Нелинейная задача о неустановившемся обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимся вихревым следом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том III

1972

НатдяЕэ-зетгщгеесная цлги

Ш а

ш№ 3

ОЯр'

/6Ш1*

УДК 533.6.013.2.011.32:629.7.025.73

НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ОБТЕКАНИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ СО СВОБОДНО ДЕФОРМИРУЮЩИМСЯ ВИХРЕВЫМ СЛЕДОМ

В. А. Головкин

Рассмотрена задача о неустановившемся движении произвольного кусочно-гладкого контура в плоском потоке идеальной несжимаемой жидкости. Дано преобразование интеграла Коши—Лагранжа к виду, выражающему давление жидкости на профиль непосредственно через производные плотности потенциала двойного слоя, распределенного по контуру этого профиля. Найдена форма представления потенциала возмущенных скоростей, с помощью которой задача сводится к известному интегральному уравнению теории потенциала. Когда конфигурация следа определена, решение интегрального уравнения выражается в квадратурах через резольвенту этого уравнения.

Развит также численный метод расчета обтекания профиля с определением деформации вихревого следа. Результаты расчетов для профиля, совершающего гармонические колебания, сопоставлены с результатами эксперимента и расчета, основанного на гипотезе стационарности.

В работе рассматриваются вопросы, получившие также развитие в исследованиях [1 — 12]. В [1] указывается на возможность рассмотрения течения идеальной жидкости при наличии в ней тангенциальных разрывов скоростей (вихревых слоев) и приводятся примеры таких течений. В [3, 4] рассматриваются течения с такими разрывами в связи с задачей об отрывном обтекании тел, приводятся общие урарнения, описывающие движение тангенциальных разрывов, и дают. I точные решения частных задач. В [5—7] даются условия перемещения точки схода свободного вихревого слоя с тела и с помощью численного метода рассматриваются деформации этого слоя при отрывном обтекании тела идеальной жидкостью. В [8—12] исследуются задачи о неустановившемся движении профилей и решеток профилей при безотрывном обтекании, причем в [8—10] задача рассматривается в линеаризованной постановке, без учета деформации свободного вихревого слоя, а в [11, 12] с учетом этой деформации. В отличие от этих исследований найденное в настоящей работе решение задачи о безотрывном неустановившемся обтекании профиля со свободно деформирующимся

вихревым следом позволяет учесть произвольное потенциальное невозмущенное движение жидкости. Рассмотрен вопрос о направлении касательной к следу в задней кромке профиля. Примененное в работе представление потенциала возмущенных скоростей в виде двойного слоя, распространенного вдоль контура профиля и свободного следа, и вихрей, заполняющих область ■ внутри контура профиля, значительно упрощает вычисление скорости и давления жидкости на поверхности обтекаемого контура.

1. Исходные соотношения. Пусть начало декартовой системы координат ху, связанной с произвольно движущимся кусочногладким профилем S(x, у), находится на передней кромке профиля, а ось х направлена к его задней кромке (фиг. 1). Произвольно движущийся профиль 5 внесен в безграничную идеальную жидкость, которая, в свою очередь, совершает неустановившееся невозмущенное рассматриваемым профилем движение, поле абсолютных скоростей V(x,y,t) которого определяется потенциалом Ф (x,y,t). Тогда вектор абсолютной скорости частиц жидкости

U(x, у, *)=■ V(x,y, *) + »(*, у, t),

где и (х, у, t) — вектор возмущенной скорости, обращающейся в нуль в бесконечно удаленной точке и имеющей потенциал <р (х, у, t).

Контур S разбивает безграничное пространство на две области: внешнюю по отношению к контуру 5 и следу за ним 2 область £>_ и внутреннюю область D+ (фиг. 1). Далее величины, относящиеся к области D-, снабжаются знаком „минус11, а величины, относящиеся к области D+, —знаком „плюс".

Если Д — оператор Лапласа, р — давление жидкости, z>0 — переносная скорость и V=\V\, причем divV = 0, то рассматриваемая задача об определении потенциала является следующей задачей для уравнения Лапласа:

Д9-=-0; (11)

9 л— Vn на S; р+— = О, = ?'п_ на £.

