Неизотермическая фильтрация газа в призабойной зоне пласта Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Ключевые слова:

призабойная зона пласта, неизотермическая фильтрация газа, дросселирование газа,

газодинамические

исследования

скважин на

стационарных

режимах

фильтрации.

Keywords:

bottom-hole formation zone, non-isothermal gas filtration, choking gas, well testing at stationary regimes.

УДК 622.279.23

В.А. Истомин

Неизотермическая фильтрация газа в призабойной зоне пласта

Стационарное неизотермическое течение газа в призабойной зоне пласта (ПЗП) в хорошем приближении может рассматриваться как процесс дросселирования с сохранением энтальпии потока. Такое течение традиционно описывается системой уравнений энергии и фильтрации газа, в которых используются два термодинамических параметра природного газа: коэффициенты Джоуля-Томпсона и сжимаемости. Ниже развивается альтернативный подход к описанию неизотермической фильтрации газа, в котором вместо коэффициентов Джоуля-Томпсона и сжимаемости применяются показатели изоэнтальпийного термодинамического процесса (показатели изоэнтальпы). Использование этих показателей позволяет получить уравнение фильтрации газа при сохранении энтальпии потока без явной записи уравнения энергии. Для неизотермического течения газа в призабойной зоне получаются формулы, удобные в практическом отношении при обработке газодинамических исследований газовых и газоконденсатных скважин на стационарных режимах.

Рассмотрение неизотермической фильтрации газа в ПЗП начнем с вывода основных термодинамических соотношений для показателей изоэнтальпы. Ранее в работах [1, 2] детально были исследованы три взаимосвязанных показателя изоэнтропы (адиабаты) - ks, £„ 8;

*s =-Vf *1 ; ^=pfdTl ; §s-1=-Vf an ,

S p У dV )s eS T { dp )s s T L dV Js

и отмечена возможность аналогичного термодинамического анализа показателей других стандартных политропических процессов - изоэнтальпийного (при постоянной энтальпии H) и изоэнергетического (при постоянной внутренней энергии U).

По аналогии введем в рассмотрение тройку показателей изоэнтальпы (kH, eH, 8H) простой термодинамической системы (имеем в виду конкретно природный газ) по следующим определениям:

kH

. ен-\=L(dT) ; 8 -x=-vraq

P l dV Jh ’ eh T l dp )H ’ H T l dV )H

(1)

В определениях (1) частные производные берутся при постоянной (удельной) энтальпии. Из определений (1) следует, что эти показатели связаны соотношением

kH

(8h - 1)eн

eH — 1

Таким образом, только любые два из трех показателей являются независимыми, причем они полностью характеризуют давление, молярный объем и температуру газа (p, V, T) при его изоэнтальпийном течении. В рассматриваемом случае основной интерес представляют два показателя - kH, eH.

С учетом уравнения состояния pV = zRT (здесь R - удельная газовая постоянная, z - коэффициент сжимаемости, далее все размерные величины - удельные) имеют место и другие эквивалентные записи определений (1) показателей изоэнтальпы:

кн -1 p д( zT) ; кн -1 = - V н ZT Г d( zT) I e (Viz) dp

кн (zT) dp _ dV _ н e H p _d(V/z)_

№ 4 (15) / 2013

Проблемы эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений

о 1 (Vz) дт • S V д( p/z) • SH -1 (P/z) дт

_d(V/z)_ и’ Н (Plz _ dV _ и ’ Sh т _д(p/z)_

Таким образом, для каждого из показателей кн, ен, 8н можно дать три эквивалентных определения, но одно из них является «выделенным», когда показатель записывается в своих естественных переменных и в его определение не входит коэффициент сжимаемости z.

Для идеального газа все три показателя имеют постоянное значение: кн = 1, ен = 1, 5н = 1, т.е. для этого случая процесс дросселирования протекает без изменения температуры газа.

