CC BY
202
ВЕСТНИК
7/2012
УДК 519.6
П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КРАТНОМАСШТАБНОГО ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА Часть 1. ПОНЯТИЕ О ВЕЙВЛЕТАХ И КРАТНОМАСШТАБНОМ
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗЕ
Представлена первая часть краткого обзора основополагающих элементов кратномас-штабного вейвлет-анализа (дано понятие о вейвлетах и кратномасштабном анализе, описано построение отцовской и материнской функций вейвлетов, рассмотрен простейший одномерный базис Хаара как пример решения масштабирующего уравнения), представляющего собой одно из наиболее быстро прогрессирующих направлений современной математики, которое привлекло большое внимание математиков и инженеров.
Ключевые слова: кратномасштабный вейвлет-анализ, вейвлет-преобразование, базис Хаара.
Вейвлет-анализ является одним из наиболее быстро прогрессирующих направлений современной математики [1—6]. За последние десятилетия теория вейвлетов получила колоссальное развитие. Словосочетание «вейвлет-революция» является, пожалуй, самым точным для отражения процессов, происходящих в той части математики, которая имеет отношение к представлению функций и сигналов. Число текущих публикаций, относящихся к данной теме, не поддается учету ввиду огромного количества приложений, где вейвлеты (иногда их также называют всплесками) нашли применение. Тем не менее непосредственное использование вейвлет-анализа в инженерной практике все еще остается недостаточно широким. Русскоязычные публикации по вейвлетам, как правило, посвящены теоретическим вопросам и относительно трудны для специалистов-прикладников. Актуальной задачей в этом смысле является установление связи между абстрактными математическими понятиями и конкретными образами инженерного мышления. современный уровень развития теории вейвлетов таков, что последняя, в частности, адаптируется до уровня прикладного понимания сущности решения краевых задач строительной механики [3] и математической физики в вейвлетном базисе. Имеющийся недостаток в соответствующей литературе на русском языке является серьезным пробелом отечественных научных школ в области расчета строительных конструкций, зданий и сооружений. Это особенно критично, если принять во внимание огромный интерес к указанной сфере приложения, приведший, в частности, к выходу в свет ряда серьезных публикаций, а также к защите нескольких диссертаций. Отметим, что вейвлет-анализ в какой-то степени является альтернативой и обобщением анализа Фурье (вместе с тем у последнего остается область приложения). Главное свойство — возможность локализации прямого и обратного преобразований при решении задач расчета конструкций, что позволяет исследовать отдельно решение локальных и глобальных проблем. История практического применения анализа Фурье, насчитывающая многие десятилетия, позволяет предсказать теории вейвлетов не менее продолжительное будущее. 1. Понятие о вейвлетах. Вейвлеты — это класс базисных функций (х), у еЪ, к еЪ (здесь и далее Z — множество целых чисел), обладающих определенными свойствами, среди которых, для начала, выделим перечисленные ниже. 1. Все функции получаются из базовой х) путем операций сдвига и сжатия
(х) = ¥(2"1 х - к), у, к е Ъ.
(1.1)
2. Базовая функция x) — решение некоторого функционального уравнения.
Основная концепция опирается на то, что в большинстве случаев функция f (x), подлежащая аппроксимации, обладает разными свойствами на разных частях области определения Q . Пусть Q = QA uQB, причем при x efiA функция f (x) меняется мало, а при x e QB функция f (x) содержит высокочастотные компоненты. Для получения наилучшей аппроксимации, как правило, область Q разбивается на подобласти QA, QB , на каждой из которых f (x) приближается отдельно. Так для QA можно ограничиться относительно небольшим числом членов ряда или оперировать при дискретизации с редкой сеткой, а для QB следует использовать высокочастотные гармоники или мелкую сетку. При аппроксимации желательно контролировать этот процесс, например, можно снизить требования по точности по отношению либо к высоко осциллирующим составляющим кривой, либо к медленно изменяющимся. Использование вейвлетов совместно с кратномасштабным анализом позволяет контролировать процесс аппроксимации автоматически. Ключевая идея здесь состоит в следующем: базис Фk(x), k sZ выбирается так, чтобы выполнялись указанные ниже условия.
