CC BY
108
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Т о м VII 1 97 6 №5
УДК 533.6.011.55
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ С МОСТООБРАЗНЫМИ СКАЧКАМИ УПЛОТНЕНИЯ
В. В. Келдыш, Ю. И. Лобановский
Рассматриваются сверхзвуковые конические течения несовершенного невязкого газа с образованием мостообразного скачка уплотнения. Показывается возможность возникновения в поле течения за этим скачком внутренних скачков уплотнения. Определены границы существования таких решений и даны примеры поверхностей, в окрестности которых они должны реализовываться.
У современных летательных аппаратов часто встречающимся элементом являются угловые области, например пересечение крыла с корпусом или гондолой двигателя коробчатого типа, окрестность органов управления и др. Сверхзвуковые течения в таких областях определяются сложной пространственной системой скачков уплотнения. В последние годы появилось много экспериментальных и теоретических исследований течений в угле [1-4], которые показали, что одним из наиболее часто встречающихся в них элементов является мостообразный скачок уплотнения, образованный двумя плавно сопряженными Х-образными скачками, отходящими от передних кромок угла. Составляющие их скачки уплотнения слабо искривлены, и поле течения в их окрестности состоит из областей, ограниченных поверхностями газодинамических разрывов (скачки уплотнения и тангенциальные разрывы), где течение близко к однородному.
Эксперимент показывает, что в угловых областях в поле за мостообразным скачком возникают внутренние скачки уплотнения. Происхождение этих скачков обычно объясняют взаимодействием мостообразного скачка с пограничным слоем на твердых поверх ностях.
В настоящей работе на примере точного решения для течения с кусочно-плоским мостообразным скачком уплотнения показано, что и в невязком газе в поле за этим скачком возникают внутренние скачки уплотнения конечной интенсивности, отходящие от линии пересечения поверхностей тангенциального разрыва скорости.
Рассматривается течение несовершенного газа, .находящегося в состоянии термодинамического равновесия по обе стороны поверхности газодинамического разрыва. Состав газа (воздуха) по объему принят следующим: 78,08% №>; 20,95% 02 и 0,97% Аг. Температура невозмущенного потока Т ^ 300 К. Предполагается, что каждый из составляющих скачков плоский и конфигурация их обладает плоскостью симметрии. Ищутся такие решения, когда в окрестности линий пересечения трех скачков уплотнения преобразование потока не сопряжено с его разрежением.
Расчет параметров потока непосредственно в окрестности мостообразного скачка уплотнения сводится к определению течения в окрестности точки пересечения трех скачков [5]. в плоскости,
^'1
I
перпендикулярной линии пересечения скачков, составляющая скорости вдоль которой остается неизменной:
vz = У<Х> cos Р = const,
где Voo — скорость невозмущенного потока перед скачками; р— угол этой скорости с линией пересечения скачков.
На фиг. 1 показана схема течения в пространстве и в расчетной плоскости. Назовем 1-й скачок уплотнения падающим, 2-й — отраженным, 3-й — центральным. Определяющими задачу параметрами являются перепад давления в падающем скачке ptlpx, состояние невозмущенного потока перед ним (Voo, Роо, Гоо) и угол р.
Параметры потока перед и за каждым скачком уплотнения связаны следующими уравнениями:
si = P*/Pi = tg (о, - §,)/tg о,; (1)
где р, р, Т — соответственно давление, плотность и температура потока; о, 8 — угол наклона скачка уплотнения и угол поворота вектора скорости в нем относительно направления скорости перед скачком в расчетной плоскости; /г — удельная энтальпия, которая определялась по интерполяционным формулам, составленным на основании [6]; и— составляющие скорости в расчетной плоскости.
Параметры потока за скачками обозначены индексами /= 1, 2,3, перед ними ,1г — оо, 1. При Ь — со (невозмущенный поток) г=1 и 3, при £ = 1 I = 2.
Уравнения (1)—(5) решались численно методом последовательных приближений.
Условия (5) обеспечивают сопряженность потоков за 2-м и 3-м скачками уплотнения. В расчетной плоскости эти потоки разделены вихревой линией. Скорости их и2 и «з параллельны этой линии, но различны по величине. Численный анализ показывает, что всегда и2>м3*-
Соответственно в пространстве области течения за отраженным и центральным скачками уплотнения разделены вихревой плоскостью тангенциального разрыва скорости, отходящей от линии пересечения скачков. Векторы скорости в этих областях У2 и Уа (с учетом составляющей скорости вдоль линии пересечения скачков) параллельны вихревой плоскости, но не коллине-арны, 11/2| > | V,] и угол между ними
Щ — из 1 м2 и3
Максимальное значение этого угла
ц2/ыз — 1
®шах — ЭГС1§[ • ,
2 У и21и3
оно достигается, когда
Р = аг^г (и2 — щ)-Х!2.
С линией пересечения скачков уплотнения векторы скорости 1/2 и У3 составляют углы
0,- = аг^ (я£1&р), 1 = 2, 3.
