Некоторые вопросы оценки корреляции доходностей инвестиционных портфелей Текст научной статьи по специальности «Математика»

£1—

УДК 35.073.5

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОЦЕНКИ КОРРЕЛЯЦИИ ДОХОДНОСТЕН ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПОРТФЕЛЕЙ

В.А. Горелик, Т.В. Золотова

Статья посвящена вычислению корреляционных моментов оптимальных портфелей, являющихся решением задачи максимизации линейной свертки критериев математического ожидания и дисперсии. Доказано, что при одинаковой информированности инвесторов оптимальные портфели, соответствующие любым различным значениям коэффициентов риска, положительно коррелированны. Получены условия отрицательной коррелированности портфелей инвесторов с различными оценками доходностей входящих в них финансовых инструментов.

Ключевые слова: инвестиционный портфель, математическое ожидание, дисперсия, коэффициент корреляции, коэффициент риска.

ВВЕДЕНИЕ

Математические модели управления риском в различных сферах деятельности представлены в работах многих авторов. В работе [1] изложен ряд известных и новых результатов в этой области. Одной из наиболее известных задач управления в условиях риска является двухкритериальная задача максимизации математического ожидания доходности и минимизации ее дисперсии, для которой метод нахождения любого Парето-оптимального решения сводится к максимизации разности этих величин с соответствующими значениями весовых коэффициентов, отражающих отношение инвестора к риску [2]. Получающийся портфель, как правило, диверсифицирован, т. е. состоит из множества компонентов (проектов, заказов, кредитов, ценных бумаг), причем хеджирование риска происходит благодаря отрицательной коррелирован-ности доходностей входящих в него финансовых инструментов. Интересен вопрос, как при этом коррелированы случайные величины доходностей портфелей инвесторов с разными коэффициентами риска. Задачи оценки корреляции доходностей различных портфелей ранее не рассматривались, им и посвящено данное исследование.

1. ИССЛЕДОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ

ОПТИМАЛЬНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ ПРИ УСЛОВИИ ОДИНАКОВОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТИ ИНВЕСТОРОВ О ВНЕШНИХ ФАКТОРАХ

Одной из наиболее известных моделей хеджирования несистематического риска на финансовом рынке, связанного с поведением конкретного

вида финансовых инструментов, является модель «математическое ожидание — дисперсия», восходящая к Г. Марковицу [3]. В основе этой модели рынка лежит предположение, что теоретически существует вероятностное распределение n-мерного вектора случайных величин доходностей г. (r от слова return — доход или доходность) финансовых инструментов на фондовом рынке. Практически на основании статистических данных за Т предшествующих периодов имеются оценки математических ожиданий ri и корреляционных моментов аа случайных величин r. доходностей финансовых

IJ i

инструментов, i, j = 1,..., n. Будем считать, что фондовый рынок характеризуется вектором математических ожиданий доходностей финансовых инструментов r = (rp ..., rt, ..., Гп) и ковариационной матрицей

а =

а1 а12 ... а1 n

а2 n

2

а21 а2

стл1 стл2 ...

Это — объективная информация, доступная исследователю (биржевому аналитику). Инвесторы могут при принятии решений использовать эту объективную информацию или руководствоваться своей собственной субъективной информацией. В данном параграфе предполагается, что инвесторы основывают свое поведение на единой объективной информации. Различие между ними заключается в отношении к риску, выражающееся

в значении коэффициента в целевой функции, представляющей собой линейную свертку двух критериев: математического ожидания и дисперсии случайных доходностей портфелей.

