Некоторые замечания к задаче параметрической идентификации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

УДК 519.68

А. А. Корнеева Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский федеральный университет, Красноярск

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ЗАДАЧЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Рассматривается задача параметрической идентификации или идентификации в «узком» смысле. Исследуется влияние неточности в выборе параметрической структуры модели на результаты численного моделирования исследуемого объекта. Приводятся результаты вычислительного эксперимента.

При решении задач идентификации большую роль играет уровень априорной информации [1; 2] об исследуемом процессе. При изучении того или иного объекта мы сталкиваемся с недостатком априорной информации, влиянием случайных помех, погрешностями измерений, то есть обладаем, в различной мере, неполной информацией. В зависимости от уровня априорной информации об объекте различают задачи идентификации в «узком» и «широком» смыслах [2].

Задача параметрической идентификации или идентификации в «узком» смысле, разбивается на два этапа. Исследуемый процесс описывается зависимостью вида х(') = А(и('), )), где ) - случайная помеха. На первом этапе, на основании имеющейся априорной информации, определяется параметрический класс операторов Аа, например: ха (') = Аа (и('), а), где Аа - параметрическая структура модели, а а - вектор параметров [3]. На втором этапе осуществляется оценка параметров а на основе имеющейся выборки {х,, и, , = 1,5"}, £ -объем выборки. Успех решения задачи идентификации в этом случае существенно зависит от того, насколько «удачно» определен оператор Аа .

Идентификация в «широком» смысле предполагает отсутствие этапа выбора параметрического класса оператора. Часто оказывается значительно проще определить класс операторов на основе сведений качественного характера, например, линейности процесса или типа нелинейности, однозначности либо неоднозначности и др. В этом случае задача идентификации состоит в оценивании этого оператора на основе выборки {х,-, и, I = 1,в форме х5 (') = А5 (и('), х5, и5),

где х5 = (х1,х2,...,х5),и5 = (и1,и2,...,и5) - временные векторы.

При вычислительном эксперименте уравнение объекта было принято в виде:

х' = 0.5и{ + sin(u2) + и3.

(1)

сделать это лишь в рамках вычислительного эксперимента, поскольку сами задаем исследуемый процесс в виде структуры (1). Уравнение модели имеет следующий вид:

Х' = а1и{ +а2 sin(u2) + а3и3.

(2)

Оценка параметров а1, а2, а3 осуществлялась с помощью метода наименьших квадратов. Относительная ошибка моделирования ст для уравнения (2) близка нулю, параметры оцениваются достаточно точно, при наложении помех 5 % и 10 % ошибка составляет 9 % и 18 % соответственно.

Оценка качества моделирования производилась по формуле

1 5 1 5

ст = Л 5 Е( х - х (и))21-

х, )2

(3)

где т - оценка математического ожидания выхода объекта.

На втором этапе мы допустили неточность в выборе параметрической структуры модели, как это и бывает на практике. Пусть модель процесса (1) описывается уравнением вида х =а1и/ +а^т(0.8и 2) + а3и3. В этом случае ошибка ст составила 46 % в условии отсутствия помех, 49 % и 5 1% при действии 5 % и 10 % помех соответственно. На рис.1 проиллюстрировано отклонение выхода модели (пунктирная линия) от истинного выхода объекта (сплошная линия), , -текущая итерация при произвольных значениях входных воздействий из интервала [0; 3].

где и1('), и2('), и3(') - входные переменные объекта, а х(') выходная переменная, то есть на вход объекта подается управляющее воздействие

и(') = (и1 ('), и2 ('), и3(')) е [0; 3]. Обучающая выборка формировалась случайным образом при различных объемах 5 = 100, 200, 300.

На первом этапе численного исследования мы «угадали» верную структуру объекта [4]. Мы можем

5 Я В Й- & .М £ «

Рис. 1

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

о s u s го в so в *>

Рис. 2

Как видно из вышесказанного, отклонение выхода модели от истинного выхода объекта значительно, хотя ошибка в выборе структуры модели не существенна. При выборе модели в виде х =а1м1' +а2 зт(0.99и2) + а3«3 относительная ошибка моделирования составила 9 %, при наложении помех 5 % и 10 % - 13 % и 19% соответственно (рис.2). Ошибка моделирования приближается к нулю лишь при выборе структуры вида

х = а1м]1 +а2 sin(0.99и2) + а3«3,

то есть при почти совпадающей параметрической структуре.

Результаты данного эксперимента показывают, что выбор параметрической структуры модели является очень важным этапом моделирования в «узком» смысле. Ошибка, пусть даже и не существенная, приводит к значительному снижению качества моделирования. Эта проблема отсутствует при непараметрической идентификации стохастических объектов [3]. Важную роль при этом играет так же анализ данных [4], предваряющий задачу идентификации.

Библиографические ссылки

1. Цыпкин Я. З. Основы информационной теории идентификации. М. : Наука, 1984. 320 с.

2. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М. : Мир, 1975. 683 с.

3. Медведев А. В. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск, Наука, 1983. 174 с.

4. Корнеева А. А. О непараметрическом восстановлении матрицы наблюдений с пропусками в задаче идентификации с шумами //Молодой ученый. - 2012. № 3(38). С. 51- 60.

© Корнеева А. А., 2012

А. А. Коромыслова Научный руководитель - Е. С. Семенкин Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВА МАСШТАБИРУЕМОСТИ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА

Разработана и протестирована программа безусловной оптимизации функций многих переменных генетическим алгоритмом.

Генетические алгоритмы способны не только решать задачи оптимизации, но и сокращать перебор в сложных задачах. Генетический алгоритм основан на имитации естественной эволюции [1]. Данная работа посвящена определению зависимости между числом переменных и ресурсами, затрачиваемыми для достижения заданной надежности при решении задач безусловной оптимизации функций многих переменных.

Тестирование генетического алгоритма проводилось на следующих функциях:

1. Функция Растригина:

I(x, y) = 0.1x2 + 0.1y2 - 4 • cos(0.8 • x) - 4 • cos(0.8 • y) + 8 x,y e [-16;16], min = I(0,0) = 0

2. Аддитивная потенциальная функция:

I (Xj, x2) = z( Xj) + z(x2),

1

z( x) = -

1

1

(x -1)2 + 0.2 2( x - 2)2 + 0.15 3(x - 3)2 + 0.3

x1,x2 e[0;4], min = I(2,2) = -15.6 3. Мультипликативная потенциальная функция:

z( x) = -

I (x1, x2) = - z (x1) z (x2), 1 1

(x -1)2 + 0.2 2( x - 2)2 + 0.15 3( x - 3)2 + 0.3

xj, x2 e [0; 4], min = I(2,2) = -60.8

Генетический алгоритм способен решать задачи большой размерности, благодаря свойству масштабируемости. Оно заключается в способности алгоритма находить решение поставленной задачи с заданной точностью и при этом затрачивать не большое количество ресурсов, по сравнению с увеличением размерности поискового пространства.

Чтобы исследовать генетический алгоритм на масштабируемость была зафиксирована определённая надежность. После этого было проведено тестирование данных функций для одной, двух, трёх, четырёх, пяти, десяти, пятнадцати и двадцати переменных. Число затрачиваемых ресурсов на решение задачи

1