CC BY
23
УДК 512.62
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА д-ИЧНЫХ БЕНТ-ФУНКЦИЙ
В. А. Шишкин
Рассматриваются свойства бент-функций над полями характеристики 2. Расширен спектр значений параметров, при которых можно указать точные значения весовой структуры д-ичной бент-функции. Показано также, что если весовая структура д-ичной функции имеет специальный вид, то значение периода данной функции делится на определённую величину.
Ключевые слова: бент-функция, период функции, уравнения в конечных полях.
Пусть Р — конечное поле мощности д = 21, I ^ 1, и Q — расширение степени п поля Р. Будем рассматривать функции вида ^ : Q ^ Р. Пусть 9 — примитивный элемент поля Q. Периодом функции ^ будем называть период последовательности и(г) = ^(9г), г Е М0 [1]. Через Да(^) будем обозначать число решений в поле Q уравнения ^(ж) = а, а Е Р. Набор чисел (Жа(^) : а Е Р} будем называть весовой структурой отображения ^.
Существует несколько подходов к обобщению понятия бент-функции на случай д-ичных отображений [2]. Мы пользуемся определением д-ичной бент-функции, впервые предложенным в работе [3].
В [4] получен ряд результатов, характеризующих период и весовую структуру д-ичных бент-функций.
Теорема 1 [4]. Пусть п > 2 и функция ^ является бент-функцией. Тогда
ад ) = дп-1 + Па дп/2-1, где па принимает целые нечётные значения в интервале [— (д — 1), д — 1].
Утверждение 1 [4]. Если п > 2 и ^ есть бент-функция, то её период £ удовлетворяет неравенству £ ^ дп/2 — 1.
Легко показать, что приведённые результаты справедливы и при п =2.
В [4] также продемонстрировано, что при ряде значений параметров оказывается возможным указать точные значения весовой структуры бент-функции. В данной работе приводятся результаты дальнейших исследований в этом направлении.
Заметим, что если период £ бент-функции удовлетворяет неравенству £ < дп — 1, то, ввиду утверждения 1, значение £ делится либо на дп/2 — 1, либо на дп/2 + 1.
Теорема 2. Пусть период бент-функции ^ удовлетворяет неравенству £ < дп — 1 и ^(0) = с. Тогда
1. Если период ^(ж) делится на дп/2 + 1, то
Уа Е Р\{с} (Да(^) = дп-1 — дп/2-1) ,
^е(^) = дп-1 + (д — 1)дп/2-1.
2. Если период ^(ж) делится на дп/2 — 1, то
Уа Е Р\{с} (Да(^) = дп-1 + дп/2-1) ,
Дс(^) = дп-1 — (д — 1)дп/2-1.
Имеет место следующее утверждение, которое представляет в некотором роде обратный результат.
Утверждение 2. Пусть е Е {-1,1} и весовая структура функции F для некоторого с Е P описывается значениями
Va Е P\{с} (N0(F) = qn-1 + eqn/2-1) ,
NC(F) = qn-1 - e(q - 1)qn/2-1.
Тогда значение периода функции F делится на величину qn/2 — е.
Представленные утверждения позволяют в ряде случаев указать точные значения весовой структуры q-ичных бент-функций. Однако, как показывает следующее утверждение, область действия данных результатов существенно ограничена.
Утверждение 3. Пусть H — множество всех гомоморфизмов из группы (Q, +) в группу (P, +). Множество функций {F + h : h Е H} содержит не более одной функции, период которой строго меньше — 1.
Таким образом, среди бент-функций вида F + h (где h — гомоморфизм соответствующих групп) не более одной функции может иметь период, значение которого удовлетворяет условиям теоремы 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузьмин А. С., Марков В. Т., Нечаев А. А., Шишкин В. А., Шишков А. Б. Бент-функции и гипербент-функции над полем из 21 элементов // Проблемы передачи информации. 2008. Т. 44. Вып. 1. C. 15-37.
2. Токарева Н. Н. Обобщения бент-функций. Обзор работ // Дискретн. анализ и исслед. операций. 2010. Т. 17. Вып. 1. С. 34-64.
3. Солодовников В. И. Бент-функции из конечной абелевой группы // Дискретная математика. 2002. Т. 14. Вып. 1. С. 99-113.
4. Кузьмин А. С., Нечаев А. А., Шишкин В. А. Бент- и гипербент-функции над конечным полем // Труды по дискретной математике. 2007. Т. 10. С. 86-111.
УДК 621.391: 519.728
О СРАВНЕНИИ НЕДООПРЕДЁЛЕННЫХ АЛФАВИТОВ1
Л. А. Шоломов
Представлены несколько подходов к сравнению недоопределённых алфавитов по силе и доказана их эквивалентность. Установлено, что введённые соотношения по силе полиномиально проверяемы.
Ключевые слова: недоопределённый алфавит, равносильные алфавиты, энтропия недоопределённых данных, сложность по Колмогорову.
Задан конечный алфавит A0 = {a^ : i Е M} основных символов. Каждому непустому T С M соответствует недоопределённый символ aT, доопределением которого считается всякий основной символ ai, i Е T. Выделена система T С 2м некоторых подмножеств T С M и с ней связан недоопредёленный алфавит A = {aT : T Е T}.
Пусть помимо A0 и A заданы основной алфавит B0 = {bj : j Е L}, недоопределённый алфавит B = {Ь^ : U ЕМС 2l} и соответствие С A х B, указывающее,
1 Работа поддержана ОНИТ РАН по программе фундаментальных исследований.
