например, из двух схожих соотношений, О] = (3:2)О2 и О] = (45:32)О2, во втором случае выходной сигнал изучаемой системы оказывается гораздо более нерегулярным, искажённым, чем в первом, хотя частоты достаточно разнесены в обоих случаях. Таким образом, весьма полезно знать механизмы нелинейного искажения и, в частности, типы сигналов, которые больше подвержены искажениям при
неизменных параметрах системы и существующих в ней источников шума.
Случай двух гармонических сигналов на входе нелинейной системы является типичным при восприятии музыкальных созвучий нервной системой человека или животных [1]. При этом известно, что частоты в отношении малых т и п вызывают ощущение гармонии (консонанс), а при больших значениях чисел отношения созвучие воспринимается как диссонанс (неприятное) [2]. В данной работе предполагается, что восприятие гармонии связано с регулярными сигналами в нервной системе и, наоборот, созвучие неприятно, когда входной сигнал искажается, зашумляется, т.е. становится нерегулярным после обработки нервными клетками (нейронами). Целью работы является анализ характеристик искажения сигнала зашумлённой нелинейной пороговой системой, моделирующей входную нейронную часть слухового анализатора млекопитающих [1]. Следует отметить, что аналогичная модель исследовалась в работах [3-5] на предмет выявления конструктивной роли шума [6]. Здесь же она рассматривается в другом аспекте, а именно изучены механизмы функционирования нейронной модели, которые приводят к тому, что, действительно, колебания с частотами в отношении малых чисел дают более регулярный выходной сигнал системы, а диссонансные отношения частот вызывают её нерегулярный отклик, о чём можно судить по его статистике и информационной энтропии.
Структура статьи такова. Сначала описывается применяемая математическая модель нейронной системы. Затем приводятся резуль-
таты численного эксперимента и даётся их теоретическое объяснение. В заключительных разделах обсуждается вопрос информационного содержания выходного сигнала системы.
Модель
Изучаемая нелинейная система моделирует слуховой анализатор млекопитающих и основана на данных физиологических исследований. Базилярная мембрана внутреннего уха с хорошей точностью выполняет Фурье-пре-образование звукового сигнала [7], в результате чего каждый сенсорный нейрон (iсенсор) слухового анализатора оказывается под воздействием соответствующей спектральной компоненты. Сенсоры генерируют короткие электрические импульсы (спайки), которые отсылаются промежуточным нейронам (интернейронам) по возбудимым волокнам. Как показывают исследования, шум играет существенную роль в обработке сигналов нейронами [8], поэтому он тоже введён в модель. Заметим, что далее термин нейрон применяется, вообще говоря, к модели нейрона, т.е. нейроподобному элементу.
В качестве базовой единицы исследуемой модели выбран нейрон типа «пороговый интегратор с утечкой», который при всей простоте достаточно точно воспроизводит основные принципы функционирования живой нервной клетки [9]. Далее для простоты все используемые динамические переменные и параметры полагаются безразмерными, несмотря на их прямую связь с наблюдаемыми в экспериментах физическими величинами. Поведение изучаемой системы можно описать следующей системой уравнений:
1>! = -ц^ + Ai cos+ 7D^1 (t),
V2 =-Ц2У2 + A2COS Q2t + 4D%2(t), (1)
v = -цу + k1s1(t) + k2 s2(t) + VD^(t),
где Vj(t) - мембранный потенциал i-го сенсора; цг- - параметр релаксации; At и Ц- - амплитуды и частоты входных гармонических сигналов; Dt -интенсивность шума сенсора; 4(0 - белый гауссов шум i-го сенсора с нулевым средним значением. В третьем уравнении системы (1) для интернейрона используются аналогичные символы, только без индексов. В том же уравнении вводятся коэффициенты связи сенсоров с интернейроном k1, k2. Спайковая последовательность каждого сенсора s(t) представляется сум-
N (t)
мои
5-функций Дирака: st (t) = t 5(t - ty ), где
j=0
Ц — моменты достижения порога «зажигания» мембранным потенциалом сенсора (і = 1, 2), а N0 - количество зажиганий, отсчитываемое от момента Ґ = 0. При достижении порога мембранный потенциал нейрона сбрасывается в
0 0 значение у-12 для сенсоров и V для интернейрона, и подразумевается, что нейрон сгенерировал спайк. Все источники шума в модели (1) полагаются статистически независимыми. Более подробное описание данной модели и её вероятностный анализ приведены в работе [10].
