CC BY
27
Алгебраический и геометрический подходы к неэрмитовой PT-симметричной релятивистской квантовой механике
с максимальной массой
В.Н. Родионов1,0, Г. А. Кравцова2,6
1 Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова, кафедра вычислительных
систем и телекоммуникаций. Россия, 117997, Москва, Стремянный пер., д. 36.
2 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет,
кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: а vnrodionov@mtu-net.ru, 6 gakr@chtc.ru
Статья поступила 26.11.2013, подписана в печать 24.02.2014.
Рассматривается неэрмитова фермионная модель, содержащая 75-матрицу в массовом члене m ^ m\ + 75m2. Предложено новое уточненное условие ненарушенности PT-симметрии теории, содержащее указание о разделении исходной области ненарушенности на подобласти, отвечающие описанию обычных и экзотических частиц. Установлена связь рассматриваемой теории с КТП с максимальной массой M, развиваемой на основе геометрического подхода. В явном виде вычислен оператор C, необходимый для построения нового скалярного произведения в данной теории с неэрмитовым гамильтонианом.
Ключевые слова: квантовая теория, максимальная масса, неэрмитов гамильтониан.
УДК: 530.145: 539.12.01. PACS: 02.30.Jr, 03.65.-w, 03.65.Ge, 12.10.-g, 12.20.-m.
Введение
В 1965 г. М.А.Марков [1, 2] выдвинул гипотезу, согласно которой спектр масс частиц должен быть ограничен «планковской массой» тР1апск = 1019 ГэВ:
т < тр1апск. (1)
Частицы с предельной массой т = тР1апск были названы автором «максимонами». Однако первоначально условие (1) было чисто феноменологическим, и до недавнего времени казалось, что Стандартная модель (СМ) может быть адекватно применима вплоть до планковских масс. Но в нынешней ситуации накапливается все больше данных в пользу того, что ряд физических принципов должен быть пересмотрен. В частности, это подтверждается многочисленными указаниями на существование темной материи и адсорбацией ею значительной части плотности энергии во Вселенной.
В конце 70-х годов был предложен новый радикальный подход [3, 4], в котором марковская идея о существовании максимальной массы частиц принималась как новый фундаментальный физический принцип квантовой теории поля (КТП). Как известно, масса частиц т в СМ может принимать значения в интервале 0 < т < то. В новой теории постулируется условие конечности спектра масс в виде
т < М, (2)
где параметр максимальной массы М, называемый фундаментальной массой, является новой физической константой. Величина М рассматривается как радиус кривизны 5-мерного гиперболоида, поверхность которого представляет собой реализацию искривленного импульсного 4-пространства, или пространства ан-ти-де Ситтера (К = с = 1)
р0 - р2 - Р2 - РЗ + Р2 = м2. (3)
Объекты с массой больше M не могут рассматриваться как элементарные частицы, так как им не соответствуют никакие локальные поля.
Для свободной частицы p° — "pp2 = m2, условие (2) автоматически выполняется на поверхности (3). В приближении
|ро|, "|<M, Р5 = M (4)
геометрия анти-де Ситтера переходит в геометрию Минковского в 4-мерном псевдоевклидовом р -пространстве («плоский предел»).
При рассмотрении фермионного сектора было выяснено [5, 6], что если в обычном формализме свободный оператор Дирака имеет вид
D(p)= pvYv — m, v = 0,1,2,3, (5)
и может рассматриваться как результат факторизации оператора Клейна-Гордона
pv — m2 = (pvYv + m)(pvYv — m), (6)
то в КТП с максимальной массой вместо (5), (6) возникает следующее соотношение:
2M(p5 — M cos j) =
= [Y°po — YP + £1 Y5(p5 — M) + £22M sin j/2] x
x [—Y°p° + YP — £iY5(p5 — M) + £22M sin j/2] , (7)
где cos j = \j 1 — M и £1 = ±1, £2 = ±1. Откуда, в частности, следует, что в модифицированной КТП роль оператора Клейна-Гордона играет 2M(p5 — M cos j), а новое выражение для оператора Дирака имеет вид
D(p, M) = pvYv + (p — M)y5 — 2M sin(¡/2). (8)
Легко проверить, что в «плоском пределе» (см. (4)) выражения (5) и (8) совпадают, т. е. (8) переходит в обычный оператор Дирака.