В областях малого изменения показателей кн, ен, 5н соотношения (1) можно приближенно проинтегрировать с получением уравнений изоэнтальпы (их естественно назвать обобщенными уравнениями Пуассона):

РУ?Н = p2Vk или Pp~ _ Pl.- (4)

P* P g2

TiH T2H

(5)

PiH P2H

T1V~Sh - -l t VSh-1 -ir 2 (6)

Черта над показателями означает усреднение вдоль изоэнтальпы (от начальных до конечных значений давления и температуры). Соотношения (4)-(6) показывают взаимосвязь между температурой, давлением и удельным объемом реального газа в изоэнтальпийном процессе.

Установим взаимосвязи показателей изоэнтальпы кн, ен, 5н с показателями изоэн-тропы к, es, Ss и безразмерными термическими коэффициентами:

• температурный коэффициент объемного расширения а/а)

• изотермический коэффициент сжатия р/р„:

Р/Р„

р.

V

dV

др

во

T

1'

P ’

• термический коэффициент давления у/у„:

Y о =

T

В силу тождества f1 | dV | (1 =

V dv ) — I дР )т V дт )v

коэффициентами имеет место соотношение

1 между безразмерными термическими

а/а0 = Ф/Ро)( Y/Yo)-

Показатель кн

Исходим из тождества

Г | dH 1 =-1.

dV )н \ дН )р ^ dp )v

133

№ 4 (15) / 2013

Отсюда:

k„(fp

p ^ dV

Из формул

(dH

V l_dV

p \ dH

dp

dH ) _ T ( dp 'f _ _P£±

dV Jp l dT Js

£S —1

получаем соотношение

7. es (^s —!) ks

dH

dp

C

= V — T

dV

dT

V §S

§S — 1

§S (e S — 1) §S Cv (^/p0) + zR(y/y0)

H

(7)

Показатель zH

Исходим из тождества

-1 f dp If dH У — 1.

dP У h l dH Jr ( ,dT Jp

Отсюда I ' dH

^ — 1 P f dT ] P \ v dp

e H t l dp J H T | r dH

dT

Используя формулы

H = И — Г ^ I = V

dp )т I dT

Г ( a ^ 1 — а

V

а

V ^ о J

дт

PV es

дн У _ C _ т f dp^ f dV У _ _pe^ f dV

p p l dT )s l dT )p es — 11 dT )p T (es — 1)

( a ^

zReS

( a '

e S 1

получаем соотношение

'dH'

eH —1 _ p У dp

e„— 1

eH T ( dH

dT

(a/a0) — 1 (a/a0)

e S 1

1-

(a/ao)

zR((a/a0)-1) C '

(8)

Показатель bH

Исходим из тождества

dH

dT

I _—'■

V

Отсюда:

K— 1 _ —

V ( dT

T \ dV

(dH v t dV

t (dH

l dT

T

V

№ 4 (15) / 2013

Проблемы эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений

Учитывая, что

дн' — т W + У г др —р Г X' Р .

дУ, )т 1 дТ J У к дУ )т 1Yо j Ф/Ро)’

дн' —(H f ^р 1 —f У - Т дУ 1 р Г X ' z R 8S f X1

дТ )у 1 др )у 1 дТ ) У 1 ,дТ, k J Т 1 Yoу 8s -1 l Yo J

получаем:

f дН

8» --—- к-

н T ( д»

дт

( 8 -1Y 1 1

v 8s А

i N (оЧ)у

zRd/iо) (1

C- + zR(y/jo) t

1 N (а/Ч),

(9)

Впрочем, соотношение (9) автоматически вытекает из соотношений (7), (8) и

. , (8н - 1)£н

формулы кн — —н-----—.

£н -1

Полученные формулы (7)-(9) можно использовать в расчетах kH, ен, 5н как функции давления и температуры, если известны калорическое и термическое уравнения состояния рассматриваемого реального газа.

Далее представляет интерес изменение энтропии и внутренней энергии вдоль изоэнтальпийного процесса (H = const). С этой целью получим выражения для частных производных энтропии S и внутренней энергии U по температуре, давлению и объему при H = const.

