Неголономная гиперплоскость в четырёхмерном евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 3(4)

УДК 514.752

Н.М. Онищук

НЕГОЛОНОМНАЯ ГИПЕРПЛОСКОСТЬ В ЧЕТЫРЁХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В Е4 рассматривается неголономное гиперраспределение частного вида, называемое неголономной гиперплоскостью, и векторное поле его нормалей. Доказано, что существует только одна неголономная гиперплоскость в Е4.

Она не имеет особых точек. Найдено её уравнение в неподвижной системе координат. Изучены также (в целом) голономные распределения, инвариантно связанные с неголономной гиперплоскостью.

Ключевые слова: распределение, неголономная геометрия, векторное поле.

Гиперраспределение в Е4 - это гладкое отображение, сопоставляющее всякой точке МеЕ4 гиперплоскость п3, проходящую через М [1. С. 683]. По такому распределению однозначно определяется уравнение Пфаффа, все интегральные кривые и поверхности которого, проходящие через М, касаются в этой точке плоскости п3. Распределение называется голономным (или инволютивным), если соответствующее уравнение Пфаффа вполне интегрируемо, и - неголономным в противном случае [2. С. 56].

Исследование ведётся методом внешних форм Картана [3] с использованием подвижного репера.

К каждому элементу (М, п3) гиперраспределения присоединим ортонормиро-

ванный репер (М, еа) (а = 1,4). Пусть г - радиус-вектор точки М, а е4 - вектор, ортогональный п3 в точке М. Деривационные формулы репера запишем в виде

& = ю“ е„,

- в-. (°Л)

Леа =< ев,

где ©0, = -ю^ и, кроме того, формы Пфаффа юа, подчиняются уравнениям

структуры евклидова пространства:

1 а В а

а ю =юнлюр,

а ®а=< л®в> (о.2)

(а, в, у = 1,4).

Ясно, что по гиперраспределению {М, п3} определяется единственное векторное поле {М, е4} и, наоборот, по векторному полю {М, е4 } определяется единственное гиперраспределение, ему ортогональное. Главными формами [3. С. 288] можно считать формы юа, ю44. Множество плоских элементов (М, п3) является четырёхмерным многообразием, поэтому формы юа образуют базис, а будут их

линейными комбинациями:

= Аа Ю. (0.3)

Матрица

(А) =

г а А3 А

А2 А2 Аз2 4

А3 а2 Аз3 А3 а4

1 0 0 0 0

(0.4)

совпадает с матрицей линейного оператора А, определяемого формулой А (йг) = йе4 и называемого основным линейным оператором [4. С. 61]. Все инварианты оператора А являются инвариантами гиперраспределения и ортогонального ему векторного поля.

1. Вектор неголономности гиперраспределения

При данном выборе репера по распределению (М, п3} однозначно определяется уравнение Пфаффа

ю4 = 0, (1.1)

все интегральные кривые (поверхности) которого, проходящие через точку М, касаются плоскости п3 и называются кривыми (поверхностями) распределения. Найдём условие, при котором уравнение (1.1) вполне интегрируемо. Используя (0.2) и (0.3), находим

йю4 лю4 = ((А - А)ю' л ю2 + (А - А32)ю2 лю3 + (А - А )ю3 л ю1)л ю4 •

Отсюда следует, что распределение (М, п3} голономно лишь тогда, когда

А = А2, Аз2 = А3, А3 = 4. (1.2)

Заметим, что оператор А переводит всякий вектор плоскости п3 в вектор этой же плоскости. Поэтому можно рассматривать оператор А с матрицей

(Л/) (г,у = 1,2,3), являющийся сужением оператора А на плоскость п3. Разложим

оператор А* на сумму симметричного оператора В* и кососимметричного оператора В, имеющих матрицы с элементами соответственно

в*/ = 2(Л/ + А), в/ = 2(Л/ - А). (1.3)

Сравнивая (1.2) и (1.3), заключаем, что необходимым и достаточным условием голономности гиперраспределения (М, п3} является обращение в нуль кососимметричного тензора В. Тензор В имеет только три существенные компоненты

Рі = ^(42 - А3), Р2 = 2(Л3 - 4), Рз = 2(4 - 4). (1.4)

Построим инвариантный вектор

р = Р‘ еі (1.5)

и назовем его вектором неголономности.

