CC BY
42
УДК 519.872
А. П. Кирпичников, А. С. Титовцев, З. Фадхкал
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ОТКРЫТОГО ТИПА
Ключевые слова: система массового обслуживания, коэффициент вариации, поток требований, очередь, обслуживающее
устройство.
В работе рассмотрено поведение коэффициента вариации, связывающего первые и вторые моменты основных величин, характеризующих поведение систем массового обслуживания различных типов. Показано, что изучение этой характеристики позволяет сделать ряд нетривиальных выводов о режимах функционирования этих систем, особенно о режимах функционирования многоканальных систем массового обслуживания с ограниченным объёмом накопителя.
Keywords: queuing system, variation coefficient, f low of requirements, queue, serving device.
In this paper we examine the behavior of the coefficient of variation, linking the first and second moments of the basic quantities characterizing the behavior of queuing systems of various types. It is shown that the characteristics of this study leads to a number of non-trivial conclusions about modes of operation of these systems, especially on the modes of operation of multichannel queuing systems with limited storage volume.
Вторые моменты являются одними из основных числовых характеристик как установившегося, так и нестационарного режимов систем массового обслуживания (СМО) различных типов. Между тем даже для установившегося режима систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком заявок и экспоненциальным временем их обслуживания аналитические формулы этих величин известны лишь для ограниченного числа моделей. При этом моменты высших порядков сравнительно хорошо изучены лишь для одноканальных моделей различных СМО, в том числе и не обязательно марковского типа [1]. Что же касается систем массового обслуживания с большим числом каналов, то до недавнего времени в научной литературе можно было найти лишь формулы вторых моментов некоторых характеристик для модели с неограниченным объёмом накопителя (в рамках классификации Дж. Кендалла - модель М/М/т).. [2].. В монографиях [3, 4] и примыкающей к ним работе [5] впервые были представлены как первые, так и вторые моменты главных характеристик для пяти основных (базовых) моделей систем массового обслуживания, в том числе:
1. Классической СМО (модель М/М/1);
2. Многоканального устройства (модель М/М/т);
3. Модели А. Эрланга (модель М/М/т/0);
4. Модели с очередью конечной длины (модель с ограниченным объёмом накопителя, по классификации Дж. Кендалла - модель М/М/т/Е)
5. Модели с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди в предположении о простейшем входящем потоке заявок и экспоненциальном времени их пребывания в обслуживающем устройстве (эта последняя модель в настоящей работе не рассматривается). Эти результаты позволяют сделать ряд весьма нетривиальных выводов о режимах функционирования этих систем, особенно, как мы увидим в дальнейшем, это касается режима функционирования многоканальных систем массо-
вого обслуживания с ограничением на объём накопителя.
В математической статистике при изучении зависимостей случайных процессов принято вводить коэффициент вариации
v = cr{t)lEt \ (1)
который в данном случае равен отношению средне-квадратического (стандартного) отклонения числа заявок, поступающих в систему за единицу времени <j(t ), к математическому ожиданию E (t ) этой величины. Заметим, что в теории массового обслуживания коэффициентом вариации иногда называют несколько другую величину [6]
V=0 (2)
где D ( )=а2 (f), которая также характеризует степень нерегулярности соответствующего потока заявок. При этом для простейшего потока заявок этот коэффициент равен единице, для регулярного или детерминированного потока, то есть потока, в котором промежутки времени между двумя последовательными заявками являются постоянными величинами, коэффициент вариации V равен нулю, для большинства же других законов распределения 0 < V < 1. Ясно, что в этом случае
V = v2 Е((). (3)
Коэффициенты вариации вида (1) и (2) мы будем в дальнейшем для определённости называть коэффициентами вариации первого и второго рода.
