Напряженно-деформированное состояние авиационных шин при динамических нагрузках Текст научной статьи по специальности «Физика»

Таблица 1

Частота, с 1 Амплитуда, мкм

400 21

500 в

725 20

1250 16

1450 9

Рис.5. Круглограмма заготовки при о - 1450 сек '.

Между погрешностями формы обрабатываемых заготовок 3 и параметрами вынужденных колебаний существует прямая зависимость. В качестве примера на рис. 5 и 6 приведены круглограммы обрабатываемых заготовок при частотах соответственно 1450 и 1250 с -1. Погрешность формы составляет 11 и 14 мкм.

Рис.6. Круглограмма заготовки при со = 1250 сек

Литература

1. Андронов A.A. и др. Теория колебаний. — М.: Наука, 1981. - 915с.

2. Бронштейн И.Н., Семиндяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. - 976 с.

3. ГлазыринВ. А. Расчет геометрической точности шлифованных деталей при дискретном шлифовании / Совершенствование процессов механической обработки материалов// Сб. научных трудов. — Ижевск: ИТН и ПРП, 1998. - С. 83-88.

ГЛАЗЫРИН Владимир Александрович, кандидат технических наук, преподаватель.

ПУЗАНОВ Юрий Владимирович, кандидат технических наук, доцент.

КОСТЯЕВ Владимир Иванович, кандидат технических наук, доцент.

удк 539.3 С.Н.ПОЛЯКОВ

В. г. цысс

Омский государственный технический университет

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ АВИАЦИОННЫХ ШИН ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

Рассматриваются алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния авиационных шин при динамических нагрузках. Для построения расчетных алгоритмов используется конечно-объемная аппроксимация уравнений динамической теории упругости.

Современные авиационные шины работают при высоких взлетных и посадочных скоростях, что вызывает необходимость определения напряженно-деформированного состояния в условиях динамического натр ужения. Рассматривая режимы работы авиационных шин при эксплуатации, можно выделить следующие расчетные случаи:

1) посадка шины на обод и нагружение рабочим внутренним давлением;

2) обжатие шины на плоскость под действием вертикальной нагрузки;

3) качение шины с постоянной вертикальной нагрузкой и постоянной скоростью (при рулежке);

4) качение с переменной скоростью и изменя-

|ощейся вертикальной нагрузкой (при взлете);

5) ударное нагружение колеса в момент касания взлетно-посадочной полосы (ВПП) самолетом;

6) с последующим раскручиванием колеса от нулевой скорости вращения до оборотов, соответствующих посадочной скорости и последующим уменьшением

^-скорости качения во время торможения самолета;

7) юз колеса, т.е. перемещение заторможенного колеса по ВПП.

Конструктивно шина представляет собой незамкнутую торообразную многослойную оболочку, выполненную из композиционных материалов (брекер И каркас), металла (бортовые кольца и брекер) и высокоэластичного материала (чаще всего резина). Расчет таких конструкций аналитически в настоящее время не представляется возможным и требует применения численных методов.

Для определения НДС шин распространен подход на основе различных модификаций гипотезы Кир-гофа. Значительная неоднородность НДС авиационных шин при реальных режимах нагружения приводит к тому, что результаты расчетов на основе теории оболочек существенно отличаются от реального распределения деформаций и напряжений в шине. В связи с этим в статье для построения расчетных алгоритмов применяются уравнения динамической теории упругости [1].

В статье предлагается подход основанный на представлении среды в виде конечных объемов [2,3], и аппроксимации уравнений сохранения в интегральной форме на этих объемах, Основные преимущества такого подхода заключаются в единообразии аппроксимации уравнений на конечных ячейках произвольной форме и, следовательно, в упрощении аппроксимации уравнений для сложных расчетных областей. Кроме того, в методе конечных объемов сеточные законы сохранения выполняются в каждой расчетной ячейке, а для формирования уравнений не привлекаются вариационные принципы.

В соответствии с [2, 3] расчетная область разбивается на множество непересекающихся контрольных объемов произвольной формы. Границы такого объема (элемента) могут выбираться как отрезки прямых для плоского и осесимметричного случая или плоскостей для трехмерного случая, или как криволинейные границы, совпадающие на границах расчетной области с ее криволинейной границей. Искомые решения должны удовлетворять законам сохранения для каждой ячейки или для группы ячеек и, следовательно, для всей расчетной области в целом. При этом не обязательно, чтобы в трехмерном случае контрольные объемы были шестигранниками, а шаг сетки изменялся плавно. Дифференциальные уравнения интегрируются по каждому контрольному объему. Для вычисления интегралов используют кусочные профили, которые описывают изменение искомых переменных между узловыми точками. В итоге находят дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменных в нескольких узловых точках. Полученный таким образом дискретный аналог выражает закон сохранения переменных для конечного объема точно так же, как дифференциальное уравнение выражает закон сохранения для бесконечно малого объема.

