CC BY
58
pose to consider work spending for destruction of complex geotechnical system is proportional to plastically deformed ground volume.
Key words: geotechnique, stableness, system, deformation, crack, accident, tension, plasticity, soil, destruction, load, energy.
Gabibov F.G., candidate of technical sciences, docent, laboratory manager, [email protected], Azerbaijan, Baku, AzNIISA,
Akhmatov A.T., candidate of technical sciences, docent, department manager, azad@,land.ru, Azerbaijan, Baku, AzNIISA,
Mamedly R.A., candidate of technical sciences, docent, Senior Staff scientist, azad@,land.ru, Azerbaijan, Baku, AzNIISA,
Khalafov N.M., Senior Staff Scientist, namik-kh@mail. ru, Azerbaijan, Baku,
AzNIISA
УДК 622.28:624.101
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЯ ОБДЕЛОК НЕКРУГОВЫХ ТОННЕЛЕЙ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ В МАССИВЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛНСЖАТИЯ-РАСТЯЖЕНИЯ, ИЗЛУЧАЕМЫХ БЛИЗКОРАСПОЛОЖЕННЫМ ИСТОЧНИКОМ
А.С. Саммаль
Излагается аналитический метод определения максимальных напряжений в замкнутой монолитной обделке произвольного поперечного сечения (с одной осью симметрии) за все время прохождения распространяющейся от близкорасположенного источника продольной волны сжатия - растяжения. Метод иллюстрируется примерами расчета.
Ключевые слова: тоннель, обделка, динамические воздействия, гармонические волны, напряженное состояние, метод расчета
Динамические проявления в горных массивах, как правило, представляют серьезную опасность для близкорасположенных подземных сооружений, поэтому их учет необходим при принятии инженерных решений, связанных с обеспечением прочности и надежности конструкций крепи.
В настоящее время общепринятыми являются подходы к прогнозу поведения подземных сооружений при динамических воздействиях, базирующиеся на изучении напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом их взаимодействия с окружающим массивом пород (грунта). Имеющиеся аналитические методы позволяют производить рас-
чет обделок (в том числе многослойных) круговых тоннелей глубокого заложения, когда массив моделируется линейнодеформируемой или двух-компонентной (водонасыщенной) изотропной средой, а динамические проявления рассматриваются как процессы дифракции стационарных или нестационарных продольных или поперечных волн на подкрепленных отверстиях. Аналогичных методов, предназначенных для расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения, до настоящего времени не имелось. В связи с этим в Тульском государственном университете в течение ряда лет проводились исследования, результатом которых явилось создание нового аналитического метода расчета подземных конструкций произвольного поперечного сечения (крепи капитальных горных выработок, обделок тоннелей и заглубленных трубопроводов) на динамические воздействия, в том числе с учетом места расположения источника.
Ниже приводится описание основных расчетных положений разработанного метода. В основу метода положено соответствующее аналитическое решение плоской динамической задачи теории упругости, расчетная схема которой приведена на рис. 1.
На рис.1 однородная изотропная среда £0, обладающая удельным весом у0 и деформационными характеристиками - модулем деформации Е0и коэффициентом Пуассона у0,моделирует массив пород. Среда ослаблена в общем случае некруговым отверстием, подкрепленным кольцом £ь материал которого имеет удельный вес у1 и деформационные характеристики Е1, у1, моделирующим обделку тоннеля. Гармонический источник, излучающий цилиндрическую волну сжатия, расположен на расстоянии Ё0
от начала координат системы х0у . Падающая на обделку волна, круговая частота которой ш направлена по оси 0х', составляющей произвольный угол Р с вертикальной осью 0х.
Граничные условия поставленной задачи отражают непрерывность векторов смещений и напряжений на наружном контуре обделки Ь0 и отсутствие нормальных и касательных напряжений на внутреннем контуре обделки Ь\.
Для решения поставленных динамических задач теории упругости вводятся потенциалы ф(' ) и у', связанные с напряжениями и смещениями областей/' = 0, 1), которые должны удовлетворять волновым уравнениям Гельмгольца [1]:
(v2 + = о ; (v2 + <ф«> = 0,(1)
где V2 - оператор Лапласа; (/= 0, 1) - отношение скоростей распространения волн сдвига с() и сжатия с(') в среде 50 (/= 0) и области 51 (/= 1), выражающееся формулой (/= 0, 1)
1 -
^ = \ 2(1 -V') ' (2)
Здесь ю/ - безразмерная частота колебаний частиц в области 5/(/= 0, 1),
определяющаяся формулой ш^Яю/с^
V
ц jg
—— - скорость распро-
. У Ej
странения поперечных волн;ц j =---;g - ускорение свободного паде-
J 2(1 + v j)
ния тела).
