CC BY
13
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2001. №3. С. 21-23.
© Омский государственный университет УДК 519.8
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
С.Л. Сухих
Омский филиал Института математики имени С.Л.Соболева СО РАН лаборатория дискретной оптимизации 644099, Омск, ул. Певцова, 131
Получена 14 мая 2001 г.
In this paper the resource constrained project management problem is considered. The objective is the maximization of the net present value (NPV) of all cash flows of the project. We obtain the conditions of solvability of the problem, the monotonicity condition of the objective function and show the properties of the early schedule. The algorithm of solving the problem, where the partial order of jobs is not fixed and cash flows of each job are simple, is suggested. The complexity of the algorithm is estimated.
Keywords: project management, project scheduling, cash flows, net present value.
Введение
В теории и на практике возникает множество разнообразных задач календарного планирования проектов с учетом ограничений на ресурсы. Достаточно продолжительное время преобладали задачи, связанные с минимизацией срока выполнения всего проекта, соблюдением заданных директивных сроков или оптимизацией других регулярных критериев. Эти задачи актуальны в случае, когда необходимо выполнить космические или военные программы, освоить месторождение, построить предприятие и т.д. Основное внимание в этих постановках уделяется срокам выполнения работ, а финансовые аспекты (капиталовложения, прибыль и прочее) носят второстепенный характер. В последние годы стали актуальны задачи, в которых ключевыми являются понятия финансовых потоков и прибыли. В них рассматриваются разнообразные нерегулярные критерии, когда главную роль уже играет не общий срок завершения работ, а получаемая прибыль. Среди этих задач можно выделить несколько основных: задача календарного планирования с дисконтированием потоков платежей (the resource constrained project scheduling problem with discounted cash flows), задача планирования платежей (the payment scheduling problem) и другие [1-3, 5]. В большинстве своем они являются NP-трудными в сильном смысле.
В этой статье рассматривается постановка за-
1 e-mail: [email protected]
дачи календарного планирования с критерием чистой приведенной прибыли. Главной особенностью этой задачи является то, что ресурс (капиталовложения или финансы) не только потребляется, но и воспроизводится при выполнении работ. Таким образом, часть работ выполняется за счет реинвестирования получаемой прибыли. Реинвестирование прибыли - это существенная особенность задачи, которая не встречается в постановках других авторов.
В разделе 1 представлена постановка задачи и описаны некоторые ее основные свойства. А в разделе 2 исследуется частный случай задачи, в котором порядок выполнения работ не фиксирован, а поток платежей каждой работы является простым.
1. Формулировка задачи и некоторые ее свойства
Предположим, что имеется множество взаимосвязанных работ {1, 2,..., N}. Каждая работа ] характеризуется длительностью г^ 6 2+ и потоком платежей, который представляется вектором размерности т : (pj (0), pj (1),...,pj (т^)). По существу, pj (£) - это разность между доходами и капиталовложениями от выполнения работы ]. Причем, если pj (£) < 0, то в этот момент капиталовложения превышают поступления; если Pj > 0, то поступления больше капиталовложений на эту величину.
22
С.Л. Сухих.
Финансовые ресурсы для выполнения работ, имеющиеся в момент времени t, будем задавать величиной K(t) (t = 0,1, 2,..., T), где T - верхняя оценка длины периода планирования. Их не хватает для выполнения всех работ. Поэтому часть работ будет финансироваться за счет реинвестирования прибыли, полученной от уже выполненных работ.
Взаимосвязь работ задается частичным порядком их выполнения: если работа i предшествует работе j, то j не может начаться раньше окончания работы i .
Требуется найти календарные сроки выполнения работ, при которых: сохраняется заданный частичный порядок, суммарный поток платежей в каждом интервале [0, t] (t G [0,T]) неотрицателен, а прибыль является максимальной. Чистая приведенная прибыль (Net Present Value, NPV) для произвольного потока платежей P = (p(0),p(1),... ,p(T)) определяется по формуле
P = NPV (P) = ^
p(t)
t=о
(1 + ro)t
где го - рыночная стоимость капитала. Обозначим через pj прибыль работы ] , вычисленной по предложенной выше формуле, а через tj - время начала выполнения работы ] .