Численный эксперимент
Представленные ниже численные и аналитические результаты получены при следующих постоянных значениях некоторых параметров: Ці = Ц2 = 1, Ц = 0.3665, О1 = О2 = О = 1.610-3, £1 = к2 = 0.97, V0 = V? = 0, V0 = -1, 02 = 0.6, А2 = 1.165. Начальные условия при компьютерном моделировании и теоретическом анализе системы (1) полагаются следующими:
V2 (0) = V0 2 , ^О) = Vй. Синусоидальные сигналы, действующие на сенсоры, являются подпо-роговыми, то есть в отсутствие шума (Оі = 0) они не способны зажечь нейроны. Любой изолированный от других во времени спайк сенсора также считается подпороговым для интернейрона, т.е. £1>2 < 1.
Как указано выше, частота одного из воздействующих на сенсоры синусоидальных сигналов фиксирована: 02 = 0.6. Другая, П1, изменяется согласно таблице (где 01:02 = т:п и т > п), образуя ряд отношений, соответствующих ступеням расширенного натурального музыкального строя в пределах октавы, т.е. 01:02 < 2. Примерные реализации мембранных потенциалов сенсоров и интернейрона приведены на рис. 1. Видно, что добавление шума к внешнему под-пороговому синусоидальному воздействию обеспечивает генерацию спайков сенсорами.
Для последовательностей одинаковых коротких спайков весьма удобно изучать статистику межспайковых интервалов (МСИ), которая является, в некотором смысле, аналогом спектра такого импульсного сигнала [11]. В данной работе рассуждение также ведётся на языке статистики МСИ, поскольку, во-первых, механизмы её формирования изучены на текущий момент лучше, чем спектральные характеристики спайковой последовательности [10], а
Музыкальный интервал и отношение частот в расширенном натуральном строе Частота П1 Амплитуда А і
Малая секунда, 16:15 0.64 1.1755
Большая секунда, 9:8 0.675 1.2
Малая терция, 6:5 0.72 1.2252
Большая терция, 5:4 0.75 1.24005
Кварта, 4:3 0.8 1.271
Тритон, 45:32 0.84375 1.2984
Квинта, 3:2 0.9 1.325
Малая секста, 8:5 0.96 1.36
Большая секста, 5:3 1 1.38
Малая септима, 16:9 1.0667 1.436
Большая септима, 15:8 1.125 1.4674
Октава, 2:1 1.2 1.52
во-вторых, статистика МСИ представляет больший интерес в исследованиях подобного рода, если предполагается временное кодирование информации нервными клетками (см. [8]). На рис. 2 и 3 изображены некоторые полученные в численном эксперименте вероятностные распределения межспайковых интервалов (РМСИ) на выходе сенсоров (р^С?)) и интернейрона (р(7)) при различных отношениях частот входных гармонических сигналов и прочих равных параметрах. В каждом случае РМСИ сенсоров состоят из узких убывающих по высоте пиков, соответствующих временным интервалам, кратным периоду внешнего воздействия При выбранных параметрах системы (1), как видно из рис. 2, 3, чаще всего сенсоры зажигаются на каждом периоде входных колебаний. Иногда сенсор «пропускает» первый пе-
риод, ещё реже пропускает два и т.д. Таким образом, форму РМСИ сенсора нетрудно представить уже по рис. 1.
