Некооперативное равновесие по Нэшу в задаче выбора оптимального момента обращения к системе обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 11, № 6, 2006

НЕКООПЕРАТИВНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПО НЭШУ В ЗАДАЧЕ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО МОМЕНТА ОБРАЩЕНИЯ К СИСТЕМЕ ОБСЛУЖИВАНИЯ*

В. В. Мазалов, Ю. В. Чуйко

Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия e-mail [email protected], [email protected]

An optimal arrival time problem for the queuing system 7/M/1/0 which accounts for a given "convenience" function is considered.

Введение

Рассматривается система массового обслуживания со следующими характеристиками:

— в каждый момент времени система способна обслуживать не более одной заявки;

— в системе отсутствует очередь. Если на момент поступления очередной заявки в системе уже обслуживается заявка, то поступившая заявка получает отказ в обслуживании;

— время обслуживания очередной заявки является экспоненциально распределенной случайной величиной с параметром 1/р (р > 0);

— для поступающих заявок задана функция "комфортности" C(t), отражающая для заявки степень желательности начала обслуживания в системе в момент t.

В качестве примеров таких систем можно привести используемые во многих организациях сервисы общего доступа сотрудников к ресурсам сетей Интернет и Интранет: dial-up серверы удаленного доступа, терминалы для работы с электронной почтой и т. д. Другой пример — это различные сетевые сервисы бронирования мест (транспорт, гостиницы и т. п.), для которых важна гарантия того, что одно и то же место не будет забронировано одновременно двумя клиентами. Один из вариантов решения — установление разрешения на обслуживание не более одного соединения, в данном случае — оформление одновременно не более одного заказа. Аналогичная задача, в которой игроки выбирают момент обращения в системе, обслуживающей в каждый момент времени не более одной заявки, рассмотрена в [1]. В [2] игроки выбирают одну из двух таких систем. К похожим задачам относятся задачи угадывания одного из значений в последовательности случайных величин [3, 4].

* Работа выполнена при финансовой поддержке Отделения математических наук РАН по программе "Математические и алгоритмические проблемы информационных систем нового поколения" и Фонда содействия отечественной науке.

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.

Для каждого игрока необходимо определить равновесную стратегию поведения — выбора момента времени t поступления заявки в систему, максимизирующего выигрыш игрока на интервале [to, T], где t0 и T определяются в процессе решения задачи. Будем искать равновесие, по Нэшу, в смешанных стратегиях, где в качестве стратегий будем искать вероятностные распределения моментов поступления в систему заявок от игроков на интервале [t0,T]. При этом рассмотрим случай абсолютно непрерывных распределений, когда существуют плотности этих распределений. В этом случае функции плотности однозначно определяют соответствующие искомые стратегии, поэтому далее под термином "смешанная стратегия игрока" будем понимать плотность распределения моментов поступления в систему заявок от данного игрока на интервале [t0, T].

1. Функция "комфортности" в данной модели

В модели, рассматриваемой в данной работе, введена функция "комфортности". "Комфортность" работы пользователей зависит от времени суток и может выражать прибыль или потери пользователя от выполнения заявки в момент t. В качестве примера возможной интерпретации функции "комфортности" можно рассмотреть систему доступа пользователей в сеть Интернет через один общий dial-up сервер удаленного доступа с одним модемом, обслуживающий одновременно не более одного пользователя. При этом пользователь оплачивает только время использования телефонной линии. Для простоты будем считать, что все пользователи работают с одним и тем же Интернет-узлом, например, загружают на свои компьютеры обновления программного обеспечения с официального Web-сервера производителя. Степень загруженности каналов связи и узлов Интернет в течение суток изменяется, соответственно меняются пропускная способность каналов и время отклика узлов. Это влияет на время выполнения заявок пользователя. В данном случае это время загрузки файлов с Интернет-узла на компьютер пользователя, которое пропорционально его затратам на оплату услуг телефонной компании. Если рассматривать снижение этих затрат как критерий "комфортности", то в качестве функции "комфортности" можно взять функцию, оценивающую скорость передачи информации между dial-up сервером удаленного доступа и используемым Интернет-узлом в каждый момент времени. В численном виде приближение такой функции можно получить, фиксируя значения оценок скорости прохождения пакета информации через равные промежутки времени в течение суток. При этом значение скорости можно оценить как 1/tansw(t), где tansw(t) — время отклика в миллисекундах Интернет-узла, которое выводит программа ping, запускаемая на dial-up сервере удаленного доступа в момент времени t. Тогда такая оценка представляет собой число пакетов в миллисекунду, которые могут быть переданы от Интернет-узла до dial-up сервера удаленного доступа. Пример графика такой функции представлен на рис. 1. Значения данной функции "комфортности" отражают результаты измерений через каждые 20 минут в течение суток скорости передачи данных от узла download.com к dial-up серверу удаленного доступа КарНЦ РАН.