Введём теперь по аналогии с соотношениями (1) и (2) в рассмотрение величины, составленные из первых и вторых моментов основных числовых характеристик установившегося режима систем массового обслуживания. К этим характеристикам относятся, как известно [3, 4],
- во-первых, число заявок, одновременно находящихся под обслуживанием;
- во-вторых, число заявок в очереди на обслуживание (находящихся в ожидании обслуживания);
- в-третьих, общее число заявок в системе в целом (как в очереди, так и под обслуживанием);
в-четвёртых, число заявок в так называемой реальной очереди (впервые комплексно изученной в работах [3, 4]) и,
в-пятых, число заявок, обслуженных подряд в обслуживающем устройстве (приборе).
Заметим, что последняя из этих характеристик почти не изучена, и для неё данные о первых и вторых моментах, кроме результатов, полученных в рамках простейшей классической одноканальной СМО, до сих пор отсутствуют. В данной работе мы рассмотрим пока, как вводятся коэффициенты вариации для первых двух из этих величин, и к каким результатам это нас приведёт. В основном нас будут интересовать (почему так - станет ясно из дальнейшего изложения) многолинейные системы массового обслуживания.
Коэффициент вариации числа заявок, находящихся под обслуживанием
Определим коэффициенты вариации числа заявок (требований), находящихся в обслуживающем устройстве, как
V = °т1™ , 1 =сгт//"
где т - среднее число занятых каналов в многоканальном обслуживающем устройстве или, что тоже самое, среднее число требований (заявок), одновременно находящихся под обслуживанием, а О2 -среднеквадратическое отклонение соответствующей величины, то есть числа занятых каналов в многоканальном устройстве. Заметим, что для одноканаль-ных СМО первая из этих величин является просто средней долей занятости обслуживающего устройства.
Опираясь на результаты, полученные в работах [3-5],найдём теперь коэффициенты вариации числа заявок, находящихся под обслуживанием, для пяти базовых моделей СМО по порядку, то есть в соответствии с нумерацией, введённой выше.
Рассмотрим вначале одноканальную классическую СМО. Предположим, что мы имеем одно-канальную СМО с однородным бесконечным простейшим потоком заявок и неограниченной очередью. Пусть интенсивность входящего потока заявок равна Я, а длительность обслуживания одной заявки - случайная величина с математическим ожиданием V . Наряду с понятием средней длительности обслуживания мы будем использовать понятие интенсивности обслуживания /л = 1/V - величину,
обратную V и характеризующую число заявок, которое может обслужить прибор в единицу времени. В этом случае можно считать, что навстречу потоку заявок (требований), входящих в систему, движется поток обслуженных заявок (требований), исходящих из системы. Поток обслуженных заявок также будем
считать простейшим потоком (с интенсивностью
Л). Для модели классической одноканальной СМО
— 2 2 в этом случае имеем т= р , от = р — р ,
где р = Я/ - приведённая интенсивность потока
заявок, и тогда
I
у(1)=}1р — р * т
р
1 — р .
р
1^=^ = 1 — р. р
(4)
(5)
Предположим теперь, что изучаемая нами система массового обслуживания имеет т обслуживающих каналов с одинаковой интенсивностью обслуживания / при общем простейшем входящем
потоке заявок с интенсивностью Я. Как известно, такая система называется многоканальным устройством и имеет условное обозначение М/М/т. В этом случае, согласно [3-5], имеем т =р и 2
От =р — рРожид , где Рожид вер°ятн°сть °жи-дания, то есть вероятность того, что поступающее требование найдет все каналы занятыми, задаваемая формулой
~ л
р Ро
(т — Щт — р)'
(6)
в которой
Ро =
еМ+
р
т\(т — р)
- вероятность простоя системы, то есть вероятность того, что в системе нет ни одной заявки. В этом соотношении
„2 т
вт(р)=1 + р + р + ... + р 1! 2! /77!
- неполная экспоненциальная функция (неполная экспонента). При этом е0 (р) = 1, а при т <0 полагаем ет(р) = 0. Ясно, что ет(р)^ер при /77 ^ ж . В результате имеем
1/(2) = /77
4р—рр.
ожид
р
1—р,
ожид .
