НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ R/φ-АЛГОРИТМА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.524

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ т/ф- АЛГОРИТМА © 2012 г. В.И. Шмойлов, Д.И. Савченко

Шмойлов Владимир Ильич - научный сотрудник, Южный научный центр Российской академии наук, ул. Чехова, 2, ГСП-284, г. Таганрог, 347928, e-mail: Smoylov40@at. infotectt. ru. Савченко Дмитрий Игоревич - студент, Таганрогский технологический институт Южного федерального университета, пер. Некрасовский, 44, ГСП-17-А, г. Таганрог, 347928, e-mail: Lux2057@rambler. ru.

Shmoylov Vladimir Ilich - Scientific Researcher, Southern Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Chekhov St., 2, GSP-284, Taganrog, 347928, e-mail: [email protected]. Savchenko Dmitry Igorevich - Student, Taganrog Technological Institute of Southern Federal University, Nekrasovskiy Lane, 44, GSP-17-A, Taganrog, 347928, e-mail: Lux2057@rambler. ru.

Рассматривается иное, нежели традиционное, определение сходимости непрерывных дробей. Новый метод суммирования используется при нахождении значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей и рядов. Метод суммирования применим не только к обыкновенным непрерывным дробям, но и к непрерывным дробям иных классов, например к непрерывным дробям Хессенберга, что позволило построить оригинальный алгоритм нахождения нулей полиномов п-й степени. Предложенный г/ф-алгоритм используется также при решении бесконечный; систем линейныа алгебраических уравнений.

Ключевые слова: алгебраические уравнения, расходящиеся непрерывные дроби, бесконечные системы линейных алгебраических уравнений.

The article covers a new, different form traditional, definition of convergent of continued fractions. A new method of summation is used for calculation of continued fractions and series, divergent according to classical interpretation. Authors developed an original algorithm of calculation of roots of n-degree polynomials. The suggested r/'ф—algorithm is also used for solving infinite systems of linear algebraic equations.

Keywords: algebraic equations, divergent continued fractions, infinite systems of linear algebraic equations.

Непрерывные дроби в большинстве случаев дают гораздо более общие представления трансцендентных функций, чем классические степенные ряды; зачастую они могут быть с большим эффектом использованы для ускорения сходимости медленно сходящихся рядов. Более того, преобразуя расходящиеся ряды в соответствующие непрерывные дроби, нередко можно просуммировать, т.е. найти значения расходящихся рядов. Известно, что непрерывные дроби тесно связаны с аппроксимациями Паде, которые, как отмечается в [1], стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твердого тела. Поэтому существенные результаты, полученные в теории непрерывных дробей, в частности, в вопросах сходимости, могут быть использованы и в аппроксимациях Паде.

Бесконечной непрерывной дробью, или цепной дробью, называют выражение вида

Ъп + -

ai

Ъ +

(1)

Ъ9 +

М

Ъ„ + _

М

где ai и Ъ, i = 1,2,... - в общем случае независимые переменные.

Аналогично ситуации с рядами, само по себе выражение (1) никакого определенного смысла не имеет, ибо действие сложения подразумевает операции лишь с конечным числом слагаемых. Смысл выражения (1) должен устанавливаться. Непрерывную дробь (1) естественно определять через понятие подходящей дроби, которое является аналогом частичных сумм для рядов.

Определение 1. Непрерывная дробь, содержащая п звеньев, т.е. дробь

= Ъ, +

ai

+л+ an b

ап ь + Ь2

называется п-й подходящей дробью бесконечной непрерывной дроби (1).

Первая, вторая, третья и т.д. подходящие дроби

— = Ъг,

Qi

—-=ъ0 + ai,

Q2 0 ъ,

—=Ъ0 + ai+02,

Q3

Ъ1 b

2

составляют бесконечную последовательность.

Определение 2. Непрерывная дробь (1) называется сходящейся, если последовательность ее подходя-

р

щих дробей имеет конечный предел: lim —— = а,

n Qn

называемый значением непрерывной дроби [2].

a

2

a

n

+

Сходимость, устанавливаемую этим определением, будем называть сходимостью по Зейделю.

Определение 3. Непрерывная дробь (1) называется расходящейся, если последовательность ее подходящих дробей предела не имеет.

Такие непрерывные дроби будем называть расходящимися по Зейделю цепными дробями.

Нахождение значения непрерывной дроби (1) как установление предела значений последовательности ее подходящих дробей представляется совершенно естественным и практически удобным. Здесь надо отметить, что в отличие от положения с рядами, когда помимо классического определения суммы ряда как предела частичных сумм имеется большое число других алгоритмов суммирования, использующихся прежде всего при оперировании с расходящимися рядами, для непрерывных дробей таких алгоритмов обобщенного суммирования, которые бы привлекались для нахождения значений расходящихся непрерывных дробей, не существует [3]. Расходящиеся непрерывные дроби до сих пор не стали объектом математических исследований, как это случилось с расходящимися рядами, пристальным изучением которых аналитики занимаются давно.