Таким образом, распределение (М, п3} голономно тогда и только тогда, когда р = 0. В дальнейшем рассматривается только неголономное распределение (М, п3}, для него р Ф 0.

2. Главные кривизны 1-го и 2-го рода. Линии кривизны 1-го и 2-го рода

Собственные значения оператора А*, взятые с противоположными знаками, называются главными кривизнами 2-го рода, а его собственные векторы - главными направлениями 2-го рода [4. С. 62]. След Н2 матрицы оператора А называется средней кривизной 2-го рода. Очевидно, что

Н2 = к(2) + 42) + к3(2), (2.1)

где к}2) - главные кривизны 2-го рода. Определитель матрицы оператора А* называется полной кривизной 2-го рода и обозначается К2:

К 2 =-к<12)к(()к(32). (2.2)

Аналогично, главные кривизны 1-го рода к®, к®, к® - это взятые с противоположными знаками собственные значения оператора В*, а главные направления

1-го рода совпадают с направлениями собственных векторов данного оператора [4. С. 63]. Средняя кривизна 1-го рода # есть след матрицы оператора В :

Н1 = к® + к® + к3(1). (2.3)

Определитель К1 матрицы оператора В* называется полной кривизной 1-го рода:

К1 = -к® к® к3(1). (2.4)

Средние кривизны 1-го и 2-го рода совпадают #1=#2. Обозначим Н1=#2=Н.

Полные кривизны 1-го и 2-го рода связаны следующей зависимостью [4. С. 64]:

К = к - (р1 )2 к(1) - (р2 )2 к® - (р3 )2 к3(1).

Таким образом, если гиперраспределение в Е4 голономно, «о для него полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают. Однако из того, что полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают, ещё не следует голономность распределения.

3. Асимптотические линии. Неголономная гиперплоскость

Определение!. Линия гиперраспределения называется асимптотическом линией, если в каждой точке линии её нормальная кривизна равна нулю.

Для того чтобы линия гиперраспределения {М, п3} была асимптотической, необходимо и достаточно, чтобы она или была прямой, или имела в каждой точке своей 2-мерную соприкасающуюся плоскость, принадлежащую плоскости п3. Следовательно, для асимптотических линий должно выполняться условие

^ 2 г, ^, ?2, ё3^ = 0.

Отсюда, используя формулы (0.3), получаем дифференциальные уравнения асимптотических линий:

А/ (ю1 )2 + (ю2 )2 + А33 (ю3 )2 + (А-1 + А2 )ю1ю2 +

+(А32 + А-3 )ю2ю3 + (А3 + А/3 )ю3ю1 = 0, (3.1)

ю4 = 0.

Определение 2. Неголономной гиперплоскостью называется неголономное гиперраспределение, все кривые которого представляют собой асимптотические линии.

Из (3.1) видим, что условия

А1 = = А33 = 4 + А2 = А32 + А = А + А3 = 0 (3.2)

характеризуют неголономную гиперплоскость. Из (1.4) и (3.2) получаем р1 = А3, р2 = А, р3 = А. В силу чего матрица оператора А* примет вид

( п „3 2 л

0 3 р р -

-р3 0 р1

2 р -р1 0

Так как характеристический многочлен для этой матрицы имеет степень 3, то, по крайней мере, один его корень - вещественный. Ему соответствует главное направление 2-го рода. Направим вектор е1 по этому направлению, тогда получим

р2 = р3 = 0, р1 Ф 0. Теперь характеристический многочлен оператора А* примет вид

-X 0 0

0 -X р1

0 -р1 -X

= 0

(3.3)

или Х(Х2 + (р1 )2) = 0. Отсюда заключаем: неголономная гиперплоскость имеет только одну вещественную кривизну 2-го рода к1(2) = 0 и одно главное направление 2-го рода (направление вектора е), совпадающее с направлением вектора не-голономности р = р1е1. Из сказанного выше следует также, что для неголономной гиперплоскости имеем К = К2 = Н = 0 , при этом все главные кривизны 1-го рода имеют нулевые значения.

