CC BY
12
УДК 621.396.22.029.7
НАПРАВЛЯЕМЫЕ МОДЫ АНИЗОТРОПНОГО ГРАДИЕНТНОГО
СВЕТОВОДА
В. И. Кривенков
(.Московская государственная академия приборостроения и информатики)
Сформулирован строгий метод решения задачи о собственных волнах анизотропного градиентного световода. Для всех направляемых мод этого световода получены точные выражения для составляющих поля, дисперсионные уравнения и уравнения для критических длин волн.
В связи с проблемой создания световодов с оптимальными волноводными характеристиками, сохраняющих состояние поляризации передаваемого излучения, задача о собственных волнах анизотропных световодов является одной из самых актуальных в настоящее время задач волоконной оптики. Достаточно эффективных методов ее решения пока нет. Известные подходы к решению этой задачи, в основе которых лежат методы формул сдвига [1], эквивалентного световода [2], функций Грина [3], конечных элементов [4], имеют ряд серьезных недостатков. Они, как правило, сложны с точки зрения практической реализации, требуют значительных вычислительных ресурсов и, что более существенно, не могут обеспечить высокой точности.
В настоящей работе представлен строгий метод решения задачи о собственных волнах градиентного световода с анизотропной сердцевиной, у которой одна из главных осей тензора диэлектрической проницаемости направлена вдоль оси световода. Для всех направляемых мод этого световода получены точные выражения для составляющих поля, дисперсионные уравнения и уравнения для критических длин волн. Дисперсионные уравнения и уравнения для критических длин волн представлены в виде равенства нулю определителя, порядок которого при заданной точности зависит только от относительной разности £ = ££х^££" главных значений тензора диэлектрической проницаемости сердцевины световода ех и £у в плоскости поперечного сечения. В случае £ = 0 указанный порядок равен двум независимо от вида профиля показателя преломления световода [5-7].
В качестве модели анизотропного градиентного световода рассмотрим однородную вдоль некоторой оси г бесконечно протяженную диэлектрическую структуру, состоящую из анизотропной градиентной сердцевины в виде цилиндра радиуса а и бесконечно толстой изотропной оболочки с постоянной диэлектрической проницаемостью еоо • Тензор диэлектрической проницаемости сердцевины в цилиндрической системе координат г, г можно представить в виде
е(г, <р) =
^1+£(г)соз2ср -£(г)зт2<р 0 N
= е(г) —£(г)8И12у> соб 2<р 0
^ 0 0 ег(г)е_1(г)у
где е(г) = £*(г)+£«(г)?е~1(г),ех(г),£(г) в общем случае кусочно-непрерывные функции, которые, определив точки разрыва гх, Г2,..., х, не ограничивая общности, учитывая [7], представим в виде
(1+4)*:
ei(r) = Yi4k
k=о
4W = Ee^
fc=о
Г - п_х п - П-1
г - гг_х
(1+S[)k
i = 0,±1,
fc=0
< г < гг, 1 = 1,2
П - П-1
г - гг_х
(1+$[)k
П - П-1.
г0 = 0, rL = a,
где — символ Кронекера.
Полагая зависимость составляющих векторов напряженности электрического поля Е = (Er,Ev,Ez) и магнитного поля Н = (Hr, Hv, Hz) направляемой моды рассматриваемого световода от времени t и продольной координаты г в виде ер \j(ut — fiz)], где ш и (3 — круговая частота и постоянная продольного распространения моды, из уравнений Максвелла для немагнитной анизотропной диэлектрической среды получим следующую систему уравнений в частных производных первого порядка:
+ (А«(г, ф) - (-7Щг) cos 2^41) h1-
а = 0,1,
где
/ Зу/ёЦЕг \
\каг\/]М)Нг J
h = y/Jiо
( jHz
\ko rHv
10 ВМУ, физика, астрономия, №3
тЧ _ 1kl ~
I 3 k I
Aa(r,ip) =
dtp
7
72 — е(г)(1^а£2(г)) 7ае1-«(г)
\
Щг27х ае"(г)
(-1)
1—а
д
др /
7 = ßky , ко = to^eoßo, £о и — электрическая и магнитная постоянные. Посредством подстановки
оо
h°(rlV>) = (-1 г Y,
т=0
а = 0,1, /х, i/£{0,1} ,
где
('гтр + а
sm mw + а-
<%>)=( „ 2 • 0 sm
7Г
mtp + (а — 1) —
//иг/ — параметры, определяющие тип направляемой моды, эта система уравнений может быть преобразована в бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
ß^m , ri(r) 7-10 _ ла
--Inn ; — /"•
/'"то
dr ' 2 dr
Г j-10 11 in , „a j-01 ДО La OOtl-ctM —LJ00 пто + 7 -<00 l пто ~~ пто Л
a = 0,1, m = 0,1,...