Здесь и далее нижний буквенный индекс означает либо направление, либо переменную, а штрих — частную производную.

Потенциал <р представляется в виде суммы потенциала двойного слоя ср(,), распространенного вдоль контура 5 и следа £, и потенциала <p(S) от вихрей 2, заполняющих область D+:

?- = ?- +(1.2)

где

(X, у, о = j v (s, t) f In ds] (1.3)

S+S \ J ti

9™(х,У, = W P) did-ц. (1.4)

Здесь r ~Y(x — £)2 + {у — v])2 — расстояние между рассматриваемой точкой М (х, у) и точкой интегрирования Р (%, q); v(s,t) — плотность потенциала двойного слоя в точке Р(£, ■*]) на контуре 5 и следе 2; s и п — длина дуги и нормаль в этой точке, положительное направление которой показано на фиг. 1; 0 (М, Р) — угол

между осью Ох и направлением РМ. След 2 примыкает к контуру 5, заданному параметрически рс = л:(5), у=у(я)] в точке А (фиг. 1), в которой переменная 5 принимает нулевое значение, Л = Р[£(0), *)(0)] = Р(0). Причем в>0, если Р€«У, и «<0, если РеЕ. Если

Фиг. 1

плотность V непрерывна на следе £ и I- длина контура 5, то в соответствии с известными равенствами

= ^1п±у^-е;(Ж,Р), (1.5)

после интегрирования (1.3) по частям .

?(*> =-[»(£- 0,0 — »(0 + 0,/) + V (0 - 0,0] 6 (М, А) -

- - I у;(*,оцм, Р)йз. ' (1.6)

5+2

Здесь и далее принято следующее обозначение: если я — произвольное значение аргумента, то ч(я — 0,0 = Иш V (« — е, ().

£—>0

Выражение (1.6) справедливо как в области £>_, так и, с точностью до несущественной для нас функции от времени, в области /)+. Вследствие того, что первый член равенства (1.6) дает Игл 0' (М, А) — оо, где т — произвольное направление, то из условия

М-*А

конечности скорости жидкости в точке А следует тождество

V(/. — 0, *) — V(0 + 0,0-ьV(0-0,0 5=0. (1.7)

Последний член в выражении (1.6) представляет собой потенциал вихревого слоя интенсивности ? = —2™*'. Как известно, в этом случае выражение для нормальной к линии 2 скорости в точке М->А имеет логарифмическую особенность, поэтому скорость по направлению т, обусловленная только двойным слоем, распределенным вдоль 2, вблизи точки А может быть представлена в виде

0(/И, Р) йз — — соэ (ял, т) V' (0 — 0,01п г + К, (1.8)

где К — ограниченная функция, пъ — нормаль к £ в точке А. Если точку А принять за начальную точку интегрирования и предположить, что на 5 плотность V ограничена и терпит разрыв в этой точке, то по аналогии с (1.8) может быть представлена и производная от интеграла из (1.6) по контуру 5. Отсюда следует, что для

существования ограниченной в точке М-*А скорости необходимо, чтобы

cos (riL, т) V (L — О, t) — cos (n0, m) V (0 + 0, t) +

4- cos m) v' (0 — 0,0 = 0, (1.9)

где n0 и tii — нормали к 5 при s -* 0 и s-*L.

Если p — угол между нормалями пь и п0, то, как следует

из (1.9) и непрерывности скоростей при А4—*А в области D_, в точке

А требуется выполнение следующих условий:

а) ir<[3<<2it, А — острая кромка; из условия Чаплыгина — Жуковского об ограниченности скорости жидкости у острой кромки, при v; (0 - 0,0 ф 0 требуется, чтобы либо

cos («s, т) = cos (tiQ, т)\ \ (^ — 0,0 = 0. )

либо | (1.9а)

. cos (»s, т) = — cos («£, т)\ v’ (0 + 0, 0 = 0;

б) р = 2те, А — скругленная кромка; точка схода потока должна перемещаться со временем вдоль контура S, однако для аэродинамического профиля, когда радиус кривизны контура S в области задней кромки мал, приближенно можно полагать, что относительная скорость этого перемещения близка к нулю и точка схода потока находится в точке профиля с минимальным радиусом кривизны. Поскольку, как видно из дальнейшего (см. разд. 2), относительная скорость движения жидкости на 5 равна — 2irv', то условие (1.9) при этом также сводится к равенствам (1.9а)*.