Рассмотрим индивидуальное поведение инвестора, управление которого есть вектор х (портфель инвестиций), компоненты которого х; — доли средств, вкладываемых в финансовые инструменты или проекты из конечного списка, / = 1, ..., п. Определим оптимальный портфель как решение задачи на экстремум линейной свертки двух критериев «математическое ожидание — дисперсия»:

тах

х е X

а X г1 х1- ( 1 -а) X стихх

■ I = 1 I,V = 1

(1)

где X = |{х | хг > 0, I = 1,..., п, X хг- = 11, а е (0; 1) —

весовой коэффициент, определяющий важности критериев (коэффициент риска). Как известно [4], ковариационная матрица ст неотрицательно опре-

п

делена, т. е. X ст,.х.х. > 0 для любых действитель-

¿ш^ V ' }

1, V = 1

ных значений х.

Будем называть портфель полноразмерным, если у составляющего его вектора х все компоненты отличны от нуля. Далее нам понадобится формула для определения полноразмерного оптимального портфеля инвестора.

Функция Лагранжа для задачи (1) имеет вид

X (х, 1) = а X г{ хг-

(1 - а) X СТ}хх +

V ' V

1 = 1

+ 1

1, V = 1

1 -

1 = 1

Условия оптимальности полноразмерного портфеля приводят к системе линейных алгебраических уравнений:

а г.

2(1 - а) X х} - 1 = 0,

V = 1

I = 1, ..., п, X х° = 1.

V = 1

Представим систему (2) в виде

(2)

-

X ст« х +

1

V = 1

2(1 - а) 2(1 - а)

I = 1,

-

X х = 1

(3)

V = 1

Система (3) эквивалентна матричному уравнению

г

2

ст1 ст12

стп 1 стп 2

V 1 1

ст1п 1

2

стп 1 1 0 )

-

х1

хп 1

2(1 - а)

\

а г1

2(1 - а)

а гп 2(1 - а) 1

Введем обозначения г = (г1, ..., гп), в =

а

п/" 2(1 - а) в е (0; да). Тогда система (3) примет вид

стх0 +

1

О- о 1

е = в г, х е = 1.

2(1 - а)

(4)

Если матрица ст невырождена, то, выразив из первого уравнения системы (4) вектор х0 =

= вст 1 (Г - 1 е) и подставив его во второе уравне-

ние, найдем множитель Лагранжа 1 = а

-1-ест г

-1 ест е

а

в( ест 1е)

Подставим найденное значение 1 в

выражение для х0: х0 = вст 1 г — ст 1е = вст 1 г —

а

- в а

( -1-ест г

а

а

ест 1е в(ест 1е)

ст-1е. После приведения по-

добных членов получаем, что оптимальный состав полноразмерного портфеля при фиксированном параметре а (или в) вычисляется по формуле

х0(в) = ^ + ест 1 е

( -1-1- ест г -1 щ

ст г--— ст е I в.

ест 1 е

Таким образом, состав полноразмерного оптимального портфеля можно представить в виде

х0(в) = С- + С1в,

(5)

где С0 (С01, ..., С0/, ..., С0п), С1 (С11, ..., Су, ..., С1п)

определяются по формулам

С0 =

1

сте

1

ест е

г — ест г -1 ,(■-. С1 = ст г — -— ст е. (6)

1 ест 1 е

Здесь и далее мы не делаем различия в обозначении вектора-строки и вектора-столбца, считая их соответствующими требованиям операций умножения матриц и векторов.

п

п

п

п

п

п

п

п

п

п

Доходность любого портфеля x есть случайная

n

величина вида ^ r;xf Вычислим корреляционные

i = 1

моменты (ковариации) доходностей оптимальных портфелей двух инвесторов с различным отношением к риску, выражающимся в различных значениях коэффициентов а (как говорилось ранее, здесь вектор математических ожиданий доходностей r = (r1, ..., ri, ..., rn ) и ковариационная матрица ст — единые для всех инвесторов).