В силу симметрии поля течения скорости невозмущенного потока Ук, и за центральным скачком уплотнения 1/3 параллельны плоскости симметрии, а линия пересечения вихревых плоскостей,
* Из уравнений мостообразного скачка уплотнения, написанных для эффективного х = ср1сг1, учитывающего изменение энтальпии при переходе через скачок [7] в пределе при Ма оо, имеем
-2 2 8 * (М12:51П2о2— 1) I дд'2 • 2 *-1
и\ — и\=------------------71)---- ^ вт2а2 — —— ,
(х—1) (х+1)2М,28т2а2 \ 2* )
1
4% БШ2 а
(*+1)2
так как х>1; М1—число М за 1-м скачком в расчетной плоскости.
отходящих от линий пересечения скачков уплотнения по обе стороны плоскости симметрии, расположена в этой плоскости параллельно скорости 1/3. Эта линия не может находиться на поверхности твердого тела, так как с внешней стороны вихревых поверхностей в областях 2 за отраженными скачками уплотнения скорость потока 1/2 направлена к плоскости симметрии (угол ее с линией пересечения скачков уплотнения больше, чем угол вектора скорости У3, параллельного этой плоскости 02>03). Сталкиваясь в окрестности линии пересечения вихревых плоскостей, эти потоки должны разворачиваться во внутренних скачках уплотнения 4
SO
60
4-0
20
6 ^оо = 10
V /с * 7 / С
у 7 у 7/ У
/I / s' У / „ /
А Л г —л г // р^10гЛа 10* Па 1
—.—
О 10 20 30 40 pj/pa
Фиг. 2
до направления, параллельного плоскости симметрии (см. фиг. I), Такое течение возможно, если необходимый угол поворота скорости в скачках 4 не превосходит максимального для потока за отраженным скачком. В противном случае рассматриваемая схема не реализуется.
Расчет скачка уплотнения 4 можно проводить в плоскости, перпендикулярной линии пересечения вихревых плоскостей по формулам (I) —(4), где г = 4, pk = p2, Р* = Р2. К = К,
Uk = Vz Sin 0 = «2 Sin 0/sin 62,
а угол поворота потока в скачке §4 равен углу между вихревой плоскостью и плоскостью симметрии
tg\ = Vl + cos2 о3 tg2 P/'cos2 (О, — 83) ctg (о3 — 83).
В расчетных плоскостях составляющая скорости как за центральным скачком уплотнения 3, так и за внутренними скачками 4 может быть дозвуковой, и соответственно эти скачки „сильными", если соответствующая полная скорость в пространстве сверхзвуковая. Реализация таких „сильных" в расчетной плоскости скачков уплотнения доказана экспериментально на примере четырех пересекающихся вдоль одной прямой скачков уплотнения (8, 9].
Расчеты показали, что рассмотренный класс решений существует, когда число М перед мостообразным скачком Моо>4,3. На фиг. 2 для различных начальных условий М», /?<», Та,
показаны области изменения параметров Рг/Рсо, Р, определяющих рассматриваемую задачу, когда внутренние скачки уплотнения 4 возможны. Давление роо=Ю4Па и температура Г,» = 300 К приблизительно соответствуют условиям полета в атмосфере Земли на высоте Н= 20 км; /?оо = Ю2Па, Тсо = 300К—на высоте И — 50 км. На фиг. 2 приведены также результаты для идеального газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей х=1,4, Участок границы этих областей АС соответствует максимальному углу поворота потока во внутренних скачках уплотнения 84=8тах, участок ВС — достижению скорости звука за центральным скачком
(У3 = а3). При этом в областях 1, 2 и 4 скорости сверхзвуковые. На участке А/?84 = 0, и рассматриваемая система скачков уплотнения вырождается в четыре регулярно пересекающихся вдоль одной прямой скачка или в мостообразный скачок с параллельными вихревыми плоскостями. Область существования рассматриваемого решения находится внутри области существования регулярного пересечения скачков уплотнения, и при одинаковых падающих скачках (одинаковых р\\рса, Р) им соответствуют различные поверхности тока. Следовательно, мостообразные скачки уплотнения могут возникать при обтекании тел независимо от так называемого маховского пересечения скачков, когда регулярное пересечение их невозможно.
В поле мостообразного скачка за внутренними скачками уплотнения 4 статическое давление может быть значительно больше, чем за прямым скачком уплотнения при тех же параметрах невозмущенного потока, и в несколько раз больше, чем непосредственно за мостообразным скачком (фиг. 3). При этом статическая температура потока за внутренними скачками меньше, чем за центральным скачком (фиг. 4), и угол а вектора скорости V4 с направлением невозмущенного потока меньше, чем угол а3 вектора скорости V3:
COS Я4, COS и3
: = а, — arctg
a, = arccos
cos (а4 — 64) cos (а3 — 83)
1 + tg* Э COS а3 COS S;,/cos (а3 — В3)
У' + *82 Р cos2 а3/cos2 (а3
tgp
COS р
— — рс*г ЮгПа
----- 10*Па
-----х =
— граница существования решения
О 10 20 30 М Pt/Рж
Фиг. 4
При Мет>7 реальные свойства воздуха оказывают заметное влияние на поле течения в окрестности систем пересекающихся скачков уплотнения, в том числе и на статическое давление, в то
Мс£ 10; 10*Л а } /3 = 72,5°-iep1Jp^ It 5,it
Фиг. 5
время как в одном скачке уплотнения влияние их на величину давления мало.
