CC BY
41
УДК 517.2
НЕКОТОРЫЕ КОНТРПРИМЕРЫ К ПРИНЦИПУ МАКСИМУМА МОДУЛЯ
В. Г. Николаев
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Доказано нарушение принципа максимума модуля для некоторого класса комплекснозначных 2-вектор-функций, включающих в себя, в частности, функции, аналитические по Дуглису. Приведена ключевая лемма, рассмотрен общий случай двумерной жордановой клетки и построен пример.
Ключевые слова: жорданова форма матрицы, собственное число, А-голоморфная функция
In this paper we prove violation of the principle of maximum modulus for a certain class of complex 2-vector functions, which include, in particular, the Douglis analytical functions. Showing the key lemma, we consider the general case of two-dimensional Jordan cell and with constructed example.
Keywords: Jordan form matrix, eigenvalue, A-holomorphic function
Данная работа посвящена исследованию вопроса о возможности нарушения принципа максимума модуля (ПММ) для функций, аналитических по Дуглису [1]. Эти функции широко применяются для описания решений эллиптических уравнений в частных производных. Поэтому их исследование имеет большой практический интерес.
Как известно, принцип максимума модуля имеет место для одномерных голоморфных функций [2], однако его выполнение для функций, аналитических по Дуглису, долгое время оставалось под вопросом. Автором доказано, что для всех двумерных жордановых клеток контрпример к ПММ построить можно всегда, если мнимая часть собственного числа такой матрицы отлична от нуля.
Напомним, что квадратом модуля комплекснозначной вектор-функции
'и,(x,у) + /VI(x,у) ^
ю( X, у) =
Щп (X, У) + V (У).
называется выражение вида
||2 22 22 ,2,2 |ю| = Щ + V! + и2 + У2 + ... + ип + Уп .
Как известно, для голоморфных функций выполнен принцип максимума модуля, который звучит следующим образом [3]. Пусть функция /
голоморфна в некоторой области О, а Г — замкнутый контур, ограничивающий эту область. Тогда для произвольной точки внутри контура Г
выполняется неравенство | / (20 )|2 < тах| /(^)|2.
?еГ
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть матрица А п х п не кратна единичной, то есть А Ф X ■ Е , где Е — единичная матрица, X — число. Пусть также она не имеет вещественных и нулевых собственных чисел. Тогда существует комплекснозначная п -вектор-функция ю двух вещественных переменных, которая удовлетворяет соотношению юу - А ■ юх = 0 и для
которой нарушен принцип максимума модуля.
В частности это утверждение верно для функций, аналитических по Дуглису [1].
Можно показать, что если А = 1 • Е, то ПММ выполняется (в этом случае ю является 1-голо-морфной вектор-функцией). Также он верен и для одномерных 1-голоморфных функций.
На самом деле достаточно показать, что ПММ выполняется для обычных голоморфных одномерных или вектор-функций, т. е. когда 1 = /. В этом случае 1-голоморфные функции сводятся к ним с помощью
1, V
у=■
x = t------- v,
1
1
неособого преобразования
Действительно, тогда
1 11 x+(li +1, )y = t —1 v+( +1,У = t —1 v+vi +—1 v = t + vi;
1 - h.
Q
Теперь с помощью обратного преобразования можно свести голоморфные функции к 1-голоморфным.
С учетом этого замечания настоящая теорема дает полную классификацию «-мерных матриц, не имеющих вещественных и нулевых собственных чисел, на предмет того, существует или нет для них функция ю, которая удовлетворяет соотношению юу - А • юх = 0 и для которой нарушен ПММ.
В настоящей статье мы приводим доказательство теоремы только для частного случая, когда матрица А представляет собой двумерную жордано-ву клетку. В его основе лежит следующая ключевая лемма.
Лемма 1. Пусть комплексная «-вектор-функция
'и,(X, у) + />,(х, у) ^
ю( X, у) = ...............
Vи«(XУ) + V (XУ). удовлетворяет соотношению
ю у — A • ю x — Q
У х
1
в некоторой окрестности иг произвольной кривой Г (в частности, если Г — замкнутый контур).
Пусть также ик |Г = 0 для некоторого к, но ик не равна нулю тождественно. Тогда для произвольной точки е иГ существует такая вещественная константа М , что для квадрата модуля
(
функции
(
ю м =
U\ + iv]
uk + M + ivk
выполнено соотношение |юм (z0)| > max | юм (4)| ,
?еГ
т. е. для функции юм нарушен принцип максимума модуля.
