Некоторые вопросы метода „дискретных вихрей" решения линейных задач теории крыла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977

№ 6

УДК 518.61

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДА „ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ" РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ КРЫЛА

И. Я■ Тимофеев

Показано, что при неограниченном увеличении числа дискретных вихрей, заменяющих непрерывный вихревой слой несущей поверхности, они индуцируют во внутренних точках несущей поверхности то же значение нормальной к поверхности скорости жидкости, что и в случае непрерывного вихревого слоя.

В последнее время для определения напряженности непрерывного вихревого слоя большое распространение получил метод .дискретных вихрей" [1, 2]. В этом методе непрерывный вихревой слой на несущей поверхности заменяют системой дискретных подковообразных вихрей, после чего задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений. В настоящей работе доказывается, что при неограниченном увеличении числа дискретных вихрей последние индуцируют во внутренних точках несущей поверхности то же значение нормальной к поверхности крыла составляющей скорости жидкости, что и в случае непрерывного вихревого слоя.

I. Пусть в трехмерном пространстве /?3 идеальной несжимаемой ЖИДКОСТИ в ПЛОСКОСТИ Р движется С ПОСТОЯННОЙ скоростью Коо плоская несущая поверхность 5. Ниже предполагается, что 5 движется бесконечно долго, свободная вихревая пелена 5*, сошедшая с 5, лежит в плоскости Р.

Если Охгх2х3— связанная с 5 декартова система координат (фиг. 1), то несущая поверхность 5 расположена в плоскости Р(х3 — 0) и движется параллельно оси Ох2 в сторону отрицательных значений хг. Пусть на 5и 5* расположен непрерывный вихревой слой, который, следуя [1, 2], заменим системой дискретных вихрей. Для этого разобьем 5 и 5* прямыми, параллельными осям Охх и Ох2, на квадраты со стороной а и введем обозначения: 5г — квадрат со сторонами К„ строго лежащий в 5и5*; х1—центр

квадрата 5,. Перенумеруем все квадраты 5,- (см. фиг. 1) и поло-00

ЖИМ 5оо — и /=1

Рассмотрим квадраты, расположенные в полосе между прямыми xt = const, Хг + а — const, и обозначим через Пу стороны полубесконечного прямоугольника (см. фиг. 1), составленного из всех квадратов этой полосы, лежащих правее квадрата SjClS, включая последний. Под П^-вихрем ниже подразумевается вихревая нить, расположенная на сторонах прямоугольника. Интенсивность Г;. этого вихря положительнее, если вихревая нить задает

обычную ориентацию сторон П^. Заменим тепер непрерывный вихревой слой на 5^15* системой П;-вихрей с интенсивностями Г,..

По закону Био-Савара скорость индуцированная П;-вих-

рем единичной интенсивности в точке Xі,

<■>

Здесь у — радиус-вектор из начала координат в текущую точку на П,-, х‘ •— радиус-вектор точки х.

Если на несущей поверхности 5 имеется п П;-вихрей, то скорость, индуцированная в точке Xі всеми вихрями поверхности 5,

П

(2)

/=і

Используя (1) и определение П^-вихря через квадраты 5г, перепишем сумму (2) в виде .

(*')=-і Е Г/ I гт~\ X ЛКР (3)

4,1 /=1 к. I -*- УI3

где предполагается, что на сторонах К; расположены вйхревые нити интенсивностью Гу, причем Т, = Тр + Гр+1 + Г?, если

квадрат 5;- со сторонами К.] содержится в Пр, Пр+1 , . . . , П?-вих-рях с напряженностями Гр, Гр+1 , . . . , Г? соответственно.

2. Докажем справедливость следующей теоремы.

Пусть функция f(x) задана в плоскости Р и удовлетворяет условиям:

/(я^Со.Д^ПС^иЗ*), 0 < а < 1,

/(х) = 0, * е

тк=о.

|/(-':)|С’1<оо, л;(;5и5*;

[у/(^)|<СгРГа(0<а<1), С2 <оо,

(4)

где Рг—расстояние от х до границы 5и 5*.

Последнее неравенство в (4) является следствием первого включения [3]; определение функциональных пространств Со,<*((2) и можно найти в [3]. Положим

г; = д*о, (5)

тогда в любой точке х1, строго лежащей в 5, при а -> О имеем

limva(xt)■=v(xt), (6)

а-+0

где v(xi) — скорость, индуцированная в х1 непрерывным вихревым слоем с плотностью ч = (д//()х1, д//‘дх2) на 5115*.

Точка х1 строго лежит на несущей поверхности 5 при а -> О, если расстояние х1 до границы 5 превосходит произвольное фиксированное число р>0 для всех а.

Для доказательства теоремы предположим, что 51)5*—область в плоскости Р с границей Ь, являющейся простой кусочно-гладкой

кривой в смысле работы [4], такой, что длина части лежащей

в любом квадрате Нц с центром в начале координат и стороной /?, ограничена числом / (/?). Поверхность 5 ограничена, т. е. целиком содержится в Нц0 для некоторого /?0<сс.