Обозначив р1 = р, А4 = а, А = Ь, А = с , приведём формулы (0.3) к виду

1 4

ю4 = аю ,

2 3 7 4

Ю4 = рю + Ью ,

3 2 4

Ю4 = -рю + сю .

(3.4)

В формулах (3.4) величины а,Ь,с - это координаты вектора кривизны линии тока векторного поля {М, е4}.

Покажем, что для неголономной плоскости вектор кривизны линии тока данного поля не может обращаться в нуль ни в одной точке М. То есть линии тока не могут быть прямыми. Действительно, при а=Ь=с=0 формулы (3.4) примут вид

ю4 = 0,

2 3

ю4 = рю ,

3 2

ю4 =-рю .

Внешнее дифференцирование данных форм приводит к равенству d рлю3 + рю3 лю1 - рю4 лю2 = 0.

Отсюда следует, что р = 0. То есть это возможно лишь для голономного распределения.

Аналогично можно показать, что для неголономной гиперплоскости не имеет место равенство а = Ъ = 0. Это значит, что соприкасающаяся плоскость векторного поля нормалей не может совпадать с плоскостью х2 = х3 = 0.

Доказанные предложения позволяют для любой неголономной гиперплоскости выбрать подвижной ортонормированный канонический репер следующим образом: вектор е1 направить по главному направлению 2-го рода, вектор е2 выбрать так, чтобы он был коллинеарен составляющей вектора кривизны линии тока поля {М, е4} в плоскости, ортогональной е1, то есть был бы коллинеарен вектору Ье2 + се3. Тогда получим с = 0, Ъ Ф 0. При таком выборе канонического репера формулы (3.4) будут иметь вид

1 4

ю4 = аю ,

ю4 = рю3 + Ью4, (3.5)

3 2

Ю4 = —рю ,

где р Ф 0, Ъ Ф 0, ре1 - вектор неголономности, ае1 + Ъе2 - вектор кривизны линии тока векторного поля нормалей неголономной гиперплоскости. Продолжим систему (3.5), в результате получим

2 2 3

— раю (Х23Ю ,

ра>3 — -раю3 + а13ю4,

п 1 О О О 'З 4

Ъю2 —-а23ю — в12ю + (а -р )ю +ую ,

1 р — арю1 + 2Ърю2 +Р12ю4, (3.6)

і 2 1 2 3 / Ъ . 4

1а — а ю + а^ю +а23ю + (а33 —а23)ю ,

р

1Ъ — (аЪ — а13 )ю1 +(а2 + Ъ2 —р2 )ю2 + Р12ю3 + Рю4.

Теорема. В четьгрёхмерном евклидовом пространстве существует единственная неголономная гиперплоскость.

Доказательство. Внешнее дифференцирование системы (3.6) и применение к полученному результату леммы Картана [3] приводит к следующим условиям на инварианты:

а = 0, а13 = а23 = а33 = Р12 = Р = 0, у = -Ьр.

После этого система (3.5), (3.6) принимает вид

ю4 = о,

2 3 7 4

Ю4 = рю + Ью ,

3 2

Ю4 =-рю ,

ю2 = 0,

3 (3.7)

ю1 = 0,

Ью2 =-рю3-Ьрю4,

dр = 2Ьрю2,

^Ь = (Ь2 -р2)ю2.

Нетрудно проверить, что система (3.7) вполне интегрируема. Её решение имеет параметрический произвол, а следовательно, неголономная гиперплоскость является единственной с точностью до постоянной. ■

4. Геометрические свойства неголономной гиперплоскости и ортогонального ей векторного поля

Неголономная гиперплоскость, как было показано выше, характеризуется нулевыми значениями всех главных кривизн 1-го рода. Всякая её кривая является асимптотической линией, а всякое направление плоскости п3 - главным направлением 1-го рода. Последнее означает, что линии кривизны 1-го рода для неголономной гиперплоскости не определены. Также было показано, что через каждую точку М проходит одна линия кривизны 2-го рода.