Сначала вычислим ковариацию cov( r !, r 2 ) до-

x x

ходностей двух произвольных портфелей, имеющих составы x1 и x2. Здесь rx — доходность портфеля, состав которого х, принимающая случайные значения. Пусть М означает математическое ожидание случайной величины, rx — ожидаемая доходность портфеля. По определению ковариации, учитывая представления случайных величин в едином n-мерном пространстве, получаем

COV(rxi , rx2 ) = M[(rxi - rxi )(rx2

r 2

x

) =

= M

n

Z г;xi

Z г; X1

•i = 1

= M

n

Zrixi

V - 2

Z r; x¡

i = 1

nn

Z(r; - ri) x1 Z(r; - ri) x2

= M

Z (r; - r; )(rJ. - rJ) x1 xj2

i, í = 1

ZM

i, í = 1

(r; - r; )(rJ

rJ )

12 xi xJ =

12

Z CTJ xi x¡

i, J = 1

Таким образом, ковариация случайных величин доходностей двух произвольных портфелей вычисляется через составы этих портфелей по формуле

cov(r 1, r 2 ) = x1ctx2.

(7)

Отметим, что ковариация доходностей двух произвольных портфелей вычисляется с использованием объективной ковариационной матрицы ст, характеризующей рынок, т. е. по формуле (7), независимо от того, какой субъективной информацией пользуются инвесторы при формировании своих портфелей. Для дальнейшего изложения напомним, что ковариационная матрица ст строго

положигельно определена, если V ct,.,x.x. > 0 для

i, J = 1

любых действительных значений x и обращается в нуль лишь при x = 0.

Теорема 1. Если определитель ковариационной матрицы deto ^ 0, то ковариация cov( r 01, r 02) двух

x x

полноразмерных оптимальных портфелей положительна. Если дополнительно ковариационная матрица ст строго положительно определена, то ковариация любых двух оптимальных портфелей положительна. ♦

Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Для этого сначала покажем, что если deta * 0, то ea !e > 0, e = (1, ..., 1).

Из (ax, x) > 0 следует (a- x) > 0 Vx, где (•,•) — знак скалярного произведения векторов. Действительно, рассмотрим уравнение ax = Z. Умножая уравнение на x, имеем (ax, x ) = (Z, x) > 0. С другой стороны, x = a ^ и

(x, Z) = (a-4, Z) > 0 VZ.

Как известно, минимальное собственное число симметрической матрицы a 1 равно минимальному значению квадратичной формы (a- 1x, x) на единичной

сфере (x, x) = 1. Предположим, что 3 x (a x, x) = 0, следовательно, минимальное собственное число p.min = 0.

Тогда характеристическое уравнение det(a 1 — ) = 0, где Е — диагональная единичная матрица, при p.min = 0

дает deta 1 = 0. Пришли к противоречию. Значит,

Vx(x, x) = 1, (a 1x, x) > 0. Для вектора e = — , принадлежи

жащего единичной сфере, имеет место (a 1 e, e) > 0 или и- 1(a- 1e, e) > 0, т. е. ea- 1e > 0.

Рассмотрим двух инвесторов, оптимальные портфе-

01 02 /1Ч ли x и x которых определены из решения задачи (1)

при различных значениях параметра a или, в соответствии с введенными ранее обозначениями, параметра р. Согласно формуле (5), составы оптимальных полноразмерных портфелей инвесторов имеют вид x01 = С0 + С1Р1

02

и x = С0 + С1Р2 соответственно. Из формул (5) и (7) следует, что ковариация двух полноразмерных портфелей есть

cov( rx0i, rx02) = x01ax02 = (C0 + C^MC + C1P2) = = C0aC0 + (qaC^p^ + (C0aC1)P2 + (C^C,^.

Так как матрица a — симметрическая, то имеем равенство C0aC1 = C1aC0 и следующее выражение для ко-вариации

cov(rx0i, rx02) = C0aC0 + (C^p^ +

+ (C0aC1)(P1 + P2). (8)

n

1

1

1

n

n

n

Используя свойства скалярного произведения и формулу (6), имеем

г г — _-1е \ -1- еа-1Г -11 _ а-1е еа-1 Г С ас — -— а| а г--— а е| — -— I г--— е| —

-0й -Г

еа е

1

еа е

1 1 е а е V е а е

— -1- [<а- 1е, г> -ее-^ч--!.--1^! —

еа е V еа е

= _1_ \еа- 1г- ( е_- 1 г)( е_-1 е)! — о.