Частные производные удельной энтропии S (при H = const)

Исходим из соотношения частной производной энтропии по давлению при постоянной энтальпии

|Щ _-V I др )н ~ T ■

Для частных производных по температуре и объему получаем следующие выражения через показатели изоэнтальпы:

( дБ1 -I f дБ 1 f дР' ) — - zR £H

lдт)H 1 К дР JH lдт. Jh = T £ H -1

отсюда:

£H — £ h -1 T ( zR \ ' дБ Л ; ,дГJh’ (10)

( dS ^ — f. ^ ^ f_ др pV kH zR kH

lд(zT)A dp )H ^ д(zT) , — l — zT2 kH -1 T kH -1’

отсюда:

kH T ( ' дБ >| (11)

kH -1 zR { чд(zT)J H

f-1 — ( дБ .1 (дР 1 —- -V ( >1 — * f p J кнР

l дУ )H l дР Jh l дУ Jh T \ ,д¥ )h H l T) T ’

135

№ 4 (15) / 2013

136

Научно-технический сборник • ВЕСТИ ГАЗОВОЙ НАУКИ

отсюда:

kH

V_( <P\ _T( dS) ; pVdV)н ptdV)н’

(12)

L^L 1 _ f £ 1 1 _- К 1 _ ze f p)

l d(V/z) Jh [ dp l [ d(V/z) )H T [ d(V/z) Jh H l T У отсюда:

T_ ( dS zp ^dtyfz)

И, наконец:

dS I _ (dS] ( dV d(p/z) )H l dV )H [ d(p/z)

V

(Plz)5H у

VzkH

TK ’

или то же соотношение, выведенное иначе:

(13)

ЧЧ _fЧ ЧЧ _-VkH. (14)

l d(Wz) )h V dT [ d(p/z) T5H

Если считать показатели изоэнтальпы приближенно постоянными (осредненны-ми вдоль процесса), то соотношения (10)-(14) можно приближенно проинтегрировать и получить приращение (производство) удельной энтропии в изоэтальпийном термодинамическом процессе.

Частные производные внутренней энергии U (при H = const) Эти производные могут быть получены из соотношений:

кн -1 _-

1 ( dU

p ^ dV

(15)

Далее:

dU

d( p/z)

_ zV

\ kS

-S J

V 5 h J

dU 1 _ V1 - кн _-V f kH-У

dT )h 5h -1 [ 5h -1 /

отсюда:

kH -1 _-\_ f dU■) 5Я -1 _ V l dT )H

(16)

Если считать показатели изоэнтальпы приближенно постоянными (осредненны-ми вдоль процесса), то соотношения (15)-(16) можно приближенно проинтегрировать и получить изменение удельной внутренней энергии при изоэтальпийном процессе.

Аналогично рассмотренным выше показателям изоэнтальпы можно ввести в рассмотрение показатели изоэнергетического термодинамического процесса (U = const) kU, eU, 5U по определениям:

_-V Г Щ ; bd _ Р [ dT 1 ; ^ - 1 _-V f *L) ; ^ _ ((

p l dV У £u T {dp У u T L dV У U £u -1

(17)

Также можно установить связи показателей изоэнергии с показателями изоэнтро-пы и безразмерными термическими коэффициентами. Но эти соотношения в дальнейшем не представляют интереса для задачи неизотермической фильтрации газа,

№ 4 (15) / 2013

поэтому здесь не выписываются. Отметим только наиболее простые из них, иллюстрирующие взаимосвязи между тремя группами показателей:

_0/г_м_k- к =—=к- кн

е-1)/\5-1J 5’ U е-1 е’ ки 5

е H 1

е H

е-1

е

(а/а о)

— = (е-1)

1—

(У/Уо).

5я -1 =

5-1

5

1—

(а/а0)

(

1 _ (5-1) 1

V

1 Л

(Yho) у '

Таким образом, выше получены основные термодинамические соотношения для показателей kH, ен, 5н изоэнтальпийного процесса (формулы (1)-(17)). В случае необходимости все дополнительные соотношения могут быть получены из приведенных формул. Сводка наиболее важных соотношений дана в таблице.