1. Каждая функция Фk (x) является сдвигом базовой функции Ф(x), т.е.
Ф k (x) = Ф( x - k). (1.2)
2. Для некоторой последовательности коэффициентов h, i eZ справедливо
Ф(х/2) = £ к;Ф; (x) = £ к;Ф(x - j). (1.3)
Равенство (1.3) означает, что базисная функция уровня меньшей частоты изменяется как линейная комбинация исходных базовых функций. Усилим условие (1.3) требованием представить две линейно независимые функции Ф(x /2) и x /2) в виде
Ф(х /2) = £ hjФ(х - j); x /2) = £ gjФ(x - j). (1.4)
Имеем два базиса: первый
Ф0(x) =Ф(x-k), k eZ, (1.5)
а второй строится из двух семейств функций
Фк (x) = Ф( x/2 - k), k eZ ; ¥k'(x) = T(x/2 - k), k eZ. (1.6)
В соответствии с (1.4) можем записать
Фк (X) = £ hj Ф 2k; Х( X) = £ gj Ф j, (1.7)
где ht, i e Z и gt, i e Z — соответствующие коэффициенты разложения.
Теперь рассмотрим основное построение. Функция f (x) представима в виде
K [ K/2]
f(x) = £С0Ф0(x) = £ftФ\(x) + d\X(x)] , (1.8)
k=0 k=0
где здесь и далее запись типа [a / b] обозначает взятие целой части от деления a на b.
На основе (1.7) переписываем (1.8) следующим образом:
[K/2]f Pk Pk | K
II 4£h^2k+p(x) + dl^РФ\к+Р(x) | = £4°Ф0(x). (1.9)
k=0 ^ p=0 p=0 J l=0
Введем в рассмотрение (K + 1)-мерные векторы
С0 — Г c° c0 С c0 c0 ]T •
С — [ С 2 ... CK J ;
u1 = [ 4 dj 4 d1 4 d2 4 d3 ... 41k/2, d[K/Ч ]T. (1.10)
Тогда (1.9) представимо в виде (L1 — матрица размером (K +1) х (K +1)):
ВЕСТНИК
7/2012
с10 = Ь1ы1, где Ь1 =
А 0 0 0 0 0 0
/1 0 0 0 0 0 0
/2 £2 /0 0 0 0 0
/з /1 0 0 0 0
/4 £4 /2 £2 /0 0 0
/з /1 0 0
/4 £4 /2 £2 /0 £0
/з /1
(1.11)
Итак, формула (1.11) представляет собой преобразование базиса. Нечетные столбцы Ц — это (К +1)-мерные векторы h = [ /0 /1 /2 ... ]т , сдвигаемые последовательно на две позиции вниз, а четные — аналогично сдвигаемый последовательно на две позиции вниз (К +1)-мерный вектор £ = [ g1 ... ]т.
Если известна матрица, обратная к Ц, то, очевидно, можно сформировать вектор (1.10) коэффициентов разложения следующего уровня. Иными словами, координаты с1, dlk, к = 0, 1, ..., [К/2] функции /(х) в базисе, состоящем из медленно изменяющихся функций, представимы в терминах первичных координат
М = Ц1с10. (1.12)
Аналогично можем создать базис следующего уровня, состоящий из более «медленных» функций Ф 2( х) = Ф( х/4 - к), ки ¥2(х) = ¥(х/4 - к), к, и получить: м2 = ЦС1, (1.13)
где с1 = [С0 С 4 С ... с0£/ЧГ; М2 = [с2 < с2 с2 й\ с? ^ ... ^/4] ^/4]]т — (1.14) ([^ /2] +1) -мерные векторы; Г2 — матрица размером ([^ /2] +1) х ([^ /2] +1). Процесс можно продолжать пока не будет достигнут самый низший уровень. 2. Понятие о кратномасштабном анализе. Кратномасштабный вейвлет-анализ (КМА) в Ь2(К) — это последовательность замкнутых подпространств ...V с V сУ_1 сУ_г... таких, что
У V плотно в Ь2(Я); / (х) eVj » / (2х) е . . (2.1)
Следует отметить, что существует еще ряд дополнительных требований, которые не являются необходимыми для обзора, выполняемого в рамках настоящей статьи. Определим подпространство №. как ортогональное дополнение V. в V1, т.е.
