Некоторые задачи устойчивости оболочек со сложной геометрией и физико-механическими свойствами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ И ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

© 2011 г. И.П. Гетман1, М.И. Карякин2, Г.О. Мостипан3, И.А. Панфилов2, Ю.А. Устинов

2

1Эндресс+Хаузер ГмбХ, Хауптштрассе, 1, г. Маульбург, Германия, 79689

2Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090

3Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090,

1Endress+Hauser GmbH+Co.KG, Hauptstrasse, 1, Maulburg, Germany, 79689

2Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

3Research Institute of Mechanics

and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090,

Представлена методика определения точек бифуркации для различных видов оболочек — цилиндрической оболочки с двумя типами винтовой анизотропии при продольном ее сжатии и круглой выпуклой мембраны. На первый взгляд столь различные задачи объединяет два фактора: 1) тип прикладной теории, на основе которой выведены уравнения равновесия (прикладная теория Киргоффа—Лява для непологих оболочек); 2) методы интегрирования нелинейных и линеаризованных задач.

При численном анализе второй задачи (задачи устойчивости сферического купола) показано, что экспериментально проявляющаяся чувствительность сферического купола к несовершенствам связана с большим количеством близко расположенных точек бифуркации по неосесимметричным модам. Показано, что целенаправленным внесением небольших технологических изменений в форму купола можно добиться устранения большинства из этих точек бифуркации для обеспечения работы оболочки в осе-симметричном режиме.

Ключевые слова: теория оболочек, цилиндрическая оболочка, сферическая оболочка, устойчивость, бифуркация, линеаризация.

The paper present a technique of determining bifurcation points for shells of different kinds — cylindrical shell with two types of screw anisotropy at axial loading and circular convex membrane. So different problems are combined due to two factors: firstly the type of applied theory upon which the equations of equilibrium were derived (applied Kirchhoff—Love theory for non-shallow shells) and secondly the methods of integration of nonlinear and linearized boundary value problems.

Numerical analysis of the second problem (stability problem for spherical cap) shows that experimentally observed sensibility of the spherical cap to imperfections is related with large number of closely placed bifurcations points for different non-axisymmetric modes. It has been shown that targeted introduction of small technological changes in the shape of the cup can be used for the elimination of most of these bifurcation points to provide the work of the shell in an axisymmetric mode.

Keywords: shell theory, cylindrical shell, spherical shell, stability, bifurcation, linearization.

Нелинейная теория тонких оболочек на протяжении многих лет являлась одним из основных научных направлений кафедры теории упругости РГУ. К моменту создания кафедры в 1961 г. ее основателем и руководителем (1961-2001 гг.) И.И. Воровичем был решен ряд важнейших теоретических проблем [1, 2]. Для нелинейных уравнений пологих оболочек были доказаны теоремы существования решений, обоснована сходимость прямых методов решения краевых задач (методов Галеркина, Ритца и МКЭ) и установлен фундаментальный факт, состоящий в том, что проблему устойчивости нельзя решить методом линеаризации в окрестности безмоментного напряженно-деформированного состояния (НДС). Для её решения следует рассматривать полную нелинейную постановку задачи. С открытием в 1971 г. НИИ механики и прикладной математики (в настоящее время - НИИМ и ПМ им. академика РАН И.И. Воровича) основной объем исследований в этой области был перенесен в лабораторию тонкостенных конструкций института.

Новый интерес к развитию методов расчета устойчивости и закритического поведения тонких упругих оболочек на кафедре теории упругости продиктован двумя факторами. Это, во-первых, хоздоговорная работа по расчету мембран датчиков давления (часть результатов которой в пределах условий контракта опубликована в [3]), а во-вторых, исследования в об-

ласти биомеханики кровеносных сосудов.

Настоящая работа посвящена описанию методов определения точек ветвления (бифуркации) для различных видов оболочек - цилиндрической оболочки с двумя типами винтовой анизотропии при продольном ее сжатии и круглой выпуклой мембраны.

