Некоторые краевые задачи для операторно-дифференциальных уравнений типа Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3

УДК 517.95

НЕКОТОРЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СОБОЛЕВА М. В. Уварова, С. Г. Пятков

Аннотация. Рассматривается вопрос о разрешимости краевых задач для опера-торно-дифференциального уравнения вида But — Lu = f, где B, L : X —> X (X — банахово пространство) — замкнутые операторы такие, что D(L) С D(B) (D(L), D(B) — области определения соответствующих операторов), с краевыми

T

условиями Bu(0) = Buo или J Bu(t)da(r) = Buo, где a — функция ограниченной

0

вариации. Уточняются некоторые известные результаты о разрешимости начально-краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений типа Соболева в случае произвольного убывания (роста) резольвенты соответствующего линейного пучка. Получены теоремы о существовании и единственности решений задачи типа Коши и нелокальной краевой задачи общего вида, в том числе при определенных условиях показана максимальная регулярность решений. Последние результаты основаны на теореме Михлина для операторнозначных мультипликаторах Фурье. В отличие от предыдущих результатов в качестве функциональных пространств используются пространства Соболева — Бесова.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.70.19.006 Ключевые слова: операторно-дифференциальное уравнение, задача Коши, нелокальная краевая задача, пространство Соболева — Бесова, мультипликатор Фурье.

Рассмотрим уравнение

Mu = But - Lu = f, (1)

где B,L : X ^ X (X — банахово пространство) — замкнутые операторы, удовлетворяющие условиям D(L) С D(B) (D(L), D(B) — области определения соответствующих операторов), и найдутся постоянные 5 < 1, C > 0, во > п/2 такие, что {А : | arg А| < во} С рь — резольвентное множество пучка AB — L и

IIB(L — AB)-1||< C/(1 + |A|)Ä VA : | arg A| < во. (2)

Эволюционные уравнения вида (1) часто встречаются при математическом моделировании различных процессов и явлений и образуют класс так называемых уравнений соболевского типа. Наибольшее количество работ было посвящено

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 18— 01-00620).

© 2019 Уварова М. В., Пятков С. Г.

задаче Коши и ее аналогов (см. [1-14]). В последнем случае очень часто использовалось условие вида (см. [1-3, 5,11])

Бп(0) = Бп о. (3)

Уравнение (1) с нелокальными условиями рассматривалось в [11,12,15] и многих других работах. В частности, в [12] рассмотрено нелокальное условие вида

т

J п(т)р(т)<т = по, о

где получена теорема существования и единственности решений в пространствах непрерывных функций. Здесь также можно найти достаточно подробную библиографию. Решение ищется в классах непрерывных функций Св([0, Т]; X). Более общая постановка нелокальной задачи с условием вида

т

I Бп(т)<а(т)= Бп0, (4)

о

где а — функция ограниченной вариации, также рассматривалась. Например, теоремы единственности в этом случае в различных классах получены в работах И. В. Тихонова (см. [15]). Большое количество результатов можно найти в известных монографиях [2,8], где основные результаты также получены в пространствах непрерывных функций.

В данной работе уточним известные результаты о разрешимости задачи (1), (3) и задачи Коши в случае классов Соболева — Бесова, распространим результаты на случай произвольного убывания (роста) резольвенты линейного пучка, получим один результат о максимальной регулярности решений этой задачи (ранее подобные результаты были известны лишь в случае, когда Б = I — тождественный оператор) и приведем некоторые результаты о разрешимости задачи (1), (4).

1. Определения и вспомогательные результаты

Определение 1. Банахово пространство Е называется £-выпуклым, если существует симметричная вещественнозначная функция £(п, V), которая выпукла по каждому аргументу и удовлетворяет условию £(0, 0) > 0, £(п, V) < ||п + г>|| для всех п, V € Е таких, что ||п|| = |^|| = 1.

Всякое пространство Ьч(О) (д € (1, те)) является ^-выпуклым, равно как их замкнутые подпространства, декартовы произведения и т. д. Пространство Е ^-выпукло тогда и только тогда, когда преобразование Гильберта

Р/ = Иш / М

^о у г - у

\t-v\ye

принадлежит классу Ь(Ьр(К,Е)) для некоторого р € [1, те) (см. свойства этих пространств, например, в [16,17]).

Определение 2. Семейство операторов т с Ь(Х,У) (X, У — банаховы пространства) называется Е-ограниченным, если для некоторого р € [1, те) и некоторой постоянной ср > 0 справедливо неравенство (см. [16,17])

N

N

г=1

< Ср

г=1

Ь 2([0,1],Х)

Ь2([0,1\,У)

для всех N, Т1, Т2, .. . , TN € т и ж1, х2,. .. , XN € X, где Тг(£) = sgnsin(2гпí) — функции Радемахера на отрезке [0,1].

Отметим, что условие К-ограниченности не зависит от р (см. [17-19], где также можно найти эквивалентные определения К-ограниченности).

Для данного числа а € К через [а] и {а} обозначим целую и дробную части числа а соответственно.

Пусть при дробном з > 0, Т < те и р € (1, те)

Ю_я(0,Т; X) = 1п € Ю_я(0,Т; X) : п(к) (0) = 0 (к < з — 1/р)

I/(к) (т)

■ ¿т < те (к = з — 1/р)

При в целом полагаем

Юр (0,Т; X) = {и € Врр(0,Т; X) : п(к)(0) = 0 (к < з)}.