В статье будет рассмотрено несколько задач из разных разделов вычислительной математики, решенных при помощи так называемого г/ф -алгоритма, -принципиально нового алгоритма суммирования последовательностей, возникшего в рамках теории непрерывных дробей.

Постановка задачи

В [4] предложено иное, нежели традиционное, толкование сходимости непрерывных дробей. Для установления значений непрерывных дробей будем использовать г/ ф -алгоритм.

Непрерывная дробь сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = г0 е1фо, если существуют пределы

Г" к , ,

lim " П| P / Qt\= го, я lim к" = ф„ , (2)

и^го V i=1 п^го П

где Pj /Qj - значения i-й подходящей дроби из совокупности, включающей n подходящих дробей; к -число отрицательных подходящих дробей из n подходящих дробей.

Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, ибо позволяет при определенных условиях за последовательностью вещественных подходящих дробей усмотреть некое комплексное число, которое, собственно, и представлено этой непрерывной дробью. Признаком комплексности такой расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены знаков ее подходящих дробей, причем эти перемены происходят сколь угодно много раз. Другими словами, комплексная единица e' устанавливается из «поведения» подходящих дробей непрерывной дроби. Параметры же комплексного

- г 0г'Фо

гут быть определены, в частности, r/ф-алгоритмом, т.е. формулой (2).

В случае непрерывных дробей, сходящихся в классическом смысле, аргумент ф0 примет значения 0 или %. Если фо = 0, то значение сходящейся непрерывной дроби будет совпадать со значением модуля Го : z = г0ег0 = г0.

Если фо = %, то значение сходящейся непрерывной дроби будет отрицательным z = гое'% = -Го.

Предложенный г/ф -алгоритм даёт возможность устанавливать значения расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, а также решать множество других задач из различных разделов вычислительной математики.

Применение r/p-алгоритма для суммирования расходящихся непрерывных дробей

Покажем, как можно обосновать r/ф -алгоритм.

Из формулы Эйлера cos ф =

егф + в~'ф

запишем

конечные дроби:

?гф= 2

e т = 2 cos ф

jФ

1

егф = 2 cos ф--1

2 COS ф гф '

(3)

ггф = 2 cos ф -

2 cos ф — "2

1

cos ф —

1

2 cos ф —

г'Ф '

Подходящие дроби непрерывной дроби (3) определяются следующим образом:

А = 2008 ф = ^, а ф •

sin Пф

sin3ф

P2 „ 1

= 2cos ф----,

Q2 2COS ф sin2ф

— = 2cos ф--1—

Qn 2 cos ф-

(4)

2cos ф-

1

2cos ф —

_ sln(n + 1)ф

2 cos ф

sin Пф

При n ^ да можно прийти к непрерывной дроби 1 1 1

*

е'ф = 2

COSф-

2cosф — 2cosф —... — 2cosф —..

(5)

числа z = roe

т.е. его модуль r0 и аргумент ф мо-

В выражении (5) над знаком равенства стоит «звездочка», которая означает, что это не есть равенство в традиционном понимании. Смысл «равенства» (5) будет разъяснен ниже, после чего к «звездочке»

2

1

1

1

прибегать не будем, чтобы не загромождать записи комплексных чисел непрерывными дробями с вещественными элементами.

Используя непрерывную дробь (5), можно восстановить комплексное число е¿Ф , которое представлено этой бесконечной непрерывной дробью. Изобразим графически несколько значений первых подходящих дробей непрерывной дроби (5). Используя выражение (5) для подходящих дробей разложения (5), можем записать

_ sin2<p 01 sin ф

R

sin3< 02 sin2<

Rl 01

■> 0.

Pi

02

■> o,

Очевидно, с ростом номера п угол (п +1)ф станет больше угла л:

Pn sin(n + 1)ф

0n

Sin Пф

P

^ < 0. 0n

определить аргумент комплексного числа егф, представленного непрерывной дробью (5). Продолжая наблюдение за значениями подходящих дробей (5), запишем формулу, по которой можно приближенно

определить аргумент ф0 комплексного числа егфо :

Фо =■

■ккп +ф

(6)

где к„ - количество подходящих дробей, имеющих отрицательное значение из общего числа п подходящих дробей разложения (5); ф* - некоторый угол, причем ф* < ф0.

Если п ^ да, то формула (6) примет вид

Ф0 = п lim — .

n^-ж n

Рассмотренная выше процедура позволяет установить однако не значение аргумента комплексного

числа егф°, а модуль этого аргумента. Знак аргумента

комплексного числа егф° определяется из динамики распределения значений подходящих дробей (5) на периоде. Эти правила определения знака установлены после калибровки на тестовых непрерывных дробях, имеющих комплексные значения [5].

На рис. 1 показано распределение значений подходящих дробей Pn/Qn разложения (7) в зависимости от номера n.