V. © = V.,, . . . (2.2)
] ] ] _1 ' V /
где © — знак, обозначающий операцию прямой суммы подпространств.
Пусть Ф( х - к), к — базис в У0. Произвольная функция / (х) представима
как
/(х) = £с,Ф(х - к) .
(2.3)
В качестве /(х) можем взять Ф(х/2). В самом деле, так как Ф(х)е V) с ¥_]_, имеем Ф(х) е V_1. На основе (2.1) получаем Ф(х/2) е V0. Следуя (2.3), будем иметь
СО ж
Ф(х /2) = X в*Ф(х _ к); Ф(х) = £ акФ(2х - к),
к=_ю к=-ж
где а* и Рк, к е Ъ — соответствующие коэффициенты разложений. После введения нормирующего множителя получим
Ф(х) = 21'2 ккФ(2х - к).
(2.4)
(2.5)
к
к=-х
Функция Ф(х), удовлетворяющая (2.5) при некоторых hk, может служить в качестве масштабирующей функции и использоваться для получения базиса (1.5) в У0. Кроме того, существует функция Т(х), такая, что
¥(х) = 21/2 £ ^Ф(2х - к), где ^ = (-1)1-кНк, (2.6)
к=-да
причем здесь использован знак комплексного сопряжения. Эту функцию применяем для построения базиса в :
X (х) = X (х) = Х( х - к), к . (2.7)
Обобщая описанное для у = 1, 2, 3, ..., получаем базисы в У_} и 1: Ф-7 (х) = Ф(2' х - к), к; (х) = Х(2х - к), к еЪ . (2.8)
Уравнения (2.5) и (2.6) называются масштабирующими уравнениями, а функции Ф(х) и Т(х) соответственно отцовской и материнской функциями вейвлетов. Сами же функции Фк (х) и Тк (х) называются вейвлетами.
3. Построение отцовской и материнской функций вейвлетов. Рассмотрим построение Ф(х) и Т(х). Широкий класс этих функций может быть построен с использованием преобразования Фурье. Перепишем (2.5) и (2.6) в виде
да да
Ф(х/2) = 21/2 £ Н^ - к); ¥( х/2) = 21/2 £ glФ(х - к). (3.1)
к=-да к=-да
Равенства (3.1) в образах Фурье примут вид (ниже 4 — двойственная переменная) да да
Ф(24) = 21/2 £ Нк ехр(-г'4к)Ф(4); Т(24) = 21/2 £ gk ехр(-г'4к)Т(4). (3.2)
к=-да к=-да
Введем в рассмотрение функции (очевидно, 2п -периодические)
да да
Н(4) = 21/2 £ Нк ехр(-/4к); О(4) = 21/2 £ gk ехр^к). (3.3)
к=-да к=-да
Следовательно, можем переписать (3.2) в виде
Ф(24) = Н(4)Ф(4); Т(24) = О(4)Т(4). (3.4)
На основании (3.4) будем иметь
Ф(4) = Н(4 / 2)Ф(4 /2); Ф(4 /2) = Н(4 / 4)Ф(4 / 4), откуда
Ф (4) = Н (4 / 2)Н (4 /4)Ф (4 /4). Аналогично можем получить
Ф© = Н /2) Н /4)Н /8)Ф(Е,/8) = Н /2) Н /4) Н /8) Н /16)Ф(Е,/16) =... Принимая во внимание условие нормировки функции Ф( х)
+ Ф( х^х = 1, т.е. Ф (0) = 1, (3.5)
после продолжения описанного процесса можем получить окончательное равенство
Ф (4) = П Н (2- 1 4). (3.6)
1=1
На основании (3.6) заключаем, что если имеется последовательность коэффициентов Нк, к е2 (удовлетворяющих некоторым условиям), можно получить точное решение функционального уравнения (2.5). Сначала определяется Ф (4), а затем Ф( х).