Положим А = д + е1 (е > 0, I — тождественный оператор),

О(А) = {и € Юр1(0, Т; X) : и(0) = 0}.

В -О(А) вводим норму графика. Оператор А есть изоморфизм пространства О(Ак) на О(Ак-1) и соответственно Юр(0,Т; X) на Юр-1(0,Т; X) (см. §5 в [20], предложения 5.9, 5.11 в [21]) в силу равенств

Юя(0, Т; X) = (О(Ат), О(Ап))в,р, т(1 — в) + пв = з, в € (0,1), п < з < т.

Отметим, что в Юя(0,Т; X) можно ввести эквивалентную норму вида

= \^-к-ЦА(А + 1егП-1}1Лки\\ь,{0,Т;Х), М < тг/2,

(5)

где 1 > з — к, 0 < к < з, к, 1 € М, причем нормы (5), отвечающие различным значениям эквивалентны. Первое утверждение вытекает из результатов § 1.14 в [22]. Второе вытекает из теоремы § 1.14.3 в [22] и того факта, что пространства -О((е-г<рА)к), отвечающие операторам е-г<рА при различных совпадают (см. также [20]). Если Т < те, в равенстве (5) можно брать оператор д вместо оператора А, т. е. считать, что е = 0. Отметим также, что

(ЮрЯ1 (0, Т; X), (0, Т; X^^ = Юря(0, Т; X),

р

и

где s = si(1 - 0) +

(0, T; X), (0, T; X))^ = Wps(0, T; X)

где s = s1 (1 — 0) + 0s2 и s дробное (при целом s получаем пространство Бесова Bp) (предложения 5.9, 5.11 в [21]).

2. Основные результаты

Далее норму в пространстве X обозначаем через || • Ц. Рассмотрим задачу с однородным начальным условием

Bu(0) = 0. (6)

Следующая теорема уточняет результаты из [2, 8] на случай пространств Соболева.

Теорема 1. Пусть f £ WpS(0,T; X) и выполнено условие (2), причем s > 1 — S. Тогда существует единственное решение задачи (1), (6) такое, что

Lu £ Wps-1+Ä(0,T; X), Bu £ Wp+(0,T; X), dtBu £ Wps-1+Ä(0,T; X).

Доказательство. Вначале рассмотрим случай s — 1+S = [s — 1 + 5], s = [s] и T < то (берем e = 0). Пусть п/2 < 01 < 0O и

Se1 = {z : | argz| <01}, Se1 = {z £ Se1 : |z| > £q}, Г01 = dS^.

Считаем, что {|A| < £q} С pL. В силу плотности Wpi+1(0,T; X) в Wps(0,T; X)

■ p (

считаем ниже, что f £ Wps+1(0,T; X). Рассмотрим интеграл

-1 1(Т ^ . г, т

и=2ш]{ Х ) -А^- ' ()

гв1

где интегрирование производится снизу вверх и оператор (д -А)-1 сопоставляет функции / решение задачи V — А« = /, г>(0) = 0. Легко увидеть, что интеграл нормально сходится. Более того,

d /

\L(L - Aß)_1(9t - X)~1dt+1f/\k+1\\r /п т,х] < С * "У™

dt'f |

Lp(0,T;X) - w |Д|/с+2+<5

dk+f I

|9tß(L - AB)"1^ - ^+1f/Xk+1\\Lp{0^x) < С11 *

где в силу выбора к и условия теоремы к + 2 + 6 > 2, что влечет нормальную сходимость интегралов, полученных из интеграла (7) формальным применением операторов Ь, с^В. Поскольку подынтегральное выражение принадлежит -О(Ь) и дифференцируемо по времени, заключаем, что тем же свойством обладает и

сама функция п. Покажем, что функция п есть решение уравнения (1). Имеем

(д = (д — А) + А) гв1

— 1 ^ л т-1 (& — А)-1^1/^ 1 Г л т_1 дк+1 /

¿А.

¿А

Ак+1

гв1 гв1 В силу нормальной сходимости последнего интеграла, аналитичности в правой полуплоскости и убывания подынтегрального выражения как с/|А|а (а > 1) последний интеграл равен нулю по теореме Коши. Тогда

дгВи =^1'В(Ь-А В)-Лдг~Х)хУ"+1/ с1\. (8)

Аналогично (Г(Г — АВ)-1 = I + АВ(Г — АВ)-1)

Гв1 Гв1

= Й/ (9)

гв1

где воспользовались фактически основной теоремой о вычетах. Сравнивая (8), (9), видим, что и есть решение уравнения (1).

Получим необходимые оценки. Применяя оператор д*В, как и ранее получим равенство (8). Рассмотрим выражение

дг{дг+ц) Вщ = — / В(ХВ - Ь) -—-«А, ¡1 > 0.

г*1

Используя резольвентное тождество Гильберта

№ + ~ А)- = +

М + А

преобразуем последний интеграл к виду

1 Г ^^ гч-1 д*(д* + м)-1дк+1/

J В(АВ — Г)"

2П У у 7 Ак (А + м) гв1

1 /ЖАВ п-х^Ч-А)-1^1/

ъп]в{хв~ь) —ЩхТ7)—

гв1

Первый интеграл по теореме Коши равен нулю. Второй интеграл (опять используя теорему Коши) можно записать в виде

2т У ' Хк~1(Х + ц)

гв1

Таким образом,

3,0, = I В(ХВ - Ц-'^-Т^У

Гв1

¿А.