2 cos 0,2 --

1

1

2cos0,2 2 cos 0,2

--Л —

1

2 cos 0,2

Этот момент может быть зафиксирован, так как подходящая дробь Рп ^п примет отрицательное значение. Таким образом, перемещение радиуса-вектора от угла ф до угла (п+1) ф, несколько превышающего значение п, дает возможность, пусть и приближенно,

sin(n +1)0,2 sinn0,2 1

(7)

1

2 cos 0,2 2 cos 0,2

-Л --

1

sin n0,2

2 cos 0,2 sin(n +1)0,2

n

Рис. 1. Распределение значений подходящих непрерывных дробей (7)

Из непрерывной дроби (5), представляющей ком-

¿Ф

плексное число е , можно получить, помимо аргумента, модуль этого комплексного числа, равный единице.

Для комплексного числа Гое'Фо непрерывная дробь имеет вид

гегф = 2r cos ф —-

--Л —

--Л .

2rcosф 2rcosф 2rcosф Подходящие дроби этого разложения определяют, „Л, sin(n + 1)ф

ся формулой = r-- .

Qn sin пф

2

2

2

r

r

r

Следовательно, имеем

lim П П|PnlQn\ = i=1

= lim n r

n

sin29 sin39 sin(n + 1)ф

= r.

sin ф sin2ф sin иф

Таким образом, значение расходящейся периодической непрерывной дроби может быть установлено с любой точностью по подходящим дробям при помощи r/ф-алгоритма, т.е. формулы (2). В [5] рассмотрены, помимо r/ф-алгоритма, описываемого формулой (2), некоторые другие алгоритмы, позволяющие найти значения расходящихся непрерывных дробей.

Выше было показано, что формула (2) является вполне обоснованной при суммировании расходящейся периодической непрерывной дроби. В этом случае значение расходящейся по Зейделю непрерывной дроби определяется значением комплексного корня квадратного уравнения, который, собственно, и представляет рас-

ходящаяся периодическая непрерывная дробь. Оказалось, однако, что формулу (2) можно распространить, помимо периодических непрерывных дробей, на непрерывные дроби других классов, в частности, на практически важные предельно-периодические непрерывные дроби, которыми представляются элементарные и многие специальные функции.

В помещённой ниже табл. 1 показаны результаты

суммирования расходящейся непрерывной дроби

, / 3 3 3 6 6 3п 3п

Ц- 2) =-----------Л-----Л . (8)

4 ' 1 2 3 2 5 2 2п +1

Легко понять, почему эта непрерывная дробь расходится. При отрицательном аргументе логарифмическая функция имеет комплексное значение:

1п(-2) = 3,2171505117еЯ'3536398454, которое, естественно, не может приближаться непрерывной дробью с вещественными элементами, и тем не менее г/ф-алгоритм позволяет установить значение непрерывной дроби (8).

Таблица 1

t \ 3 3 3 6 6 3n 3n

Нахождение значения непрерывной дроби ln(— 2j =-----------Л-----Л ,

12325 2 2n +1

r0 = 3,2171505117..., <р0 =1,3536398454

Номер звена Значение Модуль Погрешность min Аргумент Погрешность min

дроби подходящей дроби комплексного числа гл Sr = |Г0 — Гп| Sr комплексного числа фп £ф=ф0 — Фп| еФ