Исследование устойчивости цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией

Основные соотношения нелинейной теории оболочек с винтовой анизотропией. Поскольку в разных работах [4-6], посвященных исследованию устойчивости цилиндрических оболочек с винтовой анизотропией, основные соотношения различаются и достаточно значительно, кратко опишем метод построения таких соотношений, которые используются в данной работе.

Пусть г, Г - внутренний и внешний радиусы цилиндрической оболочки; а - радиус срединной поверхности оболочки; И - толщина; I - длина вдоль образующей.

Отнесем цилиндр к декартовой системе координат Оххх, направив Ох3 по оси цилиндра, и свяжем ее начало с торцевым сечением х3 = 0.

Введем винтовую систему координат г, ф, 2, связанную с декартовой соотношениями

X = r cos(p + E), x2 = r sin(p + E), x = z, (1) где r < r < r2; т = tg(a)/a - геометрический параметр винтовой анизотропии.

Соотношения (1) при r = const, p = const являются параметрическими уравнениями винтовой линии, при этом a - угол между касательной к винтовой линии и осью Ox3. С каждой винтовой линией свяжем репер Френе с ортами главной нормали ei, главной бинормали e2, касательной e3.

Переход от базиса Френе к базису цилиндрической системы координат e r e ф ez осуществляется с помощью ортогональной матрицы

A :

-10 0 0 — cos a sin а

Обозначим через и= (иг,и9, и2 )т вектор смещений

и его компоненты в базисе винтовой системы координат. Следуя геометрической гипотезе, согласно которой прямые углы между нормалью к срединной поверхности оболочки до деформации остаются таковыми и после деформации, имеем и = V (V,2),

u< = z)uz = vz<z) + ф2, ev = —a{dvvr — v<),

_d_ dp

в2 = -Dvr, - h/2 <v< h/2, D = d z — т6р , dp = —,

я 5

дг =—, где V, , V - смещения точек срединной

д2 9

поверхности; в , в2 - углы поворота нормали.

Для компонент тензора деформаций срединной поверхности, отвечающей теории «среднего прогиба», получаем следующие выражения:

С = а+ 1в;, 4 = ПУ2 + 1вг2, (2)

= ^ + а-1д9у2 + в^в2, 4 = ^ =0 . Для тензора изменения кривизн соответственно имеем

Х„ = а - д1 V) , ^ = -О Ч , 2^ = а-1 2а- Од^.

Материал цилиндра будем считать локально трансверсально изотропным. Направления главных осей тензора упругих свойств совпадают с направлениями ортов е 1 е 2 е 3, где орт е 3 определяет направление оси упругой симметрии. Трансверсально изотропный материал характеризуется 5 независимыми техническими постоянными: модулями Юнга Е, Е', коэффициентами Пуассона V, V' и модулем сдвига О' [7].

Согласно 2-й гипотезе Кирхгофа, будем считать, что абсолютные значения напряжений о, ^^«о^Офо, в силу чего в соотношениях

закона Гука первыми тремя можно пренебречь. Как следствие этого предположения получаем

= + ёи822 + ё138щ ,

О'22 = + ^22^22 + ё24ф ,

О = ё\4„ + ё23422 + ёъ^ф ■

Здесь = С + , 4 = 4 + щ22, ещ = + ,

gn = cos4 «E + cos2 a sin2 a (vE - 4G') + sin4«Er, g12 = cos4avE1 + cos2«sin2«(E1 + E1 + 4G') + sin4av Er, ё22 = cos4 «E + cos2« sin2 aE + Ex + 4G ') + sin4«^, g13 = sinacos3«[2G '-E1(1 -v')] + sin3acosa(Er -vE1 -2G '), gB = sinacos3a[Er (1 -v') - 2G'] - siniacosá[El +v'Er + 2G')], ёзз = G'cos22a + cos2«sin2«[(1 -v)Ex + (1 -v')Er -2G'],

E1 Л t ' E1 Л I '

1 - vv 1 - vv

В качестве основных характеристик напряженного состояния введем усилия и моменты. Имеем

т„ = А(ёпС+ё12422 + ё1з< X = Кё124„+ g22Sl + ё

Tf2 = h(.gn4°„+ g 23422 + g3340 ).

hlr ^

Mfi<p J2(g11^w + g 12^22 + g13Xq2¡ ), M2Z = YJ(g12^W + g22^22 + g 23^

Mf2 = J^(g13Zpp + g 23X22 + g33%(fe).