Предложение 1. Линии кривизны 2-го рода неголономной гиперплоскости представляют собой прямые линии.

Доказательство. Вектор el канонического репера направлен по касательной к

линии кривизны 2-го рода. Из (3.6) для него имеем dex = 0. Следовательно, вектор e - постоянный вектор, а линии кривизны 2-го рода - прямые линии. ■

Определение. Эквидирекционной линией (поверхностью) называется линия (поверхность), в точках которой векторы нормали гиперраспределения коллине-арны [5. C. 32].

Предложение 2. Пусть в областuGeЕ4 задана неголономная гиперплоскость. Тогда через каждую точку Me G проходит одна эквидирекционная поверхность, представляющая собой 2-мерную плоскость, проходящую через линию кривизны

2-го рода.

Доказательство. Векторы нормалей неголономной гиперплоскости параллельны лишь тогда, когда de4 = б, то есть когда ю4 = ю4 = ю4 = 0. Отсюда, в силу (3.6), имеем

рю3 + Ью4 = 0, (4 1)

ю2 = 0.

Система (4.1) вполне интегрируема. Следовательно, через каждую точку М проходит 2-мерная интегральная поверхность, являющаяся эквидирекционной поверхностью. А так как линии кривизны 2-го рода определяются уравнениями ю2 = ю3 = ю4 = 0, то это значит, что эквидирекционная поверхность содержит линию кривизны 2-го рода, проходящую через соответствующую точку М. Покажем, что эквидирекционные поверхности представляют собой 2-мерные плоскости. Действительно, касательная плоскость эквидирекционной поверхности в точке М относительно подвижного репера {M, ег} имеет уравнения

рх3 + Ьх4 = 0, 2)

х2 = 0.

При смещении по поверхности (4.1) эта плоскость остаётся неподвижной, что возможно лишь тогда, когда сама эквидирекционная поверхность является 2мерной плоскостью. ■

С неголономной гиперплоскостью {M, п3} инвариантно связано распределение {M, п3}, ортогональное векторному полю {M, et} главных направлений 2-го рода

гиперплоскости {M, n3I. Уравнение Пфаффа для {M, %ъ1 - это уравнение ю1 = 0. Так как dю1 = 0, то распределение {M, п31 голономно и, следовательно, Е4 расслаивается на однопараметрическое семейство трёхмерных поверхностей S3, для которых линии кривизны 2-го рода (прямые) неголономной гиперплоскости являются нормалями. Таким образом, векторное поле {M, e11 есть поле нормалей поверхностей S3.

Предложение 3. Всякая поверхность S3 представляет собой плоскость, совпадающую с плоскостью П3.

Доказательство. Для доказательства предложения достаточно показать, что касательная плоскость к S3 не меняется вдоль этой поверхности. Действительно, касательная плоскость к S3 имеет в каноническом репере уравнение

x1 = О.

Характеристика этой плоскости определяется системой

Xі = 0, «2 X2 + « X3 + «4 X4 + « = 0.

Второе уравнение при ю1 = О (а поверхность S3 - это интегральная поверхность уравнения ю1 = О) в силу (З.б) выполняется тождественно. Следовательно, плоскость х1 = О неподвижна при движении точки по поверхности S3. То есть S3 представляет собой трёхмерную плоскость, совпадающую с плоскостью п*3. ■

Предложение 4. Линии тока векторного поля нормалей неголономной гиперплоскости являются винтовыми линиями, лежащими в трёхмерных *

плоскостях П3.

Доказательство. Линии тока векторного поля {M, e4 I определяются системой уравнений Пфаффа

ю1 = ю2 = ю3 = О.