где
=
/(2m+y)(l--a$2(f)) x
' ( \ \ 2a—1
7
\ fcoi-2(-7)1_ae?(r)
72^(r)(l^ag2(r)) (-7)ai1"a(r)
2m + v
2 + v
\fh[
m-l+ST!'1
(r)
+ (-1)в(2т + 2 + 1/)/Л°+1(г),
<& = 1-<^-(-1)Чго+,/ (0° = 1).
Непрерывное решение последней системы уравнений, убывающее при г —> оо быстрее, чем г-1, представим в виде
1 оо
Г ~ П_ 1
П - П-1
г=0 п,к=0
< г < п, 1 = 1,2
(h°m(r)\
= Ы
V4W/
( 1 \
e0o(2m + v)u^2 0
/
( о \
7^2то+гДг)
\j(2m + г/)и 2J оо, а = 0,1, т = 0,1,... где = Щ = 0, если v = 0,
/ел
= а
т,,п+к
(Roi \
тпк
К^тмк/
¿10 (п + к + т + V + 1)
Rl®
\пт,пк )
(ьш \
W+1 к)
/тООиОН \ 01 тпк
VS5?л тп к)
тООиаН _
01 тпк —
= J=0 1=0_
4(п + к — т){п + к + т + v) а = 0,1, г = <$о,1, т = п + к — 1,п + к — 2,...,0, п, к = 0,1,... (п + к > 0),
иа01 _ т "•тп 0 — ит
^2n — v
rall _ ппп0 ~
',,1—\а„пп
7 le10i 0,1—а
т,п = 0,1,...,
^n+fc ,n,fe — 610 3 Catk]-00 +
B3\h ,х
п+к,п,к
/ п+к,п+к\-1 п+к,п+к п+к А , „п+к2 1С01 ) С11 с0 £Ю + С1 7
= 1,2,...,
и etil _
"тпк
(т > п -
/-(П _
^аг
/ 1 \a+i„aJ-a ™ щ л
1 -U 7 еЮ 0а 0г 1—г
"01
п _ п—1,п . |j—ß\ п—1,п
сг ~с01 + 9п с1-г,1-г'
D«! _ Л"®
и0 пк — ф0 nfc!