Используя вариационный принцип Лагранжа, считая независимыми вариациями 5vr ,dv , Sv2, получаем

следующие уравнения равновесия:

a^dT + DT + a lQ - а1Твт + а = 0,

DT + а"хдгТ -а-'Т вт+ а =0, (3)

22 ф ф ф ф Í2 ' V/

a-4a + DQ2 - а-%ф - а-'дф (Т^в^ + Тщв2) --D(Tip^ev+ Т22в2) - qr =0,

01 = ПМфф + а-1дфМщ, 02 = DMф + а-'д^Ы^ , где q, q , q - компоненты вектора внешней нагрузки, снесенной на срединную поверхность.

При осесимметричной деформации приведенные выше соотношения существенно упрощаются, поскольку в этом случае все полевые характеристики зависят только от z , и следовательно, все слагаемые, содержащие производные по ф, обращаются в ноль. Однако в отличие от изотропных и ортотропных оболочек (в частности, биспирально армированных), у которых в осесимметричном случае величины V еф, в2, T^, M^, 02 равны нулю, для спирально

армированной цилиндрической оболочки эти полевые характеристики отличны от нуля.

Для биспирально армированной оболочки в вышеприведенных соотношениях следует оператор D заменить на д2 и элементы матрицы жесткостей g13,

g23 приравнять к нулю.

Осесимметричная задача. Для интегрирования осесимметричной нелинейной краевой задачи методом пристрелки (граничные условия приведены ниже) система 3 дифференциальных уравнений (3) была сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1-го порядка. Для этого введен век-

о

sin a

cos a

тор y=(y1;y2,. ..У8/ , где yi = h > У 2 = h ' Уз h

У4 = , У5 = T _ Щ Уб = Eh' У 7 _Ö2 " 'ТЧ*в<р -

e h' E'h

У 8

_ Mz

'/„2 •

Е'к

В новых переменных эквивалентная система урав-й у

нений принимает вид —— = W( у, ц), где W - век-

йг

тор, компоненты которого зависят от компонент вектора у и вектора внешней нагрузки q.

Будем считать, что оболочка деформируется под действием осевого давления р. Численное интегрирование проводилось для граничных условий шарнирного закрепления одного из торцов и скользящей заделки другого торца оболочки у 1 (0) = 0, уI (I) = 0, (/ = 1,2,3,8), у2(/) = 0, уз(I) = 0, у5(/) = -р, у8(/) = 0.

Ввиду громоздкости компоненты вектора W здесь не приводятся.

О методе определения критических нагрузок и форм потери устойчивости. Обратимся к системе уравнений (3). После серии очевидных подстановок получим систему 3 нелинейных дифференциальных уравнений относительно компонент вектора

у= (уг , V , V )Т. Эту систему символически можно записать в виде

Ду) - Ь0 у+ N(у) = 0. (5)

Здесь Ь0 - линейный оператор, который получается, если пренебречь квадратичными членами в формулах (2) и нелинейными слагаемыми в уравнениях (3); МУ) - нелинейный оператор, отвечающий этим слагаемым. Общий порядок этой системы равен 8.

Обозначим через \о(р) решение нелинейной осе-симметричной задачи. Решение уравнения (5) будем отыскивать в виде

у= у 0 +еи. (6)

Подставим (6) в (3) и преобразуем с учетом малости параметра е. В первом приближении получаем линеаризованное уравнение вида

XV = Ь0 и + N и = 0, (7)

где N' - производная Фреше оператора N по вектору у0, которая, как известно [8], является линейным оператором, и его коэффициенты в рассматриваемом случае зависят от у0 и р.