Сводка определений и основных соотношений для показателей изоэнтальпы

Наименование Показатель kH Показатель sH Показатель SH

Переменные p, V, zT Р, V/z, T p/z, V, T

Определения показателей kH, 8н, 5н кн -V. г p V кн -1 Р dp Л dV )h d( zT) I H H е H -1 _ P е H T _ (V/z) К 1 dp 5Я -1 _- - H T 5 _ -H (p/z) 5h -1 _ (p/z) 5 h T -Г ] 1Э-Jh d( plz) Э- _ " dT _ d( plz) H H

кн (zT) кн -1 = -V- (zT) dp Г Э( zT) е H P V е 1 (V/z d(V/z)Jh )Г dT ]

_ dV L9(V/z) J H

Связи с характеристическими функциями U, S кн_T (dS_ ] p IscJh kH -1 _ 1 ( dU"] kH V l dP L kH -1 _ к f dU 1 P lд¥)н кн T f dS кн -1 zR [ Э(zT) )h е _ T ( ds ) H zP l)H е h _ T (dS ^ еh -1 zR ^ dT )h 5 kHz^ f Plz) \ H T 1 Э5 8„ - , = -r(kH -1) (£)H

Связь с показателями изоэнтропы es _es -1 _ ks H _ 5s ~5, 5s -1 kH -1 _ 1 1 kH es ks ен -1 _е5 -1 ен £s 1 1 1 (a/a o) J -1 ■ (V I1 - («К))

Обобщенные уравнения Пуассона pV _ pV (zT)k (zT) k-1 k-1 Pi P 2 (Z1T1V-1 _ (z2T2 Vk-1 Pi(Vi/Z1)E _ Pl(Vl/z2)е yS у £ T1 _ T 2 pT1 p2-1 T1(Vi/ Zi) *-1 _ T2 (V2/ z2f-1 (PilZ1)V~S_ (pjZVf T 5 T ^ T1 _ T2 (Pl/ZI)5- (P2I Z2)S-1 tv_TV5-1 1Y1 Jr2

Расчетные формулы через термические коэффициенты и теплоемкости еh -1 zR((a/a0)-1) s ! ^«(VYo) fj 1 ^

#V rr H C¥ (^p0) + zR(Yh0) H Cr + zR(Y/Yo) ^ (a«o) J

№ 4 (15) / 2013

138

Научно-технический сборник • ВЕСТИ ГАЗОВОЙ НАУКИ

На рис. 1 и 2 в качестве иллюстрации приведены графики двух показателей изоэнтальпы метана (расчет проведен по многоконстантному уравнению состояния метана [3], рекомендованному Росстандартом РФ).

Далее перейдем к рассмотрению неизотермической фильтрации газа. Теория неизотермической фильтрации природного газа разрабатывалась многими специалистами (Б.Б. Лапук, Э.Б. Чекалюк, Э.А. Бондарев и др. [4-6]). В развиваемом ниже подходе ис-

пользуются два показателя изоэнтальпы кн, ен. Показатель кн связывает давление и объем одного моля газа при его изоэнтальпийном течении, а показатель ен - давление и температуру газа. При этом кн применяется вместо коэффициента сжимаемости газа z, а ен - вместо

коэффициента Джоуля-Томпсона |Л =

Разумеется, с формально-математической точки зрения применение двух показателей изо-

Рис. 1. Зависимость показателя изоэнтальпы кн от температуры и давления

Рис. 2. Зависимость показателя изоэнтальпы % от температуры и давления

№ 4 (15) / 2013

Проблемы эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений

139

энтальпы кн, ен или же коэффициентов Джоуля-Томпсона д и сжимаемости z (взятых вдоль изо-энтальпы) эквивалентно. Однако следует отметить некоторое преимущество использования кн, ен: эти показатели достаточно мало меняются вдоль изоэнтальпы, особенно ен (его изменение вдоль изоэнтальпы меньше, чем коэффициента д). Это дает возможность получать достаточно точные приближенные решения, причем в простом и наглядном виде.