Повторяя рассуждения, получим

( —1)' А^о ^-1Ш — А)-1дк /

I В(ХВ-Ь)

Ак—' (А + р)'

г^1

¿А.

Здесь выбираем достаточно большое число ?>7 = в — 1 + 6. Оценим интеграл, разбив его на три части:

<-1)'«УЯ, + ,)->'** = / В(ге* В - *

сю

J V ' (ге-г01 )к-1 (ге-г01 + р)'

ео

+ _ I в{£ое в_ь) М-11 + 12 + 13.

-01

Оценим каждый из этих интегралов. Имеем

сю

г'—к

III ^ С] M-u.-W.-u .Л« И^* " ""ГЧ/Н ¿Г

ео

(1 + г)5 (г + р)'

/Л —к —5

^уРЛдг-ге^д^Уг.

ео

Сделав замену г = рж, получим

сю

" ж'—к — 5

<С/¿^^-^Иа-м^гч*/!!^-

о

Умножив обе части неравенства на р7 1/р и взяв норму от обеих частей в Ьр(0, то), получим

Ум7—1/р||/1|||1мо,с) < С

.1 (1+хУ о

1/р

х I / р(7—к—5+1—1/р)р||^(д — рже10) —1дк/1| ¿р) ¿ж.

о

Сделав обратную замену м = г/ж, ¿м = ¿г/ж, получим

оо

0

1/р

I гр <8>-1||&(& - ге^ )-1д/1| ¿г) = С! „, (0,т

СЮ

х | J г^ " НоНд 0

Второй интеграл /2 оценивается аналогично, а третий еще проще, просто оцениваем норму подынтегрального выражения. Окончательная оценка записывается так:

Поскольку функция и удовлетворяет уравнению, имеем также оценку

Оценка для функции Ви в

получается аналогично. Полученные оценки гарантируют существование решений. В случае Т = те преобразуем уравнение к виду

(д + е/)Ви - ¿и = /, I = I + е/,

где параметр е > 0 достаточно мал, и далее используем те же представления и оценки, что и выше, заменяя везде под знаком интеграла оператор д оператором А.

Единственность решений устанавливается следующим образом. Пусть V — решение однородного уравнения (1), удовлетворяющее однородным данным (6). Без ограничения общности считаем, что € (0,Т; X) при некотором

достаточно большом в, иначе применим оператор (д + м)-' к уравнению (1) и сделаем переобозначение w = (д + м)-'V, выбрав достаточно большое число

1 > 0. Применив оператор

к уравнению, легко получить равенство V = 0, что и доказывает единственность.

Утверждение теоремы в случаях, когда одно из чисел в — 1 + 5, в целое, вытекает из интерполяционных свойств линейных операторов. В самом деле, пусть таковы, что < в < в2 и числа — 1 + 5, в2 — 1 + 5 не являются це-

лыми. Рассмотрим отображение / € ^^(0,Т;X) ^ ¿и € (0,Т;X),

где и — решение задачи (1), (5). В силу замкнутости класса пространств Жв(0,Т; X) относительно вещественной интерполяции (•, р это отображение определяет также отображение класса

¿(^(0, Т; X), ^-1+5(0, Т; X))

для всех

в € (з1,в2). Как следствие уравнения имеем, что для / € Жр(0,Т;X) соответствующее решение и обладает тем свойством, что Ви € (0,Т; X).

Замечание 1. Утверждение теоремы распространяется и на отрицательные индексы s без каких-либо изменений. Необходимо только определить соответствующие пространства WpS(0,T; X) (см. § 5 в [23]). Если X рефлексивно, то можно положить

W(0,T; X )= (W-s(0,T; X *))* (1/p + 1/q = 1) при s < 0 [20]. При s = 0 имеем

W°(0,T; X) = (Wp1 (0, T; X),Wi-1(0,T; X))w

Замечание 2. Полученное решение при s > 1 — S + 1/p обладает тем свойством, что u(0) = 0. Таким образом, оно является решением задачи

But — Lu = f, u(0) = uo, (10)

где uo = 0.

Рассмотрим неоднородные начальные данные (3). Чтобы получить утверждение теоремы 1, необходимо описать класс допустимых функций uo. Вообще в этом случае возникают условия согласования данных. Пусть f G WpS (0, T; X). Для сведения задачи к задаче с однородными начальными данными необходимо построить функцию uo(t) такую, что

Buo(0) = Buo

uo(t) G W(0,T; X), Buot G Wps(0,T; X), f + Luo - Buot G Wps(0,T; X).

Тогда замена u = uo(t) + v(t) сводит задачу с неоднородными условиями к однородным и существование решений вытекает из теоремы 1. При s G (0,1/p) достаточно потребовать, чтобы щ G {D(L),D(B))i_ . В этом случае суще-

р >Г

ствует uo(t) такая, что uo(0) = uo и

uo(t) G Wps(0, T; D(L)), Buot G Wps(0, T; X)

(лемма 4.14 в [23]). В силу замечания 2 можно также рассмотреть задачу (10). Из вышеприведенных рассуждений вытекает

Теорема 2. Пусть выполнено условие (2), причем S =1. Пусть также щ G (D(L), D(B))i v и s G (0,1/p). Тогда существует единственное решение задачи (1), (3) такое, что

Lu G Wps(0,T; X), Bu G Wps+Ä(0,T; X), dtBu G Wps(0,T; X).

