Некоторые аспекты обратимости процессов в линейных электрических цепях второго порядка

Пивнев Виталий Викторович; Басан Сергей Николаевич

В.В. Пивнев, С.Н. Басан

В настоящее время, как в научной, так и в учебной литературе можно встретить различное толкование свойства обратимости. Так, например, в теории линейных электрических цепей свойство обратимости формулируется в виде теоремы обратимости (взаимности) [1].

Другое толкование свойства обратимости заключается в том, что процесс х(Х) считается обратимым, если, начиная с некоторого момента времени , процессы в исследуемой системе проходят в обратной последовательности [2] (рис. 1). В данной работе используется второе понимание свойства обратимости процессов.

tl - т tl + т

Рис. 1. - Свойство обратимости процесса х(1)

Определение. Процесс изменения силы тока ¡к (или напряжения ик) в одной из ветвей электрической цепи будем называть обратимым в том случае, когда, начиная с некоторого момента времени , в результате изменения параметров схемы замещения электрической цепи (коммутации), выполняется условие:

Ь (¿1 +т) = 1к (¿1 -т). (1)

Или

ик (¿1 + т) = ик (¿1 -т).

В основе многих форм движения материи лежат электромагнитные взаимодействия. Поэтому условия протекания обратимого процесса, полученные при изучении обратимости в электрических цепях, могут быть распространены и на другие формы движения материи, механическую, тепловую и т.п. Эти результаты в перспективе могут быть применены при решении проблем в различных областях практической деятельности (энергетика, экология, медицина, гидромеханика и т.п.) [3, 4, 5, 6, 7]. Так, например, создав условия обратимости в электронной модели при исследовании аварийных ситуаций в электрических цепях, можно выявить последовательность нарушения режимов работы отдельных устройств. В этой связи тема данной работы представляется актуальной.

Целью данного исследования является определение изменений в линейной электрической цепи второго порядка (коммутаций), при выполнении которых ток будет изменяться, начиная с некоторого момента времени tl в

обратной последовательности. Рассмотрим схему замещения произвольной линейной электрической цепи второго порядка (рис. 2).

Рис. 2. - Схема замещения произвольной линейной электрической цепи

второго порядка

Здесь г(1,) - источник напряжения; Я - линейный резистивный пассивный многополюсник; Ь - индуктивность; С- ёмкость; 1к ^) - ток в к - й ветви.

Пусть требуется в этой электрической цепи произвести в заданный момент времени ^ коммутацию таким образом, что бы ток (или напряжение) в

ветви V стал изменяться в обратной последовательности. В общем случае для заданного класса электрических цепей ток iV изменяется по закону:

к=п

Ц*) = V (г) + 2 АквРк<, (2)

к=1

где V (г)- принуждённая составляющая тока; Лк - постоянные интегрирования; рк - корни характеристического уравнения; п - порядок электрической цепи.

Применяя к (2) условие (1) для схемы после коммутации, получим:

к=п

а*1 +т) = Vр (¿1 -т) + 2 Акврк (Г1 -т). (3)

к=1

Путём несложных преобразований уравнение (3) можно привести к ви-

ду:

к=п

ич +т) = ир(¿1 -т) БквРкТ.

>тр\Ч "к

к=1

где Вк = Акеррк =-Рк.

Требуемого закона изменения принуждённой составляющей можно добиться, изменив соответствующим образом параметры независимых источников электрической энергии в цепи. Обратимость процесса для свободной составляющей можно обеспечить, изменив знаки соответствующих элементов таким образом, что бы знаки корней характеристического уравнения изменились на противоположные.

В качестве примера рассмотрим условия обратимости для свободной составляющей тока ikсс в схеме замещения линейной электрической цепи

второго порядка (рис. 2).