Весьма важно, что новый оператор Клейна-Гордона 2M(p5 — M cos j) может быть разложен на матричные множители и иным, совершенно независимым от (7) способом:
2M(p5 — M cos j) =
= [т°Ро — YP + £175(P5 + M) + £22M cos j/2] x
x [y°P° — YP + £iY5(P5 + M) — £22M cos j/2] , (9)
где по-прежнему e1 = ± 1, e2 = ± 1.
Таким образом, в развиваемом подходе мы встречаемся с неким не имеющим аналога в обычной теории «экзотическим» фермионным полем, ассоциированным с оператором
Dexotic(p, M) = PvY + (Р5 + M)75 — 2M cos(¡/2). (10)
Главное отличие оператора Dexot¡c(p, M) от оператора (8) состоит в том, что он не имеет плоского предела (см. (4)), т.е. для него отсутствует переход к эрмитово-му выражению при M ^ то.
Теперь рассмотрим (8),( 10) в конфигурационном пространстве (x¡,x5). Используя 5-мерное преобразование Фурье (см. [5]) и вводя обозначение p¡ = id¡, а также
m1 = 2M sin j/2, m2 = 2M sin2 j/2,
m3 = 2M cos j/2, m4 = 2M cos2 j/2,
(11)
имеем
(po - ap - /5m 1 - dl5m2)t, x5)= 0, (12)
(po - ap - /3ms - h5m)^ex(x, t, x5) = 0. (13)
В этих модифицированных уравнениях Дирака матрицы /5 = Yo, а' = /y'. Важно заметить, что на массовой поверхности p5 = M cos ц не существует операторов, которые действуют на координату x5, и этот параметр без потери общности может быть выбран равным нулю [5, 6]. Таким образом, гамильтонианы, отвечающие уравнениям (12), (13), можно представить в виде
H = a ~pp + /3(m1 + m2Y5), Hex = a ~pp + a(m3 + m4Y5).
(14)
(15)
Очевидно, выражения (14), (15) оказываются неэрмитовыми из-за появления в них 75-массовых слагаемых (Н = Н^, Нех = Нех^). Таким образом, можно сделать вывод, что ограничение спектра масс (2), которое было положено в основу геометрического подхода при разработке модифицированной КТП с максимальной массой [3, 4], приводит к появлению неэрмитовых вкладов в гамильтонианы в фермионном секторе.
Новый геометрический подход к изучению квантованных полей в рамках модифицированной СМ, базирующейся на включении в качестве дополнительного постулата соотношения (2), получил дальнейшее развитие в работах [7-15]. Таким образом, новая теория, построенная на основе чисто геометрического принципа, претендует на роль адекватного обобщения СМ в области высоких энергий Е ^ М [5, 6].
В настоящей работе мы продолжаем исследования, начатые в [15], и показываем связь теории с макси-
мальной массой с недавно появившейся и бурно развивающейся неэрмитовой квантовой механикой. В рамках последней расматриваются теории с неэрмитовыми РТ-инвариантными гамильтониами [16-24]. Действительность их спектра является следствием именно РТ-инвариантности теории, т.е. комбинированной пространственной и временной четности гамильтониана: [Н,РТ]ф = 0. Спектр перестает быть действительным, когда РТ-симметрия оказывается нарушенной. Собственные вектора РТ-симметричного неэрмитово-го гамильтониана, отвечающие действительным собственным значениям, обладают отрицательной нормой в обычном скалярном произведении. Эта проблема решается использованием новой симметрии, определяемой оператором С, аналогичным оператору зарядового сопряжения. Построение оператора С позволяет ввести новую структуру скалярного произведения, ассоциированную с СРТ-сопряжением, для которого нормы квантовых состояний положительно определены, и имеют место обычные соотношения полноты [24].
Кроме того, известен и альтернативный формализм рассмотрения систем, определяемых неэрмитовыми гамильтонианами [25-33], согласно которому действительность спектра неэрмитовой системы имеет место благодаря так называемым псевдоэрмитовым свойствам гамильтониана. Гамильтониан называется ^0-псевдоэр-митовым, если он удовлетворяет условию
n°H п-1 = H t,
(16)
где п0 — линейный эрмитов оператор. В настоящей работе на основе вычисления оператора п0 мы проводим и явное непертурбативное вычисление оператора С, используемого для построения нового скалярного произведения.