-1 еа е

-1 еа е

Тогда выражение (8) примет вид еоу( г 01, г 02) —

X X

— С0аС0 + (С1аС1)в1в2-

Так как матрица а неотрицательно определена, то

-1 -1 , -1 ч 1 — а е а е _ < а е, е> _ 1

С1аС1 > 0 а СоаСо — —-а —- —"-т-{ — —- >°

еа е еа е (еа 1е) еа е

Значит, для двух полноразмерных оптимальных портфелей х01 и х02 выполняется неравенство еоу(г 01, г 02) > 0.

X X

Таким образом, доказано первое утверждение теоремы.

Докажем второе утверждение теоремы. Пусть теперь

01 02

х и х — составы двух произвольных оптимальных портфелей. В силу строго положительной определенности матрицы а все ее угловые миноры положительны. Так как от перенумерации случайных величин свойства ковариационной матрицы не меняются, то существует

обратная матрица а^ для любой подматрицы ак ковариационной матрицы а и ек а^1 ек > 0.

тт 01 02

Положительные компоненты х # 0 и х # 0 портфелей

х01 и х02 определяются согласно формуле (5): х°.д (Р1) —

-1

— СО + С1 Р1, х0#2 (Р2) — С2 + С? Р2, где Ск — ,

ек_к ек

-1-

^к -1 - екак г- -1

С1 — ак гк - к к1— ак ек, к — 1, 2, ак — квадратная ек_к ек

подматрица ковариационной матрицы а, Гк — часть

компонент вектора доходностей Г для к-го портфеля, соответствующих положительным компонентам вектора х0к, ек — вектор соответствующей размерности с единичными компонентами.

Найдем значение критерия эффективности Ж(х) —

— а Гх — (1 — а)хах в оптимальных точках х0к, к — 1, 2:

Жк(х0к) — ак Гх0к — (1 — ак)х0ках0к — _ — 0к ¿л \ 0к Ок _ — / | ^ \

— акГк х#0 — (1 — ак) х#0 акх#0 — акГк (С0 + С1 Рк) —

— (1 — ак)(Ск + С1к Рк)ак(С0к + Ск р^ — 1

екак ек

-1-

— ак Гк!-^ + [а-Гкак1ек|Рк

е а е

е а е

— (1 — ак)I + (а-^Гка^ек!вк

е а е

х а

а е

к| -.1 е а е

+ |ак 1Гк-екаТГ-- а^ ек]Рк] —

е а е

— а (Гк ак 1ек

(1 — ак)

е а е

ек ак1 ек

-1-

_-1 = ( екак Гк ) ек ак Ч

+ I Г, а к г, - -

Рк

-1-

+ I а к г,

к'к -^Г1 с- 1ек|Рк| *

е а 1е

ек_к г-

е а е

1

+ , г--_Шек]Рк] —

е а е

— а (г*а*е* , ек _к 1ек

_-1 = (ек_к г- )

— ак| 7-" +1 г- _кЛ - ' - , * - 1 р-

(1 — ак)

1

ек а кек 1

к)1—I-];- + |гк _к га е

1= (ек_к г- ) Ы =

Рк| —

,екак ек , екак ек

— аккк — (1 — а^

где через Мк и Бк обозначены ожидаемая доходность и дисперсия к-го портфеля.