Отметим, что коэффициенты Нк, к е2 должны удовлетворять условиям нормировки, регулярности и ортогональности:
да да да
£кк = 21/2; £(-1)4 = 0 ; £ Нк-2рНк-2д = 8рл, (3.7)
к=-да к=-т к=-да
причем запись типа 8рл здесь и далее обозначает символ Кронекера; последнее условие в (3.7) необходимо для обеспечения ортогональности базиса.
Базисы Фк(х), к е2 и (х), к являются ортонормированными, т.е.
|фр(x)фq(х)Сх = 5М; (х)У (х)Сх = 5М; |Фр(х)Тд(х)& = (3.8)
-да
Итак, пространства V. и Ж. являются взаимно ортогональными дополнениями. можно показать, что имеет место следующее равенство: в(£) = ехрНЙ + п)]И(£ + п). (3.9)
Обоснуем справедливость (3.9). Очевидным следствием (3.5) является
да
Н(4) = 21/2 X /к ехр04*).
к=-да
После сдвига на величину п будем иметь
да да
Н(4+п) = 21/2 X /к ехр[г(4+п^] = 21/2 X /к ехр(гП)ехр(гВД = к=_да к=_да
да
= 21/2 X /к (_1)к ехр(Йф.
к=_да
Рассмотрим подробнее правую часть равенства (3.9):
да
ехр[_г(4 + п)]Н(4 + п) = 21/2 ехр(-гп) X /к(-1)к ехр[_(1 -ВД =
к=-да
да
= _21/2 X /к(_1)к ехр[-г(1 - ВД
к=-да
На основании (2.6) окончательно обосновываем доказываемое равенство:
ехрНЙ + п)]Н+ п) = 21'2 £ й (-1)" ехр[-У(1 - к=
к=
= 21/2 £ ^-к ехр[-У(1 - к= 21/2 £ Як ехр(-к^) = 0(%).
к=—
4. Базис Хаара как пример решения масштабирующего уравнения. Рассмотрим масштабирующее уравнение (2.5), в котором имеется только два ненулевых коэффициента /0 = /1 = 2-12. Тогда решение указанного уравнения будет представлено в виде
Г 1, 0 < х < 1;
Ф(х) Чп ^ (4.1)
[ 0, х < 0 V х > 1,
причем
Ф( х) = Ф(2 х) + Ф(2х -1). (4.2)
Согласно (2.6) материнский вейвлет (рис.)
' 1, 0 < х < 1/2;
Т(х) = Ф(2х)-Ф(2х-1), т.е. Т(х) = <¡-1, 1/2 < х < 1; (4.3)
0, х < 0 V х > 1. Анализируя рисунок, несложно заключить, что
(Ф(х - р), Ф(х - д)) = 8м ; (¥(х - р), Ф(х - д)) = 0 ; (Т(х - р), Т(х - д)) = 5р. Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:
1) грант 2.3.8 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011—2012 гг.;
2) грант 2.3.18 Российской академии архитектуры и строительных наук для молодых ученых специалистов «Разработка и верификация коррективных численных и численно-анали-
+да
тических методов исследования локального напряженно-деформируемого состояния строительных конструкций на основе многоуровневого вейвлет-анализа» на 2012 г.
Ф(2 x)
1/2
Ф(2х - 1)
1/2
1
1
1
1
1
0
0
0
x
x
¥(x)
¥(2 x)
¥(2х - 1)
1/2
1/4
1/2
1/2 3/4
-1
-1
-1
1
1
1
0
0
0
1
1
x
x
x
Функции Ф(x), W(x) и некоторые их преобразования
Библиографический список
1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1998. Т. 166. № 11. С. 1145—1170.
2. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с.
3. Дискретные и дискретно-континуальные реализации метода граничных интегральных уравнений / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : МГСУ, 2011. 368 с.
4. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. № 4. С. 999—1028.
5. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. № 6(324). С. 53—128.
6. Чуи К. Введение в вейвлеты. М. : Мир, 2001. 412 с.
Поступила в редакцию в мае 2012 г.