Данная задача является КР-трудной. Выделим некоторые ее свойства.
Определение 1. Расписание ... ) на-
зывается допустимым, если для любого момента времени t баланс платежей является неотрицательным и, кроме того, соблюдается частичный порядок выполнения работ.
Лемма 1. (О сдвиге работы). Если в расписании (^^2,... , ^) некоторую работу к можно сдвинуть:
1) на более ранний срок при рк > 0,
2) на более поздний срок при рк < 0,
то значение целевой функции не уменьшится.
Заметим, что если го = 0, то при сдвиге работы значения целевой функции будут строго возрастать. Отсюда вытекает важное свойство задачи.
Утверждение 1.
(Условие монотонности). Пусть pj > 0 (] = 1,2,..., Ж). Если расписание
t = (^^2, ) покомпонентно меньше рас-
писания ^ = (^^2,...,^) и эти 'расписания допустимы, то ЖРУь < ЖРУ# .
Данное утверждение позволяет в допустимом расписании сдвигать работы с положительной
прибылью на более ранние сроки, улучшая при этом значение целевой функции. Однако такой локальный сдвиг, вообще говоря, не приводит к глобальному оптимуму.
Следствие 1. Если для некоторой работы pj < 0 , то сдвиг этой работы на более поздний срок не ухудшает значение ЖРУ -критерия задачи.
Отсюда вытекает, что если другие работы проекта от работы ] не зависят и директивный срок ее выполнения не задан, то значение tj не ограничено сверху. Это означает, что работа ] не будет выполнена.
Определение 2. Расписание Й?,..., ^) назовем ранним, если оно удовлетворяет частичному порядку выполнения работ и, кроме этого, для любой работы ] время начала ее выполнения tj не может быть уменьшено без нарушения частичного порядка.
Вообще говоря, для задачи календарного планирования с ЖРУ-критерием раннее расписание не всегда является допустимым, так как оно может не удовлетворять ограничениям на ресурсы или балансу платежей в каждый момент времени.
Следствие 2. Если ограничений на ресурсы нет, то раннее расписание является допустимым, а если при этом pj > 0 (^ = 1, 2,..., Ж), то оно является единственным оптимальным расписанием для ЖРУ -критерия.
Утверждение 2. (Условие разрешимости задачи). Если г0 =0 и ЖРУ (К) > 0, то задача разрешима.
2. Задача с независимыми работами
В этом разделе рассматривается случай задачи, в которой зависимость между работами отсутствует, т. е. все работы могут выполняться независимо друг от друга. Кроме того, предполагается, что все работы имеют единичные длительности: т = 1 (^ = 1, 2,..., Ж). Соответственно поток платежей работы ] представляется в виде (р5 (0),р5 (1)), где р,- (0) < 0, р,- (1) > 0 .Без ограничения общности можно считать pj (0) целочисленным. Поток платежей данного вида называется простым.
Основная идея алгоритма заключается в последовательном решении для моментов t = 0,1, 2,... задачи о рюкзаке на множестве еще не выполненных работ.
Замечание. Если —pj (0) > , то работа
] неприбыльна и ввиду следствия 1 она выпол-
Некоторые свойства.
23
няться не будет. Поэтому без ограничения общности считаем, что все работы прибыльны, т. е.
-ъ (0) < Й).
Пусть К0 = К(0), /0 = {1, 2,..., N}. Ш!аг > 0). Определение работ, выполнение которых начинается в момент времени t.