Доказательство вытекает из теоремы 1, если сделать замену u = uo(t) + v(t), сводящую задачу (1), (3) к задаче с однородными начальными условиями (функция uo построена выше).

Приведем еще один результат о максимальной регулярности решений.

и

Предположим, что (А) X — ТЛУЮ-пространство, Бв0 С рь для некоторого 00 € (п/2,п) и семейство т = |ЛВ(Ь — АВ)-1, | arg А| — 00} И-ограничено. Также необходимо условие

иое(ОД,г>(в)Н1Р. (И)

р >Г

В этом случае существует и0(£) : и0(0) = и0 и и0(£) € ¿р(0,Т; ^(¿)), uot € ^^(0^; ^(В)) (теорема 1.8.3 в [22]). Тогда замена и = и0(4) + v(í) сводит задачу (1), (3) с неоднородными условиями к однородным.

Теорема 3. Пусть / € ¿р(0,Т; X) и выполнены условия (А), (11). Тогда существует единственное решение задачи (1), (3) такое, что

Ви € ^1(0,Т; X), и € ¿р(0,Т; £(!)).

Начальное условие (3) выполнено в X.

Доказательство. Без ограничения общности считаем, что и0 = 0. Иначе сделаем замену и = и0(£) + V, где функция и0 построена перед теоремой. Если Т = те, продолжим функцию / на (0, те) с сохранением класса. Для гладких / € Жв(0, те; X) по теореме 1 существует единственное решение задачи (1), (6). В силу плотности класса ^^(0, те; X) в ¿р(0, те; X) считаем, что / € Жв(0,Т; X), где в > 0 достаточно велико. Отметим, что в нашем случае 5 =1. Построим решение и задачи (1), (6). Продолжим решение и и / при 4 < 0 нулем. Применяя преобразование Фурье, получим

АВи — ¿и = /, и = (АВ — ¿)-1/.

Имеем

и = Р-1(АВ — ¿)-1Р/, ¿и = Р-1Ь(АВ — ¿)-1Р/.

Чтобы доказать утверждение, достаточно проверить условия теоремы 3.19 в [16] и показать, что М(А) = ¿(АВ — ¿)-1 — мультипликатор Фурье в ¿р(0,Т;X). Достаточно показать, что семейства М(А) и АМ'(А) И-ограничены. Действительно, М(А) = —/ + АВ(АВ — ¿)-1 И-ограничено (следствие утверждения 3.4 в [16] и условия (А)). Легко проверить, что

-у-(АВ(АВ - Ь)-1) = В{Ь - АВ)"1 + (Ь- \В)~1\В(Ь - АВ)-1. ¿А

Тогда

А—АВ(АВ - ЬГ1 = АВ(АВ - ЬГ1 - АВ(АВ - Ь)-1ХВ(ХВ - Ь)'1. ¿А

Снова по утверждению 3.4 в [16] это семейство И-ограничено. Применяя теорему 3.19, получим, что решение и удовлетворяет оценке

(0,ю;Х) — с||/(0,с;Х).

Из уравнения вытекает оценка

||Ви*Уьр (0,с;Х) — с1|/Цьр (0,с;Х).

Полученные оценки гарантируют предельный переход по приближению функции / и соответственно теорему существования решений. Теорема единственности может быть получена, как в теореме 1.

Далее рассмотрим общий случай и получим аналог теоремы 2.

Приведем ряд вспомогательных утверждений.

Предположим, что выполнено условие (2) с 6 = 1 и X рефлексивно. При выполнении этого условия справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Все пространство -О(Ь) представимо в виде прямой суммы

D(L) = kerL B + R(L-1B), L-1B : D(L) ^ D(L),

оператор

-L~1B : i?(L-!B) i?(L-!B) секториален вместе с оператором

—B L : R(L-1B) ^ R(L-1B),

определен проектор P на ker L-1B параллельно R(L-1B), проектор Q = LPL-1 обладает свойством QBu = BPu, QLu = LPu для всех u G D(L). Справедливо неравенство

||A(B-1L — A)-Mb(L) < C|M|d(L) VA G Я, u G D(L).

Это утверждение известно (см. теорему 3.1 в [12]). Также оно легко вытекает из утверждения 2.1.1 (b,h) в [24]. Доказательство основано на следующей оценке, вытекающей из (2):

||AB(AB — L)-1u|| < C||u|| VA G Se0,

откуда

||LL-1B(L-1B — z)-1u|| < C||Lu|| Vz G Se0 (z = 1/A)

или

||L-1B(L-1B — z)-1u|d(l) < C|M|d(l) Vz G Seo (z = 1/A).

Лемма 2. Пусть {s} = 1/p и f G Wp(0,T; X). Тогда найдется функция vo(t) G CTO([0, T]; D(L)) (с ограниченным носителем при T = то) такая, что Mvo(t) — f (t) G WpS(0,T; X).