Другим более обобщенным критерием для построения функции "комфортности" может быть степень удобства для пользователя обращения к системе обслуживания в различное время суток. Она может зависеть от множества факторов, в том числе психологических, которые сложно оценить численно. Такая функция может быть построена на основе статистических результатов опросов пользователей. Например, сотрудникам некоторой организации выделена одна подключенная к сети Интернет рабочая станция общего доступа для

t

Рис. 1. Пример функции "комфортности" работы в сети Интернет через dial-up сервер удаленного доступа.

Рис. 2. Пример функции "комфортности" работы с рабочей станцией общего доступа в течение рабочего дня.

проверки своей электронной почты в течение рабочего дня. Если учесть режим занятости сотрудника, то удобнее всего ему работать с почтовым компьютером в начале и в конце рабочего дня и в обеденное время. Тогда функция "комфортности" может выглядеть примерно так, как показано на рис. 2 .

2. Математическая модель для системы с двумя игроками

Пусть систему обслуживания используют два игрока, выбирающих моменты времени обращения к системе £ и в. Для заявки, поступающей в момент возможны три случая:

1) £ < в, т. е. данная заявка приходит в систему раньше поступления заявки от другого игрока;

2) данная заявка приходит в систему после поступления заявки от другого игрока (в < £), которая к моменту £ еще не закончила обслуживаться;

3) данная заявка приходит в систему после поступления заявки от другого игрока (в < £), обслуживание которой к моменту £ уже завершилось.

Заявка успешно попадает на обслуживание только в первом и третьем случаях и получает отказ в обслуживании во втором. В случае успешного обслуживания заявки при поступлении ее в момент £ игрок получает прибыль, равную С(£).

Пусть f (£) и д(в) — стратегии первого и второго игроков соответственно. Тогда ожидаемый выигрыш для каждого из игроков, когда противник использует смешанную стратегию, будет иметь вид

/ Ь оо

Н1(г,д) = С(£) I д(в)( 1 - + / g(s)ds

/ з оо \

Я2(f, в) = С(в)( / f (£)(1 - e-^(s-í))dí + / f (t)dt

или, учитывая что f и д — плотности распределения:

#1(*,д) = С(£) \ - } g(s)e-^-s)ds) , Н2^,в) = С^(1 - / f(t)e-^-t)dt

Заметим, что функция "комфортности" входит в ожидаемый выигрыш игрока как множитель, это означает, что она может определяться с точностью до положительного постоянного множителя.

Будем искать симметричное равновесие Нэша, т. е. такое, где искомые стратегии для обоих игроков равны, поэтому достаточно рассмотреть задачу максимизации ожидаемого выигрыша первого игрока:

Н(£,д) := Н1(£,д) = С(£) ( 1 - I g(s)e-^t-s)ds\ ^ тах.

Необходимо найти интервал времени [£о, Т] и функцию д (£), которая на данном интервале отражает плотность распределения моментов времени обращения второго игрока к системе обслуживания, а ожидаемый выигрыш на данном интервале принимает значение глобального максимума.

3. Равновесное, по Нэшу, решение задачи

Для равновесного решения [5, 6] должно выполняться необходимое условие -^ =

0 на интервале £ € (£0, Т). После преобразования -^ = 0 получаем интегральное

уравнение

где

дифференцируя которое по t и преобразовывая, в итоге получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение для нахождения g(t):

g'(t) (C2(t- C(t)C'(t)) + g(t) (C(t)C''(t) - 2(C'(t))2 + C'(t)C(t)n) -

-ц,(С(t)C''(t) - 2(C'(t))2 + C'(t)C(ф) = 0. (2)

