Нелинейная модель формирования голографических дифракционных решеток отражательного типа в поглащающих фотополимерах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.33:535.417:773.93

Е.А. Довольное, С Н. Шарапгович

НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК ОТРАЖАТЕЛЬНОГО ТИПА

В ПОГЛОЩАЮЩИХ ФОТОПОЛИМЕРАХ

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Введение

Одним из перспективных направлений развития информационных технологий является переход к полностью оптическим методам обработки и хранения данных [1]. В этой связи значительное внимание в последнее время уделяется теоретическим и экспериментальным исследованиям базовых элементов оптических информационных и телекоммуникационных систем, к которым относятся голографические дифракционные структуры на основе фотополимерных материалов [1]. Голографические дифракционные решетки, созданные в фотополимерных материалах, находят применение в качестве узкополосных фильтров, при формировании фотонных кристаллов и управляемых периодических дифракционных структур с нано размерами. Дифракционные структуры (ДС), записанные в фотополимерных материалах (ФПМ), представляют значительный интерес в связи с изучением особенностей голографического формирования наноразмерных ДС в фотополи-меризующихся жидкокристаллических композиционных материалах и динамического управления их дифракционными свойствами.

Исследованию вопросов формирования дифракционных структур в фотополимерных материалах посвящено большое количество работ, в которых рассмотрено влияние скоростей и вкладов полимеризационных и диффузионных процессов формирования [2-6], самодифракции записывающих волн на. первой гармонике записываемой решетки [4], поглощения [4-6], нелинейности процесса фотополимеризации, приводящей к формированию дифракционных структур с высшими пространственными гармониками [3, 6]. Однако вопросы нелинейности во всех работах представлены только для пропускающей

геометрии, а в работе [5] продемонстрированы отличия в формировании пропускающих и отражающих решеток в поглощающей фото пол и мер но й с реде.

Целью данной работы является обобщение динамической теории нелинейных диффузион-но-фотополимеризационных процессов формирования неоднородных квазипериодических дифракционных структур в поглощающих ФПМ на случай отражающей геометрии. При этом принимаются во внимание эффекты самодифракции записывающих волн, приводящие в результате двухпучкового взаимодействия слабых световых волн, дифрагированных на высших пространственных гармониках поля основной дифракционной решетки (ОДР), с сильными опорными световыми волнами, участвующими в процессе ее формирования, к записи дополнительных дифракционных решеток (ДДР).

Аналитическая модель

Формирование фазовой дифракционной решетки в ФПМ под действием света, происходящее в результате процесса радикальной фотополимеризации и диффузионных процессов, описывается в общем виде с помощью кинетических уравнений для концентрации мономера М и показателя преломления п [6] дМ

а

оп

= с!п () - И [/ (/•)]' М,

м

= Зп ¡1 Г /(г)Т----------- + йп Ну

дл М

0:^гси1-

М

М

0)

(2)

где М = М(г, ['), п = п(г, /), 1(г) - распределение интенсивности интерференционной картины, г - радиус вектор, й - зависит от внутренних параметров ФПМ [6], к - характеризует степень нелинейности фотополимеризации, Дм -• коэффициент диффузии; дпр, $гь - параметры модели.

характеризующие изменение п вследствие полимеризации и диффузии компонент материала, соответственно; М„ - начальная концентрация мономера.

Будем полагать, что запись ОДР осуществляется плоскими когерентными световыми волнами с амлитудами Ео, Е\ и волновыми векторами ко, к1 (рис. 1,). В течение записи вследствие нелинейности ФПМ формируется основная голографическая решетка (ОГДР) содержащая ряд пространственных гармоник (с векторами решеток К] = к0 - к\, К2^2КЬ...,К^]К,).

Одновременно происходит процесс дифракции записывающих волн на гармониках ОДР, которые в результате интерференции с записывающими волнами приводят к записи ДДР. Рассмотрим механизм формирования ДДР. В квазисимметричиой геометрии, векторная диаграмма которого представлена на рис. 2, дифрагированные на второй гармонике волны в результате интерференции с записывающими волнами приводят к записи четырех ДДР с векторами Аго = £о-&2, &г\= к\ - кг, К02 - 'кг'- ко, Кц = к\- к2'. Рассмотренный механизм справедлив для описания ДДР, сформированных на всех высших гармониках ОГДР.

