CC BY
13
КЯШКИН А. А., ШАМАНАЕВ П. А.
НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Аннотация. В статье с использованием метода Ляпунова-Шмидта найдено семейство периодических решений для уравнения колебаний математического маятника. Получено асимптотическое разложение периода решений по малому параметру.
Ключевые слова: уравнение колебаний математического маятника, периодические решения, метод Ляпунова-Шмидта.
KYASHKIN A. A., SHAMANAEV P. A. FINDING PERIODIC SOLUTIONS FOR THE EQUATION OF MATHEMATICAL PENDULUM OSCILLATIONS Abstract. The article presents a family of periodic solutions for the equation of mathematical pendulum oscillations found by the method of Lyapunov-Schmidt. An asymptotic expansion of the period of solutions in the small parameter is obtained.
Keywords: equation of mathematical pendulum oscillations, periodic solution, Lyapunov-Schmidt method.
Рассмотрим модельный пример - уравнение колебаний математического маятника [2]
d2 z dt2
+ sin z = s ■ f
dz
z,—
V dt j
(1)
Ответвляющиеся от z = 0
2п 1 + f
- периодические решения уравнения (1)
рассматриваются как решение системы
dxl dt
dx2 = -x+X:L - — + ... + s ■ У a xjxj2 dt 1 3/ 5/ У i 1 2
(2)
где Xj = z.
С учетом обозначений R(x, s) =
xi xi
—- + -JL -...- s ■ У a x;1 x, 2/ 1 2
hv j
h+h 2
j1 j2
B =
f 0 1 ^
v-1 0 j
V x2 j
, система (2) принимает вид
<
0
j
V
x
— = Вх - Я(х> е)> ¿г
где В : Е1 ^ Е ■
После применения подстановки А. Пуанкаре г = —-—, где м(е) ^ 0 при е ^ 0,
получаем )| т =
С \
х
1+м
V1+ М у
def
1 + м
у(т). Тогда система (3) перепишется в виде В у = мСу + Я(у, е)>
(4)
где Ву = (В - С)у , Су = у' (т), В : е1 ^ е2 , ек=Ек+1Ек , к = 1,2. Множество
нулей оператора
В имеет вид N(В) = {ф(т), ф (т)}, где ф(т)= ф = -^=
л/ 2
V 1 у
ф (т )=ф =32
^У
Рассмотрим также сопряженные операторы В* : Е* ^ Е^ и В * : е* ^ е* , е* = Е* + ¡Е*, к = 1,2. Множество нулей сопряженного оператора имеет вид N(В*) = {у(т), у (т)}, где у(т) = у = ф, у (т) = у = ф.
Согласно следствию из теоремы Хана-Банаха в е* существуют функционалы ^ , у2 такие, что [1, с. 337]
{(ф^'У$ = ^, ¡>1 =1,2■
По тому же следствию из теоремы Хана-Банаха в е2 существуют элементы , г2 такие, что
((2к>У*))= 3к,,, к,,= 1,2■
Здесь ф = ф, ф2 = ф; щ = у, у2 = у ; а ^ = — /(т)>^(т))¿т - значение функционала
2п 0
g(т) на элементе /(т). Используя лемму о биортогональности, получим уг = у = ^ = ф ,
¡ = 1,2 ■
Решение системы (4) будем искать по обобщенной лемме Шмидта. Введем оператор
- Ву + £
где
* 1 = {(у> У1», ^
1,2.
*1 = * , * 2 = * , и запишем (4) в эквивалентной форме
(5)
т
е
е
2
¡ = 1
Ву = С + Я(у, в) + £ ^Г
1 = 1
Решение уравнения (7) представим в виде
2
у = ^ + X ,
1 = 1
где
^ = >^2 > И,в) =У0010 И + У0001в + X У^ *2 к / ^Й2 Ик в
к- 2
Подставляя (8) в (7), получим
Г 2 ^
Bw = ¡¡w' + ¡i^$\(r) + ¡л^ф(т) + R w + X, £
V '=1
(8)
(9)
(10)
Подставив ряд (9) в систему (10), методом неопределенных коэффициентов найдем коэффициенты для w, а значит и для y .
Для нахождения системы разветвления подставим полученный ряд (9) в уравнения (5):
X j Ж + X № X j ЛZ1 = 0, m = 1,2 ,
i+j > 2 i+j > 0 k+l > 1
где коэффициенты уравнения разветвления задаются так:
j = ((У*,У.)), m = 1,2 . (11)
Для реализации метода неопределенных коэффициентов используется математический пакет Maxima. Для построения системы разветвления ограничимся третьим порядком коэффициентов.
