CC BY
7
А.И. Долгарев
УДК 514.7
А.И. Долгарев
(Пензенский государственный университет)
НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ 3-МЕРНЫХ ОДУЛЯРНЫХ ГАЛИЛЕЕВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Данная статья — продолжение работы [1]. Доказана определяемость кривых 3-мерных одулярных галилее-вых пространств натуральными уравнениями — скалярными действительными функциями кривизны и кручения.
В работе [1] получено общее описание кривых различных 3-мерных одулярных галилеевых пространств, определенных в аксиоматике Г. Вейля. Ранее [2—5] эти кривые описаны в специфике каждого пространства, а также указано одулярное пространство, не обладающее дифференциальной геометрией [6]. Ниже доказана теорема о задании кривых одулярных га-лилеевых пространств скалярными действительными функциями кривизны и кручения.
§ 1. Одулярные галилеевы пространства
1.1. Одули Ли. Структура одуля О над кольцом К определена Л.В. Сабининым [7]. Автор определяет одули Ли, вводя на группах Ли умножение их элементов на действительные
числа. Группа Ли на многообразии Я3 задается операцией, называемой сложением. Существуют только следующие разрешимые одули Ли: линейное пространство Ь3, растран Р3, сибсон £3, диссон А3, осцилляторный одуль О3.
31
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
1.2. Дифференцирование. Галилеевой нормой ||о|| оду-ляра о —(х,у ,2) называется
| 1о 11=| х | , если х Ф 0; | 1о | | = д/у2 + 22 , если х = 0 .
Одуляр (х,у,2) при х ф 0 называется галилеевым, одуляр (0,у,2) называется евклидовым. Галилеев и евклидов одуляры перпендикулярны. Одуляры (0,у,2) и (х,0,0) порождают соответственно 2-мерное и 1-мерное евклидовы векторные пространства и одуль Ли является полупрямой суммой этих пространств.
Для одулярных функций о(г) = (х(г),у(г),2(г)) , где г е I с Я, оо(г) ёП , определены производные. Для растран-ной функции производная равна о' (г) = р'(г) =
= (х',(ех' -1)(— - у), (ех' -1)( — - г)), для сибсонной — о'(1) = х ' х '
= & (г) = (х ', у', г ' + х' (1 у' - у)) , а для диссонной — о' (1) =
с', (ех' - ^^^ - у| + (— - —х'У, (ех' -1^— - — Л . Функции в осцилляторном одуле недифференцируемы [6].
1.3. Одулярные галилеевы пространства. Заменяя линейное пространство одулем Ли в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, получаем ВО-пространства (вейлевские одулярные пространства) [3] — частный случай одулярных пространств Л.В. Сабинина [7]. Имеем: пространство Галилея (с галилеевым векторным пространством), ЕМ-прост-ранство (с растраном), ЕС-пространство (с сибсоном), ЕД-пространство (с диссоном).
§ 2. Кривые ВО-пространств
2.1. Регулярные кривые. Одулярная функция о(г) класса С3 задает регулярную кривую о(г) = (г,х(г),у(г)) , при г е I , класса С3 ВО-пространства в естественной параметризации. Ка-32
8' =
А.И. Долгарев
сательные одуляры этих кривых — галилеевы и вычисляются по формулам дифференцирования одулярных функций из пункта 1.2. В пространстве Галилея т = C(t) = y(t) = (1,x ,y), в ЕМ-прост-ранстве т = cc(t) = p(t) = (1,(e -1 )(x -x),(e -1 )(y - y)) , в ЕС-
пространстве: т = .(t; = * = (U,y + 2x- , в ЕД-пространстве
т = c(t) = S = (1,(e - 1)(x - y - x) + e(y - y)(e - 1)(y - y)) . Это единичные галилеевы одуляры касательных. Функции Cc(t) уже дифференцируются как векторные.
2.2. Кривизны. Для кривой c(t) одулярного пространства существует векторная функция скорости c(t) = (p(t),q(t)) , функции c(t) и c(t) связаны равенством
C(t) = а + hC(t) при h = 1 или h = e -1 (см. [1]). Кривизна и кручение одулярной кривой c(t) через компоненты функции скорости c(t ) выражаются формулами
• 2 , .2 , _ pq - qp
k1 = Vp2 + q2 , k2 =
к,2
2.3. Натуральные уравнения одулярных кривых. В
одулярных пространствах справедлива следующая
Теорема. Регулярная кривая 3-мерного одулярного гали-леева пространства с дифференцируемым разрешимым оду-лем Ли определяется однозначно с точностью до положения в пространстве заданием двух действительных скалярных функций кх(г) > 0 и к2(г), первая из которых является функцией кривизны кривой, а вторая — функцией кручения кривой.