Функция g (t) определяется для интервала [to, T], на котором происходит обращение игроков к системе обслуживания. За границами данного интервала полагаем g(t) = 0. Общее решение однородного уравнения:

g„(i) = Ke'(«>,

« CM. - 2 CM + „

I«>=/ C'(T) $ '-

«0 1 MC' (t )

Частное решение неоднородного уравнения очевидно gH(t) = Тогда окончательным результатом решения уравнения (2) является

g (t) = Ke1 (t) + ^

где постоянная K определяется подстановкой полученного решения дифференциального уравнения в исходное интегральное уравнение (1):

K = e"«° (/ e1 - Jf^ j . (3)

Учитывая, что K не зависит от t, в выражении (3) полагаем t = t0 и получаем

K C' (to)

= Cïtoy-

Тогда окончательный вид искомой плотности распределения

g(i)=(Ci - (t)+

Необходимо также учесть, что g (t) — плотность распределения моментов времени обращения игрока к системе обслуживания, следовательно, границы интервала [t0,T] выбираются такими, что для t G [t0,T] выполняются соотношения g (t) > 0 и

T

J g(t)dt =1. (4)

t0

Равновесное значение ожидаемого выигрыша постоянно на [t0,T], т.е. для всех t G [t0,T ] H (t, g) = v = C (t0). Данное равновесное значение будет являться решением, если для всех t G (-œ, то) H (t, g) < C (t0). Значение ожидаемого выигрыша на

£ € (-то,¿о] Н(£,д) = С(£), т.е. для функции "комфортности" должно выполняться условие С(¿) < С(¿0) для £ € (-то,£о].

Ожидаемый выигрыш на £ € [Т, то) имеет вид

т

Н(£,д) = С(¿) 1 - е-^-Т) + Ке-^ / е/(в)+^в

¿0

Используя Н(¿о,д) = Н(Т, д), получим

т

С (¿о) = С (Т)е-^т К /

¿0

т

е1 = е^^С^.

¿0

С (¿о) КС (Т)'

Тогда выигрыш на £ € [Т, то):

Н(¿,д) = С(^1 - е-(4-т)( 1 - СТ)))

и для функции "комфортности" при £ > Т должно выполняться

с(£о) > с(^1 - е-"(4-т)( 1 - СМ))

(5)

(6)

4. Решение для экспоненциальной функции "комфортности"

Пусть функция "комфортности" имеет вид С(£) = ае64 для £ > £о и С (£) = аем° = С(£о) для £ < £о. Тогда

д(£) = (ь - ^)е

_ п)е-Ь(4-°)

+

Рис. 3. Вид решения для экспоненциальной функции "комфортности".

Пусть £0 задано, тогда правая граница интервала [£0,Т] находится из условия (4)

Ье-Ь(Т—о)

^ = е-6(т-*о) - 1 + Ь(Т - ¿о)'

В этом случае на интервале [£0, Т] равновесный ожидаемый выигрыш имеет вид Н(£, д) = аеМо. Для £ < £0 ожидаемый выигрыш равен С (£0). Для того чтобы полученное равновесное решение было решением исходной задачи, необходимо выполнение условия (6): для £ > Т

ае^ > аем (1 - е-^-т)(1 - е-6^)) .

При Ь > 0 и а < 0 данное условие будет выполнено.

На рис. 3 приведен вид д(£) для значений параметров а = -1, Ь = 2, ^ = 0.238, £0 = 0, Т = 1.

5. Решение для параболической функции "комфортности"

Пусть функция "комфортности" имеет вид С(£) = а£(1 - £), где а > 0. Тогда

(1 - 2£ - ^ + ^2)£р(1 - £р) + (7) ^(£) =-^-+ (7)

Границы интервала [£0,Т] должны удовлетворять условию (4)

£0(1 - £0)

^ =-7-£ (1 - Т) \ ' (8)

Т(1 - Т) (Т - £0 + £0(1 - £0) 1п ^^)

В этом случае на интервале [£0, Т] равновесный ожидаемый выигрыш имеет вид Н(£, д) = а£0(1 - £0). Для £ < £0 ожидаемый выигрыш С(£). Для того чтобы полученное равновесное решение было решением исходной задачи, необходимо выполнение условия (6): для £ > Т

£0(1 - £0)\

Т (1 - Т),

а£0(1 - £0) > а£(1 - £) (1 - е-"(4-т> ( 1 - ^

Лемма 1. Существует такая пара £0 € (0,1/2) и Т € [1/2,1), что д(Т) = 0, где д(£) имеет вид (7) и выполняется (8).