Заметим, что ю4 = ds, где s - длина дуги линии тока векторного поля. Используя формулы (З.б), находим

de4 = be2,^ = d-e2 -pe3. (4.3)

ds ds2 ds

Все производные более высокого порядка не содержат вектора ех, то есть лежат в плоскости ПЗ. Так как Є4 - касательный вектор линии тока, то из (4.3) видим, что b - кривизна линии тока, Є2 - вектор главной нормали, е3 - вектор бинормали. Кроме того, имеем

de2 ^

— = -be4 — рез.

ds

Следовательно, (—р) - кручение кривой. Из (З.б) для линии тока получаем b = const Ф 0, p = const Ф 0. Данным свойством обладают только винтовые линии. Итак, линии тока векторного поля нормалей гиперплоскости - это винтовые ли*

нии, лежащие в трёхмерных плоскостях П3. ■

Векторы е2 и е3, в свою очередь, образуют векторные поля {М, е2 } и {М, е3}. Покажем, что ортогональные им распределения голономны.

Уравнение Пфаффа, соответствующее распределению, ортогональному {М, е2 }, имеет вид

ю2 = 0.

Это уравнение вполне интегрируемо, а соответствующее распределение голо-номно, так как 1 ю2 = 0. Голономным является также и распределение, ортогональное векторному полю {М, е3}, в силу того, что dю3 лю3 = 0. Вид поверхностей, на которые расслаивается Е4 в обоих случаях, исследуем ниже.

Переходим к глобальному нахождению неголономной гиперплоскости, её инвариантных линии и поверхностей. Для этого проинтегрируем систему уравнений Пфаффа (3.6), полная интегрируемость которой была доказана выше. Прежде всего находим внешние дифференциалы базисных форм. Имеем

dю1 = 0, dю2 = 0, dю3 =— ю3 лю2, Ь

dю = Ью лю + 2рю лю .

Отсюда следует

ю1 = du1, ю2 = du2.

После этого из (3.6) получаем

Отсюда находим

db Ь -р2

і р 2Ьр

Ь2 + р2 = ср,

(4.4)

(4.5)

И тогда

dр = 2р(ср-р )2 du2, с = соті Ф 0.

Используя (4.4), находим

Р =

С2 («2 )2 + 1

ь = -

2

С и2

С2(«2)2 +1

7(С«2 )2 +1

-Ю

= 0.

(4.6)

Следовательно, можно положить

du3 —

у](си2 )2 + 1

Откуда

УІ(си2 )2 + 1

(4.7)

С

а

и

2

и

2

Наконец, ищем функции X и р, такие, чтобы имело место равенство (Хю4 +цю3) = 0. После соответствующих вычислений получаем

1 1

Х =

4{си2 )2 +1

и = -

си

:л/(си2 )2 +1

Положим

И тогда

Хю + ЦЮ — Іи4

ю4 = ■

1

(си2 )2 +1

Деривационные формулы репера после этого примут вид

г (Іи3 +д/(сы2 )2 +1 (іи4.

Жг = Жи1е1 + Жи2е2 +

и

2

Жи3е3

\

Же1 = 0,

(

Же2 =

Же3 =

7(си 2 )2

+1

4(си2 )2 + 1

Жи3 +^/ (си2 )2 +1Жи,

7(си 2 )2 + 1 7(си2 )2 + 1

Жи4,

сЖи4

сЖи2

Же4 = -

■<](си2 )2 + 1 (си2 ) + 1

сЖи2

с2и2 Жи4

-е2 --

е3.

д/(си2 )2 + 1 (си2 ) + 1

Интегрируем систему (4.9), в результате получаем е1 =Єі>

е2 = є2 с08(си4 ) + є3 8Іп(си4 ),

^ 1

% =

7(с«2 )2 _______1_

+1

“(є2 8Іп(си4 ) - є3 с08(си4 ) + см2Є4 ),

+1

г(-СМ2Є2 8Іп(си4 ) + си2є3 с08(си4 ) + Є4 ),

(г

(4.8)

(4.9)

(4.10)

Г = М1є1 + И2є2 008(сМ4 ) + И2є3 8Іи(сМ4 ) + ^-+ и4 ^ Є4,

где (є1, є2, є3, є4) - ортонормированный постоянный базис в Е4.