Применение интеграла Коши—'Лагранжа с обеих сторон точки С следа (фиг. 1), движущейся вдоль £ со скоростью

/Уе 1

- аЬ -±-(Us+ + Us-), (1.10);

4 сН

где и$:— тангенциальная компонента абсолютной скорости, приводит первое на Е граничное условие (1.1) к известному виду:

й?г («, 0 _ дТ + Оэ = 0

йИ Ы дв

где циркуляция скорости по контуру /Сс(фиг. 1) Г (х, 0 = <р+ —

Если ><2> = —;2Т, где Г —площадь области /)+, то потенциал

двойного слоя с плотностью и <р(2) [см. (1.4)] дает бесциркуляционное течение и тогда в силу известного свойства потенциала двойного слоя Г = 2™* = 2тс(V — v<s)) и, следовательно, из (1.11) получаем

^* _1_ ^ __ 0 (112) Ш дЬ сН

Использование полученных соотношений следующим образом приводит к раскрытию неопределенности условий (1.9а). Согласно

* Условие касания линий £ и $ было изложено А. А. Никольским в курсе лекций „Вихревые и отрывные течения жидкости и газа", прочитанных в МФТИ в 1970—1971 гг. ,

свойствам потенциала двойного слоя и условиям (1.9а) тангенциаль^ ная составляющая относительной скорости на самом следе £

vs (0—0, 0 ~ zh ttv' (0—0, t)= + Jib-0’^ , (1.13)

где тот или иной знак соответствует первым или вторым условиям (1.9а). Поскольку индивидуальная производная (1.11) инвариантна относительно системы координат, то можно считать, что производные в ней берутся в системе координат, связанной с профилем,

ds

т. е. = — т, ~ = vs, тогда в силу (1.11) и (1.13) в точке

А на Е имеет место соотношение f = Это соотношение

возможно только в следующем виде:

f = 2r;Signr;, (1.14)

тогда (1.13) преобразуется к виду*

vs (0—0, t) = sign г;, (1.15)

Так как в соответствии с теоремой о сохранении циркуляции sign •у (0—0, £)== — signT^, то из (1.15) и (1.14) следует, что

^(0—0,0 = —1 =-у ^<0. (1-16)

т. е. свободные вихри, сходящие с контура 5, вблизи точки А могут двигаться вдоль £ только по отрицательному направлению $ и их интенсивность

Т (0 — 0, ^) == — з1^п 1/*21 Г'!.

В силу соотношения (1.16) условия (1.9а) запишутся в виде

(1.96)

дГ

cos (tin, tri) =. cos (п0, т); V(L —0,0^0 при -^->0;

дТ

cos («я, /га) = — cos(я£, /га); v'(0 + 0,0 = 0 при-^j- <0.

2. Уравнения, определяющие потенциал возмущенных скоростей. Введем следующие функции тока: а) функцию тока переносного движения

х = “і(0у— «*(0* — -т^-МОС*2 4-У), (2-1)

где их (t), и2 (0 — компоненты поступательной скорости; и3 (t) — угловая скорость вращения профиля; б) функцию тока невозмущенного движения ЧГ; в) функцию тока возмущенного движения где фМ — функция тока, соответствующая потенциалу ср(,), а

*<2) = -^Г JJ1п Т dl*oS) (2-2)

Формула (1.15) без множителя sign использовалась С. Н. ГТостоловским [6].

является функцией тока, соответствующей потенциалу <р(й). Потенциал и функция тока, как известно, связаны соотношениями

*?= ~ (2-3>

Вследствие этого и в силу (1.2) граничное условие (1.1) на .У запишется как (<р(,))^ — (ф(£г))* = г,ол — Кг- Поскольку все члены

этого равенства непрерывны при переходе через 5, то в силу (2.1)

и (2.3) оно сводится к виду

(^));+ + (ф(2));+ = у;_1г. (2.4)

После интегрирования (2.4) по «

фМ + ф(о> __ х+ + \р+ «=/(*) на 5, (2.5)

где /(/) — произвольная функция времени.