ÎBoi \
\Bm+l,n,kJ
к)
{7-ю : т-оо \
"то+1 00 ' i00 t п
(п + к — mY
т00 : 7-ю
\ J00 ' »m+l 00 /
m = 0,1.....n + к — 1,
/в°±Л
тпк ?1г
\Втпк/
жЫ _ /1 т+к\ дal тОО il-a,î,l ^тпк — ) тоО 01 тпк
С 7-01 7-00 (lOhail OOil-смД
Ç107 •'00-'01 ^ «mnÈ"
тпк
к-1
+ - E +2п + i=0
а, г = 0,1,
С--
т,+1,п
¿ = 0,1,
1 „тп
m = 0,1,..., п — 1,
/
Ст.п —
„топ т10 C11 i00
„ГПП^-1 7-10
coi 7ею Joo
„тп^-1-.l "17"10 : „топ 7-10
\с01 7 ^цД1 sio^oo • соо ioo /
J _ топ топ _ / топ\2/1 ¿2 \ «тп — с00 C11 lc01 I l1 S10 л
, 60rl0 00taîi _
TO,n,fc+l + 2 00 ~~
к 1
— + ф™^ - Е Е jpf £l,k+p-jIo0 °°^mnj = _j=Qp=0_
2Pl(k + l)
оо
С»о = Е ^топй ' а> ^ = 0,1, I = 2,3,..., L,
к=О
m, п, к = 0,1,...,
к-д\
1—а,г,£ mnj
3=0
a 7-OI /l
'00 Hmnj Т 7 -<00 ^
- б,*-,- [й? + VA1 (10/eL -
"топ з
топу
sfKÎ,3 = - 2 + ^ei+f«
+ (^l)s(2m + 2 + v)^
¿al _
mk
( (2m + i/)Ç%
,y2ct-l
\ 3=0
7
Ci
72(2a-l)
(2m + v)8l
к j
ci«;=£lk- аEE.А/ <'£'<'•
j=0 г=0 J, (r): :ri[^m(Mr)]
m u2Km(kQurL) '
U2 = 72 - e00 > 0, Рг = n-i(n-n-i)_1
«-1 = <-2 = 0),
Km{x) — функция Макдональда, постоянные агп, Ьгп, г = 0,1, п = 0,1,..., — нетривиальное решение однородной линейной системы уравнений
1 оо 1
^ ^ ^ ^ ап^тпк = ^ ^ bmhm, а = 0,1, m = 0,1,...,
г=0 п,к=0 г=0
где
hn =
"то
дгД-г = "то
(-1)' \
0
» = 0,1.
Приравняв определитель этой системы уравнений к нулю, получим уравнение относительно неизвестной фазовой постоянной 7
где
det (PQ) = 0,
Р = (Ртп), Q=(Qmn), т,П = 0, 1, ...
Qmn — ^ ^
/LOOL : loil \
тпк ' тпк
к=0
(n + i/^0),
1С • ft™V
00
QmO = E
/«л
к=0
{у = 0),
Р — <)п
1 ТОП — "то
\hm0k/
^£ооР2т+р(гь) 0 7(2т + г/)и-2 Л
е0о(2т + 1/)и"2 1 7-Р2т+г,(гь) 0у
(т + г/^0),
Роп = Зо(^1леооРо(гь) 1-ц р)
(|/ = 0), ^,1/€{0,1},
которое является дисперсионным уравнением для четных мод еНЕтп и еЕНтп, если ц = 0, или для нечетных мод 0НЕтп и 0ЕНтп, если ц = 1, с азимутальным индексом т = 2к + и, к = 0,1,... .
В предельном случае 7 ^ л/ёоо имеем уравнение относительно неизвестной длины волны А = 2жк$1
си* [яд (7 = ^)] = о,
11 ВМУ, физика, астрономия, №3
где
р _ т
"топ — т
R — {Rmn) 1
( V^OO 47Г2£ОО^|,
m, п = 0,1,
О 1 о\
О 1
(т ф 0),
До« = <*о о о) (v = 0), ^,1/е{0,1}.
которое является уравнением для критических длин волн для четных (/х = 0) или нечетных (/х = 1) направляемых мод с четным (г/ = 0) или нечетным (г/ = 1) азимутальным индексом.
Порядок определителей в левой части полученных уравнений при заданной точности зависит только от вида функции £(г) и равен удвоенному количеству членов в разложении в ряд Фурье, составляющих поля моды.
Литература
1. Шевченко В.В. // Радиотехника и электроника. 1986. 31, № 5. С. 849.
2. Black R.J., Pask С. // J. Lightwave Tech. 1984. LT-2, N 3. P. 268.
3. Ruhl R., Snyder A. W. 11 J. Lightwave Tech. 1984. LT-2, N 3. P. 284.
4. Okamoto K., Okoshi T. // IEEE. Trans. Mic. Theory Tech. 1978. MTT-26, N 2. P. 109.
5. Беланов А.С., Кривенков В.И. // Радиотехника и электроника. 1994. 39, № 1. С. 31.
6. Беланов А.С., Дианов Е.М., Кривенков В.И. // ДАН. 1999. 364, № 1. С. 37.
7. Кривенков В.И. // ДАН. 2001. 378, №6. С. 751.
Поступила в редакцию 15.12.03