На фиг. 5 показан пример конической поверхности, ограничивающей угловую область, где на расчетном режиме образуется
рассмотренная система скачков уплотнения. Так как 2-й и 4-й скачки уплотнения пересекаются, эта поверхность выбрана таким образом, что Линия их пересечения совпадает с ребром поверхности. Если эти скачки уплотнения пересекаются в поле течения, это неизбежно приведет к образованию новых внутренних скачков или к разрушению рассмотренной схемы течения. Поскольку все составляющие скачки плоские, соответствующая твердая поверхность также состоит из плоских участков, параллельных векторам скорости за 1-м и 4-м скачками и опирающихся на них. Внутреннее ребро ее ОА параллельно вектору скорости 1'4. На фиг. 5 показаны схема скачков уплотнения в поперечном сечении и распределение коэффициента давления на грани
,.. р‘ ~ Ра=
. . °Р °.5Р 4 '
Коэффициент статического давления в окрестности внутреннего ребра за скачками уплотнения 4 в три раза больше, чем за прямым скачком уплотнения при тех же параметрах невозмущенного потока.
В рассмотренном примере передние кромки ОС твердой поверхности расположены перед внутренним ребром и образуют с ним тупой угол. Такие конфигурации могут быть использованы во входных участках воздухозаборников для начального сжатия потока с малыми потерями.
Если не ограничиваться строго коническими течениями с одним фокусом, в поле мостообразного скачка уплотнения можно построить твердые поверхности трапециевидной формы в плане, расположенные до линии пересечения вихревых плоскостей, когда внутренние скачки уплотнения отсутствуют. В окрестности плоскости симметрии эти поверхности должны иметь выступ, параллельный вектору скорости 1/3, боковые грани которого расположены на вихревых плоскостях и пересекаются с основной частью поверхности по ребрам, параллельным векторам скорости У2 (см. фиг. 6).
Рассмотрению кусочно-гладкого мостообразного скачка уплотнения посвящена работа [10]. Однако построение соответствующих твердых поверхностей там дано неверно, так как не учтена особенность течения в окрестности линии пересечения поверхностей тангенциального разрыва скорости, которая не может быть расположена на поверхности тела, как это предполагается в [10].
Проведенные исследования показали, что в идеальном газе в поле за мостообразным кусочно-плоским скачком уплотнения возникают внутренние скачки уплотнения, отходящие от линии пересечения вихревых плоскостей (тангенциального разрыва скорости). Статическое давление в поле за этими скачками может быть в несколько раз больше, а температура потока меньше, чем за центральной частью мостообразного скачка и чем за прямым скачком уплотнения при тех же параметрах невозмущенного потока.
1. Charwat A. F., Redekopp L. G. Supersonic interference flow along the corner of intersecting wedges. AIAA, 1967, vol. 5, N 3.
2. Демьяненко В. С. Экспериментальное исследование пространственных сверхзвуковых течений газа в области интерференции пересекающихся поверхностей. Изв. АН СССР МЖГ, 1975, № 6.
3. Venn J., F 1 о w е г J. W. Shock patterns for simple caret wings. The Aeronautical J., 1970, vol. 4, N 712.
4. Лапыгин В. И., Остапенко Н. А. Обтекание подветренной стороны конического крыла сверхзвуковым потоком газа. Изв. АН СССР МЖГ, 1973, № 1.
5. Henderson L. F. On the confluence of three shock waves in a perfect gas. Aeronautical Quarterly., vol. 15, pt. 2, May 1964.
6. Предводителев А. С., Ступоченко E. В., Иванов В. П. Термодинамические функции воздуха для температур от 1000° до 12 000° и давлений от 0,001 атм до 1000 атм. М., АН СССР, 1960.
7. Арутюнян Г. М., Карчевский Л. В. Отражение
ударных волн. М., .Машиностроение", 1973. ,
8. Келдыш В. В. Пересечение в пространстве двух плоских
скачков уплотнения. ПММ, т. 30, вып. 1, 1966. ,
9. Зайцев Ю. И., Келдыш В. В. Особые случаи течения вблизи пересечения скачков уплотнения. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1970.
10. Гонор А. Л. Некоторые пространственные течения с ма-
ховским взаимодействием ударных волн. Изв. АН СССР МЖГ, 1966, № 6. ’
Рукопись поступила ЩХ1 1975