Доказательство. Покажем, что существует Т € [1/2,1) такое, что выполняется #(Т) = 0, т. е. ^(Т) := (1 - 2Т - ^Т + ^Т2)^(1 - £0) + ^Т2(1 - Т)2 = 0,

71 \ = - ^£0(1 - £0)+^ >- ^ ■171 -1 \+^=0,

1 V У 4 01 0 16 " 4 2 V 2) 16 ' ^(1) = -£0(1 - £0) < 0'

Следовательно, существует Т € [1/2,1), удовлетворяющее условию д(Т) = 0. Проверим существование для него £0 € (0,1/2) такого, что выполняется (8):

£0(1 - Т)'

М£0) := £0(1 - £0) - ^Т(1 - Т) ( Т - £0 + £0(1 - £0) 1п Т(1 - £0) ) = 0,

й2(0) = -рТ(1 - Т) < 0 Л 1 /1 , Т „ 1

Ч ^ = 4+ "Т (1 - Т Ч^Г-г-Т + 2

1 Т 1 /1 ч

л3(т):=41пГТт - т +2' Ц*)=°'

Л3(Т) = 4Т(11ГТ) -1 > Г4- : = 0'

т.е. Л-з(Т) > 0 при Т € [1/2,1). Тогда Л,2 (1/2) > 1/4 > 0. Доказательство закончено. □

Лемма 2. Если д(*) имеет вид (7) и выполнено д(Т) = 0, то для всех выполняется д(*) > д(Т).

Доказательство. Пусть выполняется д(Т) = 0, т. е.

1 - 2Т - рТ + рТ2 р

Т2(1 - Т)2 *о(1 - *о)'

Пусть для некоторого * € (*о,Т) д(*) < д(Т), т.е.

*о(1 - *о)(1 - 2* - р* + р*2) *о(1 - *о)(1 - 2Т - рТ + рТ2) *2(1 - *)2 < Т2(1 - Т)2

или, учитывая, что ¿о (1 - *о) > 0,

(1 - 2* - р* + р*2) (1 - 2Т - рТ + рТ2) = р

*2(1 - *)2 < Т2(1 - Т)2 = -*о(1 - *о)' ()

Пусть * € [*о, 1/2], тогда *о(1 -*о)(1 -2*)+ р*(1 -*)(*(1 -*)-*о(1 -*о)) > 0, что противоречит предположению (9). Пусть * € [1/2, Т], тогда *(1 - *) > Т(1 - Т) и

(1 - 2*)Т2(1 - Т)2 - (1 - 2Т)*2(1 - *)2 = (2Т - 1)*2(1 - *)2 - (2* - 1)Т2(1 - Т)2 = = (Т2 - (1 - Т)2) *2(1 - *)2 - (*2 - (1 - *)2) Т2(1 - Т)2 = = Т2*2 ((1 - *)2 - (1 - Т)2) + (1 - *)2(1 - Т)2 (Т2 - *2) > 0'

Тогда

(1 - 2* - р* + р*2)Т2(1 - Т)2 - (1 - 2Т - рТ + рТ2)*2(1 - *)2 = = (1 - 2*)Т2(1 - Т)2 - (1 - 2Т)*2(1 - *)2 + рТ(1 - Т)*(1 - *) (*(1 - *) - Т(1 - Т)) > 0,

что противоречит предположению (9). Доказательство закончено. □

Лемма 3. Если д(*) имеет вид (7) и выполнено д(Т) = 0 и Т € [1/2,1), то функция ожидаемого выигрыша Н(*) вида (5) убывает на * € (Т, то). Доказательство. Пусть выполняется д(Т) = 0, т. е.