Как известно, решение уравнений (1), имеющее физический смысл, получается после умножения найденных из них потенциалов ф0), \[/J)
на e~mt (t - время, c) и выделения действительной части.
Общее решение уравнений (4) при j = 0 с учетом условий излучения в полярных координатах r, 0 представляется в виде
оо
Ф(0)М) = X(An cosn0 + Bn smne)Hn(co0^0r),
п=0
оо
vj/(0)(r,e) = £(Cn cosnG + Dn sinn9)Hn(co0r),
n=0
где A, B, - неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (1).
В свою очередь, решение при j=1 может быть представлено в виде
ф(1)(г,0) = Е(Мп собп0 + Ип sinп0рп(ю^г; +
п=0
да
+ Е(ап с°^п0 + ¥п ^ПП0К(®&1Г),
«=0
да
у(1 (г, 0; = Е (Рп СО8П0 + бп п0)Зп (Ю1г; +
(4)
п=0
+ Е(Тп С^п0 + ^п ^пп0Жп(®1Г),
п=0
где 7п (2) - функция Неймана (функция Бесселя 2-го рода) порядка п ; Мп, Ып Оп, Рп, Рп, ,Тп - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Искомые напряжения и смещения в среде £0 представляются как суммы напряжений а(0)(0) и смещений и(0)(0) в падающей волне (в среде без подкрепленного отверстия) и дополнительных напряжений ~(0) и смещений С~(0), вызванных распространением волн, отраженных от границы Ь0, то есть
г(0) _ а(0Х0) + ~(0). у(0) _ у(0)(0) + у(0) ^
а'
Здесь символом а обозначены все компоненты тензора напряжений, а символом и - составляющие вектора смещений.
Таким образом, полным напряжениям и смещениям в среде £0 в окрестности кольца £1 соответствуют суммы потенциалов падающей и отраженных волн, т.е.
ф(0) = ф(0)(0) + ф(0); у 0) = у 0X0) + ~ (0) ^ (6)
Далее, вводя для сохранения общности записи обозначения
Ф(1) = ф(1);
1|/(1) = у(1).
(V)
удается воспользоваться известными формулами для напряжений и смещений в областях £ ('= 0,1) в полярной системе координат г, 0 (г - безразмерный радиус г = ~~):
,а) _
аг = ^
V:
1 -V
■ю2ф('') + 2
с а2фа)
21„Ш
аг2
1 а 2у
г ага0
1 ау1
а0
аЛ
а
а)
ю2ф('') + 2
(а 2фа)
аг2
1 а 2у + -
1 ау
ал
г ага0
а0
(8)
9
та) = -и
1ге
2 (:) Ад2Фа) 1 дф(:) дУ:) ^
Ю:ши) - 2 —1---г—1----^-т—
: ^дгде г2 де дг2 )
и(^=дФ^+1 д^- и°)=1 д^(:)
г дг г де ' е г де дг Как известно, потенциалы гармонической волны сжатия, излучаемой источником, расположенным на расстоянии Я0 от начала системы координат д:0у (см. рис. 1), можно записать в полярной системе координат, имеющей начало в точке расположения источника 0'.
При условиях независимости напряжений и потенциалов от угла 0 и при отсутствии касательных напряжений в падающей волне в указанной полярной системе координат потенциалы ф(0)(0), у(0)(0) должны удовлетворять соотношениям, аналогичным (1) и (8), из которых следует
ф(0)(0) = О.н (ю 5 г'), У0)(0) =0, (г' = г'/я), (9)
и0
где Q - постоянная, характеризующая мощность источника.
Для удобства сравнения результатов определения напряжений в случаях близкого расположения источника и действия плоской волны сжатия, приходящей из бесконечности, постоянная Q задается таким образом, чтобы при удалении источника на бесконечность интенсивности напряжений в ненарушенном массиве в центре будущей выработки в обоих случаях совпадали.
Используя «теорему сложения» для цилиндрических функций, можно выразить потенциалы (9) как функции переменных г и е в виде
ф^АЁН^^М«^*44. ^хо,=о. (ю)
|Ы0®0 8=-00
Здесь г0 =К0/К;г-безразмерная координата; Н8{х)~ функции Ханкеля 1-
го рода порядка я.
Далее для решения поставленных динамических задач применен метод возмущения формы границы. С этой целью с помощью рациональной функции ш(£) производится конформное отображение внешности круга радиуса Я\< 1 в плоскости переменного £ (£=регу) на внешность контура Ь\ в плоскости 2 таким образом, чтобы контуру Ь0 заданной формы в плоскости г(г=ге'в) соответствовала окружность единичного радиуса Я0=1. Отображающая функция представляется в виде
ОД) = °§) =С+8 Ж), (11)
я
к
где /(£) = У , малый вещественный параметр, изменяющийся
У=1
в интервале 0<е<1, характеризующий степень отклонения формы внутреннего контура кольца от круговой;^ - число членов ряда отображающей функции, необходимое для обеспечения требуемой точности конформного преобразования (ранее было показано, что для достижения приемлемой точности достаточно принимать к =5).