Условия оптимальности для задачи (1) имеют вид

э2(х°Д> < 0, д^0'^ х0 — 0, г — 1, ..., и, — 0,

9х; 9х; ' 9х;

х0 > 0. Для первого портфеля неравенства ^ (х , х) < 0,

Эх;

г — 1, ..., и, системы условий есть а1 Г; — 2(1 — а1) х

п

х ^ а^-х, — X < 0, г — 1, ..., и, или а1 Г — 2(1 — а1)ах01 — ] = 1

— Хе < 0. Представим последнее выражение в виде X Р

ах01 > Р1Г — —- е и, подставляя в него значение X для

-1-

первого портфеля X — а1

1 1 е1_1 е1 р1( е1_1 е1)

, получаем

ах01 >

е1а1 е1 ковариации

' е1 а,1 Г] . + | г—1 11 1 е|Р1. Тогда имеем оценку

е1а1 е1

х02ах01 > х02

е1а1 е1

+ |г-е1_^ е ] Р11 —

е1а11е1

— х

02 #0

е1а11е1

■ + |Г2-fТа/Тe2|Рl| — е1_1 е1 ] ]

-I + (_21Г2-е2_2^_21е2]Р2| X

,е2_2 е2 , е2_2 е2

— + I Г2

е1а1 е1

е1а11А е2|Р1| —

е1а1 е1

1

+ Р1в2|Г2 _21Г2

е2а2 е2

+ Р1

е1а1 е1

-1- _ е2а2 л е1 а1 г

Г1 _

2 и 2 г2__

е2а21е2 е1а11е1

X

1

а

= _1_ - ß1 rifl.fi + -i -i fiai ei fia1 fi

+ ß,íЦ^2 + ír2^ -to&Lp2|.

Vf2a2 f2 v f2 a2 f2

r -if

Учитывая, что M2 = 2 ° 2i 2 e2a2 f2

f2 2 f2

-i-

_-i_ ( f2^2 r2 )

2 a2 r2---I-

f2a2 f2

е2ст2 е2 4 е2ст2 е2 х ст2 — ожидаемая доходность второго портфеля, преобразуем неравенство к виду

x02ax01 > —^ + ß1 fiai fi

M2 - -1- d2 + J- d2 -

2 2ß2 2 2ß2 2

ri O i fi í- -i- (fi CT i ri )

+ I ri CT i ri

fi ai ifi

r a-i r ( f 1 a i ro ria i ri -

f i ai if i

fiai fi

Í^V - J- D + J- Ш --i- IPl 2ß2 1 2ß2 1)

= ßi

M - 2fcD2 - VM - 2feD

-1-

+

fi a i ifi

+

+ I ^ ст i ^ -

fiai fi

Ц ( fi a! ri ))ßi + A d2 - A d, =

^ I^ ' 2ß2D 2ß2D

= ßi

M - J- D - Гм -J- D

2 2 ß2 D Vм i 2 ß D i

+ Di + 2ß2(D2 - Di),

где М1 и _02 — ожидаемая доходность и дисперсии портфелей.

Так как М2 - -р- Л, = -1 Ж2(х02), то М1 - -в ^ =

2р2 ™ °

«2

2ß2

= — Ж,(х01), т. е. М — Д есть значение критерия а2 2 1 2Р2 1

— Ж,(х) в неоптимальной для него точке х01. Поэтому

а 2 2

М2 — -1- 1>2 — - -1-> 0. Если при этом р1 > 2р2, 2 р2 ^ 2р2 ' то в силу оптимальности по Парето _02 > и, следова-

02 01 тельно, х стх > 0.

Если ß1 < 2ß2, то x02ax01 > ß1

M2 - —— D2 -

2 2ß2 2

+ Ji- D2 + í 1 - 2ß-) D1 > 0. Теорема до-

2Р2

казана полностью. ♦

Теорема 2. Если определитель ковариационной матрицы ёйст ^ 0, то для того чтобы оптимальный

портфель x0 был полноразмерным, необходимо и достаточно выполнения условия

max <! 0; max

jCy > о C1/

•} < ß < ' C1y J

C

0j

mm

Ky < 0 C!j.

