CC BY
26
иркутским государственный университет путей сообщения
УДК 62.752 Елисеев Сергей Викторович,
д. т. н., профессор, директор НОЦ СТСАМ, тел.: 8-902-5-665-129,
Хоменко Андрей Павлович,
д. т. н., профессор, ректор ИрГУПС, тел.: 8(3952) 638-311
НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ. СЛОЖНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ГАСИТЕЛИ
S. V. Eliseev, A.P. Khomenko
SOME APPROACHES TO THEORY OF DYNAMICAL ABSORBTION OF OSCILLATIONS. COMPLICATED DYNAMICAL ABSORBERS
Аннотация. Рассматриваются вопросы построения математических моделей виброзащитных систем, когда объект защиты имеет два динамических гасителя. Показано, что система приобретает не только два режима динамического гашения, но и специальный режим движения динамических гасителей в противофазе. Получены соответствующие аналитические соотношения для определения частот.
Ключевые слова: динамическое гашение колебаний, режимы динамического гашения для двух частот, связные движения динамических гасителей колебаний.
Abstract. Questions of creating mathematical models of vibroprotection systems with object and two dynamical absorbers are considered. It is shown that the system gets two regimes of dynamical absorbtion and special regime of movement of two dynamical absorbers in anti-phase. Аnalytical conditions for definition of frequencies are offered.
Keywords: dynamical absorbtion of oscillation, regimes of dynamical absorbtion of oscillation on two frequencies, connected movement for two dynamical absorbers of oscillation.
I. Введение
Динамические гасители колебаний достаточно широко используются в технике. Их теория и приложения рассмотрены в ряде работ [1^3], что подготовило, в определенном смысле, обобщение результатов и расширение понятия динамического гашения колебаний и введение в рассмотрение представлений о связи динамического гашения колебаний с некоторыми особенностями самоорганизации движения. В предлагаемой статье приводятся результаты исследований задачи вибрационной защиты в том случае, когда объект защиты
имеет динамический гаситель в виде дополнительной обратной связи, состоящей из двух массо-инерционных элементов с упругими связями.
II. Общие положения. Постановка задач исследования
Введение дополнительных связей в виде механических цепей, реализуемых с помощью упругих элементов, массоинерционных в том числе, и маятниковых или центробежных гасителей, в рамках структурной теории виброзащитных систем [4] может рассматриваться как введение обратной связи в исходную расчетную модель. Структура такой дополнительной связи может быть достаточно разнообразной, что представлено на рис. 1 а, б, в. Динамический гаситель (ДГ) состоит из двух элементов массами щ и т2 и имеет несколько упругих элементов (пружины с жестко-стями к, к2, к), соединенных между собой тем или иным образом. Силы сопротивления в системе считаются исчезающе малыми, а перемещения малыми, что позволяет решать задачи в линейной постановке.
Рис. 1. Расчетные схемы виброзащитных систем с двумя динамическими гасителями колебаний
W (p) = У = (a33a22 a23) ß1 A
(4)
где
(5)
А — а11(а22 + азз а23а32) а21(а12а33 -а13а32) + а31(а12а23 -а13а22)-
характеристическое уравнение системы. Параметры частот динамического гашения определяются из решения частотного уравнения числителя соответствующей передаточной функции, для (4) имеем:
а22а33 - а23 — 0. (6)
Для проведения исследований принято, что объект защиты массой m имеет упругий элемент жесткостью к; движение объекта описывается координатой y; положение элементов системы динамических гасителей с массами щ, m2 и упругими элементами кх, к2, к3 описывается соответственно координатами y и y2 . При этом полагается, что движения системы происходят независимо и вертикально в неподвижной системе координат. Внешние силы могут прикладываться непосредственно к объекту защиты (внешняя сила Q ) или задаваться смещением основания z, закон движения которого известен (z = z0 sin ct).
На рис. 1 показано несколько расчетных схем, которые можно разделить на 4 группы:
- динамические гасители имеют связи между массами m и m , но элемент массой m не имеет связи (к2 = 0) с объектом защиты m (рис. 1 а);
- динамических гасителей два, при этом m1 и m связаны с объектом защиты m , но не связаны между собой (к12 = 0) (рис. 1 б);
- дополнительные массы m1 и m2 связаны каждая с объектом защиты m , но также m и m связаны между собой (к12 Ф 0), (рис. 1 в);
Используя уравнение Лагранжа 2-го рода во всех рассмотренных случаях (рис. 1), математическая модель будет иметь вид:
а11У + а12У1 + а1зУ2 = Qí, (1)
^21У + а22У1 + а2зУ2 = 0, (2)
а31У + а32У1 + аззУ2 = 0, (3)
где a¡j — коэффициенты, определяемые видом расчетной схемы (рис. 1) (i = 1,3, j = 1,3 ); Q = kxz, а z = z0 sin ct (z0 — амплитуда колебаний основания). Используя правила Крамера [5], найдем передаточную функцию
III. Динамический гаситель последовательного соединения
Рассмотрим последовательно все варианты расчетных схем виброзащитной системы (ВЗС) с динамическими гасителями колебаний. Для ВЗС на рис. 1 можно записать выражения для кинетической и потенциальной энергий:
1 .2 1 -2 (?)