Вероятностное РМСИ интернейрона имеет существенно более сложную структуру. В случае отношений частот, выраженных малыми натуральными числами, оно состоит из отдельных пиков (рис. 2). Это означает, что в выходной спайковой последовательности МСИ имеют незначительный разброс около хорошо различимых средних значений. Соответствующие созвучия в музыке считаются гармоничными, т.е. приятными на слух. И наоборот, в случае отношений частот, выраженных большими натуральными числами, РМСИ интернейрона имеет размытый вид (рис. 3), что означает континуальный набор интервалов в выходном сигнале. Характерно, что два звучащих тона с та-
Рис. 2. РМСИ сенсоров (р1=2(Т)) и интернейрона (р(Т)) в случае гармоничных отношений частот входных синусоид. Под каждым графиком написано отношение частот П^Пг и название соответствующего интервала в музыке. Частоты и амплитуды синусоид см. в таблице
Рис. 3. РМСИ сенсоров (р1>г(Т)) и интернейрона (р(Т)) в случае диссонансных отношений частот входных синусоид. Под каждым графиком написано отношение частот П^Пг и название соответствующего интервала в музыке. Частоты и амплитуды синусоид см. в таблице
ким отношением частот производят музыкальный диссонанс.
Численный анализ показывает, во-первых, что размытие РМСИ может происходить при
неизменной интенсивности шума в системе и зависеть лишь от отношения частот входных синусоид. Во-вторых, понятно, что при дальнейшей обработке одна и та же представленная
спайковая последовательность, например соответствующая отношению частот 01 и 0.2 9:8, может быть воспринята как квазирегулярная или как шум, в зависимости от разрешающей способности анализатора. Поэтому чёткой границы между консонансом и диссонансом не существует, что, кстати, соответствует музыкальной теории. В-третьих, обнаруживается, что гистограмма МСИ, изображенная на рис. 2,
3, в случае диссонанса сходится значительно медленнее к предельному РМСИ, которое получилось бы при усреднении по бесконечной во времени реализации сигнала или бесконечно большому ансамблю конечных реализаций. Иначе говоря, для статистической оценки дис-сонансного выходного сигнала требуются значительные времена наблюдения. В приложении к слуховому анализатору, заметим, что консонанс воспринимается за короткое время, тогда как для «понимания» диссонанса необходимо некоторое время в него вслушиваться (в течение нескольких секунд, если говорить, например, о частотах нот первой октавы).
Теоретическое объяснение результатов численного эксперимента
Из рис. 1 видно, что если интернейрон зажигается, то происходит это практически одновременно с одним из сенсоров. В силу сброса мембранных потенциалов при генерации спайка время для интернейрона и сенсора, который его зажёг, начинает отсчитываться от момента зажигания. В этом новом времени гармонические колебания среднего значения мембранного по-
тенциала другого сенсора оказываются сдвинутыми по фазе на некоторую случайную величину, если только зажигание интернейрона не произошло на общем во времени максимуме колебаний <у1>2(?)). Таким образом в работе [10] вводится определение состояния интернейрона, связанное со сдвигом колебаний и, следовательно, спайков одного из сенсоров во времени. В каждом из состояний можно посчитать своё вероятностное распределение времени первого достижения порога генерации (РВПД) интернейроном. При рациональном отношении частот 01:02 = т:п число состояний М конечно и находится из выражения: М = т + п — 1, поэтому РМСИ интернейрона получается при усреднении РВПД по всем возможным состояниям. Такой подход даёт возможность получить приближенные аналитические соотношения, достаточно точно аппроксимирующие даже сложные РМСИ интернейрона.