Доказательство. При s g (0,1/p) можем взять vo = 0. При s > 1/p ищем функцию vo в виде

m

vo(t) = VitV(t),

i=0

где m = [s — 1/p] и <^(t) G CTO([0,T]), <^(t) = 1 при t < min(1/2, T/2), <^(t) = 0 при t > min(3/4, 3T/4). Достаточно найти элементы v^ такие, что

dtfc(Mvo(t) — f)|t=o = 0, k = 0,1,... ,m.

Подставляя в это соотношение функцию vo, получим систему равенств

/ (т)(0) / (к)(0)

-Ьут = -;—, Вук+1(к + 1) - Ьук = —-—, к < т — 1.

т! к!

Рекуррентным образом находим элементы ^:

.. т

= к = 0,1,..., т. (12)

Теорема 4. Пусть выполнено условие (2), в > 2 — 5, в = 1/р и

/€

Жв(0,Т; X). Предположим, что существует элемент и1 € (^(¿), Д(В))1-е,р с в = в — т — 1 /р, т = [в — 1 /р] такой, что

т

Щ = и0 + 5>-1В)' ¿-1/Ш (0) = (¿-1В)т+1иь (13)

¿=0

Тогда существует единственное решение задачи Коши (10) такое, что и(4) = и^) + и2(4), и2 € Юр-1+<5(0,Т; £(!)),

€ Юр-1+г(0,Т; X), Ви2 € (0,Т; X), и1 € ^в-1+5(0, Т; ^(¿)), Ви2^ € ^в-1+5(0, Т; X), Ви2 € %в+5(0, Т; X) для всех в < в.

Доказательство. Используя лемму 2, построим функцию VI](4). Сделаем замену и = V + vo(í), v(0) = и0 — V!. Придем к задаче

Mv(t) = / — М^), v(0) = и0 — vo = и> (14)

Используя теорему 1, построим функцию у(4) как решение задачи (1), (6), где вместо / берем функцию / — Mvo(í). Тогда функция = v(í) — у(4) есть решение задачи

Мад(4) = 0, ад(0)= и0 = (¿-1В)т+1и1. (15)

Вначале считаем, что и1 € ^(¿). Ищем решение задачи (15) в виде

1 /„А^г-1о п-1 и1 ^ _ 1 [ „\tf.v т\-1 ¿и1

w =

Je^B-D-^äX^J^XB-Ly л„+2

Y Y

dA,

где y — граница области {z : | argz| < U Beo, G (п/2,$о), и считаем, что Beo = {|A| < £о} С Pl. Контур y проходится сверху вниз. Отметим, что подынтегральное выражение допускает оценку

v > Am+2 D(L) "

что обеспечивает нормальную сходимость интеграла. В силу теоремы Коши имеем

Lw = —— i extL(XL~1B - = [ extB(XB - L)-1^- d\,

2nil ' Am+2 2n / v ' Am+1

Y Y

B*H = ±j extB(XB-LГ1 bU

1 lui

dA.

Дт+2

7

Таким образом, Мад = 0. В силу нормальной сходимости интеграла легко показать, что

1 [ ,. „ -1

^(0) = /(AS - ¿Г1^^ dA. w 2n J к ' Am+2

Дт+2

7

По основной теореме о вычетах имеем

|А|=е

Используя преобразование I = (I — АЬ-1В) + АЬ-1В, можно преобразовать интеграл к виду

ад(0) = — [ (\ь~1в -1)-1 (¿~1д)т+1ц1 ¿Л = йо; 2П у А

|А|=е

где использована основная теорема о вычетах. Таким образом, функция ад есть решение нашей задачи. Получим необходимые оценки. Оценим, например, Имеем представление

= е-гтв^в1 В(ге^ В - Ь)~1йг

— f е-1тв1+г1е1в1 В(ге1в1 В - L)

2 ш J У >

СЮ

+ J_ / eime1+rte-"i В{ге-гвгВ_ J^ dr 2ni J v 7 rm+1

eo

27Г-01

+ — [ em^+rteieB{re^B-L)-1^dr = I1+I2+h. 2n J v 7 rm 123

0i

Оценим, например, первый интеграл. Возьмем в < S + m + 1/p. Имеем (S2 = cos 01)

С H^W) С 1

ll^llw^(0,Т;Х) ^ с J rs+m+i-m ' dr<Cl J rS+m+1_p+1/p dr < oo

eo eo

при условии, что S + m + 1 — в + 1/p > 1. Аналогично оцениваем оставшиеся интегралы. Окончательная оценка имеет вид

||Bwt||We (o,T ;X) ^ c|u1|D(L), e<S + m +1/P. (16)

Из уравнения вытекает, что также имеет место оценка

||Lw||We (o,T ;X) ^ c|u1|D(L), e<S + m + 1/P. (17)

Предположим, что ui £ D(B). Перепишем интегральное представление для решений в виде

1 f „At,w-1D тл-1_ 1 [ „At/ло т\-1 Bui

w =

2jrt /W*

Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что функция ад есть решение задачи и справедливы оценки

(0,т ;Х) ^ с1ЫЬ(в), в<5 + т + 1/Р - 1- (18)

Из уравнения вытекает, что также имеет место оценка

(0,Т ;Х) ^ С1ЫЬ(В), в<5 + т +1/Р - 1- (19)