Типичная формулировка метода конечных объемов включает следующие основные шаги [2]:

1. Выбор допустимых шаблонов дискретизации.

2. Задается соглашение о неизвестных.

3. Полиномиальная интерполяция на элементно-ориентированных сетках.

4. Используется принцип взвешенной невязки, с весовыми функциями, равными единице на каждом конечном объеме,

5. Для всех элементов, используя двойственные сетки, можно записать выражения для линейной комбинации локальных неизвестных.

6. Строится глобальная матрица и вектора неизвестных аналогично МКЭ.

7. Решается полученная система уравнений.

В статье используется подход на основе разнесенных сеток, заключающийся в том, что различные зависимые переменные определяются в узлах разных сеток. Компоненты тензора напряжений и тензора деформаций определяются в центрах ячеек, а перемещения и компоненты скоростей перемещений — в узлах этих ячеек, Массы ячеек разносятся по узлам ячеек.

Движение шины рассматривается в общей системе координат Х=[Х1Х2Х3]Т. Определяющая система уравнений формулируется в переменных Лагранжа. В качестве основных уравнений применяется закон сохранения импульса (1 ]:

a^+f^pu, (1=1,2,3), (1)

где <т„ - компоненты тензора напряжений;

f, - компоненты внешних сил, приведенные к узлам;

р - плотность материала;

и, -компоненты вектора перемещений.

Тензор напряжений ^связан с тензором деформаций e,j законом Гука

°'!/=С!) иеи (2)

Приведенная система уравнений (1), (2) дополняется начальными условиями:

х(0) = х°; u(0) = и°; уц= 0; е = е°

в объеме V(x°,0) (3)

и граничными условиями. Кинематические граничные условия имеют вид:

u(y,t) = U(y,t), где t > 0, ycSt. (4)

Динамические граничные условия:

ацп, = P(y,t), где t > 0, ycS2. (5)

Здесь iij - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S2.

Для решения определяющей системы уравнений (1), (2), вместе с граничными (4), (5) и начальными (3) условиями, применяется конечно-объемная аппроксимация [2] и явная схема интегрирования по времени типа «крест» [4|.

Конструкция шины разбивается на конечные шестигранные объемы, каждый из которых образован пятью тетраэдрами. Внешний вид полученной сетки приведен на рис. 1. Будем полагать, что:

1) масса конечных объемов, сосредоточена в узлах;

2) распределение скоростей кусочно-линейно по ребрам тетраэдров;

3) напряжения и деформации определяются в центрах конечных объемов.

В работе рассматривается изотермическая задача. Для получения системы алгебраических уравнений проинтегрируем систему уравнений (1) по объемам, окружающих каждый узел и применим интегральную формулу преобразования объемного интеграла в поверхностный для производных:

Рис.1. Схема построения расчетной сетки на авиационной шине.

ЭР Ит

(6)

где Б- скалярная функция в объеме V;

— декартовая координата; V и Б — объем и определяющая его кусочно-гладкая поверхность;

пи/ вектор внешней нормали к поверхности Б и единичный вектор вдоль оси х, соответственно; <1з — элемент поверхности Б; • - знак скалярного умножения.

В результате преобразований получим соотношения для компонент вектора скорости:

и>1 = (Т^ + Е^)/^ , Ф' = , Ф,к /I, (7) к к »

где индекс ] пробегает значения 1, 2, 3, а индекс к означает суммирование по всем ячейкам, содержащим узел!,

1_- количество узлов в конечном объеме, тк — масса к-го конечного объема. Для тетраэдральной ячейки структура внутренней силы Р||к определяется по формуле:

р11к ^«^¿оуЛ к,

(8)

На втором этапе в соответствии с граничными условиями проводится корректировка скоростей в граничных узлах. Для этого рассматриваются только те элементы векторов скоростей, для которых заданы кинематические или динамические граничные условия. Если для узла заданы кинематические граничные условия, то корректировка значений соответствующей компоненты скорости узла проводится по формулам:

иГ1=и,Ып + 1)!

(Ю)

где Ц — заданные в 1 — м узле компоненты скорости.

Этот подход позволяет, для распространенных граничных условиях в виде запрета на перемещение по направлению одной из осей координат, обнулять соответствующие компоненты вектора скоростей.

Для динамических граничных условий компоненты скорости на п+ 1 этапе определяем по формулам:

и,п+1 =и; +Рг1(г(п + 1))т/2т,

(11)

Скорости узлов, для которых не заданы граничные условия нап + 1 шаге определяются по формулам:

иг=и; (и)

В результате расчетов на втором этапе получены новые значения скоростей узлов.