Граничные условия шарнирного закрепления одного торца и скользящей заделки другого торца имеют вид

- при г = 0: иг = 0, и9 = 0, и2 = 0, Мв =0; (8)

- при г = I: иг =0, ^ = 0, Т22 = 0,Мв = 0.

Для определения критических значений р=р*, при которых происходит ветвление решения нелинейной задачи, компоненты вектора и будем отыскивать в виде

V. = и.с(г)о^(пр) + и»(г)Бш(пр) (] = 1,2,3), (9)

здесь в индексах введены эквивалентные обозначения: 1« г, 2 « р, 3 « г, п = 0,1,2,....

После подстановки (9) в (7) получаем систему 6 ОДУ относительно и.с, ир, общий порядок которой

равен 16. Для дальнейших исследований построим эквивалентную ей систему ОДУ 1-го порядка.

Введем расширенный 16-компонентный вектор У:

*1= -© гс , ^2= т«, Гз= Тр, г4= .

= -©и, У6 = т22,, г7 = Трр, г8 = о,. (10) 7> = и,с, 7Ю = ирс, Гц = и2С, 712 = М„, 7» = иг!, 714 = ир, 715 = иш, 716 = Мш. На основе соотношений (7) - (10) получаем

= А(г, р)У, (11)

аг

где А(г,р) - матрица 16 х16, элементы которой неявным образом (через компоненты вектора у0) зависят от г и р. Ввиду громоздкости их выражения здесь не приводятся.

Граничные условия для системы (11) по аналогии с (8) записываются в виде

Г((0) = 0, Г\(I) = 0, (/ =9.. 16). (12)

Общее решение системы (11) будем отыскивать в виде

8

У = £Ск х к (г), где хк - линейно-независимые реше-

к=1

ния системы (11), удовлетворяющие условиям (12). В качестве таковых возьмем решение 8 задач Коши, удовлетворяющих при г = 0 условиям х (0) =

= (8п,812,813,...,818,0,0,...,0Т, где 8. - символ Кронекера.

Обозначим через х^ . -ю компоненту решения

хк, вычисленного при г = 0. Граничные условия

8

(12) при г = I записываются в виде ^С.х.(г2) = 0,

к=1

] =2, 6, 9, 10,12, 13, 14, 16.

Таким образом, задача о существовании нетривиального решения краевой задачи для систем ОДУ сводится к существованию нетривиального решения линейной однородной алгебраической системы, и следовательно, к задаче поиска нулей ее определителя Б(р,п) =| х. |. (13)

Некоторые результаты численного анализа. В качестве иллюстрации приведем расчеты для композита из стеклопластика со следующими значениями упругих постоянных, полученных на основе формул, приведенных в [9]: Е' = 3,7 • 1011 Н/м2, Е = 5,6 • 109 Н/м2, О' = 3,4 •Ю9 Н/м2, V ' = 0,31, V = 0,32, и геометрическими характеристиками: а = 0,01 м, Ь = 10 а, И = 0,033 а.

Процедура определения наименьшего критического значения нагрузки р* представляет собой задачу определения нулей определителя (13) при различных целочисленных значениях п (параметра волнообразования по направляющей оболочки), т.е. поиска минимума р как функции дискретного целочисленного аргумента.

На рис. 1 отражены результаты расчета безразмерной критической нагрузки 2* (2* = р*Е'И) от параметра а. Кривая 1 отвечает спирально армированной обо-

лочке, 2 - биспирально армированной. Как следует из графиков, функции Q*(a) имеют глобальные максимумы при а ~ 30° и локальные максимумы при а ~ 76°, при этом n = 4.

°'100 Q*, МН/м2

0,095

0,085 0,080 0,075 0,070

Рис. 1. Критическая нагрузка

На рис. 2 показана форма потери устойчивости спирально армированной оболочки при а=45°.