Фиксируем во <5 + т + 1/р- Без ограничения общности считаем, что число в00 + (во — 1)(1 — 0) дробное. Мы построили отображение 5 : и1 ^ Рад из .О(Р) в Ж/0 (0,Т; X) и его продолжение 5 : и1 ^ Рад из £(В) в ^в0-1(0,Т; X). В силу интерполяционных свойств линейных операторов сужение его продолжения на (-О(Ь), Д(В))1_е,р также обладает свойством

5 е В(В))1-0,Р, ж;0(0, Т; X)), 30 = во^ + (во — 1)(1 — 0)-

Замечание 3. Предположим, что выполнены условия теоремы 4, X рефлексивно и 5 =1. Тогда условие (13) можно переписать в виде

Р(йс) = Р и + р-1/^ (0)) = 0,

^ '=0 ' (20) (/ — Р)(Й0) е д((ь-1в)т+1),

(Ь-1В)-+1 : (я(Ь),Я(В))1_в,р ^ (Д(Ь),Д(В))1_в,р,

где проектор Р построен в лемме 1.

Именно в таком или близком виде оно обычно записывается (см. теорему 3.2 в [12]).

В следующей теореме приведем соответствующий результат для задачи

(1), (3).

Теорема 5. Пусть выполнено условие (2) и в > 2 — 5, {з} = 1/р и / е Жр(0,Т; X). Предположим, что существуют элементы и1 е (Д(Р), Д(В))1-е,р с 0 = в — т — 1/р, т = [в — 1/р], и2 е кег: .О(Р) ^ -О(Р) такие, что

= uo + ^(L-1B)j L-1/(j)(0) = (L-1B)m+1ui + u2. (21)

uo

j=o

Тогда существует единственное решение задачи (1), (3) такое, что

и(£) = й1(*) + й2(*), й2 е (0,Т; £(£)),

е Жря-1+'5(0,Т; X), ВИ2 е (0,Т; X),

« е (0,Т; Я(Ь)), е (0,Т; X),

Ви2 е (0,Т;X).

для всех в < е.

Доказательство. Решение этой задачи совпадает с решением задачи Ко-ши с данными Коши г>(0) = (Ь-1Б)т+1 и1. Единственность доказывается с использованием теоремы 1.

Рассмотрим условие вида (4). Мы предполагаем, что выполнено условие (2) с 6 =1. Введем

т

^(А) = у еА^(£).

о

Предположим, что существуют постоянные п/2 < 01 < $о, 6о > 0, 70 е [0,1) такие, что

с

1^(А)| > 0 УА <=С\Бв1. (22)

Теорема 6. Пусть / = 0, ио е ^(Ь) и выполнены условия (22), (2) с 6 = 1. Тогда существует единственное решение задачи (1), (4) такое, что

Бщ15 е Ьр(0,Т; X), Би е С([0,Т]; X), е Ьр(0,Т; £(£)) У6 > 70 - 1/р.

Доказательство. Покажем, что функция

ш = (23)

7

где 7 = дБв1, й101 = {г е С \ Бв1 \г\ > £о} (7 проходится сверху вниз), есть решение однородного уравнения (1), удовлетворяющее условию (4). Имеем

1 Г 1 А - АБ)-1 1 Г 1 А Ьио „ Ьш =- / —— е —----^—1ж0 ¿А =- / —— е —-— ¿А

27гг У ^(А) А 2тгг,/ ^(А) А

7 7

1 I' 1 1 Г 1

+ 2тг1 ] ШХ1В{Ь ~ ХВГ11Щ ШХ1В{Ь ~ ХВГ11Щ

7 7

Аналогично

11

Всл = — / ——еХ1:В(Ь — \В)~1Ьщ ¿X. 2т ] ^(А)

7

Выполнение уравнения вытекает из последних двух равенств. Далее, ^В^т^т) <1т = ± I В^-^Г'Ьщ ^ = ^

Нормальная сходимость последнего интеграла и применимость основной теоремы о вычетах очевидна. Получим оценки. Имеем

1 г вхг

1 I" e*t

B.t = -j —В(Ь-ХВГЬи0ЛХ

1 Г ere 11

2пг J ф(гегв1 )

e°

1 r ere 1 t

B(L — re 1 B)-1Luo e 1 dr

eo

VA

-1 r e

+ ^ I -ir^B(L-£oeieBrlLuo£oeied9 = I1+I2+h.

2n J ty(rel°)

-0i

Оценим, например, I-. Имеем

сю

I|IiÎ5||lp(0,t;X) < cj(1+ r)Yo-1||t5ercoseit\\Lpi0,T) dr|Kb(L)

eo

сс

< C-j(1 + r)Y0-1r-5-1/p dr ||uo||D(L) < C2|uo\D(L). o

Аналогично оцениваем интеграл I2. Оценка для I3 еще проще. Таким образом, имеем оценку

\\Butt&||Lp(o,T;X) + ||LwtiyLp(0,T;X) < c|K|b(L),

из которой и вытекает утверждение теоремы. Отметим, что Bw G C([0,T];X) (лемма 1.8.1 в [15]).

Рассмотрим общий случай.