rji 1 -2 , 1 -2 , 1 -2
П— 1k(y-z)2 +1 к, (у - у)2 +1 кп(у2 - у)2. (8)
Используя (7), (8) в уравнении Лагранжа 2-го рода, получим систему дифференциальных уравнений движения:
ту + у(к + к])~ У]к\ =Ь = <2ь
У(~К ) + т\У\ + Л (К + к12 ) - киу2 = 0, (9)
-киу1+т2у2+у2ки= 0.
В таблице 1 представлены коэффициенты уравнения (9) в координатах у, у1, у2 .
Т а б л и ц а 1
a1i a12 a13
mp2 + к + к1 0
a21 a22 a23
m1 p2 + к1 + к12 к12
a3i a32 a33
0 к12 m2P2 + к12
ßi ß2 ß3
ßi 0 0
Примечание: Q1 - обобщенная сила по координате у .
Структурная схема системы (рис. 1 а) приведена на рис. 2. Структурная схема состоит из парциальной системы (тр2 + к + к1) объекта защиты и двух парциальных систем, присоединенных последовательно между собой гасителем колебаний с массами т и т .
Qi
1 kl 1
mp2 + k + k X mxp2 + k + kn
У
kl
У1
Рис. 2. Структурная схема виброзащитной системы, приведенной на рис. 1 а
Приведенная на рис. 2 схема может быть преобразована в структуру с обратной положительной связью, как показано на рис. 3, на котором
k
12
12
■П^р + ki2
иркутским государственный университет путей сообщения
объект с массой щ входит в парциальную систему ВЗС.
/
01
2 2 к1(т2 р +к12)
2 2 2 (т1р +к1+к12)(т2р +к12)-к12
1 тр 2+к+к —<!
У
Рис. 3. Структурная схема системы с динамическим гасителем, состоящим из двух масс (щи т2 )
Из анализа структурной схемы на рис. 3 следует, что на частоте
а =-
к
12
щ9
(10)
обратная связь «обнуляется», и объект защиты совершает независимые от динамических гасителей колебаний щ и т2 движения. В свою очередь, знаменатель передаточной функции цепи обратной связи представляет собой частотное уравнение вида
щщр4 + р2 [т2 (к + к12 ) + щк12 ] + ккг = 0. (11) Корни этого уравнения можно найти
а
2
дин 1,2
Щ2 (к + к 2) + щ к 2 2т1т2
1
[т2(к + кг) + Щ\к\2 ]2 - 4т1т2к1к]
(12)
12
4(щщ)
При щ = т2 = щ (12) преобразуется к выражению вида
к
а,2 =
(13)
а
где
шШШ
А = (тр2 + к + к 2) [(Щр2 + к + Кг )(ЩР2 + Кг) ~ кг
-к1г(тгр2 +к12)
(15)
является характеристическим уравнением для системы со структурной схемой, приведенной на рис. 2. Из (14) следует, в частности, что частоты динамического гашения определяются из частотного уравнения числителя передаточной функции. Последнее совпадает с результатами изучения особенностей цепи обратной связи. Однако использование структурной схемы на рис. 3 дает возможность выделить режим динамических взаимодействий, определяемых выражением (10). Можно отметить, что этот режим соответствует движениям в противофазе для элементов гасителя щ и т2 ; тогда как режимы динамического гашения (13) соответствуют движениям элементов щ и т2 в фазе. Такие соотношения форм совместных колебаний связаны с проявлениями форм самоорганизации движения в системах с несколькими степенями свободы.
IV. Несвязанные динамические гасители (параллельное соединение)
Для расчетной схемы на рис. 1 б выражения для кинетической и потенциальной энергии имеют вид
Т = ^ ту2 + ^ тху1 + ^ т2л>1, (16)
П= \к(у - г) +1 к(Л - У)2 +1 к2(у2 - у)2. (17)
Система уравнений для ВЗС в этом случае может быть представлена:
ту + у(к + к + к) - кЛ - к2)'2 =кг = Оъ
-к у+щр2}\ + У\ (к) = о, (18)
™гУг+к2у2-к2у = Ъ.
Значения коэффициентов системы ура вне-ний (18) приведены в таблице 2.