меридиана. К этому классу относится большое число гофрированных мембран, используемых в качестве упругих элементов в приборах точной механики [10, 11]. Сферический купол с возможными отклонениями от идеальной поверхности может быть рассмотрен как частный случай.

В 80-е гг. ХХ в. эксперименты, проведенные С. Ямада [12], включающие высокоточные измерения распределения начальных геометрических несовершенств и вертикальных перемещений как в докритиче-ском, так и в закритическом равновесных состояниях сферического купола, показали определяющее влияние таких несовершенств на критическое давление и форму потери устойчивости. В настоящей работе показано, что путем внесения целенаправленных осесимметрич-ных искажений в форму сферического купола можно существенно уменьшить влияние этих несовершенств.

Основные соотношения. В связи с необходимостью учета искажений в форме сферического купола рассмотрим общую задачу для круглой оболочки вращения произвольного профиля. Будем считать, что профиль поверхности такой оболочки, имеющей толщину h и радиус a >> к , в цилиндрической системе координат задан функцией 2 = /(г).

Главные кривизны поверхности вдоль меридиана и параллелей выражаются по формулам:

К =-

f "

(1+f'2)3/2' 2

кп = —

f'

п_ df

r(1 + f '2)

2^1/2 , f ' dr •

В частности, для сферического купола, задаваемого радиусом окружности опирания а и возвышением центральной точки (стрелой подъема) ё,

функция /(г) имеет вид /(г) = л/Я2 - г2 - (Я - , 2 2

где Я = (^ + а )/(2^) - радиус сферы - срединной поверхности купола, а кривизны кх и кг - константы:

к1=к2=1/Я.

Нелинейное поведение рассматриваемых мембран под действием гидростатического давления р адекватно описывается двумерными нелинейными уравнениями, в основе которых лежат гипотезы Кирхгофа. В цилиндрической системе координат эти уравнения имеют вид [3]:

^-Т, +^ + гк^)-гр^ = 0, (14)

дг дф С С

Рис. 2. Форма потери устойчивости

Заметим, что разработанный алгоритм не привязан к цилиндрической форме оболочки. Он легко переносится на произвольную форму оболочки вращения, даже если ее меридиан не имеет простого аналитического выражения. В таких случаях можно использовать сплайновую аппроксимацию, как это сделано в [3] при исследовании устойчивости круглой мембраны с произвольным профилем меридиана.

Устойчивость куполообразной оболочки

В данном разделе представлен численно-аналитический алгоритм определения точек ветвления для круговых мембран с произвольным профилем вдоль

+ Ti2 +

8(rTi2)

dr 12 дф d(rCQi - rSi) | дй_ r dr дф C

дТ22 , S2 sinA2

22 + rk2(Q2 —£) - rp= 0,

1 dS2 cos A C дф

+ dQ2 - r (T + k2T22)-1 dS2 - rp ^osn = 0.

C

Здесь

1 d(rM11 ) M 22 1 дМ 12

Qi =-----1---

r дr r rC дф

q2 =--

1 д(rM12 ) M12 1 дМ.

(15)

+ —— + -

r дr r rC дф S = T A + T\2d2, S2 = T12вх + T22в2, Tn = B(su +ve22 ), T22 = B(s22 + vsu), T12 = B(1 -v)sn, Mn = D(Kn +vk22\ M22 = D(k22 + VKu ), M12 = D(1 - V)Ku ,

1 2 1 2 1

S11 = e11 ' S22 = e22 , S12 = e12 + ^A1A2>

0,090

0,065

ды1 1 ды2 „щ

еп = С—1 + кхы3, e22 =--- + С — + к2ыъ,

дг г дщ г

2е = 2e12

1 ды, „ д ( ы9

--- + rC — I —

г дщ дг ^ г

1 дв C

К11 =C - , К22 = - + в1 дг г дщ г

2к„ = гС дв 1 1 в - ^ы^ 1 дыз

1 л ^ды} 1 ды3 I I +--, в =-С-+ км,, в =---+ кы,

■л л 1 1' 2 л 22'

дг ^ г ) г дщ дг г дщ

С = С (г) =

1

(1 + f '2)1/2

B =

Eh 1 -v2

D = -

Eh3

12(1 -v2)

где щ, и2, и3 - смещения точки срединной поверхности мембраны вдоль меридиана, параллели и нормали соответственно; в1 ,в2 - углы поворота нормали; О, О - поперечные силы; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона. В случае сферического

С = 41 - (г/R)2 .