Принимая во внимание малость амплитуд ДДР, можно пренебречь их взаимовлиянием и влиянием на пространственные гармоники основной решетки, а интерференционную картину в ФПМ записать в виде:

т-1в

+ те

(3)

т(у) = 2^1'е* •(<?, -е0)/

где ' — контраст ин-

/(/V“' + Те"аи1-у))

терференционной картины; /ду) = /V“'

а - коэффициент поглощения и с1 — -гол щи на

ФПМ; /=|.Е/|2; Е/ - амплитуда, к,.

волновой вектор и ег~ вектор поляризации/-той световой волны.

Общее решение уравнений (1), (2) будем искать в виде:

Ґ А'

М = 0.5

+М,21 (г,1)е'1К'у + М°г{г.І)е~ІК"'-‘

+М\\г, і)е"'Кп' + с.с.

'¿1пу(г,()е~'К/ + п* (г,1)е~

(4)

п = п., + 0.5

21/ і К.,, г , 02/ ,ч

п} (г/)е +М, (г,()е

+п[2(г,і)е~

- с.с.

V

(5)

где М/, П/ - амплитуды гармоник концентрации мономера и показателя преломления ОДР , М\т, М\Л, М\П, М\2 и я,20, «12!, «I02, И]12 - амплитуды первых гармоник концентрации мономера и показателя преломления ДДР, пя ~ значение показателя преломления ФПМ при / ~ 0.

Принимая во внимание малость амплитуд ДДР, можно пренебречь их влиянием на гармоники основной решетки и разделить рассматриваемую задачу на две части.. Это позволяет в первой части найти решения (1), (2) для пространственных гармоник Мр й/ основной решетки и, используя их, решить задачу формирования ДДР.

Подставляя (3)-(5) в (1), (2), используя свойство ортогональности пространственных гармоник и пренебрегая влиянием ДДР на гармоники ОДР, получим систему связанных кинетических дифференциальных уравнений для гармоник ОДР М}{х,у), п,{х,у) (/=0..Л/): дм(т,у)

----— = -ум. (г, у) + а ,М( (г, у),

<■>'7 ы,

дп.(г,у)

ОТ

Мп = -8пп^ а.,М, (г,у) -

(6)

8пМ {г.,у),

где т = 1.1Тт - относительное время; Тш=\1(РтК;1)

.характерное время диффузии, - коэффициенты матрицы.

а,

е. ^2. е3 0 0 0 0 0 0

2е., еп ег е, 0 0 0 0 0

2е} в2 е, ег «э 0 0 0 0

0 е, с. е, е. 0 0 0 0

0 0 0 0 0 е, ег е. 0

0 0 0 0 0 е. е. е, е.

0 0 0 0 0 ез е, е, е2

. 0 0 0 0 0 0 е2 е,

Г \

= —I 1

ъ\

3 к(к~\)ту 2

4

Г

ь

1 -

к(к — Х)ту

Л

е..

2* к(к-\)т,г

2‘ ктх. 4 ~ Ьу 2

зации.

ту= т(у), Ьу = Ь(у) = ТруП]и,

локальное время полимери-

Для решения систем связанных дифференциальных уравнений (6) воспользуемся методикой из [6] и представим общее решение для пространственных амплитудных профилей гармоник в виде:

М.{т,у)-=

1. (т, у) = 8пг X а , X Л +

(Т)

(8)

' ^п,/2 ¿С

] - е

гдеу = О...М, сл/= аигУЩ,ь 8/,/ - символ Кронекера, А/= А,/(у) определяются как корни характеристического уравнения [с,./ - А| = 0. Анализ показывает, что Х/(у) являются вещественными, различными и отрицательными. = Ар(у) находятся из (6), (7) для М с учетом начальных условий, как решения (ТУ + ]) систем линейных алгебраических уравнений [6].

Таким образом, выражения (6), (7) представляют общее решение нелинейного диффузионно-полимеризационного процесса формирования ОДР в поглощающих ФПМ и позволяют найти амплитуды Д ДР.

ДДР образуются в результате интерференции падающих записывающих волн и волн дифрагированных на пространственных гармониках ОДР. Вследствие малости амплитуд ДДР можно пренебречь изменением падающих записывающих волн и ограничить рассмотрение дифрагированными волнами £/, £'/ на рассматриваемой высшей пространственной гармонике.

дЕ,

ду

дЕ]

ду

■ = Ю,

■ ю.