Непрерывный вихревой слой на 5и5* с плотностью у индуцирует в любой точке х^Б скорость, нормальную к поверхности 515]:

= ,Х1 ~ * ^ ~ нт У, (х) + У2 (х). (7)

' ! 4JtJ \х — у|8 У ' 4л —у|8 ду.2 У 1У ’■ ' } \ /

Для точек х, строго лежащих на поверхности 5, сингулярные интегралы .Д и 72, в силу условий (4), существуют [6]. Пусть Нц— описанный выше квадрат со стороной положим 5#=-

= Нц П (5и5*) (см. фиг. 1) и обозначим через т число квадратов 5, в 5#.

Ниже 5'С15 и 5* — подобласть 5’ и 5*, граница которой находится на расстоянии Р]>0 от кривой /. (фиг. 2). Положим Д5 = = (5у 5*)\5'.

ь

и,хша

(5ив*)пнг

Фиг. 2

Если 5^ = (5 и 5*)\/У/г, то, учитывая (3) и (7),

<?/ ../ . V

I ® (*0 — (*') | <

4те I

-±г'4^

1-^ ^

X йК,

+

/-

5Л

1

4%

^-У) дУ1 + ^х2-У^ дУ2 ^ _

j (х' - У'] ду, + (4

-г

4тс

д/

Iх У \

д/

+

Г (Х1 ~ У'] дУ1 + (хг-У*)дУа . ,

J у1 +

А5П5,

I

4л

У=т+1 VI 1 * 1

1

(8)

13 последнем члене суммирование производится по квадратам Для второго члена в выражении (8), в силу условий (4),

имеем

1

4тс

/

«'П^г

(^-у»)а^ + и-уа)/уг

| д:1 — у |3 у

<Лр?.

Здесь А — постоянная, не зависящая от рь Я и /?0.

Поскольку выражение |у/(*)| интегрируемо в 5(_|5* в силу условий (4), то третий член в выражении (8) оценивается следующим образом:

_1_

4я

1

/

(х\

' Л) дуг + (Х2

■ У?)

К

дуг

Д5п5г

4% (Я - «о)1

/

Д5П«’С

|*‘~У|3

Уі^уіІ \дуг

! У I2

(і 9 <Г А' о1—'1

(10)

где А' — постоянная, не зависящая от рх, Р?, Я0.

Наконец, из условий (4), (5) и формулы Грина для четвертого члена в выражении (8) имеем:

_1_

4гс

КЛУ

— Xі з 1

_1_

4л

Ег;;

1=т +1

5у дУз

с1Бу

<

<тах|/(х)|

Г 1 д2 1

V Нуі I ■** - У I

< /?-

-Ло ’

(П)

где Л" — постоянная, не зависящая от р,, /? и /?0-

Пусть р>4рь строго лежит в 5, т. е. х^Б и х‘0£ Б' для некоторого фиксированного рі>0; 6’8 — квадрат с центром в х*, со стороной 0<8<р/4, положим 5' = 5'\5а (см. фиг. 2). Обозначим: Е1], Е2], Ег} — стороны квадратов 5г, параллельные оси Ох1} расположенные в Д5, 5б соответственно; Л,Д,;-, £)3;-— стороны

параллельные оси Ох2, расположенные в Д5, 5а, 5б соответственно; Р\> Рч> Ръ — числа сторон Е1 у, Е2у, £3/ соответственно; ци <?2, <73— числа сторон Л1;-, £2у, /)8у соответственно.

Определим на б^П^оо кусочно-постоянную функцию

/,»(*)=/(*'),

и обозначим через [/]2у и [/1^ скачки функции /ш (х) на Ещ и Ок), Л = 1, 2, 3 соответственно. Поместим начало координат в точку х‘ и для первого члена в неравенстве (8) найдем

І -т^^-ЕЕМ.,;^

4тс

5/г

+ 4^

Г = л

,) 1 З» І3 ду2

!=1 /=1 3 ^

ІУІ3

+

'у | I у 13

й = 1/=1 Ек}

здесь через / обозначен первый член в выражении (8).

Если квадраты и 5;+1 имеют общую сторону _ определения [/]2;- в силу условий (4) по теореме о конечных приращениях [4] получим

1 /Ь/-“$;<">> <13>

где V — некоторая точка на прямой, соединяющей точки х1, х‘+1 и пересекающей сторону Ек} квадрата (фиг. 2).

(12)

ТО ИЗ

Имея в виду (13), оценим второй член в неравенстве (12), обозначив его через /2:

4я /, <

I

"Нзі^у

УI3 ду2 У

4- а

рі

Еи

+

•*, ІУІ3^Уг у 1 V І3

1$г

У2 д/

\ у |3 ду%

/=і Рз

дУг

V

+

а

17=1

(14)

Для первого и четвертого интегралов в неравенстве (14), учитывая условия (4), найдем:

Уа М. І У I3 ду?