Заданы действительные скалярные функции
г = ку(г) > 0, г = к2(г) , г е I с Я. (1)
Получим по заданным скалярным функциям одулярную функцию
а(г) = (г,х(г),у(г)), г е I (2)
33
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
в каждом из 3-мерных галилеевых действительных дифференцируемых разрешимых одулярных пространств.
Функции (1) можно считать заданными в ортонормирован-ном репере Рс = (O,i,j) евклидовой плоскости. Одулярная функция о(t) = (1,х(1),у(1)) есть упорядоченный набор трех действительных функций. Этот набор функций можно отнести к некоторому реперу в ВО-пространстве. Репер Рс евклидовой плоскости ВО-пространства пополняем любым галилеевым одуляром а одуля Ли ВО-пространства и получаем репер Р = (0,аЛ^) ВО-пространства. В ВО-пространстве функция о(t) задает кривую в репере Р . Так как выбор репера Р произволен, то одулярная функция о(t) определяет кривую о(t) в ВО-пространстве с точностью до положения.
Учитывая формулы кривизны и кручения кривой (п. 2.2), имеем
p 2 + 4 2 = # (t),pq - ¿р = к? (t)k2 (t).
По этим дифференциальным уравнениям находим функции p(t),q(t) , а затем в каждом из ВО-пространств получаем функции х(^) и у(^) . Обозначив и = р, V = 4, имеем следующую систему уравнений
и + V = &2, ш - т = к^k2. (3)
Первому уравнению системы удовлетворяют функции и = кх со$(w(t) + с0) , V = кг Я1п(w(t) + с0) , где w(t) — функция, которую предстоит найти. Подставляя функции и^,иV во второе уравнение системы, получаем т - иV = &2 W = . Отсюда &2 = W. Функция w находится в результате квадратуры
w(t) = | ^ (t)dt. Таким образом, р = кх соз(w + с0), ¿4 = кх sin(w + с0), p(t) = |kl(t)cos(w(t) + са^, q(t) = |kl(t)sm(w(t) + са^ .
34
А.И. Долгарев
Функции х(г),у(г) являются решениями следующих систем дифференциальных уравнений: х(г) = р(г), у(г) = д(г) — в пространстве Галилея; X - х = р(г) , у - у = д(г) — в ЕМ-пространстве;
х = р(г), у = ч(0 - 2р(г)+х — в ЕС-пространстве;
У - у = д(г) , х - х = р(г)--— (у - еу) — в ЕД-пространстве.
е -1
Указанные системы уравнений рассматриваются и в работе [1] при получении одулярных кривых по кривой скорости.
Заключение
Описание кривой натуральными уравнениями является стандартной задачей классической дифференциальной геометрии [8]. В евклидовой геометрии по двум функциям кривизны и кручения кривой отыскиваются три функции, задающие 3-мерную кривую. При этом используются формулы Френе. В галилеевой геометрии 3-мерная кривая со(г) = = (г,х(г),у(г)) описывается двумя функциями х(г),у(г); для получения натуральных уравнений достаточно функций к,(г) > 0 и к2(г), а формулы Френе не нужны, хотя в одуляр-ных пространствах они получены [2—5].
Список литературы
1. Долгарев А.И. Кривые 3-мерных вейлевских одулярных пространств и кривые евклидовой плоскости // Диф. геом. многообр. фигур. Калиниград, 2002. Вып. 33. С. 25—28.
2. Долгарев А.И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований. Препринт 1963. Саранск, 2003.
3. Долгарев А.И. ЕМ-пространства. Дис... канд. физ.-мат. наук, Красноярск, 1991.
4. Долгарев А.И. Дифференциальная геометрия пространства с касательным отображением в одуль галилеевых движений. Препринт 1951. Саранск, 2002.
35
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
5. Долгарев А.И. Кривые в одулярной дифференциальной геометрии пространства на дисоне // Изв. вузов. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. 2003. № 6(9). С. 43—49.
6. Долгарев А.И. Недифференцируемый одуль. // Диф. геом. многообр. фигур. Калиниград, 2001. Вып. 32. С. 34—37.
7. Сабинин Л.В. Одули как новый подход к геометрии со связностью // ДАН СССР. 1977. № 5. C. 800—803.
8. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. Изд. 4-е. М., 1956.
A. Dolgarew
THE NATURAL EQUATIONS OF CURVE 3-MEASURING ODULAR GALILEAN SPACES
It is proved that the curves of 3-measuring odular Galilean spaces are defined by the natural equations — scalar real functions of curvature and torsion.
УДК 514.75
Н.А. Елисеева
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ОСНАЩЕНИЯ В СМЫСЛЕ Э. КАРТАНА L-, М-ПОДРАССЛОЕНИЙ ПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Продолжается изучение m-полосных распределений H(P) [1]. Для структурных L-, M-подрасслоений
H(P) -распределения построены оснащения в смысле Э. Картана. Приведены условия неподвижности оснащающих плоскостей Картана подрасслоений L и M .
36