Можно показать также, что в каждом из возможных состояний существуют пики РВПД интернейрона, расположенные на минимально возможном временном интервале друг от друга. Этот промежуток времени определяется из параметров входных синусоидальных воздействий:
Ттт = 2л/(02т) = 2л/(01п). (2)
Его можно получить, изобразив две синусоиды, наложенные друг на друга. При рациональном отношении частот максимумы колебаний периодически совпадают, а минимально возможное расхождение максимумов во времени как раз и равно Ттт (см. рис. 4). Так как РВПД состояний суммируются, наличие в них
Рис. 4. Примеры наложения синусоид. Частота сигнала, изображённого пунктирной линией, одинакова для обоих графиков. Частота второго сигнала: а) в 4/3 раза больше, Ь) в 45/32 раза больше
таких близких пиков определяет период следования пиков результирующего РМСИ р(Т) интернейрона (рис. 2, 3). Согласно выражению (2), с увеличением т и п пики РМСИ выходной спайковой последовательности сгущаются и, в конце концов, сливаются, поскольку имеют конечную ширину. Таким образом, при заданном уровне шума, который определяет ширину пиков РМСИ, и заданной частоте О2 можно выяснить, при каких значениях тип пики р(Т) начинают сливаться, приводя РМСИ к виду, характерному для диссонанса. Если обозначить среднюю ширину пиков на половине высоты как Г«, то в качестве критерия диссонанса можно выбрать, например, простое неравенство: Гтт < Т„, т.е.
2%/(0.2т) < Г«. (3)
Зависимость левой части неравенства (3) только от О2 и т не должна вводить в заблуждение, поскольку уже условлено, что частоты находятся в рациональном соотношении (О^О2 = т:п) и максимальный музыкальный интервал между ними - это октава (О2 < О < 2-П2), откуда следует, что т/2 < п < т. Таким образом, значение т/2 - это нижняя граница возможных значений п, а О2, т и п однозначно определяют О].
Кстати, нейрофизиологические исследования показывают, что сенсорные нейроны имеют несколько механизмов настройки на конкретную частоту звукового сигнала [12]. Для тренированного (музыкального) слуха можно предположить более точную настройку, т.е. сниженные интенсивности шумов Б12 и Б, что означает более узкие пики в РМСИ р1>2(Г) и р(Т), а значит, и смещение «диссонансной границы» в сторону больших чисел т и п. Поэтому музыканты гораздо тоньше классифицируют созвучия, в том числе и диссонансные, которые среднестатистическому слушателю кажутся лишь неинформативным шумом.
Информационное содержание выходного сигнала
Рассмотрим результаты данной работы также с точки зрения теории информации [13]. На входе системы имеются два детерминированных синусоидальных сигнала. Было показано, что в зависимости от отношения их частот на выходе системы обнаруживается более регулярный или менее регулярный импульсный процесс. Вполне понятно, что менее регулярная спайковая последовательность несет меньше информации о входном воздействии. Проще говоря, наличие спайков на выходе свидетель-
ствует о некотором сигнале на входе системы, но понять из этих спайков характеристики входного созвучия сложно, когда оно является диссонансом. Имея вероятностные РМСИ интернейрона, весьма удобно оценить информационную энтропию выходной спайковой последовательности с помощью численного алгоритма по формуле: Н = -|р(Т)log2 р(Т. Вы-
0
ясняется, что значение Н увеличивается вместе с ростом чисел отношения частот входных синусоид т и п, подтверждая связь между размытием формы РМСИ и снижением регулярности спайковой последовательности.
Если говорить о дальнейшем распространении сигнала в системе с увеличенным числом каскадов нелинейных пороговых элементов, то нетрудно понять, что для случая консонанса на входе спайковая последовательность способна распространяться вглубь, сохраняя информацию о входном воздействии. В то же время дис-сонансная пара частот уже во входных цепях подобной системы превращается в слабо коррелированный с входным воздействием шум.
Заключение
В данной работе на примере простой нейронной модели показано, что, в силу особенностей функционирования нелинейной пороговой системы с шумом, гармонические колебания с соизмеримыми частотами преобразуются в более регулярные импульсные последовательности, когда отношение частот выражается малыми натуральными числами. Если же частоты относятся как большие натуральные числа, то выходной сигнал оказывается менее регулярным, что легко увидеть по статистике межспайковых интервалов и информационной энтропии. Обе ситуации возможны при одном и том же уровне шума. В то же время интенсивность шума определяет, насколько малыми должны быть числа отношения частот входных колебаний, чтобы считать выходной сигнал ква-зирегулярным. Так, при слабом шуме даже сильное сближение пиков РМСИ (в случае диссонанса) может не вызвать их смешивания, что позволяет анализатору с хорошей разрешающей способностью выделять полный информативный набор межспайковых интервалов. При сильном шуме в системе может оказаться, что даже не слишком близкие, в смысле положения максимумов, пики будут смешиваться, скрывая структуру исходного воздействия.