*о(1 - *о)(1 - 2Т) + рТ(1 - Т)(Т(1 - Т) - *о(1 - *о)) = 0'

Для * > Т

Н(*) = а*(1 - - 1 - оу)) ,

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1

0.5 0

-0.5

1 1 1 1 1 1 1 1

- / СЦ) \ -

; Н(уЛ) \ :

1 1 1п 1 1 1 Т1 1 1

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Рис. 4. Вид решения для параболической функции "комфортности"

Я'(*)/а = (1 - 2£) (1 - е-^-т)) +

е-^-т) Т (1 - Т) е-^-т)

(¿а(1 - ¿а)(1 - 2*) + ^¿(1 - ¿)(Т(1 - Т) - ¿а(1 - ¿а))) <

< (1 - 2*) (1 - е-^-т)) +

Т(1 - Т)

(¿а(1 - ¿а)(1 - 2Т) + ^Т(1 - Т)(Т(1 - Т) - ¿а(1 - ¿а))) = (1 - 2*) (1 - е-^-т)) < 0.

Доказательство закончено. □

Тогда на основании приведенных лемм может быть сформулирована следующая теорема.

Теорема. Стратегия д(*) вида (7) на интервале [¿а,Т ], где 0 < ¿а < 1/2 < Т< 1,

т

такие что д(Т) = 0 и ^ = 1, является равновесным решением задачи с заданной

¿0

функцией "комфортности" С(¿) = а*(1 - ¿), где а > 0.

Доказательство. Неотрицательность функции плотности д(*) на [¿а,Т] следует из леммы 2. Из леммы 1 (¿а < 1/2) следует возрастание функции ожидаемого выигрыша при £ < ¿а • Из леммы 3 следует убывание функции ожидаемого выигрыша при £ > ¿а. Доказательство закончено. □

На рис. 4 приведен вид д^) для значений параметров а = 5, ^ = 21.876, ¿а = 0.3, Т = 0.66167.

6. Ожидаемый выигрыш для системы с числом игроков > 3

Пусть систему обслуживания используют п +1 игроков, выбирающих моменты времени обращения к системе п,... ,тп и ¿. Необходимо найти ожидаемый выигрыш игрока, использующего чистую стратегию ¿, когда все остальные игроки с номерами г = 1,...,п используют одинаковые смешанные стратегии вида д(т).

+

+

Найдем ожидаемый выигрыш для случая трех игроков. Заявка от игрока, выбирающего момент может не попасть на обслуживание в том случае, когда заявка от одного из двух других игроков ранее поступила в систему и к моменту £ не успела обслужиться. Пусть это игрок, выбирающий момент ть Для успешного начала обслуживания заявки данного игрока заявка от игрока, выбирающего т2, должна была либо поступить и успеть обслужиться до момента т^, либо поступить после момента т^. Тогда вероятность того, что заявка, поступившая в момент встанет на обслуживание

г / Т1 +те \

Р2(*,я) := 1 - 2 У д(т1)е-^-Т1М У 0(т-2)(1 - е-^1-^)^ + / дЫ^ ¿п =

— те \-те Т1 /

= 1 - 2 ! д(т1)е-^-Т1) ( 1 - ^ д(т2)е-^Т1-Т2^Г2 )

-те \ -те /

Аналогично для ситуации п +1 игроков соответствующая вероятность будет

г

Р„(£,д) := 1 - п I д(п)е-^(г-Т1)х

-те

Т1 / Т2

х | 1 - (п - 1) у д(т2)е-^(Т1-Т2) 11 - (п - 2) ^ ... | ¿Г2 | ¿п.

-те -те

В рекуррентной записи данные вероятности имеют вид

г

А(£,д) = 1 - / д(т1)е-^-Т1^ть

Р2(£,д) = 1 - 2 д(п)е-^(г-Т1)Р1(г1,д)^Г1

Р„(£,д) = 1 - п д(т1)е-^-Т1)Р„-1(тьд^т1

а соответствующие выигрыши

Н (£,дп) = С (£)Р„(£,д).

Рассмотрим теперь данную задачу с другой стороны, а именно, какой должна быть функция "комфортности" для того, чтобы равновесие, по Нэшу, имело заданный вид. Начнем с равномерного случая, а затем рассмотрим экспоненциальный случай как более сложный.