В области й+ функция тока относительного движения

¥0_ = ф(,) + ф(0) _ х+ + цг+. (2.6)

Если А — оператор Лапласа, то

д,^) = Д1-+=0, Дх+ = -2и,(0, Дф(+8> = -2(0.

Если положить

9(^ = 2 «,(0. (2.7)

то ДЧГ+ = 0 в £>+, а в силу (2.5) ЧР+ = /(£) на 5, т. е. не зависит от

координат. Как известно, полученная задача Дирихле имеет своим решением ¥+=/(£) в £>+. Так как 4?+ не зависит от координат, то в /)+ относительная скорость жидкости г>+ = 0, откуда vs_ —

— VI-— Vs+ = <р*М' — <р£>' = — 2тг/.

Равенство (2.7) приводит к переменности вихрей, заполняющих область й+, что в соответствии с уравнением Фридмана [13] требует приложения в области /?+ непотенциальных массовых сил, уравновешивающих инерционные силы, вызванные вращением профиля. Выполнение этих требований в области Э+ допустимо, поскольку интересующее нас течение в области Д_ при этом будет удовлетворять всем необходимым законам.

Докажем обратное утверждение. Пусть на внутренней стороне контура 5 тангенциальная составляющая относительной скорости.

=(?м);++(ф(£з));+ - ?;+=о, (2.8>

где

*?0

? (в0, *) = щх + щу + м3 у (ху'в - ух'а) Оа — Ф, (2.9)

. о

где — значение дуги, определяющее положение точки Ро^МеБ.

Если учесть, ЧТО ^ = —Т0 И3 (2-8) ДЛЯ ЧР следует

задача Неймана: ДЧГ° =0; (Ф>0)^+ —0 на 5. Отсюда ¥о. =/(0 в /)+, тогда из (2.6) следует (2.5) и из непрерывности всех членов этого> соотношения при переходе через 5 следует, ЧТО у'п_ = Ъоп— УПу что и требовалось доказать.

Итак, граничное условие (1.1) на «5 может быть заменено условием (2.8), которое после выполнения интегрирования по « с точностью до несущественной произвольной функции времени принимает вид

^,=?-/°('ге+*. (2.Ю)

о

В силу (1.3) это уравнение приводится к следующему уравнению, определяющему плотность потенциала двойного слоя V:

«V(«о, 0 + |V(5, *)е;(Я0, Р)й8 = Р(зй, '), (2.11)

0

где

р (*0, *) = я («о, *) - и8 (о | (ф(,д>); * — ге (р0> л)

-О

- |у,(Я>Ов;(Ро,Р)Л. (2.12)

Из (2.2) следует, что

(« - ~ С| ^. = 4-/^+Х'Л) (2-13)

о+ о

здесь индекс „1“ относится к текущей точке интегрирования.

Если ДЕ — часть следа 2 длиной е1з, примыкающая к точке А,

то последний интеграл в (2.12) может быть представлен в виде

суммы

V* (0 — 0, 0 {в (/>0, Л) — в [/>0, Р(-<й)]} + | ^{8ЪЩ{Р0, Р)й51. (2.14)

Е—ДЕ

Здесь в качестве среднего значения V* на ДЕ использовано значение V* (в, Ц при в-^0, поскольку, как показывает анализ условий (1.7), (1.9) и (1.96), только ч* — ч* (0—0, £) удовлетворяет одновременно этим трем условиям. Таким образом, в силу (2.14) функция ^(«о, £) может быть представлена в виде

^(50, /) = Я°)(в„ 0 + »* (0 — 0, <)Я1)(8 о. *),

где значения функций Л°> и Л1* определяются из формул (2.12) и (2.14). Тогда в силу линейности уравнения (2.11)

V (во, I) = *<о> (50, *) + V, (0 - 0,1) у<1> (50, *). (2.15)

Из условий (1.96) следует, ЧТО

/»'

V. (0-0,0 =-----ЩТ, (2.16)

где производные необходимо брать с той или иной стороны от точки А в зависимости от знака производной Г^(0—0, 0 в соответствии с условиями (1.96). При этом в силу свойств интегрального уравнения (2.11) условия (1.7) и (1.9) также будут удовлетворены.