Т а б л и ц а 2
2т \ 2 т что позволяет, в частности, оценить влияние на частоты динамического гашения жесткости упругого элемента к12 . На этих частотах положительная обратная связь такова, что коэффициент усиления ^ да, что обеспечивает объекту защиты у = 0, то есть режим остановки объекта (динамическое гашение колебаний). Найдем передаточную функцию системы в целом, что дает
^ (р) = У = (щ1Р2 + к1 + к12 )(щ2Р2 + к12) - к12 (14)
ап а12 а13
тр2 + к1 + к2 + к -к1 -к2
а21 а22 а23
-к2 т1 р2 + к 0
а31 а32 а33
-к2 0 Щ2 р2 + к2
01 02 02
кг 0 0
Структурная схема виброзащитной системы, эквивалентная в динамическом отношении систе-
ко
2дин
т-
(20)
2
Особенности структурной схемы ВЗС в данном случае заключаются в том, что присоединяемые массы т и т не связаны между собой и действуют в режимах динамического гашения автономно. Передаточная функция системы определяется выражением
У
Г (р) =4= =
(тр2 + к )(тр2 + к)
Q (тр + к + к )(тр + к )(т2р + к) —
(21)
—[к2(тр2 + к)+^ту + к)]
Однако, в системе на рис. 4 б можно выделить режим, который можно получить путем приведения двух ветвей обратной связи к одной:
^доп = '
щр
т2р
к2 (тр2 + к)+(щр2 + к)
(22)
(щр 2 + к )(т2р 2 + к) Из выражения (22) следует, в частности, что обратная связь на схеме (рис. 4 б) «обнуляется» на частоте
2
=
к1 к2 '
к2 к1
к2т2 ■
к2 щ
(23)
ме автоматического управления, представлена на рис. 4.
Из структурной схемы на рис. 4 а следует, что при силовом возмущении Q1 в системе будет два режима динамического гашения на частотах:
<н = ^Ч (19)
тл
Такой случай соответствует движениям двух элементов т1 и т2 в противофазе, когда динамические силы уравновешиваются, а объект с массой т в рамках парциальной системы при отсутствии сил сопротивления будет двигаться независимо от движения элементов т и т . Таким образом,
2
в системе с независимыми элементами т и т можно наблюдать такой же эффект и в системах ВЗС, приведенных на рис. 1, а. При этом выражение (23) определяет аналогичный режим, что и (10). Отметим, что парциальные системы объекта защиты в схемах на рис. 1 а и 1 б отличаются друг от друга:
- в расчетной схеме (рис. 1 а) парциальная частота определяется:
2
к + к
т
парц 1
- в расчетной схеме на рис. 1 б:
2
парц 2
к + к + к2 т
(24)
(25)
Таким образом, характер связности между движениями элементов т и т имеет определенное значение, влияя и на частоты динамического гашения, и на параметры состояния парциальной системы объекта.
V. Связанные динамические гасители Для виброзащитной системы, расчетная схема которой приведена на рис. 1 в, можно, по аналогии с вышерассмотренными случаями, записать выражения для кинетической и потенциальной энергий:
Т = ~тУ2 + ^ т2Я, (26)
а)
к12
тр + к
$1) 1
тр2 + к + к + к2 1У
к 2
т2р 2 + к2
б)
к2 (ш2 р2 +к2 )+к2 (т Р2+к2)
тр +к+к^
У
Рис. 4. Структурная схема виброзащитной системы с двумя независимыми гасителями щ и т2 (рис. 1 б)
2
(т р +к)(т р +к2)
П=1к (У^)2 +1М У1-У)2 +
+1 к12(У2 - У1)2 + 1 к2(У2 - У)2-
(27)
Система уравнений движения для ВЗС на рис. 1 в имеет вид:
ту + у{к + к1+к2)-у1к1-к2у2 = кг = Ои -кху + тхух + у1 (к +к12)~ кпу2 = О, (28) ~к2У ~ КгУ\ + у2т2 + у2 (к2 +ки) = 0. В таблице 3 приведены коэффициенты уравнения (28).
Т а б л и ц а 3
а11 а12 а13
тр2 + к + к1 + к2 -к1 -к2
а21 а22 а23
-к1 т1 р2 + к1 + к12 к12
а31 а32 а33
-к2 к12 т2_р2 + к2 + к12
01 02 03
к2 0 0
Рис. 5. Структурная схема динамического гасителя колебаний со связями между элементами т1 и т2
Для дальнейших расчетов найдем передаточную функцию
Ж( п) = — = а22а33 а23
а а
(29)
Запишем (29) в развернутом виде, полагая,
что
А = а11а22азз а11а2з а22а13 а33а12 + 2а12а23а31'
тогда
У
Ж(р) = ^ = (р) 01
1
2 2 г.