Об авторах: Акимов Павел Алексеевич — доктор технических наук, член-корреспондент РААСН, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), Россия, 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-59-94, [email protected];
Мозгалева Марина Леонидовна — кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), Россия, 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-59-94, [email protected].
Для цитирования: Акимов П.А., Мозгалева М.Л. Некоторые элементы кратномасштабного вейвлет-анализа. Часть 1. Понятие о вейвлетах и кратномасштабном вейвлет-анализе // Вестник МГСУ 2012. № 7. С. 44—50.
P.A. Akimov, M.L. Mozgaleva
SEVERAL ELEMENTS OF THE MULTI-RESOLUTION WAVELET ANALYSIS.
Part 1: BASICS OF THE WAVELETS AND THE MULTI-RESOLUTION WAVELET ANALYSIS
Part 1 of this paper represents an introduction into the multi-resolution wavelet analysis. The wavelet-based analysis is an exciting new problem-solving tool used by mathematicians, scientists and engineers. In the paper, the authors try to present the fundamental elements of the multi-resolution wavelet analysis in a way that is accessible to an engineer, a scientist and an applied mathematician both as a theoretical approach and as a potential practical method of solving problems (particularly, boundary problems of structural mechanics and mathematical physics).
The main goal of the contemporary wavelet research is to generate a set of basic functions (or general expansion functions) and transformations that will provide an informative, efficient and useful description of a function or a signal. Another central idea is that of multi-resolution whereby decomposition of a signal represents the resolution of the detail. The multi-resolution decomposition seems to separate components of a signal in a way that is superior to most other methods of analysis, processing or compression. Due to the ability of the discrete wavelet transformation technique to decompose a signal at different independent scaling levels and to do it in a very flexible way, wavelets can be named "the microscopes of mathematics". Indeed, the use of the wavelet analysis and wavelet transformations requires a new point of view and a new method of interpreting representations.
Key words: multi-resolution wavelet analysis, wavelet transformations, Haar basis.
References
1. Astaf'eva N.M. Veyvlet-analiz: osnovy teorii i primery primeneniya [Wavelet-analysis: Fundamentals of Its Theory and Applications]. Uspekhi fizicheskikh nauk [Successes of Physical Sciences]. 1998, vol. 166, no. 11, pp. 1145—1170.
2. Dobeshi I. Desyat' lektsiy po veyvletam [Ten Lectures on Wavelets]. "Regular and Chaotic Dynamics" Academic Research Centre, Izhevsk, 2001, 464 p.
3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Diskretnye i diskretno-kontinual'nye realizatsii metoda granichnykh integral'nykh uravneniy [Discrete and Discrete-continual Versions of the Boundary Integral Equation Method]. Moscow, MSUCE, 2011, 368 p.
4. Novikov I.Ya., Stechkin S.B. Osnovnye konstruktsii vspleskov [Basic Structures of Wavelets]. Fundamental'naya i prikladnaya matematika [Fundamental and Applied Mathematics]. 1997, vol. 3, no. 4, pp. 999—1028.
5. Novikov I.Ya., Stechkin S.B. Osnovy teorii vspleskov [Foundations of the Wavelet Theory]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Successes of Mathematical Sciences]. 1998, vol. 53, no. 6(324), pp. 53—128.
6. Chui C.K. Vvedenie v veyvlety [Introduction into Wavelets]. Moscow, Mir Publ., 2001, 412 p.
About the authors: Akimov Pavel Alekseevich — Doctor of Technical Sciences, Associate Member of the Russian Academy of Architecture and Construction Science, Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-59-94
Mozgaleva Marina Leonidovna — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; marina.mozgaleva@ gmail.com; +7 (499) 183-59-94.
For citation: Akimov P.A., Mozgaleva M.L. Nekotorye elementy kratnomasshtabnogo veyvlet-anali-za. Chast' 1. Ponyatie o veyvletakh i kratnomasshtabnom veyvlet-analize [Several Elements of the MultiResolution Wavelet Analysis. Part 1: Basics of the Wavelets and the Multi-Resolution Wavelet Analysis]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 7, pp. 44—50.