~(2) = р — р Рожид
1 т
р
р
= 1 -Ро
(7)
(8)
Легко проверить, что при /77 = 1 эти соотношения сведутся к формулам (3) и (4) модели М/М/1.
Перейдём к моделям систем массового обслуживания с отказами (модели А. Эрланга). Пусть на вход т-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью Я. Поток обслуживаний каждого канала
—1
также простейший с интенсивностью / . Потребуем еще выполнения следующего условия: если заявка застанет все m каналов занятыми, то она получает отказ, то есть покидает систему без обслуживания. Это, в свою очередь, означает, что очереди в такой СМО отсутствуют. Если же заявка застанет свободным хотя бы один канал, то она принимается к обслуживанию любым из свободных каналов. Классическим примером такого ряда СМО является автоматизированная телефонная станция в любом населенном пункте (исторически именно с этих моделей СМО и началось построение общей теории массового обслуживания в 1910-е гг.). В рамках символики Дж. Кендалла такие СМО обозначают как М/М/т/0, где последний символ в аббревиатуре означает предельную длину очереди, по умолчанию равную бесконечности (иногда эту величину называют также ёмкостью накопителя). Для систем массового обслуживания такого типа [3-5] справедливы соотношения
т=р (г2т =m-p(m-m)pOTK,
в которых
М/М/т/0), а при Е^ж - к обычной многоканальной системе массового обслуживания с неограниченной очередью. В этом случае, согласно [3-5],
т = р(\-р0т); а2т =т-р\рОЖИд+{т-т)рОТХ
где
т + е
Ротк Рт+е
Р
/77! /77
-р 0;
р
^ожид т-1) т-р
Отсюда в свою очередь следует
)_4™-р
ёгР[1-р/>»п
у(4)_.
гп
Ножид о
/77
* т
/77
- р Рожид + {т-т)р
отк j
/77
_ 1 -р
Ножид
+ {ш-т)р
с
(12)
(13)
/77
_ _р_
Ротк _ Рт _ „. Ро т\
(9)
- вероятность отказа (формула потерь А. Эрланга). Напомним, что заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все m каналов заняты, вероятность чего равна (4). В данном случае р0 _ет1р). Отсюда в свою очередь имеем
,(з)_
4 т-р(т-т)р
с
/77
(10)
/77
т-р(т-т)рс
/77
_1 р(т-т_)Рс
/77
(11)
Коэффициент вариации числа заявок, находящихся в ожидании обслуживания
Перейдём к вычислению коэффициентов вариации для другой важнейшей величины в теории массового обслуживания - числа заявок (требований) l, находящихся в очереди и тем самым ожидающих начала обслуживания. В этом случае для классической СМО (модель М/М/1)
_
р
1 -р
а, _■
1 + р т 7 2 _р2 {1 + р-р2 )
1 -р
т -р)2
откуда
,т)_
1 + р . _У1 + р-р2
т-р)" _
р
14)
Наконец, обратимся к наиболее общей по отношению к трём рассмотренным выше моделям -модели системы массового обслуживания с очередью конечной длины (или - с конечным объёмом накопителя). Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания, для которой фиксировано максимальное число требований, ожидающих обслуживания; для чего предположим, что в очереди одновременно могут находиться не более заявок и что любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания. Поступление новых требований происходит по закону Пуассона, времена их обслуживания распределены экспоненциально со средней интенсивностью обслуживания / заявок в единицу времени. При этом в систему допускаются только те требования, которые застают в ней строго меньше заявок, чем т + Е . Ясно, что для Е _ 0 такая система сводится к СМО с отказами (модель
у!) _ 1±р_/_1 + р-Р2 . ' 1 -р 1-р '
(15)
М/М/т)
Для многоканального устройства (модель
_
р
т-р
2 _т + р 7 I2 _ _р Рожид[т +р-р Рожид) а I —-/ — / — — -
т-р
т-р))
так что
Ы, т + р -1 _
т т-р))
т + р-рр{
ожид
р
ожид
.(2 ) = т + р Т=т + р — рр1 ' / = ' =
ожид
т — р
т — р
(17)
Для модели с очередью конечной длины (модель М/М/т/Е)
^ =р (Рожид — ^ Рот ) .