В частности, если uk является неособой знакоопределенной квадратичной формой, то можно так подобрать такую константу М, что для функции
( и 1 + iv 1 Л
ю M =
uk ±1+M + ivk
будет нарушен принцип максимума модуля.
Доказательство. Очевидно, что для функций юМ и юМ выполнено (1). Пусть точка г0 е иГ (в частности лежит внутри замкнутого контура Г), 4 е Г и пусть для определенности ик (г0) > 0. Тогда возьмем М > 0 и рассмотрим разность
|®М (г0)|2-|®М (^)|2 =
= и,2 + V12 + ... + (ик + М)2 + ^ + ... + и2 + 1 г=г0 -
- (и2 + V12 +.. +(0 + М )2 + ^ + ... + и2 + ) |г =
2 2 2 1 г 1 у-2 2 2 2 |
= и1 + V1 + ... + ик + 2Мик + М + ^^к + ... + ип + Vп 1 г=г0 -
2 2 2 2 2 2
- (и1 + V1 + ... + vk + ... + и« + |г -М =
(слагаемые М 2 и - М 2 сокращаются)
= 2Мик (г0) + /(г0) - g(4) ^+да при М ,
поскольку |/(г0) - g (4) равномерно по 4 е Г ограничен. Таким образом, при большом М > 0
имеем |юm (Zq )р - |юm (4)|
> Q для всех 4 є Г,
откуда в силу компактности Г
|юм (Zq)|2 > max| юм(4)р,
4єГ
что и требовалось. В случае uk (zQ) < Q надо взять M < Q.
Пусть теперь uk — положительно определенная неособая квадратичная форма. Тогда функция
ю =
U\ + iv\
uk-1+ivk
удовлетворяет условиям леммы, так как ик -1 обращается в ноль на эллипсе ик = 1 и поэтому для
ю'М согласно доказанному выше ПММ нарушен при
соответствующем подборе константы М . Для отрицательно определенной формы нужно в определении ю' взять ик +1.
Разумеется, все вышесказанное останется в силе, если вместо ик брать vk. Тем самым лемма 1 доказана.
Доказательство теоремы. Рассмотрим случай двумерной жордановой клетки 1/ +1^ 0 Ч1 1/ +1^
Наша задача будет состоять в нахождении решения системы
' р1 + /щ1 Л (1/ +11 0 V р1 + щ
J =
1
= Q. (г)
Хі + Х1 Д р2 + ід2^
При этом функцию р2 будем искать в виде
р2 = ах2 + Ру2, где а > 0, в > 0. Тогда к полученной таким образом функции мы сможем затем применить лемму 1.
Итак, имеем систему
(
p\ + iq\ гг ax + ру + щ2
С 1i +1 \ Q
V 1 1i +1 \
=Q. (3)
Р + Щ
ах2 + ву2 + /щ 2 Первая строка (3) дает равенство (р1 + /щ1)у -
-(1/ +11)( р1 + /щ1) х = 0. Следовательно, р1 + /щ1 является произвольной 1-аналитической функцией. Поэтому положим р1 + /щ1 = (а + Ь/)(х + (1/ + 11)у)2,
где а и Ь — некоторые вещественные константы. Распишем вторую строку (3):
(ах2 + ву2 + Щ)у - [(а + Ь/)(х + (1/ +1!)у)2 ]х -
- (1/ + 1:)(ах2 + ву2 + Щ)х = 0 .
Функцию щ2 будем искать в виде щ2 =
= а1х2 + 2с1ху + Ь1 у2. Таким образом, определению подлежат пять вещественных переменных: а, Ь, а1, Ь1, с1.
Вычислим частные производные последнего равенства, сразу деля обе части на 2:
ву + /(с1х + Ь1 у) - (а + Ь/)(х + (1/ +11)у) -
-(1/ + 11)(ах+/(а1х + с1 у)) = 0,
т. е.
ву + / (с1 х + Ь1 у) - (а + Ь/)(х + 1у/ +11 у) --1ах/ +1 (а1х + с1 у) - 11ах -11/ (а1х + с1 у) = 0 .