3. Аналитическая форма представления плотности потенциала.

Интегральное уравнение (2.11) допускает представление решения в виде (2.15), где в соответствии с [14]

(30> і) = /*> (в0, І) + ]“ Ґ!) (8, і) Д (5П, 5, 1) аз; і = 0, 1. (3.1)

Здесь резольвента интегрального уравнения

1

5, 1) 2

Кі+^(КП + Кп+1)

п = 1 -

Кі— “ (50і ^)> Кп+1 — ^ Кп (5П) ^) К, (в0, 5„)

При отсутствии индекса I в формуле (3.1) она является выражением для плотности у(в0, Ь).

Представление решения в виде (3.1) позволяет, определив лишь однажды для заданного контура 5 резольвенту #, записывать решение уравнения (2.11) для произвольного закона движения контура 5 в любой мемент времени, если форма следа 2, соответствующая этому моменту, определена.

4. Деформация следа. Уравнение (1.12) может быть представлено в виде

■ + -*3-®ж + -Х7 ®у = °. (4Л)

дх х ' ду

Функция

сіх йу

где V, =------, Vу = —

* <и У М

( х - | Ч)х сН, у — | ггу (4.2)

является решением уравнения (4.1). В (4.2) означает момент времени, которому соответствуют известные величины х = х0 иу=у0, так что

< * х = х0 + | V, ль, У'=-Уо + [ ^ м, (4.3)

где

ь + к, - ^и+уу - г (4-4)

Здесь ъ0л, Рву И Ух, Уу — компоненты переносной и невозмущенной скоростей; <р^|а и <?'у\р как следует из (1.10) и второго условия на £ (1.1), — производные <?'х и у' -, в которых несобственные интегралы вычисляются на самом следе Е.

5. Давление. Давление жидкости на поверхность контура 5 определяется интегралом К-оши — Лагранжа, записанным в подвижной системе координат ху^пки :

Р VI V2 .I

где р —плотность жидкости; Г(£) — произвольная функция времени. Если В бесконечно удаленной точке ЖИДКОСТЬ ПОКОИТСЯ, ТО Т7^) = /?оо/р-Поскольку, как следует из разд. 2, г>4+= 0 и г^+ — Vs- = 2к■i's (s, то

'У_ = ^_ = — 2™'(в, 1). Так как, кроме того, (ф(2,)^+ = (4|(й))^_ = (?{2))^_> то из условия (2.10) и формулы (1.2) следует, что ср_ = д(8, *) — 2™ (в, ?).

X"

чья!**

ЗЬЬЭч>.

Фиг. 2

Таким образом, на внешней стороне контура 5

Ьг= /?(*) + _!__£ + 2^; - -1 (2^)2,- 4-. У (5-1)

о ^ ,

или, если учесть, что на самом контуре 5 скорость = — т™4, то

Д,

Р

V,

СІЧ йі '

Полученные формулы значительно упрощают определение давления жидкости на поверхность профиля, поскольку выражают его величину непосредственно через производные от плотности потенциала двойного слоя в рассматриваемой точке.

6. Численный метод. Задача об обтекании профиля со свободно деформирующимся следом 2 решается численным методом. С этой целью интегралы, входящие в функцию Г(в0, ?), заменяются конечной суммой ($0, 0 с помощью одной из формул приближенного интегрирования. Тогда | Р(з0, *) — Рл(50, £) | -* 0 при числе членов этой суммы £ оо, и в силу (3.1) полученное решение уравнения (2.11) с приближенным представлением правой части стремится к точному решению.

Численное решение интегрального уравнения (2.11) Находится методом Крылова—Боголюбова [14], при этом обеспечивается сходимость полученного численного решения к точному. Контур 5 разбивается на отрезки, начиная с точки А, и значения плотности () определяются посередине отрезков разбиения из системы линейных алгебраических уравнений, заменяющих уравнение (2.11). Для определения плотности V в точках Р0{0—0) и Р0(1 — 0) и величины 7%(0—0, 0 используются тождество (1.7) и конечно-разностное представление условий (1.96).