Далее в настоящей работе развит алгебраический подход к изучению неэрмитовой релятивистской квантовой механики с РТ-симметричным гамильтонианом (14), содержащим 75-массовое слагаемое. Найдены важные соотношения между массовыми параметрами. Предложена реализация физического подхода в алгебраической теории. В рамках многочастичной фермион-ной модели указано на конечность спектра масс, при этом показана связь алгебраического и геометрического подходов в теории с максимальной массой. Построены операторы п0 и С .В заключении приведены выводы, следующие из результатов работы.
Неэрмитова релятивистская квантовая механика с 75-массовым слагаемым
Рассмотрим выражения (14), (15) с точки зрения алгебраического подхода, развиваемого в работах по изучению неэрмитовой квантовой теории [16-33]. Гамильтонианы (14), (15) являются неэрмитовыми, но РТ-симметричными. Как уже отмечалось, Н неэрмитов из-за слагаемого с т2, меняющего знак при эрмитовом сопряжении гамильтониана (Н = Н^ . Нетрудно убедиться, что Н также неинвариантен при Р- или Т-преобразованиях по отдельности, потому что слагаемое с т2 меняет знак при воздействии любого их этих преобразований. Однако Н инвариантен относительно совместного РТ-преобразования: НРТ = РТНРТ = Н. Подобная модель была рассмотрена в работе [24], где
— т — чт)Ф(х, 0 = 0,
изучалась РТ-симметричная массивная модель Тир-ринга в (1 + 1) измерении с гамильтоновой плотностью
Н(х, 0 = ф(х, '^ + т1 + 75т2)^(х, 0. (17)
Уравнение движения, ассоциированное с (17), можно записать в (3+ 1) измерении:
(18)
что по сути совпадает с уравнением (12). В этой связи возникает предположение о связи данной модели и теории с ограниченной массой и вызывает интерес изучение ограничений на параметры модели.
Уравнение (18) может быть преобразовано в уравнение второго порядка, и в результате имеем уравнение Клейна-Гордона:
(19)
(д2 + т2) ф(х, 0 = 0,
где
222 т2 = т2 — т2.
(-1 — т2 . (20)
Легко видеть, что физическая масса т, появляющаяся в данном уравнении, действительна, когда выполняется неравенство
т1 ^ т2. (21)
Это неравенство является базовым требованием, определяющим область ненарушенной РТ-симметрии рассматриваемого гамильтониана. Однако т1 и т2 не являются физическими массами, а используются лишь как удобные вспомогательные параметры. Поэтому мы запишем условие на физическую массу т, которое, как увидим позже, является более существенным.
Действительно, используя теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух положительных чисел, имеем
т2 + т22 2
откуда следует неравенство
2
т2т22,
(22)
т1
т < ъ— = ттах, 2т2
где введен новый массовый параметр ттах. Напомним, что мы исследуем вопрос о существовании в данной теории ограничений на массовые параметры. Предположим, что существует ограничение на параметр т. Тогда в силу (22) это ограничение должно выглядеть как (23). При этом, как будет показано в дальнейшем, есть основания полагать, что существует связь между ттах и М из геометрической теории с ограниченной массой.
Очевидно, что при заданных т1 и т2, фиксированных в рассматриваемом гамильтониане, неравенство (23) всегда имеет место. Таким образом, соотношение (23) является следствием введения в гамильтонианы (14) и (15) 75-массового слагаемого, приводящего к неэрмитовости гамильтониана.
В пределе т2 ^ 0 из (23) имеем
ттах ^ (24)
Нетрудно видеть,что это соответствует переходу к стан-дарной дираковской теории, в которой, как известно, отсутствует какое бы ни было ограничение на массы фермионов. Следовательно, предел (24) не только
корректен, но и означает, что рассматриваемая модель удовлетворяет принципу соответствия, т. е. в указанном пределе она переходит в дираковскую теорию.
Заметим, что здесь ограничение (23) является формальным, так как значение ттах определяется параметрами теории т1 и т2 . Ниже мы увидим, каким образом в теории появляется физическое ограничение на массу. Однако сначала рассмотрим, какие следствия можно извлечь из введения параметра ттах и нахождения соотношения (23).