1 2 3 4 5 6 7 8

1 -3,0000000 3,0000000000 0,2171505117 3,1415926535 1,7879528081 m

2 6,0000000 4,2426406871 1,0254901754 1,5707963267 0,2171564813 m

4 -3,0000000 3,0000000000 0,2171505117 1,5707963267 0,2171564813

8 -97,5000000 4,9614481602 1,7442976485 1,5707963267 0,2171564813

16 1,4880473 3,5474336503 0,3302831386 1,3744467859 0,0208069405 m

32 3,1985122 3,6050160485 0,3878655367 1,3744467859 0,0208069405

64 62,8693924 3,3885474566 0,1713969449 m 1,3744467859 0,0208069405

128 0,9165216 3,1810462758 0,0361042359 m 1,3499030933 0,0037367521 m

256 1,7095765 3,2148854739 0,0022650377 m 1,3621749396 0,0085350941

512 3,9037050 3,2112688498 0,0058816618 1,3499030933 0,0037367521

1024 -15,4772571 3,2219262392 0,0047757275 1,3560390164 0,0023991710 m

2048 2,6358581 3,2194825453 0,0023320336 1,3529710549 0,0006687905 m

4096 11,1007665 3,2127253440 0,0044251676 1,3529710549 0,0006687905

8192 -0,6961262 3,2169015620 0,0002489496 m 1,3533545501 0,0002852953 m

16384 -1,7591587 3,2167104407 0,0004400709 1,3533545501 0,0002852953

32768 -6,4347291 3,2170964982 0,0000540134 1,3536421715 0,0000023260 m

65536 5,5879135 3,2171496506 0,0000008610 1,3536421715 0,0000023260

131072 -3,9038315 3,2171884212 0,0000379094 1,3536182030 0,0000216423

262144 16,0431708 3,2171480639 0,0000024477 1,3535942346 0,0000456108

524288 -0,0551483 3,2171287791 0,0000217325 1,3536421715 0,0000023260

1048576 -0,2709104 3,2171427009 0,0000078107 1,3536361793 0,0000036660

2097152 -0,7308612 3,2171496552 0,0000008564 m 1,3536361793 0,0000036660

4194304 -1,8537413 3,2171502478 0,0000002638 m 1,3536391754 0,0000006699 m

8388608 -7,2124648 3,2171495794 0,0000009323 1,3536399244 0,0000000790 m

В первой колонке табл. 2 даны номера п подходящих дробей разложения (8). Номера подходящих дробей составляют степень 2. Значения подходящих дробей с этими номерами приведены в соседней колонке 2. Как и следовало ожидать, значения подходящих дробей {Рп/бп } с ростом п не стремятся к какому-либо пределу. Для чисел же, расположенных в колонке 3, напротив, стремление к

пределу можно без труда обнаружить, значения асимптотически приближаются к величине 3,2171505117, т.е. к модулю комплексного числа 1п(- 2). Даже беглого взгляда на колонки 6 и 7 достаточно, чтобы убедиться, что с ростом количества подходящих дробей разложения (8) все более точно устанавливается значение аргумента искомого комплексного числа.

Частным случаем обобщенных непрерывных дробей являются непрерывные дроби Хессенберга - дроби, задаваемые отношением определителей матриц Хессенберга, для которых характерна одна поддиаго-наль элементов. Непрерывные дроби Хессенберга впервые были рассмотрены немецким математиком Фюрстенау в 1874 [6]. Дроби Хессенберга - своеобразные непрерывные дроби, звенья которых распространяются не только вниз, но и вверх. Кроме того, числители и знаменатели подходящих дробей удовлетворяют линейным рекуррентным соотношениям п-го порядка. Непрерывные дроби Хессенберга следует рассматривать как обобщение обыкновенных непрерывных дробей, для числителей и знаменателей подходящих дробей которых имеют место рекуррентные соотношения второго порядка.

При п ^ да периодические непрерывные дроби Хессенберга могут представлять элементарные и специальные функции [4]. Например,

lnl 1 + -

х/1! х 2! х/ 3! х/ 4! х/ 5! К

-1 х/1! х/ 2! х/ 3! х/ 4! К

0 -1 х/1! х/ 2! х/ 3! К

0 0 -1 х/1! х/ 2! К

0 0 0 -1 х/1! К К

х/1! х/ 2! х/ 3! х/ 4! К

-1 х/1! х/ 2! х/ 3! К

0 -1 х/1! х/ 2! К

0 0 -1 х/1! К К

(9)

Непрерывная дробь (9) определяет логарифмическую функцию на всей плоскости комплексного переменного без вырезов по отрицательной оси. Если значение логарифмической функции комплексное, то (9) суммируется при помощи г/ф-алгоритма. При х=-1/3 непрерывная дробь Хессенберга (9) будет представлять 1/1п(-2). В табл. 2 приведены результаты вычисления 1/1п(-2) при помощи непрерывной дроби (9).

1

х

Таблица 2

Значения 1/ln(-2), r0 = 0,310834073..., р0 = -1,3536398454...

Номер звена Значение Модуль Погрешность min Аргумент Погрешность ■ I min

дроби подходящей дроби комплексного числа rn ег = |r0 - rA е r комплексного числа рп ер =|Ф0 -Фи| еФ