Теорема 7. Пусть f G Wps(0,T; X) = 0 (s G (1/p, 1]), uo G D(L) и выполнены условия (22), (2) с S =1. Тогда существует единственное решение задачи (1), (4) такое, что

u = u- + u2, Bu-t G Wps(0,T; X), u- G Wps(0,T; D(L)),

Bu2ttS G Lp(0, T; X), Bu2 G C([0,T]; X), ^t5 G Lp(0,T; D(L)) VS > Yo - 1/p.

Доказательство. Построим функцию ut в виде ut = v(t) — L-1f (0), где v есть решение задачи

Bvt — Lv = f (t) — f (0) G Wps(0, T ; X )

(см. предложение 5.11 в [21]). Такая функция v существует и единственна по теореме 1. Функция ut обладает свойствами

Buit G WpS(0,T; X) = 0, ui G W„s(0,T; D(L)), Buu — Lu- = f.

Поскольку s > 1/p, имеем ui G C([0,T]; D(L)). Тогда

T

uoi = J ui(t) do-(i) G D(L).

о

Далее строим функцию и2 как решение задачи

т

"«о - Б«о1.

о

Функция и = и1 + и2 есть решение нашей задачи.

Bu2t = Lu2, j Bu2 da(t) = Buo — Buo

ЛИТЕРАТУРА

1. Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations // Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser. 1993. Vol. 163. P. 353-384.

2. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. New York: Marcel Dekker, Inc., 1999.

3. Favini A., Yagi A. Quasilinear degenerate evolution equations in Banach spaces //J. Evolution Equ. 2004. V. 4. P. 421-449.

4. Bojovic D. R., Jovanovic B. S., Matus P. P. On the strong stability of first-order operatordifferential equations // Differ. Equ. 2004. V. 40, N 5. P. 703-710.

5. Мельникова И. В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 4. С. 892-910.

6. Melnikova I. V., Al'shansky M. A. Well-posedness of the Cauchy problem in a Banach space: regular and degenerate cases //J. Math. Sci. 1997. V. 87. N 4. P. 3732-3780.

7. Abdulkerimli L. Sh., Eminova Sh. L. Well-posedness of a class of operator-differential equations // Differ. Equ. 2017. V. 53, N 10. P. 1288-1293.

8. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht: VSP, 2003.

9. Пятков С. Г., Абашеева Н. Л. Разрешимость краевых задач для операторно-дифферен-циальных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 6. С. 1419-1435.

10. Пятков С. Г., Абашеева Н. Л. Разрешимость краевых задач для операторно-дифферен-циальных уравнений смешанного типа. Вырожденный случай // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 3. С. 678-693.

11. Favini A., Sviridyuk G. A., Manakova N. A. Linear Sobolev type equations with relatively p-sectorial operators in space of "noises" // Abstr. Appl. Anal. 2015. 8 p.

12. Федоров В. Е., Иванова Н. Д., Федорова Ю. Ю. Нелокальная по времени задача для неоднородных эволюционных уравнений // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 4. С. 882-897.

13. Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, № 3. С. 173-200.

14. Федоров В. Е., Сагадеева М. А. Существование экспоненциальных дихотомий некоторых классов вырожденных линейных уравнений // Вычисл. технологии. 2006. Т. 11, № 2. С. 82-92.

15. Тихонов И. В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. 2003. Т. 67, № 2. С. 133-166.

16. Denk R., Hieber M., Pruss J. R-boundedness, Fourier multipliers, and problems of elliptic and parabolic type // Mem. Amer. Math. Soc. 2003. V. 166, N 788.

17. Denk R., Krainer T. R-boundedness, pseudodifferential operators, and maximal regularity for some classes of partial differential operators // Manuscr. Math. 2007. V. 124, N 3. P. 319-342.

18. Kunstman P. C., Weis L. Maximal Lp-regularity for parabolic equations, Fourier multiplier theorems and H^-functional calculus // Lect. Notes Math. 2004. V. 1855. P. 65-311.

19. Denk R., Hieber M., Pruss J. Optimal Lp-Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data // Math. Z. 2007. V. 257, N 1. P. 93-224.

20. Grisvard P. Commutative de deux functeurs d'interpolation et applications // J. Math. Pures Appl. 1966. V. 45, N 2. P. 143-206.

21. Grisvard P. P. Equations différentielles abstraites // Ann. Sci. Ec. Norm. Super., IV Ser. 1969. V. 2. P. 311-395.

22. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

23. Da Prato G., Grisvard P. Commutative de deux functeurs d'interpolation et applications // J. Math. Pures Appl. 1975. V. 54, N 3. P. 305-387.

24. Haase M. The functional calculus for sectorial operators. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser-Verl., 2006 (Operator Theory: Adv. Appl.; V. 169).

Поступила в редакцию 13 августа 2019 г. После доработки 22 августа 2019 г. Принята к публикации 3 сентября 2019 г.