Условия (20), (21) и (23) выполняются автоматически, если мы введем следующую параметризацию:
т1 = т еЬ а, т2 = т зЬ а. (25)
Из (23) и (25) мы можем определить
т = 2ттах^, т1 = 2тт^Ь а, т2 = 2тт^ а.
еЬ2 а
(26)
Здесь области изменения физической массы т, а также т1 и т2 таковы:
0 < т < ттах, т < т1 < 2ттах, 0 < т2 < 2ттах.
(27)
Первое соотношение из (26) может быть представлено также в виде
2 = Ш а\/1 — Ш2 а,
(28)
где V = т/ттах — приведенная масса. Разрешая (28) относительно Ш а, легко получить
Ш а =
1
± л/Г—
2
(29)
Вводя аналогично нормированные значения V! = = т1/ттах и ^ = т2/ттах, имеем из (26) и (29)
Vf = 1 т у/Т—.V2,
и^ = 1 Т V1 — V2.
(30)
_ (31)
(23) Очевидно,что два знака корня в (29) могут быть интерпретированы как две ветви значений vf и , являющихся многозначными функциями нормированной физической массы V.
Рисунок наглядно демонстрирует зависимость параметров vf, ^ от величины V. Область существования РТ-симметрии 0 < V < 1. Для этих значений параметров v1 и v2 модифицированное уравнение Дирака с максимальной массой описывает распространение частиц, имеющих действительные массы. Новые уравнения Дирака описывают обычные частицы с массами V-, V- (нижние ветви графиков) и экзотические частицы с массами v+ и v+ (верхние ветви). Специальный случай эрмитовости находится на линии т = ттах, т. е. V= 1 (случай максимона), которая является границей области РТ-симметрии. В этой точке графика имеем
= v+ = л/2 и V- = v+ = 1. Используя (30), (31), можно восстановить выражения для массовых параметров т1, т2, которые, однако, теперь становятся двузначными:
тТ = ^ттах
\
1
1 Т* 1 —
т
тт
(32)
2
vi, v2, v3, v4 2.0
1.5
1.0
0.5
v4
1.41
\
v3
vi
v2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 v 1.0
Значения параметров vf, v2f как функций v
mf = m„
^ T\[[ m^ax )
(33)
Легко видеть, что область ненарушенности РТ-сим-метрии модели теперь определяется неравенством т < ттах, так как лишь в этом случае параметры
m2f будут действительны. Очевидно, что это
m1 , 2
лее информативное условие, чем m2 ^ m2, так как благодаря ему явно выделяются области обычных и экзотических частиц (см. рис. 1 и пояснения к нему).
Нетрудно видеть также, что в пределе mmax ^ то формула (32) дает m1 = m, а из (33) следует m2 ^ 0, что согласуется с общими положениями принципа соответствия. Кроме того, используя обозначения m/mmax = sin л, видим, что (32), (33) в случае верхних знаков переходят в выражения m1 = 2mmax sin /л/2 и а в случае нижних знаков —
m2 = 2mmaxsin2 //2,
в т3 = 2mmaxcosл/2 и т4 = 2mmaxcos2 л/2, что полностью согласуется с (11). Как уже отмечалось, при идентификации параметра ттах и параметра максимальной
массы M, который использовался походе (см., например, [5, 6])
в геометрическом
m
2
m
2m2 2m4
=M
m
2
2mf
= mm
можно получить полное соответствие используемых параметров в гамильтонианах и уравнениях движения рассматриваемых моделей. Кроме того, при М 1 то можно видеть, что геометрия анти-де Ситтера не отличается от геометрии Минковского в псевдоевклидовом р -пространстве. Этот вывод также согласуется с трактовкой принципа соответствия при ттах 1 то.
Выражения (32), (33) позволяют в данной алгебраической модели рассматривать «физический» подход, т. е. ответить на вопрос: как с помощью гамильтониана (14) описать конкретную частицу. Иначе говоря, как по
известной физической массе данной частицы т найти параметры т1, т2 для ее описания. Очевидно, что с помощью одного лишь условия (20) невозможно однозначно ответить на этот вопрос. Однако если ввести ттах, то ответ следует из формул (32), (33). Фактически совершается переход от двухпараметрической задачи, задаваемой гамильтонианом (14) с параметрами т1, т2, к двухпараметрической задаче с параметрами т, ттах. Это еще раз доказывает, что выражение (21) не может рассматриваться как единственное ограничение и необходимо введение параметра ттах, а также учет (23).