/77 — р '
2 = {т + р)1 — рЕ {Е + 1)РОТК _ у2
О, =
/77 — р
и тогда
,(4)1 т + р рЕ{Е + \)ротк ' \(т — р)1 (т — р)!2 1
У[4) = т + р рЕ(Е + \)рОТК 1
v / ~ , ч - / .
(18)
(19)
' т — р (т — р)1
В вырожденном случае р = т имеем [3-5]
4 =Е(+ 1 го
\р=т
I = Е+ 1 | .
Е{Е + 1){2Е +1)
\р=т 6
= (£Ч1Н2Е +1)
6
\р=т \р=т
РоЖИд \р = т = т-
в результате чего
м
\2Е+1
\р=т V 3/
-—1 ; V
(4)1
2Е+1
—/.
\р=т
(20)
Анализ полученных соотношений
Перейдём к анализу полученных соотношений. Проанализируем, прежде всего, поведение коэффициентов вариации первого рода при изменении параметра приведённой интенсивности потока заявок р . Исходя из соотношений (4), (7), (10) и (12), имеем
о<уЦ<ж, оУ^ж, о<у[3)<ж, о<1(т<да.
откуда следует, что коэффициенты вариации первого рода при изменении параметра р могут колебаться в весьма значительных пределах, что очевидно. Здесь и ниже в двойных неравенствах левые части неравенств соответствуют максимально возможным для каждой модели значениям параметру приведённой интенсивности р , то есть числу каналов /77 для моделей систем с ожиданием (первых двух моделей) или бесконечности для моделей систем с отказами (последних двух). Правые неравенства при этом соответствуют нулевому значению параметра р.
Интересно отметить, что для каждой модели существует некоторое критическое значение приведённой интенсивности потока заявок, при которой среднеквадратическое отклонение числа требований под обслуживанием совпадает с математическим
ожиданием этой величины: ркр = 1). В частности, для модели классической СМО это значение, как легко видеть составляет величину р^ '=1/2
Проанализируем поведение коэффициентов вариации второго рода при этих же условиях. Как мы увидим ниже, для коэффициентов вариации второго рода в данном случае этого явления не наблюдается.
Прежде всего, следует отметить то обстоятельство, что все без исключения коэффициенты вариации второго рода числа требований, находящихся под обслуживанием, строго меньше единицы:
о<ут< 1, о;< 1, о<;:^< 1, о;<1.
Равенство этих величин единицы достигается, как легко видеть, только лишь в тривиальном случае р = о. Отсюда с учётом соотношения (3) сразу же следует
7(2).
7(3),
7(4).
;(1) ;(2) ;(3) ;(4)<
* т 1 у т •> у т •> * т —
1
/77
(21)
Таким образом, отношение среднеквадрати-ческого отклонения числа требований, одновременно находящихся в обслуживающем устройстве, к их среднему значению (математическому ожиданию) всегда строго меньше корня квадратного из обратной значения этой величины, то есть ограничено сверху. В реальных условиях, которые нас главным образом будут интересовать, как правило, всегда имеют дело с многоканальными обслуживающими устройствами, когда /77>1, и тогда полученный результат можно сформулировать следующим образом. Чем больше загружено требованиями многоканальное обслуживающее устройство, тем меньше коэффициент загрузки отклоняется от своих средних значений (качественно - достаточно понятный и прогнозируемый результат с точки зрения физики процесса).
Обратимся теперь к исследованию коэффициента вариации числа требований, находящихся в очереди на обслуживание, где, как будет показано ниже, нас ждут наиболее интересные результаты. Для коэффициентов вариации первого рода имеем следующий результат:
1 <у4)<ж , 1 <;(2)<да , о<У4)<ж .
