CC BY
29
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 2 (2011). С. 87-90.
УДК 517.9
НЕИЗОМОРФНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ, ДОПУСКАЕМЫЕ МОДЕЛЯМИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
С.В. ХАБИРОВ
Аннотация. Групповая классификация уравнений газовой динамики по уравнению состояния состоит из 13 типов алгебр Ли различных размерностей от 11 до 14. Некоторые типы зависят от параметра. Оказывается, пять пар алгебр эквивалентны. При этом преобразования эквивалентности для алгебр содержат преобразования эквивалентности для уравнений газовой динамики. В результате проверки на эквивалентность получилось девять неизоморфных алгебр Ли различной структуры. Один тип имеет 3 разные структуры при разных значениях параметра. Каждая из этих алгебр Ли представлена в виде полупрямой суммы шестимерного абелевого идеала и подалгебры, которая, в свою очередь, разбита в полупрямую или прямую сумму. Оптимальные системы для подалгебр построены. Добавление абелевого идеала при построении оптимальной системы сделано в шести случаях. Остается три алгебры Ли размерностей 12, 13, 14, для которых оптимальная система не построена.
Ключевые слова: газовая динамика, алгебра Ли, преобразование эквивалентности, ортимальная система
Уравнения газовой динамики таковы
рБи + Ур = 0, Бр + рУ ■ и = 0, Бр + р/рV- и = 0, ББ = 0 (1)
с уравнением состояния общего вида р = f (р, Б), Б = д* + и -V, и, р, р, Б — скорость,
давление, плотность, энтропия.
Преобразования эквивалентности системы (1) не изменяют систему (1), а лишь изменяют уравнение состояния:
р' = д(р,Р,Б), р' = Н(р,р,Б), Б' = к(р,р,Б), р' = f'(р',Б'). (2)
Утверждение 1. Преобразования эквивалентности системы (1) имеют вид
р' = ар + Ь, р' = ар, Б' = К (Б), f' (ар, К (Б)) = af (р,Б) + Ь. (3)
где а, Ь — произвольные постоянные, К (Б) — произвольная функция.
Доказательство. В систему (1) с переменными р', р', Б' подставим выражения (2). В силу (1) получим равнества
9р = ¡р (Нр- - Яр) , Яя = ¡я (Нр- - др) , кр + ¡р кр = 0, Нр + /ркр = р-1Н, д = У(Н,к).
S.V. Khabiroy, Nonisomorphic Lie algebras admitted by gasdynamic models.
© ХАвиров С.В. 2011.
Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-00026-а, 11-01-00147-а) и Советом по грантам Президента РФ для государсвтенной поддержки научных школ (№НШ-4368.2010.1).
Поступила 25 марта 2011 г.
Решение уравнений имеет вид
к = К (І,Б), д = рС1(І) + С2(І), к = рЄ1(І), I = р — Г (р,Б), г (рО^І),К(I, Б)) = (І + f (р, Б)) Сі(І) + 02(І).
Полагая І = 0, а = С1(0), Ь = Є2(0), К (0, Б) = К (Б), получаем формулы (3).
Система (1) с произвольным уравнением состояния допускает 11-мерную алгебру Ли Ьц, базис которой в декартовой системе координат задается следующими операторами Хі = Зхі, Хз+і = гдхі + ди\ Х6+і = (х3хк + и3дик), і = 1,2,3, Хю = дь,
Хіі = Ьді + х3дхі. Для специальных уравнений состояния алгебра Ь11 расширяется [1]. Расширения с точностью до преобразований (3) представлены в таблице, где Уо = Ьдь — иідиі, У?(р) = р^'(р)др + <р(р)др, <р, Г — произвольные функции, 7, 71 = 27('у — 1)-1 — параметры, к — размерность алгебры.