(9)

где С0 (С01, ..., С0/, ..., С0п), С1 (С11, ..., С1/, ..., С1п)

вычисляются по формулам (6). При этом коэффициент корреляции двух полноразмерных портфелей

01

02

и x

р 01 02 x x

C0CT C0 + ( C1CTC! )ß i ß2

(C0 sQ + (C ctQ )ß1)1/2 (C0 sQ + (C ctQ )ß2 )1/2'

монотонно убывает с ростом величины 8 = ß1 — ß2 и принимает значения из интервала (a; 1], где

a =

-C Í -C

C0aC0 + (CiaCi) min —0 max <{ 0; max —0

= j I < 0 C iy I - I S- > 0 C iy

C0a C0 + (Cia Ci) min V2 x

-ICij < 0 C ij1

> 0>

x I C0a C0 + (Cia Ci)max<j 0; max -C0'

-IS > 0 Ciy

i/2

Доказательство. Неравенства xj. (ß) = C0j. + + Cj.ß > 0, j = 1, ..., n (условие полноразмерности оптимального портфеля) имеют место при следующих ограничениях на параметр ß: если С. > 0, то ß > — СО/С.; если С. < 0, то обязательно C0j. > 0 и 0 < ß < — C0/ С1;, Значит, для тех j е {1, ..., n}, для которых С^ > 0 имеем условие ß > max (—СО/С..), а для тех j е {1, ..., n}, для ко-j\cy > 0

тор^гх С.. < 0 имеем условие ß < min (— С0/ С..). Так как

1 j\Cj < 0 0j 1

условия относятся к разным индексам, то для полноразмерного портфеля выполняются оба эти условия. Учитывая, что ß > 0, имеем ограничение на значение параметра ß в виде (9).

По теореме 1 р 01 02 е (0; 1]. При ß. = ß2 получаем два

X X 12

одинаковых портфеля, и формула (7) дает дисперсию портфеля. Для первого оптимального портфеля дисперсия имеет вид а 01 = С0аС0 + (С.аС.) ßx, а для второго

ст 02 = С0аС0 + (С. а С.) ß2 . Тогда коэффициент корреляции

р 01 02 x x

C0aC0 + ( Cia Ci)ß iß2

(C0a C0 + (Ci a Ci )ßi) i/2( C0 aC0 + (Ci aQ )ß2)/2

Нетрудно видеть, что р 01 02 = 1 при р. = р2. Для дока-

XX 12

зательства монотонности убывания р 01 02 при увеличе-

X X

нии 8 = р1 — р2 выполним следующие преобразования:

2

2

р 01 02

(C0a C0 + (Ci a Ci)ß iß2)

(C0aC0 + (Ci aCi )ßi)(C0 aC0 + (Q a Q )ß2)

= ( C0 a C0 ) 2 + 2 ( Q a Q ) ( Q a Q ) ß ^2 + (Qa Q)2ßiß2 (QaQ0)2 + (QaQ,)(Qa Q)(ß2 + ß2;) + (QaQ)2ßiß2 .

При этом р 01 02 < 1 и

угодно различающимся отношением инвесторов к риску.

1 — р201 02

X X

(С0_ С0)(С1_С1)(Р1 -Р2)2

(С0_ С0 )2 + (С0_ С0)(С1_ С1 )(Р2 + Р2) + (С1_ С1 )2Р2Р2 Фиксируя Р2, имеем Р1 — Р2 + 8. Тогда

2

1 — р 01 02 —

X X

( С0аС0)( С1а С1)82

(С0_ С0 )2 + (С0_ С0)(С1_ С1)( 2Р2 + 2Р28 + 82) + + (С1-С1 )2 Р2(Р2 + 2 Р28 + 82)

2 _( С0аС0)( С1 аС1)8 _ ( С0аС0)( С1_ С1) или 1 — р 01 02 — -25- — -2-1- ,

x x А + В8 + С82 А8 + В8-1 + С

где

А — (С0-С0)2 + (С0_С0)(С1_С1)р2 + (С^)2р2 , В — (С0_С0)(С1_С1)2Р2 + (С1_С1)22Р2 , С — (С0_С0)(С1_С1) + (С^ф2р2 . Следовательно, при росте 8 величина 1 — р201 02 —