С помощью формулы (11) переменные г и 0, а также все используемые при решении задачи функции этих переменных можно представить в виде рядов по степеням в:
да кп
х = X X хпХУеп, (12)
п=0 )=—кп
где величина х задается своими коэффициентами разложения хп 5, причем х0 0 принимает значения либо 0, либо 1.
Представление вида (12) позволяет производить все основные операции с рассматриваемыми величинами: умножение, деление, сложение и т.д.
Таким образом, на первом этапе решения искомые функции (3), (4), а также потенциалы (10) представляются в форме (12) разложений по степеням вг0.
Так, потенциалы падающей волны представляются в общем (для обеих рассмотренных задач) виде
да да
Ф'°Х0>(г,0)=£ с^.каде"0,
(13)
п=0 )=—да
да да
У«»> (г,0) = Е X вУ^^ДЮоФ"0,
п=0 )=—да
,(1X0) „,(1X0)
где фп,;( >, ^п,Х - коэффициенты, задаваемые в каждом п -м приближении. В свою очередь, потенциалы в отраженной волне записываются в
форме
да да
ф(О)(г,0) = Х
п=0 8=-со ^^
да да
да да
¡Я®
■ ■ 1 1 I 1 Т" К"
п=0 8=—да
ч(2)(0) ш(2>(0> .,) ' т п,)
где ф( > >, > > - неизвестные коэффициенты п -го приближения, подлежащие определению.
Наконец, принимая во внимание, что Нп (2> = Jn (2> + гУп (2>, выражения для потенциалов в среде 50 (/=0) и в кольце 51 (/=1) представляются в виде
да N да да
ф°(г,0) = Е X Фп1Л(®^г>е180+Е ЕвпФ^^НДюДгК0, (15)
,) )
п=0 )=—N п=0 )=—да
N да да
у^г, е)=х х ^ч^ке хв^н^гк
п=0 )=—N п=0 )=—да
Далее на основании (11), (12) вводятся следующие функции (/=0,1):
—1 да кп
аа)
О(С) !
С
Ъ(* ) = ИОкКв — 1 = X в(1+ я)'Л—Д*= X X впЪ£е1чг
я=—к п=0 кп —1 да кп
и*
)=—к п=о )=-
где коэффициенты а^),^,) определяются выражениями Я'Л-з при п =1; — к < s < 0, 0 при остальных значениях п^,
(я + 1)К]Л-8 при п =1; — к < s < 0, 0 при остальных значениях n,s.
В результате, используя представления
г = |П(С)|, = + аа ) + аа ) + аа )аа
аа) = <
п,)
Ъа ) =
п,)
е / = у. / +^Х
У = 1
1_ -(— а('))У—(— а('))У
' ' Л • х
2г V
удается воспользоваться известным приемом разложения всех искомых функций, которые представляются в самом общем виде, как ф(г, е), в ряд Тейлора:
-п
да 1
ф(г, е)= X 1
. п!
ф оу
ф(р, у). (16)
п=0'
Таким образом, следуя методу возмущения формы границы, построение разрешающих уравнений относительно ), УпГ)^), осуществляется путем последовательной подстановки представлений (14) -(16) в соотношения (6), (7), а затем - в выражения, получаемые из граничных условий задачи с помощью формул (8). Далее в результате использования описанного приема разложения полученных функций при р = Яд (д
= 0,1) в ряды (17) и последующего приравнивания в правых и левых частях образованных равенств коэффициентов при одинаковых степенях параметров в, егу удается построить итерационный процесс, в каждом п-м приближении которого составляется и решается ^ независимых систем размерностью 6 х 6 линейных алгебраических уравнений относительно
искомых коэффициентов Фп28)(0) , ^п2)Х°), ф!г,)(1), ^ТЧ^ = 1,2) с правыми частями, уточняемыми на основе предыдущих итераций. Найденные коэф-
да
фициенты разложения потенциалов позволяют перейти к определению напряженно-деформированного состояния областей Sj (/ = 0,1).
Существенным преимуществом описанного решения является то, что, будучи основанным на получении рекуррентных соотношений, оно позволяет построить итерационный процесс вычисления искомых коэффициентов разложения потенциалов, рассматривая любое количество приближений, обеспечивая необходимую точность расчета.
Описанное решение реализовано в виде компьютерного программного комплекса, позволяющего производить эффективные расчеты с целью определения максимальных по абсолютной величине динамических напряжений, возникающих в обделке за все время прохождения волны.
Ниже в качестве иллюстрации приводятся результаты расчетов обделки транспортного тоннеля, форма и размеры поперечного сечения которой показаны на рис. 2.
