CC BY
20
© С.М. Заикина, 2009
УДК 517.581
НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ОБРАЩЕНИЯ
С.М. Заикина
Рассмотрены обобщенные интегральные преобразования с функцией Райта в ядре. Получены формулы обращения приведенных интегральных преобразований. Доказано равенство Парсеваля — Гольдштейна.
Метод интегральных преобразований является эффективным аналитическим методом решения краевых задач математической физики, интегральных уравнений, дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) и других прикладных задач. Использование интегральных преобразований позволяет свести интегрирование дифференциальных уравнений и решение ряда других задач математического анализа и инженерных задач к решению более простых алгебраических задач. Применение теории интегральных преобразований позволяет доказать ряд равенств (например Парсеваля — Гольдштейна), которые, в свою очередь, дают возможность вычислить интегралы, которых нет в справочной литературе.
В работе рассматривается обобщение классических интегральных преобразований Стилтьеса (см.: [1; 6])
СЮ
Ср {/(х); у} I ^ (1)
о
и потенциала
со
р{/(х); у} = / 2 [ 2/(х)^х (2)
] X2 + у2
о
на случай, когда ядро содержит гипергеометрическую функцию Райта [3]:
рФ? (г} = рФ?
(а*; аг)1,р (Ь3 ; в3 )1,?
, где
г € С; Ь, € С; а*, в, € Я = (-то, +то); (а*, в, =0; г = 1, 2, ...,р; ] = 1, 2,..., д).
Представление функции рФ? с помощью интеграла Меллина — Бернса имеет вид [3]
1 г Г(в) П Г(а* - а*в)
р (г) = - г ^------------ (-г)-^, (3)
2пгЛ П т - в,.)
3=1
г
где 5 € С, а Ь-о — контур, проходящий от точки -то + г^1 до точки -то + г^2
(-ТО < ^1 < ^2 < +ТО).
Рассмотрим следующие обобщенные интегральные преобразования:
со
р {/(х); у} = щ/ х*т?/ (х)л
(а,т); (1,т)
(С в)
Ь
X
2 \ 7
X2 + у2
^х, (4)
со
р2{/(х); у} = ГГ) / 2 [ 2 /(х)2ф1 Г(а) у х2 + у2
(а,т); (1,т) (св)
Ь
у
2 \ 7
X2 + у2
^х, (5)
р {/(х); у}
Г(с) Г / (х)
Г(а)Г(р) У (х + у)р
■ 2^1
(а,г); (р,7) (С в)
Ь
х
х + у
^х. (6)
При Ь = 0 наши преобразования (4), (5), (6) совпадают с классическими преобразованиями (1), (2).
Теорема 1. При условии существования и абсолютной сходимости интегралов (4), (5), (6) имеет место следующее равенство
х Р {/(¿); х} д(х)^х = хР2 {#(£); х} /(х)^х.
(7)
оо Это равенство является обобщением равенства (2) в [4].
Интегральные преобразования Р1 {/(х); у} и Р2 {/(х); у} можно рассматривать как композицию обобщенных интегральных преобразований Лапласа
^ 1 {/(х); у} = е ху ■ 1ф1;в (а; с; -Ь (ху)7) / (х)
(8)
£2{/(х); у} = у хе ■ 1ф!;в (а;с;-Ь (х2у2)7) / (х)
о
(9)
¿2{/(х); у} = хе х у / (х) ^г.
(10)
В равенствах (8), (9) 1Ф[’в(а, с, г) есть обобщенная конфлюэнтная гипергеометри-ческая функция [5], [6]
7
о
о
о
о
о
1Ф[’в(а, с, г) =
Г(с)
га -1(1 - г)с~ “ -1 ■ 1ф1
Г(а)Г(с - а)
(с,т) (c, в)
|г^т
где Re с > Re а > 0; {т, в} С Я; т > 0; в. > 0; т - в < 1; Г(а) — классическая гамма-функция [1].
1
Теорема 2. При условии существования и абсолютной сходимости интегралов имеют место равенства
Ь2 {^2{/(х); и}; у} = 2 р2{/(х); у}, (11)
¿2 {Ь2{/(х); и} ; у} = 1 р1 {/(х); у} . (12)
Доказательство теоремы отражено в работе [5].
Выведем формулу обращения для интегрального преобразования (4). Пусть
р1 {/(и); х} = д(х). (13)
Применим к обеим частям равенства (13) преобразование Меллина
М {/(х); 5} = х5 /(х)^х
(14)
Учитывая, что М < Р1 {/(и); х} ; 5
х
5-1
и
Г(с) I _____________
Г(а) У х2 + и2 о
/(и) ■ 2Ф1
(а,т); (1,т)
(с, в)
Ь
и
2 \ 7
х2 + и2
Г(с)
и/(и)
х
5-1
Г(а) У ] х2 + и2
оо
Ф1
2Ф1
(а,т); (1,т)
(с, в)
Ь
и
2 \ 7
х2 + и2
1 Г(с)Г (!)
2 Г(а)
Ф1
2Ф1
Ь
г(с)г( 2)
получим М {д(х); 5} = ■ 2Ф1
Отсюда имеем
(а,т);(1 - 2, т)
(c, в)
(а,т);(1 - 2,7) (с, в)
■М {/(и);5},
Ь
М {/(и);5}.
о
о
о
о
(а,т);(1 - 2,7) (с, в)
Ь
-1
М {д(х); 5} . (15)
Применяя известную формулу обращения для преобразования Меллина [2], полу-
чим
/ (и) = /х 1д(х)^ и) ^
о
(16)
где 0(х)
2п*
/ ¿(5)^,((5)= Г (|) ■ 2Ф1
(а,т);(1 - 2,7) (с, в)
Ь
Равенство (16) есть формула обращения интегрального преобразования (4). Аналогично получается формула обращения для преобразования (6).
1
с —
Список литературы
1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М. : Наука, 1965. — Т. 1. — 296 с.
2. Вірченко, Н. О. Основи дробового інтегро-диференціювання / Н. О. Вірченко, В. Я. Рибак. — Київ : ТОВ «Задруга», 2007. — 362 с.
3. Kilbas, A. A. H-Transforms / A. A. Kilbas, M. Saigo. — Boca Raton (Florida) : Charman and Hall/CRC Press, 2004. — 390 p.
4. Srivastava, H. M. A note on the Widder transform related to the Poisson integral for a half-plane / H. M. Srivastava, S. P. Singh // Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. — 1985. — V. 16, № 6. — P. 675-677.
5. Вірчєнко, Н. О. Узагальнені інтегральні перетворення i їх застосування / Н. О. Вір-ченко, С. М. Заїкіна // Наукові вісті Національного технічного університету Украіни «Киівський політехнічний інститут». — 2008. — № 6 (62). — C. 133-137.
6. Widder, D. V. A transform related to the Poisson integral for a half-plane / D. V. Widder // Duke Math. J. — 1966. — V. 33, № 2. — P. 355-362.
Summary
SOME GENERALIZED INTEGRAL TRANSFORMATIONS AND ITS INVERSIONS
S.M. Zaikina
We consider generalized integral transformations with function of Wright in kernel. We take inversion formulas for these transformations and prove the Parseval — Goldstein equality.