Как легко видеть, критическое значение приведённой интенсивности рлДу;4^ 1) в данном случае
существует только для модели системы с ограничениями. Обратимся к коэффициентам вариации второго рода.
Здесь для систем с неограниченной очередью мы имеем обратный результат
ж > У;4 > 1, ж>у,(2)> 1, ж > V;4 > о.
Отсюда аналогично (21) для систем массового обслуживания с ожиданием
2
-( 1 )
V 2)>
и.
(22)
Как видим, в данном случае отношение среднеквадратического отклонения числа требований, находящихся в очереди к обслуживающему устройству, к их средней величине ограничено снизу, но не ограничено сверху, то есть при определённых условиях может значительно превысить среднее число заявок, находящихся в очереди на обслуживание. Говоря другими словами, колебания числа заявок в очереди достаточно велики. Далее, для системы с ограничениями (по классификации Дж. Кен-далла - модель М/М/т/Е) также должно существовать некоторое критическое значение приведённой интенсивности потока требований р^ДУ/4) = 1).
Это критическое значение приведённой интенсивности можно назвать по аналогии с введённой выше терминологией критическим значением второго рода.
Постановка задачи для многоканальных систем массового обслуживания
Для многоканальных систем массового обслуживания задачу о вычислении критических значений параметров, при которых значения уУ ) = 1,
,(4) =
V! = 1 и У4) = 1, можно поставить также ещё и
следующим образом. В реальных условиях эксплуатации систем и объектов, работающих по принципу систем массового обслуживания, естественным желанием является организовать процесс их эксплуатации таким образом, чтобы работа этих объектов и систем протекала бы как можно более в равномерных режимах. При этом следует учесть то обстоятельство, что единственным параметром, который можно было бы более или менее быстро изменять в реальных условиях, для многоканальных устройств на практике является только число параллельно работающих однородных обслуживающих устройств . Поставим, поэтому, задачу изучения роботы СМО следующим образом.
Коэффициенты вариации у\т являются функциями, как переменной р , так и параметра т (числа обслуживающих каналов в многоканальном устройстве). Будем теперь рассматривать эту последнюю величину в качестве некоторой формальной непрерывной переменной, и попробуем в этом случае также найти некоторые критические
У (4) и V4)
значения
(') = 1
/77,
кр
У"=1),
/77
(у( 4) = 1
крУ /
У4) = 1), при которых выполнены условия
У
М) =
7
= 1 и уУ4) = 1, которые будем считать
пограничными условиями для равномерного режима работы многоканального устройства. При этом имеется ввиду, что такого рода равномерный режим
наступает при значениях параметров ;
,(4)
У) и
"(4)
меньших единицы. Конечно, с точки зрения
возможных приложений результатов данной работы,
равномерный режим эксплуатации должен определяться лишь условиями у1 () = 1 , У( 4) = 1, но для методологической последовательности всего исследования в целом, мы рассмотрим также и критические условия второго рода, то есть найдём критическое значение ткр (у\4) = 1).
Подчеркнём при этом, что если в обычной постановке задачи должны определяться значения ркр и ркр, как функции параметра /77, то есть
ркр =ркp{m), р =ркp{m), то в данном случае нам нужно будет искать своего рода обратные зависимости тКр =тф{р) и т^ =гг)ф{р).
Задачи подобного рода, что особенно важно подчеркнуть, можно также распространить и на системы дифференцированного обслуживания поликомпонентным потоком заявок, впервые введённых в рассмотрение и изученных в цикле работ [7-3о]. Подробное изложение результатов, полученных при исследовании поставленной таким образом задачи, будет опубликовано в последующих работах авторов. Здесь мы ограничимся пока только тем, что приведём результаты расчётов тКр = ткр (р) для
случаев системы массового обслуживания с конечным объёмом накопителя.