г

7. Вид функции "комфортности" в случае равномерных стратегий игроков

Пусть нашей целью является нахождение вида такой функции "комфортности", чтобы для нее равновесные стратегии игроков представляли собой плотности равномерного распределения на интервале [0,1], т. е. $(£) = 1. В этом случае вероятность попадания заявки на обслуживание

ЗД,,) = 1 + ^ ((1 - е-) £ - е- £ м'£ '

^ \ i=o i=l ,-=0 ^

= 1 + (П- - (-^а - ^

¿0

Так как в равновесии ожидаемый выигрыш должен быть постоянным на интервале [0,1], функция "комфортности" на нем должна иметь вид Сп(£) = сопэ1;/Рга(£, д). Рассмотрим поведение системы при бесконечно большом числе игроков:

п •

ЗД, 2) = 1 + (е-м - г„(-^) - е-^ + е-^г„(-^(1 - *))) =

п •

= 1 - (Т^ (г»(-^) - (-^(1 - *))) ,

где гга(ж) — остаточный член в разложении ех в ряд Маклорена, для которого справедлива

оценка |rn(x)| < --—. Учитывая, что

1 nv л ~ (n + 1)!

|г„(-^) - e-^rn(-Ml - t))| < |rn(-^)| + |e-^rn(-Ml - t))| < < ^n+1 + (и(1 - t))n+1 < 2^n+1

(n +1)! (n +1)! " (n +1)! и

n! 2^n+1 2^

7--ГТГ = -7 — 0 при n —> TO,

(-^)n (n +1)! n +1

получаем Pn(t, g) — 1 при n — то. То есть при бесконечно большом числе игроков вероятность заявки попасть на обслуживание стремится к единице, а функция "комфортности" в этом случае не зависит от t и n.

8. Вид функции "комфортности" в случае экспоненциальных стратегий игроков

Пусть стратегии игроков имеют вид g(t) = Ae-Ai, t > 0. Тогда вероятность заявки попасть на обслуживание

n n! g—iAt_e-(n-i)\t—ßt

pn(t,g) =1 + E Tn-w^-•

^ (n i)! n(j - ^/A) j=1

Так как в равновесии ожидаемый выигрыш должен быть постоянным на t > 0, функция "комфортности" на t > 0 должна иметь вид Cn(t) = const/Pn(t, g).

Пусть ^ близко к нулю, т. е. среднее время обслуживания очень велико. Тогда

i

- ^/Л) — i! и e-^ — 1,

j=i

П n! g-i^i — g-(n-i)Xt

P-(t-g) -1+E (n-Di-ii-=

i=i ^ '

= 1 + (1 + e-At)n - 1 - (1 + ext)ne-nxt + e-n^ = e-n^. Тогда функция "комфортности" имеет вид Cn(t) — const • enAt. При n ^ то Pn(t,g) ^ 0, а Cn(t) ^ то.

Заключение

Рассмотрена задача выбора оптимального момента обращения игрока к системе массового обслуживания ?/М/1/0 с учетом заданной функции "комфортности". Для случая двух игроков построена математическая модель, найден аналитический вид равновесного, по Нэшу, решения. Для частных случаев задачи с экспоненциальной и параболической функциями "комфортности" проведен анализ существования допустимого равновесного, по Нэшу, решения.

Для случая п +1 > 3 игроков найден ожидаемый выигрыш в общем виде и рассмотрены задачи нахождения вида необходимой функции "комфортности" для того, чтобы равновесные стратегии игроков имели заданный вид — равномерное и экспоненциальное распределение. Для этих задач проведен анализ поведения системы при бесконечно большом количестве игроков.

Список литературы

[1] Glazer A., Hassin R. 7/M/l: On the equilibrium distribution of customer arrivals // Europ. J. of Operational Research. 1983. Vol. 13, N 2. P. 146-150.

[2] Altman E., Jimenez T., Nunez Queija R., Yechiali U. Optimal routing among -/M/l queues with partial information // Stochastic Models. 2004. Vol. 20, N 2. P. 149-172.

[3] Sakaguchi M., Szajowski K. Competitive prediction of a random variable // Mathematica Japonica. 1996. Vol. 43, N 3. P. 461-472.

[4] Belkovskii D.V., Garnaev A.Y. A competitive prediction number game under unsymmetrical conditions // Game Theory and Applications. Vol. X, Nova Sci. Publ., Commack, N.Y., 2005 (in appear).

[5] Оуэн Г. Теория игр. М.: Вузовская книга, 2004.

[6] Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для университетов. М.: Высш. шк., 1998.

[7] Муллен Э. Теория игр с примерами из математической экономики: Пер. с франц. М.: Мир, 1985.

Поступила в редакцию 7 июня 2005 г., в переработанном виде —18 октября 2006 г.