Уварова Матрена Владимировна, Пятков Сергей Григорьевич Югорский государственный университет, ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012 m_uvarova@ugrasu. ru, s_pyatkov@ugrasu. ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3

UDC 517.95

SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS

FOR THE SOBOLEV-TYPE OPERATOR-DIFFERENTIAL EQUATIONS M. V. Uvarova and S. G. Pyatkov

Abstract: We consider the solvability of boundary value problems for operator-differential equation of the form But — Lu = f, where X is a Banach space, B, L : X ^ X are closed operators such that D(L) C D(B) (D(L), D(B) are domains of the corresponding operators), with boundary conditions Bu(0) = Buo or J^ Bu(t)da(r) = Buo, where j is a function of bounded variation. Some well-known results on solvability of initial boundary value problems for operator-differential equations of Sobolev type are refined in the case of arbitrary decrease (growth) of the resolvent of the corresponding linear pencil. Existence and uniqueness theorems of solutions to the Cauchy-type problems and general nonlocal boundary value problems are obtained and the maximal regularity of solutions is proven under certain conditions. The results rely on Mikhlin theorems for operator-valued Fourier multipliers. In contrast to the previous results, the function spaces are the Sobolev—Besov spaces.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.70.19.006 Keywords: operator-differential equation, Cauchy problem, nonlocal boundary value problem, Sobolev—Besov space, Fourier multiplier.

REFERENCES

1. Favini A. and Yagi A., "Multivalued linear operators and degenerate evolution equations," Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser., 163, 353-384 (1993).

2. Favini A. and Yagi A., Degenerate Differential Equations in Banach Spaces, Marcel Dekker, Inc., New York (1999).

3. Favini A. and Yagi A., "Quasilinear degenerate evolution equations in Banach spaces," J. Evolution Equ., 4, 421-449 (2004).

4. Bojovic D. R., Jovanovic B. S., and Matus P., " On the strong stability of first-order operatordifferential equations," Differ. Equ., 40, No. 5, 703-710 (2004).

5. Melnikova I. V., "Cauchy problem for inclusion in Banach spaces and distribution spaces," Sib. Adv. Math., 42, No. 4, 892-910 (2001).

6. Melnikova I. V. and Al'shansky M. A., "Well-posedness of the Cauchy problem in a Banach space: regular and degenerate cases," J. Math. Sci., 87, No. 4, 3732-3780 (1997).

7. Abdulkerimli L. Sh. and Eminova Sh. L., "Well-posedness of a class of operator-differential equations," Differ. Equ., 53, No. 10, 1288-1293 (2017).

8. Sviridyuk G. A. and Fedorov V. E., Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators, VSP, Utrecht (2003).

9. Pyatkov S. G. and Abasheeva N. L., "Solvability of boundary value problems for operatordifferential equations of mixed type," Sib. Math. J., 41, No. 6, 1419-1435 (2000).

10. Pyatkov S. G. and Abasheeva N. L., "Solvability of boundary value problems for operatordifferential equations of mixed type. Degenerate case," Sib. Math. J., 43, No. 3, 678-693 (2002).

© 2019 M. V. Uvarova, S. G. Pyatkov

11. Favini A., Sviridyuk G. A., and Manakova N. A., "Linear Sobolev type equations with relatively p-sectorial operators in space of "noises"," Abstr. Appl. Anal., 8 (2015).

12. Fedorov V. E., Ivanova N. D., and Fedorova Yu. Yu., "A time-nonlocal problem for inhomo-geneous evolution equations," Sib. Math. J., 55, No. 4, 882-897 (2014).

13. Fedorov V. E., "Degenerate strongly continuous semigroups of operators [in Russian]," Algebra Anal., 12, No. 3, 173-200 (2000).

14. Fedorov V. E. and Sagadeeva M. A., "Existence of exponential dichotomies of some classes of degenerate linear equations [in Russian]," Comput. Technol., 11, No. 2, 82-92 (2006).

15. Tikhonov I. V., "Uniqueness theorems in linear non-local problems for abstract differential equations," Izv. RAN, Ser. Math., 67, No. 2, 133-166 (2003).

16. Denk R., Hieber M., and PrUss J., "R-boundedness, Fourier multipliers, and problems of elliptic and parabolic type," Mem. Amer. Math. Soc., 166, No. 788 (2003).

17. Denk R. and Krainer T., " R-boundedness, pseudodifferential operators, and maximal regularity for some classes of partial differential operators," Manuscr. Math., 124, No. 3, 319-342 (2007).

18. Kunstman C. and Weis L., "Maximal Lp-regularity for parabolic equations, Fourier multiplier theorems and H~-functional calculus," Lect. Notes Math., 1855, 65-311 (2004).

19. Denk R., Hieber M., and Pruuss J., "Optimal Lp- Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data," Math. Z., 257, No. 1, 93-224 (2007).

20. Grisvard P., "Commutative de deux functeurs d'interpolation et applications," J. Math. Pures Appl., 45, No. 2. 143-206 (1966).

21. Grisvard P., "Equations differentielles abstraites," Ann. Sci. Ec. Norm. Super., IV Ser., 2, 311-395 (1969).

22. Triebel H., Interpolation Theory, Function spaces, Diferential operators [in Russian], Mir, Moscow (1980).

23. Da Prato G. and Grisvard P., "Commutative de deux functeurs d'interpolation et applications," J. Math. Pures Appl., 54, No. 3, 305-387 (1975).

24. Haase M., The Functional Calculus for Sectorial Operators. Birkhauser Verl., Basel; Boston; Berlin (2006) (Operator Theory: Adv. Appl.; 169).

SSubmitted August 13, 2019 Revised August 22, 2019 Accepted September 3, 2019

Matrena V. Uvarova, Sergey G. Pyatkov Ugra State University,

16 Chekhov Street, Khanty-Mansyisk, Russia m_uvarova@ugrasu. ru, s_pyatkov@ugrasu. ru