Рассмотрим в данном контексте алгебраическую модель, описывающую весь спектр фермионов. В этом случае возникает вопрос о единственности ттах для всех частиц. Из физических соображений мы можем предположить, что модель, в которой ттах единственна для всех частиц, более предпочтительна. Тогда логично сделать вывод, что эта единственная ттах является массой максимона и должна соответствовать М в геометрическом подходе. Это оказывается возможным, потому что, как уже указывалось, гамильтонианы и уравнения эволюции в этих двух моделях совпадают вплоть до обозначений. Иными словами, в теории, описывающей спектр масс элементарных частиц, необходимо принять из физических соображений предположение равенства ттах и М .
Таким образом, нами еще раз устанавливается связь данного алгебраического подхода с квантовой теорией с максимальной массой, развиваемой В. Г. Кадышев-ским и др. на основе геометрического подхода [3-14].
Так как рассматриваемый гамильтониан неэрмитов (псевдоэрмитов, см. (16)), то необходимо ввести новое скалярное произведение, определяемое оператором С, связанным с СРТ-симметрией гамильтониана [24]. Для этого перепишем массовый член гамильтониана в виде
/3(т1 + т275) = /Зт(сЬ а + 75 sh а) = (вт ехр (75а). (34) Теперь можно записать исходный гамильтониан следующим образом:
Н = 1 ~р + /т ехр(75а), (35)
а эрмитово-сопряженный гамильтониан представить в виде
Н * = 1 ~~рР + /т ехр(-75а). (36)
Используя правила коммутации матриц 75, 1/1 и /, нетрудно показать, что
ва"'5/2Н = (а 1 + 1т) ваъ/2 = Н0ва^/2 = Н0п, (37)
где введено обозначение
Н0 = 11 + ¡Зт,
соответствующее обычному дираковскому гамильтониану, и
П = в^2. (38)
Для гамильтониана Н + мы можем также записать
в-а^/2т = (111 + Нт)в-а~<5/2 = Нэв-а75/2 = Нэп-1.
(39)
Из (37), (39) легко видеть, что эрмитов гамильтониан Н0 и гамильтонианы Н, Н^ связаны неунитарным преобразованием п:
H0 = nH п-1, H0 = п -1H Ч
(40)
Интересно сравнить этот результат с [9], где исследовался геометрический подход к изучению уравнений движения для скалярного и спинорного полей в искривленном импульсном пространстве де Ситтера, характеризуемом отрицательной кривизной:
J2 - pi = -M2.
(41)
В частности, в работе [9] были получены преобразования, которые связывают упомянутые уравнения в пространстве де Ситтера и соответствующие уравнения в дираковкой теории. Однако нетрудно установить, что, в отличие от (38), эти преобразования являются унитарными. Этот результат выглядит совершенно естественно. Действительно, гамильтониан, описывающий фермионный сектор теории с ограниченной массой в пространстве де Ситтера, является эрмитовым и имеет вид
Н = а / + /3(т1 + т 75), (42)
где т1 = 2М 8Ь(^/2), т2 = 2М 8Ь2(^/2), и по-прежнему выполняется соотношение т2 = 2Мт2. Физическая масса т определяется в этом случае как т2 = т2 + т|. Очевидно, в алгебраической теории в этом случае не будет иметь место неравенство типа (23). Что касается геометрического подхода, развиваемого в пространстве де Ситтера, то нетрудно видеть, что гамильтониан (42) и стандартный дираковский гамильтониан связаны унитарным преобразованием т/ = е. Мы же рассматриваем алгебраическую теорию, инициируемую геометрической теорией в пространстве анти-де Сит-тера и определяемую неэрмитовым гамильтонианом. В изучаемом случае имеет место ограничение масс как в геометрическом подходе, так и в предлагаемой алгебраической модели.