На третьем этапе вычисляем новые значения координат узлов, в соответствии с полученными значениями скоростей узлов:

х,п+|=х," + и;+|т

(13)

где 1 — номер узла,

31к — площадь противолежащей грани тетраэдра. Для внутренних узлов = ® •

Для граничных узлйв компоненты вектора Я вычисляются через плотности внешних сил, заданных граничными условиями.

Пусть нам известны значения скоростей узлов, тензоров напряжений и деформации ячеек на п-ом временном шаге - I = пт, гдет — шаг по времени. Для определения значений скоростей узлов и напряженно-деформированного состояния на п+1 шаге 1= (п + 1)т вычисления проведем в несколько этапов,

На первом этапе будем определять промежуточные значения новых скоростей узлов. Для этого по уравнению (8) находим для каждого из узлов 1 вклад сил, образующихся за счет напряжений в ячейках, содержащих узел к После определения сил в узлах, находим промежуточные значения скоростей в узлах по формулам:

Для контактных задач на этом этапе легко провести корректировку полученного решения. Для этого сравниваются координаты узлов, полученные на очередном этапе с координатами границы. В случае отсутствия контакта, происходит переход на следующий этап. Если происходит касание границы или пересечение границы, то подключается модуль корректировки для контакта. Подробное описание алгоритма приведено в третьем параграфе этой главы.

На четвертом этапе определяем новые значения тензора напряжений и тензора деформаций на основании вычисленных значений скоростей и перемещений в узлах. Для анизотропных ячеек производится пересчет коэффициентов входящих в матрицу С. Необходимость корректировки коэффициентов, в общем случае, вызвана двумя обстоятельствами:

— возможностью поворота ячеек на очередном этапе вычислений;

— физической нелинейностью конкретного материала.

По окончании очередного этапа вычислений ячейки могут повернуться по отношению к положению на предыдущем временном шаге. Поэтому на четвертом этапе определяются направляющие косинусы локальной системы координат только для анизотропных ячеек и, для ускорения работы расчетного модуля, сравниваются со значениями на предыдущем шаге.

Для физически нелинейных материалов, то есть материалов, у которых зависимость а-в нелинейная, после каждого шага по времени происходит определение нового значения модуля упругости. Для этого нелинейная зависимость о-е аппроксимируется полиномом на подготовительном этапе, и для очередного шага расчета производится определение нового текущего значения модуля упругости.

Ширина, мм

Рис.2. Схема деформации средней линии каркаса радиальной шины: сплошная линия - надутая шина, пунктирная линия - вращающаяся шина.

Для описания анизотропных свойств композиционного материала используем подход, заключающийся в представлении композита как однородного анизотропного материала с упругими постоянными, определяемыми через упругие постоянные структурных компонентов материала.

Связь между напряжениями и деформациями для анизотропного материала определяется на основе закона Гука

где Оц - тензор напряжений, Сцк, - тензор упругих постоянных, еи - тензор деформаций.

Тензор упругих постоянных композиционного материала определяется через упругие постоянные структурных составляющих композита [5].

Для проверки предлагаем°й методики определим деформированное состояние неподвижных и вращающихся шин двух видов: диагональной и радиальной. Результаты расчетов приведены на рис.2 и рис.3. На рис.3 сплошной линией показан профиль каркаса надутой диагональной шины, пунктирной линией — вращающейся шины. На рис. 2. Показан профиль надутой радиальной шины — сплошной линией, вращающейся — пунктиром. Результаты расчетов дают возможность сделать вывод о качественно правильной картины определения деформированного состояния

Рнс.З. Схема деформации средней линии каркаса диагональной шины при вращении: сплошная линия - надутая шина, пунктирная линия - вращающаяся шина.

шины. К сожалению, получение экспериментальных результатов для динамического нагружения сталкивается с рядом дорогостоящих проблем. Данная методика может быть, при дальнейшей ее проработке, применена для расчета напряженно-деформированного состояния авиационных шин при динамическом наг-ружении.

Литература

1 .Розин A.A. Задачи теории упругости и численные методы их решения. — СПб.:Изд-воСПбГТУ, 1998. - 532 с.

2. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для аллиптических уравнений. — Новосибирск: Изд-воИн-та математики, 2000. — 345 с

3. Поляков С.Н., Цысс В.Г. О расчете осесиммет-ричного напряженно-деформированного состояния авиационных шин // Омский научный вестник. — 2003. - № 1 (22). - С. 57-58.

4. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я. и др. - М.: Наука, 1976. - 400 с.

5. Киричевский В.В., Дохняк Б.М., КарпушинА.Д. Вывод матрицы жесткости пространственного конечного элемента для исследования конструкций из композиционных материалов. BicHHK Сх1дноукра1нсь-кого державного ушверситету. — 1999. — №3(18). — С. 109-116.

ПОЛЯКОВ Сергей Николаевич, аспирант кафедры автоматических установок.

ЦЫСС Валерий Георгиевич, доктор технических наук, професссор кафедры автоматических установок.