Приведем значения ненулевых коэффициентов:
y1010
y0101
У 2100
1
Л Л
л/2
1
V1У
j = _L
e , y0110 гг
Г 1 Л
42
1
V-1У
—it . e , У1
1 (^01 + 2a10 )+i(2«01 — a10 ) 1
001
4V2 V— (2.
V \2a01 + a10 )+i( a01 + 2a10 )У
' i/3Л
_ (a01 + 2a10) — i(2a01 —a10 ) '
442 (2a01 + a10 ) — i(— a01 + 2a10 ),
' 2 — i 1
e , y3000
32V2
— I
3ir
16 V2
V— 1 + 2i У
e , У12
16V2
2+i 1
— 1 — 2i V 1 21У
y0300
V 1 У 1
e
fi /31
32 V2
V 1 У
—3 iz
1 Г— Л
У1020 V2
V 1 У
ЛЛ
e , У 0120 г~
— V2
e , y2001
1 Г (a20 — a02 )+ia11 1 2iT
/ \ ie , y 11
6 I — 2an +i(2a20 — 2a02
a20 + a02 0
\
y 0201
(a20 a02) ia11 — 2an — i(2a20 — 2a02 )
—2 ir
e
1
1
e
e
1
1
e
Лс
(- 9ат + 2а10) + г(2ат + 9ат)
8л/2 V (2а01-7а10 )- г(7а01 + 2а10 ) у
у01
_ (- 9а01 + 2а10 ) - Фа01 + 9а10 )
111 8л/2 V (2^01 - 1а10)+ ¡(7а01 + 2аю)
ую
у010
1
16л/2 1
(4а120 -8а10а01 ) + г(за120 + 4а10а01 -5а021) Л
(- 5а120 + 4а10а01 + 3а021 )-г(8а10ао1 -4а021 )у _ (4а12о - 8а10а01)-¡(за12о + 4а10а01 - 5ао21)
16л/25а 20 + 4а10а01 + 3а°)+г(8а10а01 - 4а ^)
Коэффициенты уравнения разветвления найдем по формуле (11). Приведем ненулевые коэффициенты:
1001 ((у1оо1 > ^1)) 2 (ао1 а1оТ),
П1012 ((у1212 > 7^) Т , ^1002 = = ((у1002> 71» =
=1 (ао21 - а2о)-1 г'(4а
4.022 = ^(у1222 > 71» = -1 ,
^,<2100 = ((у2100 > 7^) = Т ,
41 = «уо121 > У г)) = -1 (а01 +а10Т),
Дпо =((у0110> У2})
0102 = ((уо122> У2)) -
2
= - Т,
22 01а10 а10 а01,
=1 (ао21- а12о)+1 т(4а
22 01а10 а10 а0Ь
Дш ((у0120> У2}} 1,
^2200 = ((у1200 > У2 )
п
(1)
((укШ > У1})
а12 Та21
П0Ш ((у2Ш> У^) а12 +га21 ■
С учетом (6) и ** = |*|2 записываем систему разветвления:
К 2 -"-22|-'-22-1
*I -м -а10ем--аюе е--а01 е I +
+ * /атем + М + 1 е2 -1 ао1а1ое2 + 1 ао21е2 + 1 а1ое + 11*I
Л 2 1 2 2 1 2 2 1 |
*I- М -а10еМ--«10е + ~а01е --«01е I-
1
1
-* ТI -а01 ем + м + —а10е--а01аюе + —аше
8
2
2 а^е2 + 1 «ю е + \\* |
8
2
8
0,
(12)
Рассматриваем первое уравнение системы (12). Решение * = 0 отвечает тривиальному решению уравнения (1).