Из (40) следует:
ПоН по 1 = H
(43)
где оператор щ = е '5 определяет псевдоэрмитовы свойства гамильтониана. Следуя [24, 25], можно определить оператор С = п0-1Р. В рассматриваемом случае его явный вид дается простой формулой
=
' 0
I mf +mf
Imf-mf\
m |
0
(44)
где I =
. Нетрудно убедиться, что скалярное
произведение, построенное с помощью С -оператора (44) стандартным способом [16, 17], положительно определено. Заметим, что оператор С в записи (44) имеет более простой вид и более удобен для использования, чем соответствующее выражение в работе [24], так как здесь он получен в явном виде, в то время как в [24] данный оператор был построен методом итераций и записан в интегральном представлении.
гамильтонианом (14) можно записать ограничивающее условие на параметр т, называемый физической массой, в виде (23). Фактически это новое (уточненное) условие ненарушенности РТ-симметрии теории, которое оказывается более информативным, чем (20), так как оно содержит указание о разделении исходной области ненарушенности РТ-симметрии на подобласти, отвечающие описанию обычных и экзотических частиц. Однако в такой чисто математической теории отсутствует указание на конкретное значение ттах. При рассмотрении соответствующей модели, описывающей различные фермионы, делается выбор в пользу теории, в которой имеется единственный для всех частиц ограничивающий параметр ттах. Фактически из физических соображений выдвигается постулат о единственности ттах и равенстве его значения М в геометрической теории с максимальной массой. Так как значение М должно определяться из эксперимента (это масса максимона), то теперь и (23) можно рассматривать как физическое ограничение на спектр масс частиц, описываемых алгебрической моделью (14). Кроме того, благодаря введению параметра ттах становится возможен физический подход в алгебраической модели: исходя из физической массы частицы по формулам (32), (33) можно найти параметры т^ и т2[ для описания конкретной частицы с помощью гамильтониана (14) или (15). Таким образом, алгебраическая теория из абстрактной математической модели становится физической теорией, способной описывать реальные частицы.
В настоящей работе, кроме того, вычислен оператор С в явном виде для построения нового скалярного произведения в данной теории с неэрмитовым гамильтонианом.
Проведен анализ многозначности определения т1 и т2, проявляющейся явно благодаря введению ттах. Отмечено, что данная теория описывает не только обычные, но и «экзотические» частицы, до сих пор появлявшиеся только в геометрической теории с максимальной массой.
Отмечено совпадение гамильтонианов, уравнений движения, а также соответствие обозначений алгебраической и геометрической теорий. На основании вышеизложенного сделан вывод о соответствии в указанном смысле неэрмитовой алгебраической фермионной модели с 75-массовым слагаемым и фермионного сектора геометрической теории с ограниченной массой.
Авторы искренне благодарны профессору В. Г. Кады-шевскому за многолетнее плодотворное сотрудничество и ценные обсуждения ряда ключевых вопросов, затрагиваемых в статье.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы поддержки ведущих научных школ (грант НШ-4612.2012.1.).
Список литературы
Заключение
Подводя итог вышеизложенному, выделим наиболее существенные аспекты рассматриваемой теории. В одночастичной алгебраической модели с неэрмитовым
1. Markov M.A. // Prog. Theor Phys. Suppl., Commemoration Issue for the Thirtieth Anniversary of Meson Theory and Dr. H. Yukawa. 1965. P. 85.
2. Марков М.А. // ЖЭТФ. 1966. 51. C. 878; Markov M.A. // Sov. Phys. JETP. 1967. 24. P. 584.
3. Kadyshevsky V.G. // Nucl. Phys. 1978. B141. P. 477.
4. Kadyshevsky V.G. // Phys. Elem. Chast. Atom. Yadra. 1980. 11. P. 5.
5. Kadyshevsky V.G., Mateev M.D., Rodionov V.N., Sorin A.S. Towards a aximal mass model. CERN TH/2007-150; hep-ph/0708.4205.
6. Kadyshevsky V.G., Mateev M.D., Rodionov V.N., Sorin A.S. // Dokl. Phys. 2006. 51. P. 287; hep-ph/0512332.
7. Kadyshevsky V.G. // Phys. Part. Nucl. 1998. 29. P. 227.
8. Kadyshevsky V.G., Mateev M.D. // Phys. Lett. 1981. B106. P. 139.
9. Волобуев И.П., Кадышевский В.Г., Матеев М.Д., Мир-Касимов М.Р. // ТМФ. 1979. 40. C. 363.