купола

Для мембраны, жестко защемленной по краю, граничные условия при г = я имеют вид

щ = и2 = щ = 0, 0Х= 0. (16)

Сведение задачи к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Следуя схеме, описанной выше, введём в рассмотрение расширенный 8-мерный вектор У = (7, 72, • • •, 7) с безразмерными компонентами

7. = и1 / И (г = 1,2,3), 74 = в1, 75 = гТ11 КЕН) ,

7б = гТ12 /(Bh). 7, = гМ11 /(Bh2) ; Гбб = г(С0 - Тпв1- T12e2)/(Bh).

(17)

пропорциональными смещениям срединной поверхности мембраны вдоль меридиана, параллели и нормали, углу поворота нормали, продольному и сдвиговому усилиям, изгибающему моменту и перерезывающей силе соответственно.

В терминах вектора У уравнения (14), (15) могут быть представлены в виде

|У = Ь(У, дрУ, р) + ^у, дрУ, р), (18)

где х = г / И - безразмерный радиус; Ь - линейный оператор, в том числе и по параметру р ; N - нелинейный оператор. Матричные выражения этих операторов весьма громоздки и здесь не приводятся.

В случае осесимметричной деформации (и2 = 0,

др 7 = 0) уравнения (18) существенно упрощаются и превращаются в систему ОДУ 1-го порядка

^=-V 7i - (к+К! Тз +1 Ts -

dx

С

Сх

2С'

(19)

Y - 0, dR = KL. y -1 Y , ^ = -V Y + ü Y ,

dx С С dx x хС

"'-о(1V* Л + +vY - K Y.

С x С

dx x

^vA1 -V2)K 22 x

dY

Y - 0, —L = (1 -v2)KzYi +---Y3

dx С

Y +

K1 + vK 2 v Px v 2 , Px

С

YY42 +

2С С '

^ = (1^74 +177 78 +17475. йх 12х С х С

Здесь К1 = кИ - безразмерные кривизны.

Граничные условия для (19) в точке х1 = а / И следуют из (16). В случае жёсткого защемления края они принимают вид

71 (Х1) = 0, 7,(Х1) = 0, 7ДХ1) = 0 . (20)

При численном интегрировании системы (19) общепринят подход, когда условия ограниченности решения при х = 0 заменяются граничными условиями при х = х0 (х0 < 1):

75(х0) = 0, 7Дх0) = 0, 78(х0) = 0 , (21)

что вполне естественно, поскольку согласно формулам (17) эти компоненты при х = 0 обращаются в ноль и являются непрерывными функциями в окрестности нуля.

При численном решении двухточечной нелинейной краевой задачи (19) - (21) эффективно работает метод пристрелки. Существенная особенность его реализации в данной задаче связана с невозможностью выбора параметра нагружения на весь цикл построения характеристики мембраны, т.е. зависимости между силовой (например, приложенным давлением) и геометрической (например, прогибом в вершине купола) характеристиками. Традиционно в качестве такого параметра выбирается либо давление, либо прогиб в центре мембраны, однако в случае сферического купола возможны ситуации (рис. 3), когда между этими параметрами отсутствует функциональная зависимость. Для решения этой проблемы реализован специальный алгоритм автоматического выбора параметра нагружения и, соответственно, пристреливаемых параметров, идейно близкий к разработанному в [13]. В результате задача построения диаграммы нагружения решается достаточно устойчиво, надежно и в приемлемое время, в том числе для весьма тонких оболочек (И/а < 1/300).