^ т~1 / \ г-1 ч --/ДА.,,

Е1,п1{т)е~,‘~

г Еап[°(Т,У) +

&К‘

7

Еж (г,у)

Еап^т)е'"' + Е^! л{т)е ' +Еж'(т,у) + Еж(т,у)

, (10)

где С/== л:/(л.со50/), А, - длина волны света в ФПМ, и/(х) - /-тая гармоника и, определенная в решении для основной решетки (8) с учетом ох1 ~ 0 (/ > 1), и/(т, у) - первая гармоника/-той ДДР показателя преломления п, индекс / = /0, /1, 0/, 1/~ соответствует рассматриваемой ДДР с волновым вектором К„ формируемой одной из записывающих волн и волной, дифрагированной

на /-той пространствен ной гармонике ОГДР, АКої ~ (¿Уці/І - модуль вектора фазовой расстройки (см. рис. 2).

Вследствие малости амплитуд ДДР можно пренебречь их влиянием на гармоники основной решетки, которые будем считать в (10) заданными решениями (8), и не учитывать изменения падающих записывающих волн. В этом случае, используя методику из [4], где кинетические уравнения записи дополняются дифракционным уравнением в приближении заданного поля и без учета поглощения, запишем интегро-дифференциальные кинетические уравнения записи для ДДР с вектором Кц:

дт

Ї.

Ь

2Ш0(г)-

Е0Е'(т,у)

ЕЇ+Е2

+М[\т,у)

о ,0

— п дт

Пл (т,у) = 3пр М (т\ F, R'

2 к

Ъ

(11)

i¥„(r)Æag;(r,y) ; М, (г,у)

Е* + Е? + М.

-Sn,г, о

М':(т,у)

М

где Е/(х, у) - определяется решением системы (10) в приближении заданного поля с учетом \п\1\<\п!.1[, М0(т) - нулевая гармоника М, определенная в решении для основной решетки выражениями (7) с учетом otifeO; М/°(х, у), - первая гармоника дополнительной решетки концентрации мономера с вектором К®, гю = KrJK\, К® = \КЮ\,Ь = ТР/Т1„, Тр - h {/(f + Ilf.

Используя интегральное преобразование Лапласа по пространственной координате у и учитывая, что функция «1/0(Т, у) является медленно

меняющейся по сравнению с М0(г) -е^х [4],

где 1\ - гЦ +2*7 Ь, решение для и/°(т, у) запи-

шем в виде:

і

??1/u(r,y) = F2 J-

Шу)+

+ ] Оіт,у)-Н0(т',г,у-у)ф'

>СІТ, (12)

У)

где

/

■ С г- — іе ’

V ь

VН(т',у) , Н(т,у)

• j--------е ' ат -----------.

Г Мп С„= Ъп,/Ьпр,

Н0(т', т. у) = 1 +

М

d - у

R(r")dT”

■J.

E,(d-y)j R(r")dr"

Л

R(t) =

,/Ж5(т') . ме{г)

Ъ J

• е 1 dr

, F, =-

2" 2iG,kSn

е М п М, ~ Ь 1 + т[:

Н(?,у) = М0(г) | {п,(т,у) + й,_,(г,у))е''"и"г¿у ’

/,(х) - функция Бесселя.

Таким образом, выражение (12) определяет временную динамику пространственного распределения амплитуды ДДР с вектором решетки К®, образованной записывающими волнами и дифрагированной на /-той пространственной гармонике ОГДР. Из решения видно, что ДДР в отличии от гармоник основной решетки имеет пространственно неоднородные распределения амплитуды и фазы вдоль глубины решетки даже в отсутствии поглощения.

Проведя аналогичную процедуру решения для дар с вектором решетки К/1 можно получить следующие решения:

'0J,y)+

if—y

V. о

На(у’ ,т,у) = 1 +

с/г, (13)

где -к I—-----—} R(r")dr’

V d-y

2

г(т, у) полностью совпадает с приведенным в (12), а Q(х, у) и R(x, у) совпадают с приведенными в (12) с точностью до замены гю на гп -

^Кп/К\-

Решения для ДДР с векторами Ка/ совпадают с решениями (12) для ДДР с векторами К01 с точностью до замены г® на r0! = KQi/Kt

,1 -у

и Н(г,у) = Mt(г) | (Пи(г,у) + ^[mnnt(т,y)j е'ж“'' dy .