1 2 3 4 5 6 7 8

20 0,85127256 0,99198117 0,68114710 m -1,41371669 0,06007684 m

21 0,02044264 0,82455439 0,51372032 m -1,34639685 0,00724299 m

42 -0,02832422 0,50977666 0,19894259 m -1,42119667 0,06755683

84 -0,14445825 0,40513373 0,09429965 m -1,38379676 0,03015691

168 -0,75441728 0,35654051 0,04570644 m -1,36509680 0,01145696

336 0,32678464 0,33285231 0,02201823 m -1,35574682 0,00210698 m

672 2,01078357 0,32176153 0,01092745 m -1,35574682 0,00210698

1344 -0,03019484 0,31569144 0,00485737 m -1,35574682 0,00210698

2688 -0,14954713 0,31342156 0,00258748 m -1,35457808 0,00093823 m

5376 -0,81466750 0,31217034 0,00133626 m -1,35399370 0,00035386 m

10752 0,30407891 0,31149855 0,00066447 m -1,35370152 0,00006167 m

21504 1,28357034 0,31116989 0,00033582 m -1,35370152 0,00006167

43008 -0,09454281 0,31099243 0,00015836 m -1,35370152 0,00006167

86016 -0,38364272 0,31091665 0,00008257 m -1,35366499 0,00002515 m

172032 0,81555456 0,31087600 0,00004193 m -1,35364673 0,00000689 m

344064 -0,22761506 0,31085447 0,00002039 m -1,35364673 0,00000689

688128 -10,07498787 0,31084454 0,00001047 m -1,35364217 0,00000232 m

1376256 0,08515530 0,31083902 0,00000495 m -1,35363988 0,00000004 m

2752512 0,10347124 0,31083657 0,00000249 m -1,35363988 0,00000004

5505024 0,14104327 0,31083533 0,00000126 m -1,35363988 0,00000004

11010048 0,22449739 0,31083471 0,00000064 m -1,35363988 0,00000004

Как отмечалось выше, способ суммирования при помощи г/ф -алгоритма оказался применим не только к обыкновенным непрерывным дробям, но и к непрерывным дробям иных классов. Это указывает на некоторую универсальность найденного метода суммирования и открывает путь к построению новых вычислительных схем в других разделах математики. В частности, г/ф-алгоритм дал возможность предложить практически удобный способ определения всех нулей полинома [7]. Но главное - этот алгоритм позволил рассматривать выражения для нулей полиномов через

непрерывные дроби Хессенберга и Никипорца, как аналитические формулы для определения корней многочлена через его коэффициенты.

Решение алгебраических уравнений при помощи г/ф- алгоритма

Пусть имеется алгебраическое уравнение степени п: хп + а1хп~1 + ...+ ап-1х + ап = 0 . (10)

Запишем следующую производящую функцию:

1

1 + ajx + а 2 х 2 + ...+ а nxn = 1 + c1x + c2 x2 +...+ cmxm +....

(11)

Коэффициенты а в (10) и (11) совпадают. Коэффициенты ст последовательности (11) могут быть найдены из линейного рекуррентного уравнения

Ст = -(а хСт-1 + а2Ст-2 +... + апст-п ) > С0 = 1 > С = -а!.

Для определения корней уравнения (10) Эйткен предложил формулы [8]:

lim Cm+1 = xj,

m^-ro Cm

(12)

(

Иш

т^х

cm+1 cm+2 >

cm+2 cm+3 cm+1 _ x1x2

cm cm+1 cm X1

cm+1 cm+2

= X2 :

Иш

т^х

cm+1 cm+2 cm+3 >

cm+2 cm+3 cm+4 cm+1 cm+2

cm+3 cm+4 cm+5 cm+2 cm+3 x1x2 x3

cm cm+1 cm+2 cm cm+1 x1x2

cm+1 cm+2 cm+3 cm+1 cm+2

cm+2 cm+3 cm+4 V

(13)

= хэ.

lim

т ^х

cm+1 cm+2 . .. cm+i cm+1 cm +2 . .. cm+i-1

cm+2 cm+3 . .. cm+i+1 cm+2 cm+3 . .. cm+i

cm+i cm+i+1 . .. cm + 2i-1 cm+i-1 cm+i . .. cm + 2i-3

cm cm+1 . . cm+i-1 cm cm+1 . .. cm+i - 2

cm+1 cm+2 . . cm+i cm+1 cm+2 . .. cm+i-1

cm+i-1 cm +i . . cm+2i - 2 cm+i - 2 cm+i-1 . .. cm+2i - 4

Очевидно, что используя формулы Эйткена, можно непосредственно находить только действительные корни алгебраического уравнения (10). Способ нахождения старшего по модулю действительного корня алгебраического уравнения (10) по формуле (12), как известно, принадлежит Д. Бернулли. Применим г/ф-алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей к определению комплексных корней алгебраического уравнения (10).

Запишем формулы Эйткена (12), (13) в развернутом виде. В результате преобразований получим конструкции из отношений определителей матриц Теплица, диагональными элементами которых являются коэффициенты исходного уравнения (12).

Формулу (12) можно представить отношением определителей:

х1 =-

-a1 -a2 -a3 -a 4 К -1 -a1 -a2 -a3 К

-1 -a1 -a2 -a3 К 0 -1 -a1 -a2 К

0 -1 -a! -a2 К 0 0 -1 -a1 К

0 0 -1 -a1 К 0 0 0 -1 К

К К

-a1 -a2 -a3 К -1 -a1 -a2 К

-1 -a1 -a2 К 0 -1 -a1 К

0 -1 -a1 К 0 0 -1 К

К К

(14)

Последующие корни уравнения (10) запишутся следующим образом:

= X

\

V

-а2 -а3 -а4 -а з К

- а1 -а2 -а3 - а 4 К

-1 - а1 -а2 -а3 К

0 -1 - а1 -а2 К

К

-а2 -аз -а4 К

- а1 -а2 -а3 К

-1 - а1 -а2 К

К

-аз -а 4 -аз -а 6 К

-а 2 -а3 -а4 -аз К

-а1 -а2 -а3 -а4 К

-1 - а1 -а2 -а2 К

К

-а3 -а 4 -аз К

-а2 -а3 -а4 К

- а1 -а2 -а3 К

К

-а, -а 2 -а

К

-1 — aj -а 2 — аз К 0 -1 - а1 - а2 К

0

0

-1 - а1 К . . К

- а1 -а 2 -а3 К

-1 - а1 -а2 К

0 -1 - а1 К

К

-а2 -а3 -а4 -аз К

- а1 -а2 -а3 -а4 К

-1 - а1 -а2 -а3 К

0 -1 - а1 -а2 К

К

-а2 -а3 -а4 К

- а1 -а2 -а3 К

-1 - а1 -а2 К

К

- аг- -аг + 1 -аг + 2 -аг+3 .. -а -1 - аг- -аг + 1 -аг + 2

- а-1 - аг- -аг +1 -аг + 2 .. - аг -2 -а-1 - аг- -аг +1

- а - 2 -а-1 - аг- -аг + 1 .. - аг -3 -аг - 2 -а-1 - аг-

- а-3 -аг - 2 -аг-1 - аг- .. - аг - 4 -аг-3 -аг - 2 -аг-1

- аг -аг +1 -аг + 2

-аг- _ 1 - аг- -аг + 1

-аг- - 2 -а-1 - аг-

- аг- -1 - аг- - аг-+1

-аг - 2 -аг-1 -аг -аг -3 -аг - 2 -аг-1

(15)

Отношения определителей (14), (15), выражающих корни алгебраического уравнения (10) через его коэффициенты, будем называть функциями , для

которых введём обозначение X(п) = X, (а1;

а

,а

Здесь следует подчеркнуть, что для алгебраических уравнений степени выше четвёртой функции

записываются аналогично их записи для алгебраических уравнений степени 2, 3 и 4.

Определение математических конструкций (14), (15) как непрерывных дробей особой структуры позволяет естественно ввести такое фундаментальное понятие, как подходящая дробь, что значительно упрощает описание способа решения алгебраических

уравнений с использованием функций и г/ф-

алгоритма.

Для комплексных корней уравнения (10), определяемых также формулами (14), (15), необходимо дополнительно использовать г/ф -алгоритм. Модуль г, и модуль аргумента ф, искомого комплексного числа

— V.

xi = определяются формулами:

r = lim„

-(т)

i = 1,2,

, n;

(16)

к И

Ы =л —,

т

где - т-я подходящая дробь выражения (15);

к(т) - число отрицательных подходящих дробей для 1-го корня из т подходящих дробей.

Например, подходящие дроби х^ определяются следующим образом:

-«3 -«3 -*1 -сгг -«3

— а 2 -1 -«1 -кг

-Ьй -1 -а1 -отг 0 -1 -«1

-а- —а-

-at —а2 -1 -я,

Вычисление подходящих дробей непосредственно по формулам (14), (15) весьма затруднительно при больших размерностях определителей, входящих в

x^ = -

2

x = -

з

x. = -

эту формулу. Однако легко заметить, что определители, имеющиеся в (15), не есть определители общего вида. В эти формулы входят оп1редел1ители1 от м1атри1ц Теплица, т.е. матриц специального вид+, диагональные элементы которых одинаковы.

Для вычисления (14), (15) можно использовать рекуррентную схему, получившую название «алгоритм частных и разностей», или рБ-алгоритм Рутисхаузера [9].

Для примера рассмотрим решение уравнения

11 1 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5

x +-x +-x + -x + -x + -x + -x +

2

3

4

5

6

1413121 1 n

+-x + -x + — x + — x + — = 0 8 9 10 11 12

(17)

с использованием г/^-алгоритма, в данном случае определенном формулами (16).

На рис. 2 показаны графики распределения подходящих непрерывных дробей, которые представляют корни алгебраического уравнения (17).

7

Рис. 2. Распределение подходящих дробей, представляющих корни алгебраического уравнения (17)

В табл. 3, 4 приведены результаты вычисления пер- В табл. 5 приведены результаты вычисления ком-вой пары комплексно-сопряженных корней уравнения плексных корней уравнения (17) г/ф-алгоритмом. (17) при помощи г/ф-алгоритма, т.е. формул (16).

Таблица 5

Таблица 3

i 0,456940190349

= 0,825426601839e ,

Номер дроби 1 Значения подходящих дробей Значение модуля г; Погрешность модуля г0-г; Значение аргумента ф; Погрешность аргумента ф0 - ф;

128 0,856370612311 0,845105032261 -0,019678430422 0,424539547782 0,032400642567

256 16,143892048442 0,825785447265 -0,000358845426 0,456958931431 -0,000018741082

512 1,123631143666 0,826954794360 -0,001528192521 0,455195135081 0,001745055268

1024 0,455119840748 0,825433239778 -0,000006637939 0,454571284281 0,002368906068

2048 0,553668217148 0,825564163972 -0,000137562133 0,455908182739 0,001032007610

4096 0,706616451970 0,825567329958 -0,000140728119 0,456531067263 0,000409123086

8192 1,028537277040 0,825510151203 -0,000083549364 0,456832014064 0,000108176285

16384 0,233171968534 0,825377907111 0,000048694728 0,456787147631 0,000153042718

32768 0,118598000966 0,825381628314 0,000044973525 0,456861042625 0,000079147724

65536 -0,275773576857 0,825409693152 0,000016908687 0,456945839553 -0,000005649204

