CC BY
87
УДК 517.968.72:517.589
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ДРОБНОГО ОСЦИЛЛЯЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ
Е. Н. Огородников, Н. С. Яшагин
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mails: [email protected], [email protected]
Вводятся некоторые специальные функции, связанные с функцией типа Мит-таг—Леффлера, в терминах которых найдено решение задачи Коши для одного линейного неоднородного дробного осцилляционного уравнения.
Ключевые слова: функции типа Миттаг—Леффлера, задача Коши для дробного осцилляционного уравнения.
Основное внимание в настоящем кратком сообщении уделено задаче Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и младшими дробными производными
n m
u + Y^ akDrn u + Y1 bkDm u = f (t) , (!)
k=0 k=0
где и = u(t)—искомая, a f (t)—заданная функции, й = ^ (t Js 0); a^, bfc £ R,
ak G [0,1), вк G [0, 2); D^t , Dek —левосторонние дробные производные Римана— Лиувилля [1, 2].
Очевидно, задача Коши и (0) = uo,U(0) = U о для уравнения (1) редуцируется к интегральному уравнению вольтерровского типа, решение которого для f (t) G L (0, T) (T > 0) всегда существует и единственно в классе функций и (t) G AC2 [0, T]. Поэтому основная проблема заключается в построении резольвенты этого интегрального уравнения в терминах тех или иных специальных функций, удобных для анализа полученного решения.
Пусть C — множество комплексных чисел, z, G C, a > 0. Для функции типа Миттаг—Леффлера [3] используем обозначение ECT (z; ^).
Хорошо известно, что эта функция естественным образом возникает при решении интегрального уравнения Вольтерра второго рода с ядром Абеля [4], которое в терминах дробного интеграла Римана—Лиувилля записывается в виде
p (t) - А/> = f (t) (a> 0, A G C), (2)
где /at —левосторонний оператор дробного интегрирования порядка a > 0 [1].
Пусть a G (0,1). Нетрудно показать, что интегральное уравнение (2) при f (t) = = p (0) эквивалентно в смысле разрешимости задачи Коши для дифференциального уравнения с младшей дробной производной:
^ = XDo¥ (0) = ¥>о,
Огородников Евгений Николаевич — доцент кафедры прикладной математики и информатики, к.ф.-м.н., доцент.
Яшагин Николай Сергеевич — аспирант кафедры прикладной математики и информатики.
решением которой является собственно функция Миттаг—Леффлера ^ (4) = ^>о Е (А£“).
То же интегральное уравнение с / (£) = |т^у эквивалентно задаче Коши для дифференциального уравнения дробного порядка с нелокальным начальным условием [2]
= А<^ = Дто = 1.
Её решением является функция ^ (4) = 4а-1Еа (А£“; а), принятая автором работы [5] в качестве обобщённой экспоненциальной функции Ехра (4).
В настоящей работе предлагается в качестве обобщённой (дробной) экспоненциальной функции выбрать функцию
Ехр(а,^; А; 4) = £м-1Еа (А£“; ^), (3)
где а, ^ > 0, А — комплексный параметр, 4 ^ 0, являющуюся решением задачи Коши для уравнения
= АБ0Г^ . И]+0 701-М^ = 1
£^•+0
где а, ^ € [0,1], Бох а —интегро-дифференциальный оператор Римана—Лиувилля. Введём также следующие функции:
Ехрс (а, ^и,; А; 4) = £м-1Еса (А4а; ^), Ехрв(а, ^,; А; 4)= £м-1Ева (А4а; ^), (4)
где Еса (г;; /х) = \ [Еа (г; /л) + Еа (г; /л)], Еза (г;; /л) = ± [Еа (г; /л) - Еа (г; /л)]. Для г =
= А4а, А = а + шг они являются дробными аналогами функций в°г сов ш4 и в0* вт ш4, совпадая с последними при а = /и = 1.
Для введённых функций справедлив аналог формулы Эйлера:
Ехр (а, ^; А; 4) = Ехрс (а, ^; А; 4) + г Ехрэ (а, ^; А; 4).
Для функций (3) и (4) формулы дифференцирования имеют вид:
! \ т
— ) Ехр (а, /л] А; 4) = Ехр (а, /х — т; А; £),
! ч т
— I Ехрс (а, /л; А; 4) = Ехрс (а, /х — то; А; 4), от )
Ехрэ (а, /л; А; 4) = Ехрэ (а, /х — то; А; 4).
В терминах этих функций нетрудно найти решение задачи Коши и (0) = ио, и (0) = и о для модельного дробного осцилляционного уравнения
и+ рБ.и + и = / (4) (4 > 0), (5)
где р, </ (Е К, /3 (Е (0, ^), / (4) —заданная функция. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если / (4) € Ь [0, Т], то существует единственное решение и (4) уравнения (5) в классе АС2 [0, Т].
В частности, если А = а + шг — один из корней многочлена А2 + рА + д, а = 1 — в, решение уравнения (5) записывается в виде
(4) = —Ехрэ (а, 2 — «; А; + ио Ехрс (а, 1; А; 4)-Ехрэ (а, 1; А; 4)
и(ъ) = —ьхрэ (а, I — а; ш
а
ш
.