2

4

x

Схема исследования устойчивости построенного осесимметричного решения полностью аналогична описанной выше для цилиндрической оболочки.

Сферический купол (численные результаты). В качестве примера на рис. 3 приведены диаграммы осесимметричного деформирования сферических куполов различной высоты, полученные на основе численного решения краевой задачи (19) - (21). В качестве геометрической характеристики пологости купола использован безразмерный параметр [14]

4 (12(1 -у2)а I-—

,_ 7 = «48(1 -V2)-

л1Як

0,6

0,3

1

л/ 1 + d2/a2

По оси абсцисс отложен прогиб в вершине ку- 0 пола, отнесенный к высоте недеформированного купола \1'=и2(0)/с1. Приложенное давление отнесено к критическому давлению, рассчитанному в рамках о, 11 линейной теории упругости для идеального сфери-

ческого купола [15]

p* =

Р

piin

piin =

2E

у2)

На рис. 4 изображены графики зависимости параметра бифуркации (безразмерного перемещения V в центре купола) от параметра пологости X. Линия с индексом 0 соответствует точкам осесимметрич-ной бифуркации. Эти точки совпадают с точками максимума и минимума на диаграмме нагружения -зависимости приложенного давления от прогиба в средней точке купола. Появлению этих точек соответствует значение параметра пологости X = 3,34. Начиная с X = 4,74 появляются две новые точки бифуркации по первой гармонике (кривая 1').

Рисунок 4б демонстрирует резкое возрастание количества точек бифуркации по неосесиммет-ричным модам после достижения геометрическим параметром оболочки X значения 5,5. Расположение точек бифуркации на диаграмме нагружения для купола с Х=5,7 приведено на рис. 5. Это расположение качественно совпадает с результатами, представленными в [16].

Авторы склонны полагать, что столь высокая плотность пересекающихся бифуркационных кривых идеального сферического купола проявляется в эксперименте как высокая степень чувствительности устойчивости купола к несовершенствам геометрии и невозможность предсказать конкретную форму потери устойчивости (например, количество вмятин). Данный факт делает практически бессмысленной работу по разработке усовершенствованных теорий или методов надежного предсказания формы и описания закритиче-ского поведения сферической оболочки на основе модели идеального купола.

Артификация. Описанные выше проблемы показывают, что для изготовления высокоточных мембран, работающих в условиях возможной потери устойчивости или близких к ним, сферическая форма большого погиба не является удачной. В [17] для изготовления хлопающих предохранительных мембран использована концепция и технология артификации -

0,09_

0,07-

0,05

II Л б

а'

55 56 57

Рис. 4. Точки бифуркации. Номера кривых соответствуют номерам гармоник потери устойчивости

геометрической модуляции поверхности сферического купола. Она подразумевает специальные способы изготовления и доводки мембран путем искусственного внесения «несовершенств» и искажений в сферическую форму. Цель этих искажений - устранение (по крайней мере, из некоторой рабочей области параметров мембраны) точек бифуркации по неосесиммет-ричным модам, вносящих неопределенность в тип и характер потери устойчивости и закритического поведения мембраны.

В качестве иллюстрации приведем простую модельную схему такой модуляции, когда верхняя часть купола заменяется прямолинейным участком. Кроме характеристик исходного купола, геометрия мембраны при этом описывается одним дополнительным параметром - высотой t расположения прямолинейного участка.