На данном шаге решается задача о рюкзаке следующего вида:
T N
е K(t) ■ (1 + re)4 + е Pj ■ (1 + ro)T-tj, T = ín.
t=i
j=i
E (+ Pj (0))х5 ^ max je it
- E XjPj (0) < Kt
je it
Xj £ {0,1}
Vj £ It,
где К4 и / - объем капитала и множество индексов, полученных на предыдущем шаге алгоритма соответственно. Если эта задача разрешима, то работы, входящие в вектор оптимального решения {хд : ] 6 /(}, выполняются в момент времени t. Далее осуществляется переход на шаг ^ +1)
N
с объемом капитала К4+1 = (К4 + Е хд ■ рд (0)) ■
5=0
N
(1 + г0) + Е хд ■ Рд (1) + К^ + 1) и множеством
5=0
индексов /4+1 = {1 | I 6 /(,х; = 0}. Если эта задача неразрешима, то происходит переход на шаг ^ + 1) с К4+1 = К ■ (1 + Г0) + К(t + 1) и множеством индексов работ /4+1 = /.
Процесс продолжается до тех пор, пока множество индексов / не окажется пустым, т. е. выполнятся все выбранные работы.
Локальная оптимальность решения вытекает из следующего факта.
Утверждение 3. Пусть даны две работы с потоками платежей Р1 = (р1(0),р1(1)) и Р2 = (р2 (0), р2 (1)), некоторый текущий капитал К, причем К < р1(0) + р2(0), р1(0) < К, р2(0) < К, г0 - цена капитала на рынке. Тогда при условии, что р2 > р1, вторая работа должна выполняться раньше первой.
Похожий результат для непрерывного случая представлен в работе [4].
Оценим трудоемкость данного алгоритма. На каждом шаге задача о рюкзаке решается методом динамического программирования, трудоемкость которого равна произведению размера рюкзака на количество предметов (работ), упаковываемых в рюкзак. Легко заметить, что наиболее трудоемким будет случай, когда при решении задачи на каждом шаге выбирается одна работа. Пусть вектор tN) - решение задачи, тогда трудоемкость алгоритма равна N ■ К0 + ^ - 1) ■ К1 + ... + KN-1 < N2 ■ Ктах, где Кп = К„_1 ■ (1 + Г0) + р„п , Ктах = ^-1 =
T
Следовательно, Kmax = Е K(t) ■ (1 + r0)4 + N ■
t=i
(1 + ro)T ■ max p..
j=i,2,...N j
Таким образом, общая трудоемкость алгоритма не превосходит
T
N2(^ K(t) ■ (1 + ro)4 + N ■ (1 + ro)T ■ .max np,).
Утверждение 4. С ростом числа работ N в проекте величина (1 + r0)T имеет порядок N ' g°(a0x) , где pmax = niax |Pj (0)| . Следовательно, трудоемкость алгоритма не превосходит N3(NPV(K)+ N ■ max p.).
j = 1,2,...N
Был проведен небольшой вычислительный эксперимент, который показал, что на практике алгоритм дает либо точное, либо хорошее приближенное решение.
[1] Brucker P., Drexl A., Mohring R., Neumann K. and Pesch E. Resource-constrained project scheduling: Notation, classification, models, and methods // European Journal of Operational Research, 112, 1999. - P.3-41.
[2] Herroelen W. S., Van Dommelen P. and De-meulemeester E. L. Project network models with discounted cash flows a guided tour through recent developments // European Journal of Operational Research, 100, 1997. - P.97-121.
[3] Servakh V. A dynamic programming algorithm for some project management problem // Proceedings of the International Workshop "Discrete optimization methods in scheduling and computer-aided design", Minsk, 2000. - P.90-92.
[4] Koon-lam Shea, Tai-man Tang, and Ping-shu Tso. Optimal investment sequence // Economic Theory, 12, 2000. - P.215-219.
[5] Ulusoy G., Ozdamar L. and Bayyigit M. A heuristic treatment of tardiness and net present value criteria in resource constrained project scheduling // International Journal of Physical Distribution and Logistics Management, 28, 1998. - P.805-824.