10. Kadyshevsky V.G., Mateev M.D. // Nuovo Cimento. 1985. A87. P. 324.
11. Chizhov M.V., Donkov A.D., Kadyshevsky V.G., Mateev M.D. // Nuovo Cimento. 1985. A87. P. 350; P. 373.
12. Ibadov R.M., Kadyshevsky V.G. Preprint JINR-P2-86-835. 1986.
13. Kadyshevsky V.G., Fursaev D.V. // Sov. Phys. Dokl. 1989. 34. P. 534.
14. Kadyshevsky V.G., Rodionov V.N. // Phys. Part. Nucl. 2005. 36, N 1. S. 34.
15. Rodionov V.N. // PT-symmetric pseudo-Hermitian relativistic quantum mechanics with maximal mass. hep-th/1207.5463.
16. Bender C.M., Boettcher S. // Phys. Rev. Lett. 1998. 80. P. 5243.
17. Bender C.M., Boettcher S., Meisinger P.N. // J. Math. Phys. 1999. 40. P. 2210.
18. Khare A, Mandal B.P. // Phys. Lett. 2000. A 272. P. 53.
19. Znojil M, Levai G. // Mod. Phys. Lett. 2001. A 16. P. 2273.
20. Mostafazadeh A. // J. Phys. 2005. A 38. P. 6657; Erratum-ibid. 2005. A 38. P. 8185.
21. Bender C.M., Brody D.C., Chen J. et al. // Phys. Rev. 2006. D 74. P. 025016, and see refs therein.
22. Khare A., Mandal B.P. // Spl. Issue Pramana J. Phys. 2009. 73. P. 387.
23. Dorey P., Dunning C., Tateo R. //J. Phys. A: Math. Theor. 2001. 34. P. 5679.
24. Bender C.M., Jones H.F., Rivers R.J. // Phys. Lett. 2005. B 625. P. 333.
25. Mostafazadeh A. // arXiv: 0810.5643. 2008.
26. Mostafazadeh A. // J. Math. Phys. 2002. 43. P. 205; P. 2814; P. 3944.
27. Mostafazadeh A. // J. Phys. A: Math. Theor. 2003. 36. P. 7081.
28. Mostafazadeh A. // Class. Q. Grav. 2003. 20. P. 155.
29. Mostafazadeh A. // Ann. Phys. 2004. 309. P. 1.
30. Mostafazadeh A., Batal A. // J. Phys. A: Math. Theor. 2004. 37. P. 11645.
31. Mostafazadeh A. // Int. J. Mod. Phys. A. 2006. 21, N 12. P. 2553.
32. Mostafazadeh A, Zamani F. // Ann. Phys. 2006. 321. P. 2183; P. 2210.
33. Mostafazadeh A, Zamani F. // J. Math. Phys. 2009. 50. 052302.
The algebraic and geometric approaches to PT-symmetric non-Hermitian relativistic quantum mechanics with maximal mass
V.N. Rodionov1a, G.A. Kravtsova2b
1 Department of Computer Systems and Telecommunications, G. V. Plekhanov Russian University of Economics, Moscow 117997, Russia.
2 Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a vnrodionov@mtu-net.ru, bgakr@chtc.ru.
A non-Hermitian fermion model containing a 75-matrix in the mass term m ^ m1 + Y5m2 is considered. A new refined condition of the unbroken PT-symmetry of the theory is proposed that comprises an indication that the initial domain of unbroken PT-symmetry is divided into subdomains corresponding to the description of ordinary and exotic particles. A relationship is established between the theory under study and the quantum field theory with maximal mass M developed on the basis of the geometric approach. The operator C is calculated explicitly, which is required for the construction of a new scalar product in the theory with a non-Hermitian Hamiltonian.
Keywords: quantum theory, maximal mass, non-Hermitian Hamiltonian. PACS: 02.30.Jr, 03.65.-w, 03.65.Ge, 12.10.-g, 12.20.-m.
Received 26 November 2013.
English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2014). Сведения об авторах
1. Родионов Василий Николаевич — доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495) 322-19-53, e-mail: vnrodionov@mtu-net.ru.
2. Кравцова Галина Альбертовна — канд. физ.-мат. наук, доцент, ассистент; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: gakr@chtc.ru.