Как известно, академик Л.С. Лейбензон [5] провел линерализацию уравнений фильтрации не только для идеального, но и для политропного газа. Причем под определением политропного газа как раз и понималось уравнение типа (3), выражающее степенную связь плотности газа с давлением. Позже Г.И. Баренблатт [6] и другие авторы также рассматривали уравнение фильтрации политропного газа.

Следует подчеркнуть, что соотношения (2)-(4) для задачи неизотермической фильтрации газа полностью заменяют (автоматически учитывают) уравнение H = const и одновременно термическое уравнение состояния газа. При этом термодинамическая часть задачи максимально полно «отделяется» от фильтрационной части, которая сводится к течению политропного газа с уже известным показателем кн, полученным из решения термодинамической части задачи (кн определяется «вдоль изоэнтальпы» как функция давления или температуры дросселирующегося газа). Что же касается функциональной связи температуры и давления газа при его неизотермической фильтрации, то она определяется из соотношения

£н —1 = Р_ ( дТ_

£ н Т I дР

грируется с получением соотношения (5).

Таким образом, задача неизотермической фильтрации газа сведена к решению задачи фильтрации политропного газа с показателем политропы, равным показателю изоэнталь-пы кн (с учетом зависимости кн от давления газа вдоль изоэнтальпы). Разумеется, при получении приближенных решений приходится осреднять физические свойства газа, например его вязкость, а также показатели изоэнтальпы (чего не требуется при численной реализации фильтрационной задачи).

Предложенная переформулировка задачи неизотермической фильтрации газа допускает удобные в практическом отношении прибли-

женные решения применительно к течению реального газа в призабойной зоне пласта (ПЗП). Например, если рассматривать неизотермическую фильтрацию реального газа к одиночной скважине при пластовом давлении рш и депрессии на пласт Ар = рпл - рзаб с использованием линейного закона Дарси или же двучленного закона, то приближенные решения задачи будут иметь близкий вид, как и для случая изотермической фильтрации реального газа. Изменяется лишь степень у давления газа р. Точнее, для получения приближенных решений задачи неизотермической фильтрации газа во всех приближенных соотношениях для изотермической фильтрации газа следует формально коэффициент сжимаемости z заменить на едини-

&н+1

о к

цу, а вместо р2 использовать величину p н , где кн - показатель изоэнтальпы.

Приведем соответствующие соотношения для случая фильтрации газа к совершенной скважине.

Стационарное распределение давления в радиальном направлении от скважины p(R) может быть представлено в виде

I- ( R ^ I- nl+1kH — nl+1kH R

Р H I -5- I = P+s + —-----R^~ ’ (18)

V RcKe ) Jn Rrm RCKe

RcKe

где RCKe - радиус скважины; R^ - радиус контура питания кругового пласта, на котором пластовое давление остается невозмущенным.

Уравнение притока к совершенной скважине может быть выражено формулой (для фильтрации по закону Дарси)

р1:1Гкн — px+JkH = aq, (19)

а при переходе к двучленному закону фильтрации в правой части (19) добавляется слагаемое BQ2:

p':'/Ih — p':fH = AQ + BQ2, (20)

где Q - дебит скважины; А и В - фильтрационные параметры.

Для степенного закона фильтрации:

plll'ktt — Pl++fH = AQn. (21)

Следует иметь в виду, что, например, определяемые по соотношению (20) параметры А и В оказываются перекалиброванными (т.е. они

, которое приближенно инте-

н

№ 4 (15) / 2013

140

Научно-технический сборник • ВЕСТИ ГАЗОВОЙ НАУКИ

изменяются по сравнению с параметрами, получаемыми традиционным способом, когда при обработке промысловых данных по исследованиям скважин в соотношениях используются осредненный коэффициент сжимаемости и квадрат давления). Необходимо подчеркнуть, что в (19)—(21) неизотермичность течения газа в ПЗП автоматически учитывается. Нетрудно заметить, что данный подход обобщается и на газоконденсатные скважины, а также на учет конденсации паров воды из газа в призабойной зоне.