СІЗ„

I ь

з£оо-

ж

ду2

(0)

< Л, 8".

(15)

Здесь при оценке второго интеграла использовано обычное определение сингулярного интеграла [6], Л, (Я) -- постоянная, зависящая только от Я, А2 — постоянная, не зависящая от 8, /?, Я0 и Пусть 5^ — квадрат со стороной а, центр которого расположен

на середине отрезка Е2} (см. фиг. 2), В силу условий (4) функции дf|дy2 и у%!\у\ь регулярны в а для р2 справедлива

оценка /?2-< Лз/(/?)/?/с?2, где Лз — постоянная, для третьего члена в неравенстве (14) получим

і рз

У2 аУі

! У I

1-І £2/

Р 2

\У\

<1уг йу2 < а: I(/?) /?а«/8» = Л* (/?) а*/8®, (16)

/

где постоянная АЪШ) зависит только от Я.

Чтобы оценить второй член в неравенстве (14), заметим сначала, что рх •< А41 (/?) р!,/а2, следовательно, учитывая условия (4), найдем для него

<17>

1=1

/=і

Р3

где г—расстояние от _у до кривой /, (границы 5#), Л4 (Я) зависит только от /?.

Прежде чем оценить последнюю сумму в неравенстве (14), заметим, что стороны Еъ 1 расположены симметрично относительно начала координат в Бъ, поэтому

Таким образом, для последней суммы в неравенстве (14) достаточно оценить следующее выражение:

Ра

В = а

К

дуг

(0)

У2^У1

I У I3

для которого, по условиям (4), имеем:

В < А5а

Учитывая теперь, что 1

3;

Рз

Р з Рг

2 1"|*/ тзчг <^2-2 I

/-1 Е3) 1 * 1 /=1

а! У!

12—сс

со.

Л I У I |у

,2—а

/=1 ^у I Л

• СО

монотонно при )| —0, получим для В окончательную оценку

Рз

£< аА'ь2а'^1 /=1

й(у!

V3'

|2—в

<л

‘21

(19)

где Л5 — постоянная, не зависящая от 8, /?, р^

Аналогично можно оценить и первый член в формуле (12).

Полученные неравенства позволяют доказать предел (6), а тем самым и теорему. В самом деле, фиксируем произвольное е>0 и выберем И так, чтобы правые части в (10) и (11) не превосходили е/13, затем положим р! таким, что правые части в (9), (15) и (17) были меньше е/13. Пусть теперь 8 таково, что правые части во второй формуле (15) и в (19) не превосходят е/13, и наконец, так как а -» 0, то всегда можно добиться, чтобы правая часть в (16) была меньше г/13. Рассуждая аналогично при оценке первого члена в 12 и суммируя все перечисленные выше неравенства, из неравенств (8) и (12) получим предел (6). Здесь следует сделать несколько замечаний.

Во-первых, из условия (5) в формулировке теоремы и и» определения Гу через интенсивности прямоугольных Пу-вихрей следует:

г/=<!<*>“•

где Гу — интенсивность Пу-вихря, V — та же точка, что и выше (см. фиг. 2).

Во-вторых, в ходе доказательства существенно тождество (18); последнее выполняется тривиально, если х'-- центр симметрии ячейки на которые разбивают поверхность 5 и 5* в методе „дискретных вихрей11. Например, если имеют вид ромбов, то все оценки, полученные выше, останутся в силе, в том числе будет справедливо и тождество (18), если х1 — центр симметрии ромба 5,- Более того, можно потребовать, чтобы вместо тождества (18) выполнялось более слабое соотношение: при а -»0

Рз

= 0 (а).

(20)

Тогда теорема снова справедлива, ибо для всех оценок, кроме (19), несущественна форма ячеек 5,, а оценка (19) будет

иметь место при а -*■ 0 в силу условия (20). Например, условие (20) выполнено для обычного метода „дискретных вихрей" в [1, 2], где вместо прямоугольных Пу-вихрей используются косые подковообразные вихревые особенности. В этом случае 5, имеют вид трапеций при любом конечном а, которое при а 0 будет стремиться к параллелограммам, а точки х1— к центрам симметрии этих параллелограммов.

В-третьих, следует отметить, что сумма (3) аппроксимирует сингулярные интегралы весьма специального вида [7]; для более общих сингулярных интегралов доказанная теорема уже не имеет места. Сумму (3) нельзя рассматривать и как „интегральную" сумму для сингулярных интегралов (7), как показывает простое сравнение определения интеграла через интегральные суммы от регулярной функции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М., „Наука",

1971.

2. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. М., ,Наука", 1975.

3. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., „Наука*, 1964.

4. К а р т а н А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М., „Мир", 1971.

5. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. М., Изд. иностр. лит., 1958.

6. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., „Мир", 1973.

7. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М , „Наука", 1972.

Рукопись поступила 31VI 1977 г.