X X

(С0 _С0)(С1-С1) — —0 0-1-— монотонно возрастает, а р 01 02 со-

А8 + В8-1 + С x x

ответственно монотонно убывает. Учитывая условие (9),

обеспечивающее полноразмерность портфеля, имеем

а — Нт р 01 02 —

в1 ^ Vе! X X

в2^ тах{0; тах (-С0,/С,.)}

2 ]\су > о 01 1

С0_С0 + (С1 аС1) т1п тах 10; тах

- I Су < 0 С И I - 1 С; > <- С И

С0а С0 + (С1а С1) т1п 1/2 х

]\Су < 0 Сц ]

х | С0аС0 + (С1аС1)тах^ 0; тах -С0'

]\сч>о Си

1/2

Значит, коэффициент корреляции р 01 02 принадле-

X X

жит интервалу (а; 1], что и требовалось доказать. ♦

Таким образом, справедлив интересный и, на наш взгляд, неожиданный результат, что несмотря на возможное наличие компонент портфеля с отрицательными ковариациями, обеспечивающих хеджирование риска для индивидуального инвестора, положительно коррелированны не только полноразмерные оптимальные портфели, соответствующие сравнительно узкому диапазону значений а, но и любые оптимальные портфели со сколь

2. ИССЛЕДОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ ПРИ УСЛОВИИ РАЗНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТИ ИНВЕСТОРОВ О ВНЕШНИХ ФАКТОРАХ

Традиционно предполагается, что инвесторы одинаково информированы о ситуации на финансовом рынке и их различное поведение связано с различным отношением к риску (выбором параметра а). Предположим, что инвесторы обладают различной информированностью о ситуации, складывающейся на финансовом рынке, которая выражается в том, что они по-разному оценивают ожидаемые эффективности компонент портфеля (ковариационная матрица пока считается единой). Рассмотрим двух инвесторов, оптимальные портфели х01 и х02 которых определены из решения задачи (1) при различных значениях параметра в и различных значениях ожидаемых эффективнос-тей. Пусть первый инвестор имеет вектор ожида-

_1 _2 емых эффективностей г , а второй — г . Составы

оптимальных портфелей х01 и х02 инвесторов имеют вид

х01 = 00 + ^ в1 и х02 = 00 + г2 в

(10)

соответственно, где и ^ определяются по формулам

г — ст-1 е п1 _ -1-1 ест-1 г1 -1 С = -— , = ст г — --— ст е,

-0 -1 ест е

1

ест е

-1—2

г2 — -1=2 ест г -1

ь1 = ст г — -— ст е.

ест 1 е

Теорема 3. Если определитель ковариационной матрицы ёйст ^ 0, то ковариация соу( г101, г202 ) двух

X X

полноразмерных оптимальных портфелей отрицательна для г1, г2 и ст, удовлетворяющих условию

(г 1ст-1 г2)(ест-1е) — (ест-1 г 1)(ест-1 г2) < — --1- . ♦ (11)

в1в2

Доказательство. Из формул (7), (10) и симметричности матрицы а следует, что

еоу( г101, г202 ) — х01ах02 —

X X

— (С0 + С1 Р1)а(С0 + С1Р2) —

— С0-С0 + ( С1 а С1 )Р1Р2 + С0_( С1 Р1 + с1 Р2). (12)

Учитывая свойства скалярного произведения и выра-

-1 -1 -1 жение (12), имеем С0аС0 = = • —гг =

еа е еа е еа е еа е

= —З-у- > 0 в силу того, что ёе1а ф 0 и, как было пока-еа- е

зано при доказательстве теоремы 1, еа !е > 0, С0а( С1 Р1 + С? р2) = а [ [а- а-Ор, +

e а e

e а e

, I -1-2 ea V2 -i I о I + la r--¡-a e|ß2 I =

v ea e J )