Положение расчетных точек следа в рассматриваемый момент времени находится с помощью выражений (4.3), в которых интегралы вычисляются по формуле прямоугольников. Скорости (4.4) при этом определяются на основании изложенной численной модели. После этого давление на поверхности профиля находится с помощью

формулы (5.1), представленной в конечноразностном виде.

7. Примеры. На фиг. 2 результаты расчетов по предложенному численному методу сопоставлены с экспериментальными результатами по визуализации течения [15]. Рассмотрен случай обтекания профиля ЫАСА—0015, совершающего гармонические поступательные колебания вдоль оси_у около нулевого угла атаки по закону /1 = Лсоз£т, где А — отнесенное к хорде вертикальное перемещение профиля, &— число Струхаля(,&= 2тс<в&

Р

С</1 1 І* и

сэ

|\

\ 1

\ -ох. 0

с N. \

N

X N

( —

/ 0,5 X \\

/

I нестационарная теория гипотеза стационарности

I и, \Ь

Фиг. 3

, , Ь—хорда

/ 10

профиля. Наблюдается хорошее соответствие экспериментальных и расчетных данных.

ю

На фиг. 3 сопоставлены расчетные и экспериментальные [16] значения коэффициента нормальной силы Су, =/(/г) при £ = 0,134, Л =0,152, а также эпюры давления, полученные в результате решения задачи на основе гипотезы стационарности и с помощью изложенного численного метода, и соответствующие моменту прохождения профиля сверху вниз через нейтральное положение для случая, представленного на фиг. 2, б. Видно, что решение задачи на основе гипотезы стационарности приводит в данном случае к значительной ошибке в величине давления жидкости на поверхность профиля.

Автор приносит благодарность Е. С. Вождаеву за детальное обсуждение рассматриваемой работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Prandtl L. Ober die Entstehung von Wirbeln in der idealen Fliissigkeii. Vortrage aus Hydro und Aerodynamik, Berlin, 1924.

2. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., Физматгиз, 1966.

3. Никольский А. А. О „второй” форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков). ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.

4. Никольский А. А. О силовом воздействии .второй* формы

гидродинамического движения на плоские тела (динамика плоских отрывных потоков). ДАН СССР, т. 116, № 3, 1957. '

5. Постоловский С. Н. Возникновение вихрей в идеальной несжимаемой жидкости. НИИИНФОРМТЯЖМАШ, Энергетическое машиностроение, № 3—68—10, М., 1968.

6. П о с т о л о в с к и й С. Н. К расчету вихревого обтекания тел плоским потоком идеальной несжимаемой жидкости. Труды ЦКТИ, вып. 102, Компрессорные и дутьевые машины, Л., 1970.

7. Постоловский С. Н., Ильичев К. П. Расчет вихревого обтекания тел потоком несжимаемой среды при высоких значениях чисел Re. НИИИНФОРМТЯЖМАШ, Энергетическое машиностреение, турбостроение, № 3—70—20, М., 1971.

8. Самой лови ч Г. С. Нестационарное обтекание и аэро-упругие колебания решеток турбомашин. М., Физматгиз, 1969.

9. С а р е н В. Э. Решетка произвольных вибрирующих профилей в потоке несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 3.

\/ 10. По ляхов Н. Н. Теория нестационарных движений несущей

поверхности. Изд-во ЛГУ, 1960.

11. Geising J. P. Nonlinear two-dimensional unsteady potential flow with lift. J. Aircraft, vol. 5, 2, March — April, 1968.

12. D j о j о d i h a r d j о R. H., W i d n a 11 S. E. A numerical method for the calculation of nonlinear unsteady lifting potensial flow problems. A1AA Paper, No 69-23, 1969.

13. Кочин H.E., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая ' гидромеханика, ч. I, Л.—М., ОГИЗ, 1948.

14. К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.—Л., Физматгиз, 1962.

15. Bratt J. В. Flow patterns in the wake of an oscillating aerofoil. ARC, R&M, No 2773 (13, 001), 1953.

16. Liiva J. Unsteady aerodynamic and stall effects on helicopter rotor blade airfoil sections. AIAA Paper, No 68—58, 1968.

Рукопись поступила 11XI 1971 г.