Аналогично, решения для ДДР е векторами K\i совпадают с решениями (13) для ДДР с векторами Кц с точностью до замены г,п на г ] / — К\ //К\ и

f.f-V

Н{т,у)=М0(г) j {п1Л{т,у) + п,(т, j))e iAK!,l>'dy'•

При считывании ОГДР амплитуды световых полей в дифракционных порядках найдем из системы уравнений связанных волн для N+1 гармоник, используя метод возмущений [5]:

Е0(т,у) = ]^Е(ки(т,у)(Зпр/пяУ*

ьо

Е, = S Ej.7kA*>y)(faP/п«У

, (И)

Еіз^М’У) =

где , ,

= С, I пМ,У)Е0Лк(т,у')е 'УФ'

О

Еам(у,т) =

" °0 I X-", (г> У’)Е,м і (.у’’ г)е"“Ф''

ЕгК0(т,у) = Д},

О і = я !(Я соз(<9,)),

.обобщенная фазовая расстройка, связанная

с отклонением длины волны и угла

считывающей волны от условий Брэгга, которая определяется из рассмотрения условий фазового синхронизма до и после рассогласования.

Дифракционную эффективность в /том дифракционном порядке определим на основе

(14) з виде:

(15)

Численное моделирование

Для исследования влияния поглощения на вид профиля решетки, на рис. 3 приведены нормированные пространственно-временные профили п(х, у)/Ьпр решеток в ФПМ. Расчет проведен для к - 0.5, b = 0.25 (а), 6 = 5 (б), m0 = 1, С„ - 0.01, а,/ = 3 Неп.

Из рис. 3 видно, что неоднородный профиль решетки существенно модифицируется во времени, переходя от вогнутого вдоль у (рис. 3, а) на начальной стадии формирования к колоколообразному (рис. 3, б) на стационарном режиме, что согласуется с результатами моделирования и выводами из [5]. Профиль обоих гармоник для всей области b имеег колоколообразный вид. В связи с чем соотношение гармоник вдоль профиля решетки слабо изменяется.

! ^

Рис. 3, а. Ь = 0.25

1.05 0.7 (O' о

I

Трансформация во времени пространственной модуляции связана с изменением соотношению амплитуд пространственных гармоник профиля, что особенно выражено для Ъ = 0.25 (рис. 3, а). Отметим, что синусоидальный вид профиля на начальной стадии формирования на рис. 3, а связан с отставанием формирования второй гармоники от первой. С течением времени амплитуда второй гармоники возрастает, что приводит к отличию вида профиля от синусоидального рис. 3, а. Из рис. 3, б видно, что для области

Ь> 1, как и для ПГДР, вклад высших гармоник является пренебрежимо малым, а огибающая профиля решетки повторяет профиль суммы первой и нулевой гармоник, рассчитанный в [6].

В дальнейшем моделировании используем выражение (15) для расчета эффективности дифракции в первом и во втором дифракционных порядках для считывания вертикально-поляризованной волной (5-поляризация), Результаты представлены на рис. 4 для следующих параметров: Ъ = 0.25, С„= 0.01, 5пр= 0.004, й = 85 тт. 0]= 90 = 6.67° (10° в воздухе). На рис. 4 приняты обозначения: 1 - а^= 0 Неп, к = 0.5, т0-\; 2 - а</= 2 Неп, к = 0.5, то = 1; 3 - а,/=2 Неп, к= 0.5, да0=0.3; 4-^=2 Неп, к = 0.3, и?0 = 1.

а

б

Рис, 4. Дифракционная эффективность в первом (а) и во втором (б) порядках дифракции от времени записи.

Как видно из кривых 1 на рис. 4, а, б, в отсутствие поглощения дифракционные эффективности в первом (т|а'1) и во втором (грд) порядках дифракции становятся соизмеримыми по величине на стационарном уровне (грл /грс « 1,2). В отличии от ПГДР, поглощение (кривые 2 на рис. 4, а, б) приводит к практически одинаковому увеличению (в 1,4 раза) эффективности первой и второй гармоник на стационарном уровне. Проведенный дополнительный анализ показал, что для Ъ — 5 в отсутствие поглощения

отношение r\d\ /г]д > 10. Учет поглощения (2 Неп) приводит к уменьшению rp/i примерно в 1.1 раза и уменьшению r\d2 в 2. раза, а также к возрастанию времен выхода на стационарные значения обоих гармоник

Из сравнения кривых 3, 4 с кривыми 2 на рис. 4 видно, что уменьшение к (кривые 3) и то (кривые 4) приводят к снижению эффективности дифракции, как на первой (рис. 4, а), так и на второй (рис. 4, б) гармониках решетки, причем для второй гармоники спад является более существенным, особенно при уменьшении /Я().