№ Р = Г (Р,Б) к Дополнительные операторы
1 Г (Р,Б) 11 —
2 Р1 Г (БР) 12 Уо — (71 — 2)рдр — 71 рдр, 71 = 0, 2
3 р} (Бр) 12 уР
4 Г (Бр) 12 У0 + 2рдр = Х12
5 Б} (Р) 12 уо + 2рдр
6 Бр1 13 Уp, уо + 2рдр
7 Бр5/3 14 Ур, Уо + 2рдр, XіХз+і + ¿(У0 — 3рдр — 5рдр) = Z
8 1п р + } (рБ) 12 Уо + 2 рдр + 2др
9 Г (р) + Б 12 У1
10 р + Б 13 У1, Уо — (71 — 2)рдр — 71рдр, 7 = 0, ±1
11 р + Б 13 У1, Ур
12 1п р + Б 13 У1, Уо + 2рдр
13 Б то У<р(р), Уо + 2рдр
Для построения различных подмоделей системы (3) необходимо перечислить неподобные подалгебры алгебр Ли из таблицы расширений (оптимальная система). Подалгебры изоморфных алгебр изморфны. Поэтому сначала определим неизоморфные алгебры из таблицы расширений.
Утверждение 2. [2]. Конечномерные подалгебры алгебры = |Х^(Р)} подобны следующим {У:}, {У1,УР}, {У1,Ур,Ур2}.
Утверждение 3. Таблица неизоморфных конечномерных алгебр Ли такова
Таблица 1.
Г(р, Б) Ь11
Г (Бр) Г (р) + Б Бр1 р + Б р-1 + Б р1/3 + Б р + Б Бр5/3 Б {Уо + 2рдр}® ¿11 {У1} ф ¿11 {Уp, Уо + 2рдр}Ф¿11 {У1,Уо — (71 — 2)рдр—— 71 рдр}(Ф¿11 = М1г, 71 = 0, ±1 {уъ уо + рдр — рдр}ф Ьц = М1 {У1,У + 3рдр + рдр }Ф Ьц = М-1 {У1,Ур}Ф ¿11 _ {X10, X11, Ур, уо + 2рдр, Z }Ф ¿9 = ¿14 {У1,Ур,Ур2}Ф ¿11
Здесь Ь9, Ь11 — идеалы, ф — полупрямая сумма, ф — прямая сумма идеалов.
Доказательство. Алгебра Ли N = 3' с дополнительным оператором Ур/ = р'др + р'др для уравнения состояния р' = р'/' (Б'р') эквивалентна алгебре Ли N = 9 с дополнительным оператором У1 = др для уравнения состояния с разделенным в сумму давлением
р = /(р) + Б. В этом можно убедиться, сделав замену р = Р, р = 1пр', 5 = — 1пБ',
р'
/ (/'(т)) = 1п(т/'(т)). Замена согласована с уравнением состояния, но изменяет второе уравнение системы (1):
Б1пр = Б1п /'(т) = т/Т (/'(т))-1 Б1пр', т = Б'р'.
Алгебра Ли N = 2' с дополнительным оператором У0 — (71 — 2)р'др> —71р'др/ для уравнения состояния р' = р'1 /' (Б'р') эквивалентна алгебре Ли N = 4 с дополнительным оператором Уо + 2рдр для уравнения состояния с разделенной в произведение плотностью р = /(Бр).
В этом можно убедиться, сделав замену р = р'р = р'р'-1, Б = Б'1, /'(т) = / ^т^.
Замена согласована с уравнением состояния, но изменяет второе уравнение системы (1) Б 1п р = 1Б 1п р'.
Алгебра Ли N = 5' с дополнительным оператором У0 + 2р'др' для уравнения состояния р' = Б'/' (р') эквивалентна алгебре Ли N = 4 с дополнительным оператором УО + 2рдр для уравнения состояния с разделенной плотностью р = /(Бр). Замена р = р', р = р', Б = Б'-1, /' (/(т)) = т согласована с уравнениями состояния, но изменяет второе уравнение системы
(1) Б1пр = т/Т (/(т))-1 Б1пр, т = р'.