Обозначим через (у1, у2, у3, у4) координаты точки М относительно неподвижного репера (о;єг-). Так как г - радиус-вектор точки М, то у1 = и1,у2 = и2 сов(си4), и3

у3 = и2 8Іп(си4), у4 =-+ и4. Отсюда из (4.5) - (4.8) следует

с

иі = Уі,

и2 = V(у2 ) + (у3 ) ,

. Уз

и3 = су4 - аг^—, (4.11)

У2

1 у3

и4 = - аг^—;

с У2

Р =

с2 (у22 + Уз2 ) + 1 ю1 = аУ1,

Ю = ^ + МУз , (4Л2)

Ы + У2

„3 _ Уз^У2 - У2Фз + с(У2 + Уз2Ж

Ю I-------------------------- ,

УІ( У22 + Уз2 )(с 2 (У22 + Уз2) +1)

Ю = I „ * =7= (У2Фз -УзФг) + ^У4)•

7с2 (У22 + Уз2 ) +1

Теперь легко записать уравнение неголономной гиперплоскости и всех инвариантных для неё линий и поверхностей в некоторой неподвижной декартовой системе координат.

1) Неголономная гиперплоскость определяется следующим уравнением:

СУз (?2 - У2 ) - СУ2 (Г3 - Уз ) - Г4 + У4 = (4.13)

Из (4.13) видим, что неголономная гиперплоскость не имеет особых точек. Её

область определения совпадает с пространством Е4.

2) Уравнение Пфаффа, определяющее кривые неголономной гиперплоскости, имеет вид

<іу4 = суъ<3у2 - су2<іу3. (4.14)

3) Вектор ре1 =—2-------С------2-----є1 - вектор неголономности.

с ((у2 ) + (уЭ ) ) + 1

4) Поле единичных векторов нормалей неголономной гиперплоскости следующее:

- _ СУз-2 - СУ2-3 --4

Є4 I- *

Vе2 (У2 + Уз2) +1

5) Направление вектора є1 - это главное направление 2-го рода. Линии кривизны 2-го рода - прямые:

У2 = с2>

Уз = сз >

У4 = с4,

(с2, с3, с4 - постоянные),

с

принадлежащие эквидирекционным плоскостям

72 = С2 >

74 = С4 ■

6) Трёхмерные плоскости п*, ортогональные линиям кривизны 2-го рода - это плоскости

y1 = b1 (b1 = const).

7) Линии тока векторного поля нормалей неголономной гиперплоскости представляют собой винтовые линии, лежащие в плоскости п* и имеющие уравнения

V = bi.

y2 = b cos t,

y3 = b sin t, (4.15)

К

y = -(t + m).

c

(b, m - const).

8) Как было показано выше, распределения, ортогональные векторным полям

главных нормалей и и бинормалей винтовых линий (4.15), голономны. А потому

Е4 расслаивается в первом случае на семейство трёхмерных цилиндров

2,2 .2 У2 + Уз = b

с 2-мерными плоскостными образующими, параллельными плоскости Oyly4, и направляющими

у2 + Уз = b2,

VI = Ь1 >

лежащими в плоскости п* (см. рис.1).

Рис. 1

Во втором случае Е4 расслаивается на семейство трёхмерных цилиндров

Уз = У2 ЫсУа - (4.16)

образующими которых являются прямые, параллельные оси Оу1, а направляющими служат геликоиды (рис. 2):

У = У2 Ысу4 - т),

у\ = V

Рис.2

Заметим, что распределения, ортогональные главным нормалям и бинормалям винтовых линий (4.15), имеют особые точки, заполняющие 2-мерную плоскость у2 = у3 = 0. Это утверждение становится очевидным при рассмотрении формул (4.12).

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубровин Б А., Новиков С .П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

2. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

3. Фиников СП. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

4. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырёхмерном евклидовом пространстве // Международная конференция по математике и механике: Избранные доклады. Томск, 2003.С. 60 - 68.

5. Слухаев В.В. Геометрия векторных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1982.

Статья принята в печать 06.10.2008 г.