Рис. 2. Поперечное сечение обделки тоннеля
При расчетах использовались следующие исходные данные: окружающий массив представлен алевролитом, обладающим удельным весом у0 = 18 кН/м и деформационными свойствами, характеризующимися модулем деформации £0 = 12000 МПа и коэффициентом Пуассона у0=0,3; материал обделки (крепи) - бетон В20 с характеристиками у1= 24 кН/м , Е = 27000 МПа, у1= 0,2. Круговая частота падающей волны й = 200 Гц = =1256,6 с-1. Источник находится на горизонтальной прямой, совпадающей с осью 0 у, на относительных расстояниях ~0 = 2, 7. В расчетах учитывались 4 приближения, при этом в нулевой итерации в рядах удерживалось #=8 членов.
Эпюры расчетных нормальных тангенциальных напряжений а
(in) 0 max '
а(ьпж соответственно на внутреннем и наружном контурах обделки даны на рис. 3, а, б. При этом в случае, когда расстояние до источника ~ = 7, для сравнения пунктирными линиями приведены результаты расчета (значения напряжений в скобках) на действие плоской волны сжатия, распро-
страняющейся из бесконечности.
Из рис. 3, б видно, что эпюры напряжений, показанные сплошными и пунктирными линиями, практически идентичны. Это позволяет сделать вывод о том, что в приведенном примере при удалении источника на расстояние ?0 >7 динамические напряжения можно с достаточной точностью рассматривать как воздействия от плоских гармонических волн, распространяющихся из бесконечности.
G
(in) 9 max
2,99
0,83 1,15
2,50
0,82 0,61 1,17
положение
сточника
2,57
2,63
2,91
а
Лт)
ст9 max
(3,27) 3,18
(2,59)^ 2,38./ 'Л
2,15 (2,06)
1,21 (1,17)
1,37 // (1,50)
/
2,75 I (2,91)Ч\
1,19 ,(1,26)
0,29 (0,34)
0,43 (0,44)
2,10 1(2,14)
""2,67
(2,78)
,63 (1,72)
2,58 (2,65)
б
Рис. 3. Расчетные эпюры динамических напряжений а(ш)
9 max
на внутреннем контуре обделки тоннеля: а - при щ = 2, б - при щ = 7
В заключение можно отметить, что благодаря очевидной простоте расчета в соответствии с разработанным методом он может с успехом применяться в практическом многовариантном проектировании.
Список литературы
1. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий. М.: Те-хиздат, 1951. 650 с.
2. Фотиева Н.Н., Гарайчук В.Г. Алгоритм и программа определения напряжений в окрестности горных выработок при стационарных динамических воздействиях. М.: НИИ оснований и подземных сооружений, 1972. 37 с.
Саммаль Андрей Сергеевич, д-р техн. наук, проф.,sammal@,mm.tsu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
STRESS STATE OF NON-CIRCULAR TUNNEL LININGS UNDER THE
ACTION OF HARMONIC COMPRESSION-TENSION WAVES SPREADING FROM CLOSE LOCATION SOURCE
A.S. Sammal
Analytical method for determining of maximum stresses in closed monolithic lining of an arbitrary cross-section (with one axis of symmetry) for all time of the longitudinal compression - tension wave propagation from close source is described. The method is illustrated by examples of the tunnel design.
Key words: tunnel lining, dynamic effects, harmonic waves, the stress state, the design method.
Sammal Andrey Sergeevich,doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 622.28
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ БЕТОННОЙ КРЕПИ СТВОЛА ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНУТРЕННЕЙ ЛОКАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ, ОБУСЛОВЛЕННОЙ ЖЕСТКОЙ АРМИРОВКОЙ
А.С. Саммаль, О.А. Тормышева, Н.А. Капунова
Предлагается метод определения напряженного состояния крепи ствола при действии внутренних локальных нагрузок, обусловленных, например, влиянием жестких конструкций расстрелов, препятствующих деформированию подземной конструкции. В основу метода положено соответствующее аналитическое решение плоской задачи теории упругости, реализованное в виде компьютерной программы. Рассматривается конкретный пример, иллюстрирующий метод.
Ключевые слова: ствол, крепь, локальная нагрузка, напряженное состояние, метод расчета
При проектировании крепи стволов, сооружаемых в сложных горнотехнических условиях, характеризующихся большими глубинами, наличием слабых и нарушенных пород, а также тектоническими проявлениями в массивах, возникает необходимость учета влияния воздействий, которое может оказывать жесткая армировка на напряженное состояние подземных конструкций. Возникающие при этом усилия в жестких расстрелах, препятствующих свободному деформированию крепи, передаются на нее в виде локальных внутренних нагрузок, достигающих значительной интенсивности, что негативно отражается на ее несущей способности.