Известно [8], что для схемы замещения на рис. 2 свободная составляющая тока ikсс для моментов времени г < г1 может быть представлена в виде:

л

я с --г

Ьсс = Ае 2Ь ^П

я я 1

4 Ь2 ЬС

•г + щ

(4)

Если для моментов времени ? > ¿1 к уравнению (4) применить условие (1), то получим:

В выражениях (4) и (5) Я - эквивалентное входное сопротивление рези-стивного многополюсника со стороны ЬС - контура. Таким образом, для того, чтобы вещественная часть корня поменяла знак на противоположный, достаточно поменять знак входного сопротивления. Можно показать, что для этого достаточно поменять знаки активных сопротивлений, входящих в состав резистивного многополюсника. Данная коммутация может быть реализована, если все резисторы в составе многополюсника синтезировать на основе аналого-цифро-аналоговых элементов [9, 10].

Работа выполнена при поддержке гранта №213.01-24/2013-96 «Разработка и исследование распределенной системы интеллектуального управления процессом производства, передачи и распределения энергии»;

Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации МД-1098.2013.10;

Работа выполнена при поддержке гранта НШ-1557.2012.10.

1. Сешу С., Балабанян Н. Анализ линейных цепей [Текст]: Монография / С. Сешу, Н. Балабанян. - Москва: Изд-во «Госэнергоиздат», 1963. - 551с.

2. Савельев И.В. Курс физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика [Текст]:Монография/И.В. Савельев. - Москва: Изд-во «Наука», 1989. - 350 с.

3. Фиговский, О. Нанотехнологии: сегодня и завтра (зарубежный опыт, обзор) [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2011, №3. -Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n3y2011/511 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

4. Дробашева Т.И., Расторопов С.Б. Термостойкость кислородных щелочных вольфрамовых и молибденовых бронз [Электронный ресурс] // «Ин-

\

у

(5)

Литература:

женерный вестник Дона», 2013, №1. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1488 (доступ свободный) -Загл. с экрана. - Яз. рус.

5. Набережных А.И., Деменев А.В. Теория и практика создания энергоэффективной бытовой холодильной техники, работающей при экстремально высокой температуре окружающей среды [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2013, №2. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1620 (доступ свободный) -Загл. с экрана. - Яз. рус.

6. Karamov F.A. Investigations of Reversible and Polarised Interfacial Surface Properties by Electrochemical Impedance Method // Materials Science Forum. Trans Tech Publications, Switzerland, 1998. - Vols. 289 - 292. - P.871-878. -Режим доступа: // http://www.scientific.net/MSF.289-292.871 (доступ: 28$) -Загл. с экрана. - Яз. англ.

7. Daniel R. Cornejo, F.P. Missell. Study of Reversible and Irreversible Magnetization Processes Using the Moving Preisach Model // Materials Science Forum. Trans Tech Publications, Switzerland, 1999. - Vols. 302 - 303. - P.53-58. - Режим доступа: // http://www.scientific.net/MSF.302-303.53 (доступ: 28$) -Загл. с экрана. - Яз. англ.

8. Нейман Л. Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Том1 [Текст]: Монография / Л. Р. Нейман, К.С. Демирчян. - Ленинград: Изд-во «Энергоиздат», 1981. - 530 с.

9. Басан С.Н., Изотов М.В. Применение микропроцессорных устройств в задачах синтеза нелинейных электрических цепей с заданными свойствами [Текст] // Материалы VII Международной научно-практической конференции «Перспективные исследования науки и техники - 2011». Технические науки, Промышленность, наука и образование, 2011. - № 56. - С.17-24.

10. Басан С.Н., Изотов М.В. К проблеме выбора аналого-цифрового элементного базиса при реализации нелинейных резистивных двухполюсни-

ков с заданными вольтамперными характеристиками [Текст] // Известия вузов. Электромеханика. 2010. - №6. - С.80-83.

Some aspects of the reversibility of processes in linear electric circuits second order

Текст научной работы на тему «Некоторые аспекты обратимости процессов в линейных электрических цепях второго порядка»