а22а13 а33а12 . 2а12а23а31
ап--^ + -
(30)
[] [] []
здесь [ ] = а22а33 - а^3 . Приведем структурную схему на рис. 5 к виду, показанному на рис. 6.
2 2 ^33^12 ^^23
а
Структурная схема виброзащитной системы, показанной на рис. 1 в, представленная на рис. 5, отличается от схемы, приведенной на рис. 4. Отличие заключается в том, что элемент к12 не дает возможности получить упрощения в такой форме, как на рис. 4 б, из-за наличия непланарных связей [6]. Передаточные функции системы можно получить с помощью формул Крамера. Однако такой подход не дает возможности получить результаты в сопоставимой форме, что требует ряда дополнительных усилий.
Рис. 6. Структурная схема ВЗС с двумя связанными динамическими гасителями колебаний
Из частотного уравнения числителя (30) можно найти частоты динамического гашения. Это уравнение имеет вид:
(тр + к + к)(тр + к + к)-к12 = 0 . (31) Отметим также, что система имеет режим, при котором объект т может двигаться независимо от движения по у1 и у2 :
2 к 2 (к^ к2) + к^2 (к^ + к 2)
(32)
щк2 + т2кх
Из (32) можно отметить случай, когда к\-к2 = 0 создает такой же эффект, что и к12 = 0, однако, этот случай касается только режима независимого движения по координате у. Если
к12 = 0 , то передаточная функция обратной связи примет вид:
ГУ(р) _ У _к2(т1Р 2 + к1 ) + (т2 Р 2 + к2 )к12
02 (тр2 + К)(т2 р2 + к2) и соответствует структурной схеме на рис. 4.
VI. Заключение
Учет связности в движениях динамических гасителей т и т изменяет параметры режима динамического гашения и других, но, в целом, динамические свойства системы остаются теми же,
У,
k
m
/
щ k
\\ч\\\ \\чч\\
если иметь в виду число резонансов и число режимов динамического гашения.
Вместе с тем определенную роль играет конструктивно-техническое оформление ВЗС. На рис. 7 а, б показаны варианты исполнения системы.
Рис. 7. Возможные варианты реализаций связного динамического гашения: а) движение по одной вертикали; б) движение на параллельных вертикалях
Приведенные на рис. 7 варианты одинаковы, если движения будут малыми. Однако вариант на рис. 7 б при увеличении амплитуды колебаний масс, что характерно для динамических гасителей колебаний, будет приобретать нелинейные свой-
ства по мере увеличения амплитуды относительных колебаний y1 — y2 .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Коренев Б.Г., Резников П.М. Динамические гасители колебаний. Теория и технические приложения. М.: Наука, 1968. - 515 с.
2. Елисеев С.В., Нерубенко Г.П. Динамические гасители колебаний. Новосибирск: Наука, 1982. - 140 с.
3. Карамышкин В.В. Динамические гасители колебаний. Л.: Машиностроение, 1988. - 108 с.
4. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск: Наука. 2011. 394 с.
5. Дружинский И.А. Механические цепи. Ленинград: Машиностроение, 1977. - 240 с.
6. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Непланарность в структурных аналогах механических систем с межкоординатными связями / Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. 4 (32). - Иркутск: ИрГУПС, 2011. -С.8-17.
УДК 618.501 Носков Сергей Иванович,
д. т. н., профессор, директор Института информационных технологий и моделирования ИрГУПС, Воробьёва Наталия Анатольевна,
аспирант кафедры «Информационные системы» ИрГУПС
ОДИН ИЗ ПОДХОДОВ К ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ УЧЕБНЫХ ПЛАНОВ ВУЗОВ
S.I. Noskov, N.A. Vorobyeva
ONE APPROACH TO UNIVERSITY CURRICULUM DESIGN
OPTIMIZATION
2
Аннотация. Рассмотрены основные требования стандартов «третьего поколения», налагаемые на учебный план. Предложен подход к сведению задачи формирования «макета» учебного плана вуза к задаче целочисленного линейного программирования. Рассмотренный алгоритм реализован в автоматизированной информационной системе.
Ключевые слова: формирование учебных планов, целочисленное линейное программирование.
Abstract. In this paper basic «third generation» standards requirements for the university cur-
riculum are considered. The approach to curriculum «model» design as integer linear programming problem is offered. This algorithm is implemented in the automated information system.
Keywords: curriculum design, integer linear programming.
Высшая школа в настоящий момент претерпевает существенные изменения, вызванные внедрением единой европейской системы уровней и степеней образования и кредитной системы учета работы студентов ECTS [1]. Изменение требований к структуре, условиям реализации и резуль-