+
1.
Н---Ехрэ (а, 2 — а; А; Ь — в) / (в) йв. (6)
шо
При в = 0 (а = 1) уравнение (5) и его решение (6) совпадают соответственно с дифференциальным уравнением возмущенного осциллятора с вязким демпфированием и его хорошо известным решением [6].
Авторами данной работы найдены решения и для случаев Ai, А2 G R, Ai = А2 или Ai = А2, где Ак —корни многочлена А2 + pA + q. Случай Ai,2 = ±wi совпадает с рассмотренным в работах [2, 5] примером однородного дробного осцилляционного уравнения
u + w“D2-“u = 0, (7)
решение задачи Коши для которого предъявлено в виде
/ \ / \ и 0 • / \
и (t) = Uo COSa (LUt) Н-Sllla (LVt) ,
w
где sina (z) = zEa (—za;2) и cosa (z) = Ea (—za; 1) обобщённые (по терминологии автора [5]) тригонометрические функции. Однако, как отмечено в монографии [2], свойства функций cosa (z) и sina (z) существенно отличаются от свойств тригонометрических функций cos z и sin z.
В частности, sina (z) = cosa (z), а cosa (z) = —za-1Ea (—za; a) = sina (z). Формула Эйлера для функций cosa (z) и sina (z) справедливы в редакции [7]:
E2a (iz“/2) = cosa (z) + sina (z) .
Не трудно показать, что
cos2a (wx) = Expc (a, 1; iwa; x) = Eca [(wx)“ ; 1] = Ca [(wx)“ ; 1], sin2a (wx) = w1-aExps (a, 2 — a; iwa; x) = (wx)1 a Sa [(wx)a ; 2 — a],
где Ca(z;/j) = \ [Ea + Ea Sa(z;/j,) = ± [Ea (iz; /л) - Ea (-iz; ц)\ —
естественные дробные аналоги cos z и sin z.
Отметим работу авторов [8], в которой в случае А12 = ±wi проведён качественный анализ решения задачи Коши для уравнения (5) с периодическим возмущением f (t) = H sin w1t (w1 = w) и работу [9], в которой была предпринята попытка построения общего решения уравнения (5) методом факторизации дифференциальных операторов дробного порядка.
Выводы. По мнению авторов, использование введённых в данной работе специальных функций позволяет удобно и единообразно выписывать решения задач Коши для дифференциальных уравнений с дробными производными, вообще говоря, любого порядка, и, по-видимому, они могут быть использованы как базисная система функций для параметрического представления различных нелинейных колебаний [10]. Идея факторизации интегральных операторов, использованная авторами в данной работе для построения решения задачи Коши, имеет ряд преимуществ перед методом факторизации дифференциальных операторов, позволяет сразу выписать решение задачи Коши.
Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (проект РНП.2.1.1.745).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
2. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его примение. — М.: Физматлит, 2003. — 272 с.
3. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции в 3-x т: Т. 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. — 299 с.
4. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. — М.: Наука, 1966. — 672 с.
5. Нахушева В. А. Математическое моделирование нелокальных физических процессов в средах с фрактальной структурой: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Таганрог, 2008. — 30 с.
6. Бабаков И. М. Теория колебаний. — М.: Наука, 1968. — 560 с.
7. Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщенного синуса и обобщенного косинуса / В сб.: Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. Третьей Всерос. научн. конф. — Ч. 3. — Самара: СамГТУ, 2006. — С. 97-98.
8. Огородников Е.Н., Яшагин Н. С. Вынужденные колебания дробных осцилляторов / В сб.: Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. Пятой Всерос. научн. конф. — Ч. 1. — Самара: СамГТУ, 2008. — С. 215-221.
9. Огородников Е.Н., Яшагин Н. С. Анализ вынужденных колебаний дробных осцилляторов / В сб.: Международная конференция по математической физике и её приложениям: Тез. докл.. — Самара: СамГУ, 2008. — С. 141-143.
10. Мейланов Р. П., Янполов М. С. Особенности фазовой траектории «фрактального» осциллятора// Письма в ЖТФ, 2002. — Т. 28, №1. — С. 67-73.
Поступила в редакцию 05/Х/2008; в окончательном варианте — 12/11/2009.
MSC: 56U78
SOME SPECIAL FUNCTIONS IN THE SOLUTION TO CAUCHY PROBLEM FOR A FRACTIONAL OSCILLATING EQUATION
E. N. Ogorodnikov, N. S. Yashagin
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.
E-mails: [email protected], [email protected]
Some special functions, concerning Mittag-Leffler type function, are introduced. The solution to Cauchy problem for some linear non-homogeneous fractional oscillating equation in terms of these functions are given.
Key words: Mittag-Leffler type function, Rieman-Liouville’s fractional integrals and, derivates, Cauchy problem for a fractional oscillating equation.
Original article submitted 05/X/2008; revision submitted 12/II/2009.
Ogorodnikov Evgeniy Nikolaevich, Ph. D. (Phis. & Math.), Ass. Prof., Dept. of Applied Mathematics and Computer Science.
Yashagin Nikolay Sergeevich, Postgraduate student, Dept. of Applied Mathematics and Computer Science.