Задача о модуляции решалась для сферической мембраны толщиной И = 0,1 мм, радиусом опирания а = 25 мм и высотой подъема ё = 0,52 мм. Считая коэффициент Пуассона материала купола равным 0,3, для параметра X получаем значение 5,86, что соответствует наличию точек бифуркации с п = 1,2,3,4 на

3

4

5

2

0,60

0,40

0,20

0,00

0,00

1,00

возрастающем участке диа- о,80 граммы нагружения (как на рис. 5). На рис. 6 представлена диаграмма нагружения модулированного купола плоскость которого находится на высоте / = 0,50 мм. Для сравнения пунктирной линией изображены диаграмма исходного (смодулированного) сферического купола. Кроме существенной разницы в профилях графиков, важным отличием является отсутствие у модулированного купола точек бифуркации на возрастающем участке. В отличие от обоих сравниваемых сферических куполов у модулированной мембраны вообще нет точек бифуркации по модам с п > 1, а точки неосе-симметричной бифуркации по п = 1 (отмеченные ромбиками) расположены в области глубокой закритиче-ской деформации.

Представленные результаты означают, в частности, что для куполообразных оболочек одинаковой толщины, равным отношением стрелы подъема к радиусу окружности опирания и количественно близкими профилями поведение диаграммы осесим-метричного нагружения, а также характеристики устойчивости и тип закритического поведения могут быть качественно различными. Модулирование формы купола позволяет целенаправленно управлять этими характеристиками.

Работа выполнена при финансовой поддержке Южного математического института Владикавказского научного центра РАН, а также в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг.

Литература

1. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы нелинейной теории оболочек : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Л., 1958. 368 с.

2. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М., 1989. 376 с.

3. Гетман И.П., Карякин М.И., Устинов Ю.А. Анализ нелинейного поведения мембраны с произвольным профилем по радиусу // ПММ. 2010. Т. 74, вып. 6. С. 19 - 29.

о n=0

V n=1 (first pair)

n=1 (second pair)

Д n=2

x n=3

□ n=4

0,50 1,00

Рис. 5. Точки бифуркации на диаграмме нагружения 1=5,7

1,50

0,50

p* Г) i \

w

0,00.Г

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00

Рис. 6. Диаграмма нагружения модулированного купола: пунктирная линия -диаграмма нагружения сферического купола того же подъема, кружки - точки осесимметричной бифуркации, ромбики - точки бифуркации по первой гармонике

4. Нарусберг В.Л., Тетерс Г.А. Устойчивость и оптимизация оболочек из композитов. Рига, 1988. 299 с.

5. Бабич Д.В., Кошевой И.К. Устойчивость композитных оболочек с малыми искривлениями образующей. Киев, 1986. С. 1-15.

6. Викторов В.И., Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических оболочек с винтовой анизотропией // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2009. Спецвыпуск. С. 54 - 57.

7. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977. 415 с.

8. ТреногинВ.А. Функциональный анализ. М., 1980. 495 с.

9. Гетман И.П., Устинов Ю.А. О методах расчета канатов. Задача растяжения кручения // ПММ. 2008. Т. 72, вып. 1. С. 81 - 90.

10. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. М., 1981. 391 с.

11. Di Giovanni M. Flat and Corrugated Diaphragm Design Handbook. N.Y., 1982. 404 p.

12. Yamada S., Uchiyama M. Imperfection-sensitive buckling and postbuckling of spherical shell caps // Buckling and Postbuckling Structures: Experimental, Analytical and Numerical Studies / ed. by B.G. Falzon and M.H. Aliabadi. London, 2008. P. 309 - 374.

13. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация (в прикладной математике и механике). М., 1999. 224 с.

14. Singer J., Arbocz J., Weller T. Buckling Experiments: Experimental Methods in Buckling of Thin-Walled Structures.

Поступила в редакцию

Vol. 2. Shells, Built-Up Structures, Composites and Additional Topics. N.Y., 2002. 1732 p.

15. Zoelly R. Über ein Knickungsproblem an der Kugelschale. Zürich, 1915. 84 p.

16. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Осесимметричное закритическое поведение пологих сферических куполов // ПММ. 2002. Т. 66, вып. 4. С. 621 - 634.

17. Пьянков Б.Г., Какурин А.М., Юдин А.С. Экспериментальные и теоретические основы артификации предохранительных мембран // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 2. С. 22 - 24.

_25 марта 2011 г.