131072 14,164753886741 0,825427091119 -0,000000489280 0,456940179442 0,000000010907

Таблица 4

-i 0,456940190349

;=0,825426601839e ,

Номер дроби 1 Значения подходящих дробей Значение модуля г; Погрешность модуля г0-г; Значение аргумента ф; Погрешность аргумента ф0 - ф;

256 -14,664188997090 0,844450967957 -0,019024366118 -0,459745266379 0,002805076030

512 0,357854174564 0,824184302406 0,001242299433 -0,455903947091 -0,001036243258

1024 1,026366880816 0,824775244209 0,000651357630 -0,454843380823 -0,002096809526

2048 0,927818504413 0,825070650084 0,000355951755 -0,456064103237 -0,000876087112

4096 0,774870269591 0,825231107454 0,000195494385 -0,456613012482 -0,000327177867

8192 0,452949444521 0,825354859349 0,000071742490 -0,456873878894 -0,000066311455

16384 1,248314753027 0,825406109723 0,000020492116 -0,456807792778 -0,000132397571

32768 1,362888720595 0,825420019766 0,000006582073 -0,456871418230 -0,000068772119

65536 1,757260298418 0,825428416468 -0,000001814629 -0,456903036878 -0,000037153471

131072 -12,683267165180 0,825443398339 -0,000016796500 -0,456942790823 0,000002600474

Номер корня Значение модуля г; Погрешность модуля г0 - г; Значение аргумента ф; Погрешность аргумента ф0 - ф;

Х1 0,825429065048 -0,000002463209 0,456937352336 0,000002838013

Х2 0,825424773835 0,000001828004 -0,456938656910 -0,0000015-33439

Хз 0,803119357446 -0,000001901615 1,001196552841 0,000002453937

Х^ 0,803117384671 0,000000071160 -1,001188379054 -0,000010627724

Х5 0,793441786197 -0,000004233106 1,538831941630 0,000008021859

Хб 0,793435450039 0,000002103052 -1,538837826625 -0,000002136864

Х7 0,788344701400 0,000002516973 2,074006033078 0,000002785567

Х8 0,788348270999 -0,000001052626 -2,074013993125 0,000005174480

Х9 0,785766735307 0,000001486384 2,608035936604 0,000000984810

Х10 0,785770848718 -0,000002627027 -2,608046034429 0,000009113015

Следует отметить, что точность вычислений комплексно-сопряженных корней при использовании г/ф-алгоритма растет не монотонно, а асимптотически.

Также при помощи г/ф-алгоритма был установлен вещественный корень уравнения (17): х11=-0,784972055437 ... .

Ниже приведены результаты тестирования г/ф-алгоритма. Рассматривались уравнения со случайными коэффициентами я1, К , аш :

а10 + а1Х9,+а2 х8 + К+ а1х + ао = 0, (18)

где аьа2,К , а10 е[-1000000, 1000000]. При вычислении подходящих дробей использовался рБ-алгоритм

Рутисхаузера с отрицательными индексами. Требовалось установить на десяти тысячах уравнений (18) 10-й степени, достигается ли заданная точность в определении действительных и комплексных корней при помощи г/ф-алгоритма, т.е. формул (16).

На основе проведенных расчетов была экспериментально установлена «работоспособность» г/ф-алгоритма. Для всех 10000 алгебраических уравнений со случайными коэффициентами все корни, найденные при помощи г/ф -алгоритма, сходились к эталонным решениям с заданной относительной погрешностью не более 0,001. Необходимое число подходящих

дробей для достижения заданной точности зависит от конкретного уравнения.

Об одном подходе к решению бесконечных

систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ)

Известно, что при решении БСЛАУ встречаются принципиальные трудности. В [10] авторы замечают, что уже в самых простых случаях, даже при решении линейных уравнений с постоянными коэффициентами, часто бывает, что, казалось бы, разумная разностная схема имеет решение, не сходящееся при измельчении сетки к истинному решению дифференциального уравнения.

Разработанный способ суммирования расходящихся в традиционном смысле непрерывных дробей помог понять природу трудностей, возникающих при решении БСЛАУ. Поясним примером. Как известно, удобный метод решения разностной краевой задачи, представляющий один из вариантов исключения неизвестных и носящий название «прогонки», фактически эквивалентен записи решения обыкновенной непрерывной дробью. То есть для БСЛАУ решения могут представляться как сходящимися непрерывными дробями, так и расходящимися. Что принимать в случае расходящихся непрерывных дробей за решения БСЛАУ? Значения расходящихся непрерывных дробей могут быть установлены при помощи г/ф-алгоритма.