Таким образом, уменьшение то и увеличение b = ТрГГщ позволяет уменьшить дифракционную эффективность на высших пространственных гармониках решеток в ФПМ с помощью внешних условий записи: интенсивностей записывающих пучков (см. Тр) и ИХ соотношения (/??<}) и угла схождения (см. Г,„), однако уменьшение то существенно снижает и ДЭ первой гармоники.

На рис. 5 представлены результаты расчета модуля (а) и аргумента (б) пространственного профиля решетки с волновым вектором К}о при С„ = 0.01, Ьпр = 0.01, 0О= 10°, 0i = 15°, d — 85мкм. АХш = 71.4.

yld, отн. ед.

Рис. 5, а.

y/d, отн. ед.

Рис. 5, б.

Из рис. 5 а, б видно, что решетка п\20(т, у) имеег неравномерный квазипериодичеекий ам-Iиштуд!ю-фазовый пространственный профиль.

Амплитуда ДДР может быть сравнима с амплитудой порождающей гармоники при малых величинах угла записи (0О, 00 и толщины материала (сГ), а также при больших Ъ. С увеличением с! И во, О1 период осцилляции профиля ДДР вдоль у уменьшается, как и амплитуда ДДР. Необходимо отметить, что неоднородность фазового фронта приводит к пространственной неоднородности направления вектора решетки.

Необходимо отметить основные особенности пространственных профилей ДДР. Во-первых, профили ДДР имеют двумерное квази периодическое амплитудное распределение, и, во-вторых, неоднородность фазовой составляющей профиля ДДР приводит к повороту вектора решетки и искажению фазового фронта.

Расчеты также показали, что для решетки с вектором Кп амплитудно-фазовый профиль Н]'2(т, у) совпадает с приведенными на рис. 5 а, б.

Наличие фазовой составляющей профиля ДДР приводит к образованию дополнительного максимума угловой селективности в угловом положении соответствующем порождающей гармонике ОГДР.

Заключение

Проведено теоретическое исследование записи и считывания отражающих голографических дифракционных решеток (ОГДР) в поглощающих фотополимерных материалах (ФПМ) с красителем сенсибилизатором с учетом выс-

ших пространственных гармоник и самодифракции. Получена аналитическая модель для описания пространственно-временного поля голографической решетки в процессе записи с учетом постоянного оптического поглощения и диффузионных процессов.

Проведено численное моделирование динамики пространственного распределения амплитуд гармоник записываемой ОГДР, ее дифракционных характеристик, пространственных амплитудно-фазовых распределений дополнительных дифракционных решеток, формируемых в результате двухпучкового взаимодействия слабых световых волн, дифрагированных на высших пространственн ых гармониках, с сильными записывающими волнами. На основе проведенного численного анализа показаны особенности формирования высших гармоник дифракционных решеток в поглощающем ФПМ и дополнительных дифракционных решеток для отражающей геометрии.

Представленная модель позволяет определить уровни перекрестных помех и динамический диапазон при расчете оптических устройств ввода-вывода для систем оптической связи.

Работа выполнена в рамках гранта № 711 «Исследование наноразмерных динамически управляемых дифракционных периодических структур в фотополимеризующихся жидкокристаллических композиционных материалах» программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Федерального агентства по образованию РФ на 2005 г.

Литература

1. Ежихиев H.H., Евтихиева О,А., Компанец ИЯ Информационная оптика / Под ред. H.H. Евтихиева. М., 2000.

2. J.V. Kelly, F.T. Q'Neill, J.T. Sheridan, C. Neipp, S. Gallego, M. Artuno II Proc. SPIE, V. 5216. 2003.

3. S. Gallego, M. Ortuño, C. Neipp, A. Márquez and A. Beléndez I, Pascual J. V. Kelly and J, T. Sheridan 3 Dimensional analysls of holographic

photepolymers based memories // Optics Express. 2005. Vol. 13. Ns. 9.

4. Коваленко E.C., Шарангович C.H, Динамическая дифракция света на голографических решетках в фотополимерных материалах II Изб, вузов. Физика. 2001. Т. 44. №10.

5. Довольное Е.А., Шарангович С.Н. Отражающие голографические дифракционные решетки в поглощающих фотополимерных средах II Изв. вузов. Физика. 2005, № 3.

6. Довольное Е,А., Шарангович С.Н. Нелинейная модель записи и считывания голографических дифракционных решеток пропускаю-

щего типа в поглощающих фотополимерах, 1, Теоретический анализ II Изв, вузов. Физика. 2005,1,48, № 5,