Полученные результаты позволяют в определённом смысле объяснить, почему одни музыкальные созвучия вызывают ощущение гармонии у человека (и животных), а другие воспринимаются как диссонанс. То есть подтверждается предположение о том, что гармония связана с регулярностью нейронных сигналов, а диссонанс - с беспорядочной генерацией импульсов.
Остаётся открытым вопрос о величине допустимой расстройки частот гармоничной пары колебаний, сохраняющей консонанс. Иначе говоря, будет ли диссонировать сигнал с отношением частот 201:301 или 2001:3001 и т.д., если отношение 2:3 соответствует консонансу? Очевидно, ответ зависит от интенсивностей шума, параметров системы и требует дальнейшего исследования.
Выражаю благодарность зав. каф. математики радиофизического факультета Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского А.А. Дубкову за содействие в работе и подготовке статьи.
Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг., государственный контракт № П457 от 31.07.2009 г.
Список литературы
1. Fishman Y.I., Volkov I.O., Noh M.D., et al. Consonance and dissonance of musical chords: neural correlates in auditory cortex of monkeys and humans // J. Neurophysiol. 2001. V. 86. P. 2761-2788.
2. Plomp R., Levelt W.J.M. Tonal consonance and critical bandwidth // Journal of the Acoustical Society of America. 1965. V. 38. P. 548-560.
3. Chialvo D.R. How we hear what is not there: A neural mechanism for the missing fundamental illusion // Chaos. 2003. V. 13. No. 4. P. 1226-1230.
4. Balenzuela P. Neural mechanism for binaural pitch perception via ghost stochastic resonance // Chaos. 2005. V. 15. P. 023903-1-023903-8.
5. Lopera A., Buldu J.M., Torrent M.C. et al. Ghost stochastic resonance with distributed inputs in pulsecoupled electronic neurons // Phys. Rev. E. 2006. V. 73. P. 021101-1-021101-6.
6. Анищенко В.С., Ануфриева М.В., Вадивасова Т.Е. Стохастический резонанс в бистабильной системе под воздействием хаотического сигнала // Письма в ЖЭТФ. 2006. Т. 32. № 20. С. 12-17.
7. Скучик Е. Основы акустики. Т. II / Под ред. Ю.М. Сухаревского. М.: Ин. лит., 1959. 566 с.
8. Gerstner W., Kistler W.M. Spiking neuron models. Single neurons, populations, plasticity. Cambridge University Press, 2002. 400 p.
9. Burkitt A.N. A review of the integrate-and-fire neuron model: II. Inhomogeneous synaptic input and network properties // Biol. Cybern. 2006. V. 95. P. 97112.
10. Ушаков Ю.В. Статистика выходной спайко-вой последовательности нейронной модели слухового анализатора // Вестник ННГУ. 2010. № 4. Часть 1. С. 67-72.
11. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1966. 681 с.
12. Николлс Дж.Г., Мартин А.Р., Валлас Б.Дж., Фукс П.А. От нейрона к мозгу. М.: Едиториал УРСС, 2003. 672 с.
13. Стратонович Р.Л. Теория информации. М.: Сов. радио, 1975. 424 с.
NONLINEAR DISTORTION OF SIMPLE SIGNALS IN A NEURAL-LIKE NOISY SYSTEM
Yu.V. Ushakov
The input signal of the neural-like noisy system under investigation is the sum of two sine waves with different frequencies. The degree of nonlinear signal distortion has been shown to depend only on the ratio of input oscillation frequencies, noise and system parameters being constant. The theoretical explanation of the phenomenon and its interpretation in the context of music perception are presented.
Keywords: neuron, information, signal, noise, statistics, radiophysics.