В самом деле довольно часто возникает следующая ситуация: решения системы существуют, но при измельчении шага сетки они изменяются, причем скачкообразно, с изменением знака, т.е. с ростом размерности СЛАУ не могут быть найдены пределы, к которым бы эти решения стремились. В этом случае говорят, что система является расходящейся и решения не могут быть записаны. Возникает вопрос: что это означает для рассматриваемой СЛАУ? Ответ состоит в следующем: если решаемая бесконечная система расходится, то возможно существование комплексных решений данной СЛАУ, которые традиционными методами решения, в частности, методом усечения не могут быть установлены.

Процесс нахождения решения БСЛАУ при помощи г/ф-алгоритма состоит из двух этапов.

Рассмотрим БСЛАУ

АХВ, (19)

(

А =

ап ап

а1п

Л

а21 а22 ... а2п

ап1 ап2

А-[&!,Й2,Ь3,...ЬГ ,...]Г.

Здесь А - матрица коэффициентов; Х - вектор искомых решений; В - правая часть системы линейных алгебраических уравнений.

Для того чтобы узнать, расходится данная система или нет, решаем одним из классических методов подсистемы смежных порядков, например 1, 2, 3,..., и строим последовательности, состоящие из их решений {X/}, т.е. последовательности вида

X(1)Х(2)Х(3) ХИ {Х(2) Х(3) Х(4) Х(т) }

5 Л| 5 Л| 5 . . . I 1^2 } 2 5 2 ' ' " У I I

Хн х(и+1), Х^+2), ... Хт{ (20)

Если каждая последовательность стремится к некоторому «своему» пределу с ростом размерности т системы, то последовательность корней

{х1(т), Х(т), Х^т),...,Х;(т)} , т^-да, будет являться, с некоторой степенью точности, искомым решением рассматриваемой БСЛАУ. В случае, если пределы последовательностей (20) отсутствуют, требуется использовать уже упомянутый выше г/ф-алгоритм, что составляет следующий этап решения расходящихся БСЛАУ. Следует отметить, что при решении расходящейся СЛАУ т>>п, что обусловлено г/ф-алгоритмом, требующим для определения комплексного числа большого количества вещественных отсчетов. Предложенный в [11] алгоритм позволяет использовать полученные в общем случае по Гауссу вещественные решения расширяющейся системы (19) для получения множества комплексных решений исходной системы, если они имеются.

При решении расходящихся БСЛАУ модуль г, комплексного корня находится по формуле

Г = limm4

x(m) -

=mn?

-(т)

i = 1,2,

,n ;

где х> ' - значение неизвестной х,, полученное

«стандартным» алгоритмом решения СЛАУ размерности т.

Модуль аргумента фi комплексного корня х,

k

(m)

БСЛАУ определяется функцией: |фг-| = я lim„

т

где k-m> - количество отрицательных значений xi, полученных «стандартным» алгоритмом решения СЛАУ из общего количества m значений xt, найденных из расширяющейся системы.

Несмотря на кажущуюся сложность, данный способ решения БСЛАУ достаточно экономичен, а главное - метод позволяет решать расходящиеся в традиционном смысле БСЛАУ, что не обеспечивают известные алгоритмы решения БСЛАУ.

Выводы

В случае алгебраических уравнений комплексные корни «извлекаются» из бесконечных конструкций (15), т.е. с использованием подходящих непрерывных дробей, которыми представляются корни полинома n-й степени. Для бесконечных систем линейных алгебраических уравнений аналогом конструкции (15) являются формулы Крамера, записываемые отношением двух бесконечных определителей. Комплексные корни БСЛАУ «извлекаются» из бесконечно «расширяющихся» формул Крамера. Для определения i-го комплексного корня БСЛАУ при помощи r/q-

а

пп

\

....

алгоритма нужно получить множество значений этого корня из серии СЛАУ различной размерности. Если матрица СЛАУ имеет действительные элементы, то значения x, получаемые из «расширяющихся» формул Крамера, будут, естественно, также действительными. По этим действительным «отсчетам» или в иной терминологии по значениям подходящих дробей при помощи r/ф -алгоритма устанавливаются, если они имеются, «истинные» комплексные значения неизвестных xi БСЛАУ.

Литература

1. Бейкер Дж., Грейвис-Морис П. Аппроксимация Паде:

пер. с англ. М., 1986. 502 с.

2. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая

теория и приложения. М., 1985. 414 с.

Поступила в редакцию

3. Lorentzen L., Waadeland H. Continued fraction with applica-

tion. Amsterdam; London; New-York; Tokyo, 1992. 606.

4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 1: Перио-

дические непрерывные дроби. Львов, 2004. 645 с.

5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 2: Расходя-

щиеся непрерывные дроби. Львов, 2004. 558 с.

6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 3: Из исто-

рии непрерывных дробей. Львов, 2004. 520 с.

7. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений не-

прерывными дробями. Львов, 2003. 599 с.

8. Aitken A. On Bernoulli's numerical solution of algebraic

equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1925/26 Ser. A. 46, vol. 289-305.

9. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. М.,

1960. 93 с.

10. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.,

1977. 440 с.

11. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгеб-

раических уравнений. Таганрог, 2010. 205 с.

11 марта 2012 г.