= lr 1 ß 1 + r2ß2-<e a- 1 ( r 1 ß I + r2 ß 2 »el =

ea e v ea e

1

ea e

'(r1 ß, + r2ß2)a-1e- ( Г 1|3i + r2f2)a-leea-1el =0,

ea e

r-1 r2 - I -1 = 1 ea V1 -1 | \ -1-2 ea V2 -1 I _ C1 aC1 = |a r--— a e|a|a r---—a e| =

1

ea e

1

ea e

I -1-1 ea 1r1 -1 I \-2 ea 1r2 I = l a r--—a e||r--—e| =

1

ea e

1

ea e

-1-1,, -1-2, , -1-1,, -1 -2, _< -i 1 2> , (ea r )(ea r ) (ea r )<a e, r > = <a r , r > + — —

1

ea e

-1-1. , 4-2,

1

ea e

= r1 a-1 r 2 +

- 2-

-1-1,, -1-2,

1

ea e

= r a r

1

ea e

(e a 1_1,, -1-2, r )(ea r )

-1

ea e

(e a -1-1,, -1-2, r )(ea r )

1

ea e

ближе значения их коэффициентов риска. При использовании же инвесторами различной (субъективной) информации ковариация оптимальных портфелей может быть отрицательна. При различной оценке ими математических ожиданий доход-ностей финансовых инструментов и общей оценке ковариационной матрицы условие (11) характеризует степень различия оценок, которая приводит к отрицательной ковариации. При этом предположение о единой оценке ковариационной матрицы не является существенным. Различные оценки ковариационной матрицы отразятся на составах их оптимальных портфелей, которые, естественно, и в этом случае могут быть отрицательно коррели-рованы, изменится лишь вид условия (11).

Как показывают вычислительные эксперименты, коэффициент корреляции оптимальных не-полноразмерных портфелей при одинаковой информированности инвесторов может быть сколь угодно близок к нулю (оставаясь положительным), а неоптимальные портфели, естественно, могут быть отрицательно коррелированы; в условиях же различной информированности инвесторов кова-риация как полноразмерных, так и неполноразмер-ных оптимальных портфелей может быть отрицательной. Таким образом, если рассмотреть некоторую группу инвесторов, то дисперсия условного совокупного портфеля, состоящего из их портфелей, увеличивается при их однотипном поведении (оптимизация в условиях одинаковой оценки доходности даже при сколь угодно отличающемся отношении к риску) и уменьшается при разнотипном поведении (разные оценки доходности или разные принципы рационального выбора).

Тогда выражение (12) примет вид cov( r1oi, r202 ) =

1 + \r 1a-V-2- ( ea-1 r 1 )(ea-1 r 21|ßiß2.

1

ea e

1

ea e

Следовательно, cov( r 01, r 02) < 0, если -— +

x x ea-1 e

+ | r1 a-1r2-( ea r ) (ea r )| ß,ß2 < о. Приведя к обще-

1

ea e

му знаменателю и учитывая, что еа 1е > 0, приходим к условию (11), что и требовалось доказать. ♦

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, показано, что ковариация до-ходностей оптимальных портфелей двух инвесторов, получающихся из решения задачи (1), при использовании ими единой объективной рыночной информации положительна и тем больше, чем

ЛИТЕРАТУРА

1. Горелик В.А., Золотова Т.В. Критерии оценки и оптимальности риска в сложных организационных системах. Научное издание. - М.: ВЦ РАН, 2009. - 162 с.

2. Белолипецкий А.А., Горелик В.А.. Экономико-математические методы: университетский учебник. — М.: Изд. центр «Академия», 2010. — 368 с.

3. Markowitz H.M. Portfolio selection // Journal of Finance. — 1952. — N 7. — Р. 77—91.

4. Вентцель Е.С. Исследование операций. — М.: Высш. школа, 2007. — 206 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Е.Я. Рабиновичем.

Горелик Виктор Александрович — д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотрудник, Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, г. Москва, ® (499) 135-62-04, И [email protected],

Золотова Татьяна Валерьяновна — д-р физ.-мат. наук, доцент, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, И [email protected].