Для частного случая идеального газа показатель кн = 1, следовательно, в формулах (19)-(21) давление газа получается в квадрате, как и должно быть. Таким образом, имеет место предельный переход к соотношениям изотермической фильтрации для идеального газа. Реальный газ с повышением его давления становится малосжимаемым флюидом, при этом показатель изоэнтальпы кн растет (см. рис. 1), т.е. осуществляется постепенный переход от модели фильтрации идеального газа к модели фильтрации малосжимаемой, а затем и практически несжимаемой жидкости. При этом показатель степени у давления, равный 1 + 1/кн, уменьшается от 2 и в пределе стремится к 1, следовательно, реализуется плавный переход «от газа к нефти». На рис. 3 приведен рассчитанный комплекс 1 + 1/кн для достаточно высоких давлений метана.

Например, для природных газов месторождений Южной Якутии при начальном пластовом давлении 13-15 МПа кн ~ 1,25-1,30, а показатель степени у давления (1 + 1/кн) ~ 1,8. Для термобарических условий залежи Ковыт-кинского месторождения (1 + 1/кн) ~ 1,5—1,6.

Таким образом, в общих чертах развит альтернативный подход к описанию неизотермической фильтрации газа в окрестности скважины, в котором используются два показателя изоэнтальпийного процесса (показателя изоэнталь-пы). При этом аналитический аппарат теории неизотермической фильтрации упрощается: задачи изотермической и неизотермической фильтрации оказываются практически одинаковыми по сложности. Можно сказать, что применение показателей изоэнтальпы позволяет в некотором смысле «разделить» термодинамику и газодинамику: уравнение фильтрации сразу записывается «вдоль изоэнтальпы», т.е. неизотермичность фильтрационного течения учитывается по существу автоматически. Кроме того, устраняется имеющаяся нелогичность в методиках обработки гидрогазодинамических исследований нефтяных и газовых скважин на стационарных режимах: при фильтрации нефти используется зависимость разности пластового и забойного давлений как функции дебита, а при фильтрации газа - разности квадратов давлений (в том числе и при высоких давлениях, когда газ становится малосжимаемым флюидом).

Рис. 3. Зависимость комплекса 1 + 1/kH от температуры и давления

№ 4 (15) / 2013

Проблемы эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений

141

Предложенный неизотермический подход целесообразно применять для обработки газодинамических исследований скважин на стационарных режимах фильтрации при давлениях газа в залежи выше 20-25 МПа, например для начального периода разработки ачимовских и валанжинских залежей Западной Сибири, залежей Иркутской области, а также месторождений Прикаспийской впадины.

Список литературы

1. Истомин В.А. Показатели изоэнтропы реального газа: определения и основные соотношения / В.А. Истомин // Журнал физической химии. - 1997. - Т 71. - № 6. -С. 998-1003.

2. Истомин В.А. Показатели изоэнтропы реального газа: особенности их применения

в термогазодинамике / В.А. Истомин // Журнал физической химии. - 1998. - Т 72. - № 3. -С. 212-218.

3. Сычев В.В. Термодинамические свойства метана / В.В. Сычев, А.А. Вассерман,

В.А. Загорученко и др. - М.: Изд-во стандартов, 1979. - 348 с.

4. Бондарев Э.А. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа / Э.А. Бондарев,

В.И. Васильев, А.Ф. Воеводин и др. -Новосибирск: Наука, 1988. - 272 с.

5. Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде /

Л. С. Лейбензон. - М.; Л.: ОГИЗ, Гостоптехиздат, 1947. - 244 с.

6. Баренблатт Г.И. Теория нестационарной фильтрации / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов,

В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1972. - 288 с.

№ 4 (15) / 2013