Некоторые задачи уклонения от многих преследователей Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 123.456

© Л. С. Чиркова

[email protected]

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УКЛОНЕНИЯ ОТ МНОГИХ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЕЙ

Ключевые слова: групповое преследование, фазовые ограничения, уклонение от встречи, «мягкая» поимка.

Abstract. It is proved the possibility of an escape of the meeting in the second and third order differential game of a group of pursuers and an evader. It is proved the possibility of an escape of the «soft» meeting a inertion evader of group inertion objects.

§ 1. Уклонение от многих преследователей в конусе

В пространстве М” (п ^ 2) рассматривается дифференциальная игра второго порядка к + 1 лиц: к преследователей и один убегающий. Закон движения каждого из преследователей Р. имеет вид

Ж. — Щ, 11и.|| ^ 1

Ж.(0) — Ж0, Ж.(0) — Ж0.

Закон движения убегающего Е имеет вид

y = v, ||v|| ^ 1,

y(0) = y0, з/(0) = y0.

о — „-,0 (1.2)

Дополнительно предполагается, что убегающий в процессе игры не покидает пределы множества О вида

О — {у | у € М” ^, у) < 0, 2 — 1,... , т},

где qj - единичные векторы.

Вместо систем (1.1),(1.2) рассмотрим систему:

2і = Пі - V,

(1.3)

Определение 1.1. Говорят, из начального состояния 2° = (2°, 2°,..., 2°,2°) в дифференциальной игре (1.3) воз-

можно убегание, если по любым измеримым функциям щ(і), 0 ^ і < +го, ||иі(і)|| ^ 1, і = 1,... ,к, можно построить такую измеримую функцию v(t), 0 ^ і < +то,

||v(і)| ^ 1, что ||2і(і)|| = 0 для всех і = 1,...,к, і ^ 0 и

у (і) Є О для всех і ^ 0 . При этом в момент і ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации о состоянии 2° = (я 1 (в), 2 1 (в),...,2& (в),2к (8)) при в ^ і и о значениях щ(і), і = 1,..., к в тот же момент времени. Управление преследователей в момент і ^ 0 формируется на основе информации о состоянии 2(і) дифференциальной игры (1.3) .

Теорема 1.1. Пусть к ^ п — 1, у° Є О, тогда в игре Г из начального состояния 2° происходит уклонение от встречи.

§2. Уклонение от инерционных объектов

В пространстве М” (п ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г третьего порядка к + 1 лиц: к преследователей Рі,... ,Рк и убегающий Е. Закон движения каждого из преследователей имеет вид:

х і — иі, У иі У ^ 1,

Жі(0) = х°, Хі(0) = Х°, Хі(0) = Х°.

(2.1)

Закон движения убегающего имеет вид:

(2.2)

Вместо систем (2.1), (2.2) рассмотрим систему:

2і = «і — V,

(2.3)

О п р е д е л е н и е 2.1. Говорят, из начального состояния 2° = (2°, 2°, 2°,..., 2°, 2°, 2°) в дифференциальной игре (2.3)

возможно убегание, если по любым измеримым функциям «і(і),

0 ^ і < +го, ||«і(і)|| ^ 1, і = 1,...,к, можно построить такую измеримую функцию v(t), 0 ^ і < +го, |^(і)|| ^ 1, что

||2і(і)| = 0 для всех і = 1,...,к, і ^ 0. При этом, в момент

1 ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации о состоянии 2° = (2 1 (в), 2 1(в),2 і(в),...,2к (в), 2їк;(в), 2к(в))

при в ^ і и о значениях «і(і), і = 1,..., к, в тот же момент времени. Управление преследователей в момент і ^ 0 формируется на основе информации о состоянии (і) дифференциальной игры (2.3) .

Теорем а 2.1. Если 0 / со{2°,..., 2°} , то в игре Г из

начального состояния 2° происходит уклонение от встречи.

§3. Уклонение в задаче о "мягкой"поимке

В пространстве М” (п ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г к + 1 лиц: к преследователей Р1,..., Р& и убегающий Е . Закон движения каждого из преследователей Рі имеет вид:

Хі + аХі + Ьхі = иі, ||иі|| ^ 1,

(3.1)

Хі(0) = х°,

Хі(0) = х°.

Закон движения убегающего Е имеет вид:

у + ау + Ьу = V, |^Ц ^ 1, у(0) = у°, у(0) = у°.

(3.2)

В уравнениях (3.1), (3.2) константы а, Ь такие, что А1 = А2 , Л1 , А2 — отрицательные вещественные корни характеристического уравнения А2 + аА + Ь = 0.

Определение 3.1. Говорят, что в дифференциальной игре (3.1) , (3.2) возможно убегание, если существует кусочнопостоянная функция -и(Ь) , ||VУ ^ 1, Ь ^ 0, что при любых кусочно- постоянных функциях щ(Ь), Ци^Ц ^ 1, г = 1,...,к, Ь ^ 0, пара (жг (Ь), У(Ь)) для Ь ^ 0 не попадает в терминальное множество М = {Жг(Ь) = у(Ь), Жг(Ь) = У(Ь), Ь ^ 0} . При этом в момент Ь ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации ж0 = (у(з), У(^), ж® , Ж® ,...,ж0 , Ж^), 8 ^ Ь

и о значениях иг(Ь), г = 1,... , к, в тот же момент времени. Управление преследователей формируется на основе информации о состоянии ж(Ь) = (у(Ь),У(Ь),ж1 (Ь),Ж1 (Ь),...,жк(Ь),Жк(Ь)) дифференциальной игры (3.1) , (3.2) .

Теорема 3.1. В дифференциальной игре Г из начального состояния 0 происходит уклонение от встречи.

Список литературы

1. Прокопович П.В., Чикрий А.А. Одна дифференциальная игра убегания // Доклад АН УССР. Сер. А. 1989. С. 71-74.

2. Иванов Р.П. К вопросу о мягкой поимке в дифференциальных играх со многими догоняющими и одним уклоняющимся игроком // Тр. матем. ин-та АН СССР. 1988. Т.185. С.74-84.

3. Петров Н.Н. "Мягкая"поимка в примере Л.С. Понтрягина со многими участниками // Прикладная математика и механика. 2003. Т.67, Вып.5. С.759-770.

4. Петров Н.Н. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1997.

5. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами/кибернетика. 1976. № 3. С. 145-146.