задание параметров модели Кр, ,Е:
Рис. 1 - Блок-схема алгоритма
Подробная блок-схема численного решения поставленной задачи для различных значений, задаваемых в программе объёма накопителя , приведена на рис. 1. Методом деления отрезка пополам, варьируя приведенной интенсивностью входного потока заявок р в пределах от 2 до 12, были найдены значения т^ = ткр (р) при различных ограничениях на длину очереди Е=2,5,1о,5о,1оо. С этой целью был проведён цикл вычислительных экспериментов по алгоритму, представленному выше (рис. 1). При этом в формулах для вероятностных
и
характеристик, через которые выражены моменты числа заявок в очереди, факториальные зависимости /77! формально заменялись соответствующими гамма/функциями Г(да+1), условно считая /77 непре-
- for E1=2
••• for E1=5
---for E1=10
---for E1=50
■H- for E1=100
Рис. 2 - Зависимость m критического от приведенной интенсивности входного потока заявок р
На рис.2 приведены результаты численных расчётов в виде зависимости ткр = т^ р) от приведенной интенсивности входного потока заявок р . Наиболее ярким и непредсказуемым результатом явилось в данном случае установление линейной (или почти линейной) зависимости /77р = а + Ь р, в которой параметры зависят от значения заданного объёма накопителя Е.
Подробный анализ полученных результатов поставленной таким образом задачи будет содержаться в следующих работах данного цикла публикаций. Пока же следует указать лишь то, что результаты расчётов, полученные в настоящей работе, могут быть весьма полезны при проектировании и эксплуатации достаточно широкого класса объектов и систем, работающих по принципу систем массового обслуживания.
Литература
1. Дж. Риордан, Вероятностные системы обслуживания. Москва, Связь, 1966 184 с..
2. В.Ф. Дьяченко, В.Г. Лазарев, Г.Г. Саввин. Управление на сетях связи, Москва, Связь, 1968. 224 с.
3. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. ун-та, 2008. 112 с.
4. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.
5. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, З. Фадхкал, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 19, C. 383-388 (2014).
6. С.А. Майоров (ред.), Основы теории вычислительных систем. Высшая школа, Москва, 1978. 408 с.
7. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 4, С. 78-85 (2006).
8. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Обозрение прикл. и промышл. матем., 14, 5. С. 893-896 (2007).
9. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Обозрение прикл. и промышл. матем., 15, 6. С. 1090-1091 (2008).
10. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 5, C. 154-161 (2011).
11. А.С. Титовцев, Дисс. канд. техн. наук, КНИТУ, Казань, 2011. 143 с.
12. А.С. Титовцев, Системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков. Модели и характеристики. Saarbrücken, LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. 132 с.
13. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 15, 1, C. 148-152 (2012).
14. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 15, 6, C. 201-202 (2012).
15. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2012. С. 212-218.
16. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 15, 8, C. 337-340 (2012).
17. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 16, 6, C. 248-252 (2013).
18. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Наука в Центральной России, 4, C. 5-8 (2013).
19. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2013. С. 166-170.
20. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 16, 11, C. 255-257 (2013).
21. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 16, 18, C. 282-286 (2013).
22. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 16, 23, C. 242-244 (2013).
23. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Алгоритмические и программные средства в информационных технологиях, радиоэлектронике и телекоммуникациях. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2014. С. 106-110.
24. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 4, C. 307-312 (2014).
25. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 5, C. 279-281 (2014).
26. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2014. С. 142-150.
27. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 10, C. 2328-240 (2014).
28. A.P. Kirpichnikov, A.S. Titovsev, Ciencia e Técnica Vitivinícola, 29, 7, 108-122 (2014).
29. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Костром. гос. ун-та им. Н.А. Некрасова, 4, C. 20-23 (2014).
30. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В мире научных открытий, 10(58), C. 122-136 (2014).
© А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected]; А. С. Титовцев - канд. тех. наук, доцент той же кафедры, [email protected]; З. Фадхкал -аспирант той же кафедры, [email protected].
© А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci., Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, [email protected]; A. S. Titovtsev - PhD, Associate Professor of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, [email protected]; , Z. Fadhcal - Postgraduate Student of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, [email protected].