Алгебра Ли N = 8' с дополнительным оператором УО + 2р'др + 2др для уравнения состояния р' = 1п р' + /' (р'Б') эквивалентна алгебре Ли N = 4. Преобразование эквивалентности таковы: р = р' — 1пр', р = р', Б = Б', /(т) = /'(т). Замена согласована с уравнениями состояния, но изменяет первое уравнение системы р-1 V р = р'-1 V р' — р'-2 V р'.
Алгебра Ли N = 12' с дополнительными операторами У1 = др, У0 + 2р'др для уравнения состояния р' = 1п р' + Б' эквивалентна алгебре Ли N = 6 с дополнительными операторами Ур = рдр + рдр, У0 + 2рдр для уравнения состояния политропного газа р = Бр7. Преобразования эквивалентности имеют вид р = ер', р = р'ер', Б = е(1-^я'. Замена согласована с уравнениями состояния только при 7 = 2 и изменяет только второе уравнение системы (1) Б 1п р = 2Б 1п р'.
Другие пары алгебр Ли из таблицы расширений не эквивалентны и неизоморфны, как это видно из разложений этих алгебр в полупрямые или прямые суммы.
Системы подалгебр для алгебр М1г, 71 = ± 1, М1, М-1 различаются друг от друга [3]. Для постоения оптимальных систем неизоморфных конечномерных алгебр Ли удобно разложить их в полупрямые суммы, у которых одним из слагаемых является абелев идеал
Зб = {Х1,.. .,Хб} (З = {Х7 ,Х8,Х9}):
Ь11 = (З3 ф{Х10,Х11}) фЗ6
{Х12}фЬ11 = З ф ^{Х10}ф{Х11, Х12})^фЗ6 [4], {У1} ф Ь11 = ^3 ф ({Х10,Х11} ф {У1})^фJ6,
{УР,Х12}фЬ11 = ^ (¿3 ф ^{Х10}ф{X11, Х12}^ ф {Ур}^ фЗ6 ^
(З3 ф {yl, У0 — (71 — 2)рдр — 71рдр}) ф{Х10,Х11^ (ВЗ6 [3],
{У1,Ур} ф Ь11 = (¿3 ф {Х10,Х11} ф {yl, ^}^ фJ6,
L14 — J3 0{X1O,X11 ,X\2,Z }0{Yp}^0 J6 [6],
{Yi,Yp,Yp2 } 0 Lu — J 0 {Xio,Xii} 0 {Yi,Yp,Yp2 })0 ¿6-
Для алгебры Ли со ссылками оптимальные системы построены. Оптимальные системы подалгебр — дополнений к абелеву идеалу J6 приведены в [2].
Итак, осталось закончить построение оптимальных систем для трех разложений, которые не найдены в научной литературе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Овсянников Л.В. Программа подмодели. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 3055.
2. S. Khabirov Optimal systems of symmetry subalgebras for big models of gasdynamics // Sel§uk Journal of Applied Mathematics. 2002. Vol. 3, № 2. P.65-80.
3. Хабиров С.В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. Препринт института механики УНЦ РАН. Уфа. 1998. 33с.
4. Макаревич Е.В. Оптимальная система подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае уравнений состояния с разделенной плотностью // Сибирские электронные математические известия. 2011. Т. 2. С. 19-38. (http://semr.math.nsc.ru)
5. Головин С.В. Оптимальная система подалгебр для алгебры операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае политропного газа. Препринт № 5-96. РАН. Сибирское отделение. Институт гидродинамики. Новосибирск. 1996. 31с.
6. Черевко А.А. Оптимальная система поалгебр для алгебры операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае уравнения состоняия p = f (S)р5/3. Препринт № 4-96. РАН. Сибирское отделение. Институт гидродинамики. Новосибирск. 1996. 39с.
Салават Валеевич Хабиров,
Учреждение Российской академии наук
Институт механики Уфимского научного центра РАН,
Проспект Октября, 71,
450054, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