V Un + lvn
2
VUn +lvn
V Un + lvn
2
г
Последнее равенство выполняется в том и только в том случае, если равны нулю действительные и комплексные коэффициенты перед х и перед у . Поэтому определим их и приравняем к нулю. При этом для краткости будем обозначать, например, сумму коэффициентов перед у/ через 1т у; тот же смысл имеют обозначения Яех,1тх,Яеу :
Яе х: -а + 1а1 - 11а = 0,
1тх: с1 - Ь - 11а1 - 1а = 0,
Яеу: -11а + 1Ь + 1с1 + в = 0,
1т у: Ь1 - 1а - 11Ь - 11с1 = 0.
Поскольку а, в, 1 и 11 — это вещественные
параметры, то перенеся их в правую часть, имеем следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения переменных а, Ь, а1, Ь1, с1:
- а + 1а1 = 11а, с1 - Ь - 1а = 1а,
- 11а + 1Ь + 1с1 = -в,
Ь1 - 1а -1^ -11^1 = 0.
Выпишем матрицу системы (4):
^ а Ь Ок ^
-10 1 0 0
0 -1 -11 0 1
- 11 1 0 0 1
ч- 1 - 11 0 1 - 11 у
Вычислим минор М2345 по переменным Ь, а1, Ь1, с1:
0 1 0 0
-1 -11 0 1
10 0 1
-11 0 1 -11
(4)
М2
(по третьему столбцу)
0 1 0
-1 -1 1 = 1
1 0 1
-1 - -1)= 1(- 21) =
-1 1
1 1
так как 1Ф 0 по условию теоремы. Таким образом, система (4) всегда имеет решение.
Итак, мы доказали существование такого
22
решения (2), в котором р2 = ах + ву , а > 0, в > 0. Остается заметить, что согласно лемме 1 по функции
' Р1 + Щ
ч Р2 + г'?2,
можно построить функцию ю 'М, для которой будет нарушен принцип максимума модуля.
Пример. Пусть матрица А имеет вид '/ - 2 0
ю =
А =
1
/-2
Найдем решение системы юу - А • юх = 0, т. е.
р +щ Л - V/-2 0 УР +Щ Л = 0, (5)
Р2 + Щ )у Ч1 1 - 2АР2 +42 )х
в котором должно быть р2 = х2 + у2. Для этого в системе (4) положим 1 = 1,11 =-2, а=в = 1, а = 0:
а1 = -2, с1 - Ь + 2а1 = 1,
Ь + с = — 1,
Ь + 2Ь + 2с1 = 0, откуда а = 0, Ь = -3, а1 = -2, Ь1 = 2, с1 = 2. Поэтому
Р1 + Щ Л = V- 3/(х + (/ - 2)У)2 'Л
р2 + /щ2 ) ч х2 + у2 + / (- 2 х2 + 4 ху + 2у2 )]
ю =
т. е., как и требовалось, р2 = х2 + у2.
Проверим, действительно ли найденная нами функция ю удовлетворяет (5), для чего подставим ее непосредственно в данную систему. При этом заметим, что функция р1 + /щ1 согласно последнему равенству является 1-голоморфной с 1 = / - 2 (см. [1]). Поэтому выполнение для нее условия (р1 + /щ1 )у - (/ - 2)(р1 + /щ1) х = 0 , т. е. первой строки
(5), вытекает из определения таких функций. Распишем вторую строку (5):
(Р2 + 42 )у = (Р1 + /?1)х + (/ - 2)(Р2 + Щ2 )х
или
2 у + 4 х/ + 4 у/ = -6/ (х+(/ - 2) у) + (/ - 2)(2 х - 4 х/ + 4 у/) = = -6/( х+/у - 2 у) + (/ - 2)(2 х - 4 х/ + 4 у/).
Для наглядности дальнейших вычислений сделаем следующее. Обозначим 1т х сумму
слагаемых правой части последнего равенства, которые содержат х/. Аналогичный смысл будут иметь обозначения Яе х, 1ту и Яе у. Затем сравним полученные результаты с левой частью. Это сделает проверку более наглядной и менее громоздкой.
Итак, справа: Яе х=4 х - 4 х=0, 1т х =
= -6х/ + 2х/ + 8х/ = -6х/+10х/ = 4х/, Яе у=6 у - 4 у=2 у, 1т у = 12 у/ - 8 у/ = 4 у/. Как видим, имеет место
совпадение с левой частью. Таким образом, пример построен верно.
Остается заметить, что согласно лемме 1 по
найденной нами функции ю можно построить функцию юМ , для которой будет нарушен ПММ.
1. Солдатов А. П. Функции, аналитичесие по Дуглису. В.Новгород: НовГУ, 1995. 195 с.
2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1983. 577 с.
3. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1988. 334 с.
2