Пусть * Ф 0 . После сокращения первого уравнения на * и отделения вещественной и мнимой части [2, 3] получим:
е
е
е
2
2
Г) 2 1 2 2,1 2 2 1 А
Re: - ¡л - а10£¡ - — а10£ + — а01 £ -— а01£ = 0,
т I | 1 2 2 1 2 i 1 2 2 i 1 I 1 Ы2 п
Im: - ао1£Л + Л +~аю£ -- а01аю£ + ~a01£ + ~ a10£ + g|kI = 0 Из второго уравнения выразим ¡л :
Л = Л(кL £)
1 - а, £
01£ V
__1 2 2 _i_ 1 2__^ 2 2__
- g а10£ +- а01а10£ - g а01£ аю£
1 1 up'
-аю£ -dk1 о
£ Ф ■
а,
01
(13)
Подставив (13) в первое уравнение, получаем приближенное редуцированное уравнение разветвления:
I*|4 + 2е2(< ) |*|2 + (а40е4 -15а041е4 + Oц01a1ooе4 + 64а031е3 -80^2 + 32а0е)= 0 ■ (14)
Пусть * и * имеют вид [3]: * = г(е) е'0 , * = г(е)е~1в , где 0 е Я . Следовательно,
г - г(е)= |*| ■
Найдем решения биквадратного относительно |* | уравнения (14). Очевидно, имеет смысл только корень уравнения:
k I=f4
- е2 (а2 + а20)+ 4^/а01£(а3£3 - 4а^£2 + 5а01 £ - 2)
(15)
при условиях
- £2 (а2 + а20)+ 4^/а01£(а3£3 - 4а^£2 + 5а01 £ - 2) > 0,
1а01 £(а3£3 - 4а^£2 + 5а01£ - 2)> 0.
Подставив (15) в (13), получаем
Л = Л(г(4 £) = 1 ■ т—1-( а01а10£2 -а10£ - Vа01£(а031£3 - 4а021£2 + 5а01£ - 2))-
2 1 - а,£
2 1 - а i£
Подстановка найденных k и ¡л в (9) и (8) дает приближенное однопараметрическое
семейство периодических решений системы (4):
f (а01 + 2а10) cos а-(2а01 -а10) sin а ^ 242 ^-(2а01 +а10) cos а-(-а01 + 2а10) sin ау
sin а
I г3 + -/9
16л/2 V cos 3а
у(т, £,&) = 42
sin а
Г + ■
+
42
Vcosаj
cos а 1 f1/3■ sin 3аЛ
г¡ +
V- sin а
Г£ +
V
-cos а
r¡2 +
+
1 f 2 cos а + sin а
о42
- cos а - 2 sin а,
I Г 3 + I
с
(а20 - а02) cos 2а - а jsin 2а ^ -2ап cos 2а-(2а20 -2а02) sin 2а
Г 2£ +
+
а + а ^
20 02
Г 2 £ +
(- 9а01 + 2а10 ) cos а -(2а01 + 9а10 ) s
4л/2 V (2 а01 - 7а10) cos а + (7а01 + 2а10) sin а j
ГЦ.8 +
1
3
1
0
+
1 { (4а]2,, -8a10a01) С08 а-(зa12() + 4a10a01 -5й^1) 81п а Л
842
5о!120 + 4^0^! + 3all) С08 а + -4a^) 8!
гв2,
10a01 - 4«01 ) 8т аУ
где а = а(т, 0) = т + 0.
С учетом обратной замены у(т)\т = = у(т (1 + и)) = х(:) получаем
xl
(^ в,0) = 42
^81п
(<Лт + 2^0 ) C08 в-(2^1 - ^о ) 8ln в cosв) 242 + a10) co8в-(-a01 + 2a10) 8ln в
г +
г в +
+
42
С08 в
г И +
- 81п ву 1б42 у С083в
1/3 • 81П 3в'
г 3 + 42
- 81п в
- С08 в
ги +
+
842
2 соф + 81П в Л , 1
. I г + -
- С08 в - 2 81П в У 3
+
a20 + a02 I 2
I г в +
(^0 - ^) С082в - ^ 181П 2в ^ - 2^1 С082в -(2^ - 2^) 81п 2в
11 10 10
11
20 2ЙЮ2 ) 81п 2в у
1 Г(- 9a01 + 2a10) С08 в-(2a01 + 9a10) 81п в^
г 2в +
(16)
442 ^ (2a01 - 7a10) С08 в + ^^ + 2a10) 81п в
2
+
842
^ (4a120 - 8^0^!) С08 в - ^^ + - 5a21) 81п в
"10 8aloaol)
(- 5a12o + 4a1oao1 + 3a21) С08 в + (8a1oao1 - 4a21) 81П в
г ив +
01
2
У
гв
где в = и,0) = (1 + ИУ + 0.
С учетом 1 -го уравнения системы (2) и х1 = 2, запишем полученные приближенные решения уравнения (1):
> в,0) =4281п(в)• г + [(% + 2^) С08в-(2% ) 81п в]
+
42 С08(в)• ги (3в)• Г3 -42 81п(в)•
ги 2 +
+ (2 С08в + 81п в) г3 + -[(a20 -a02) С08 2в-a11 81п 2в] Г2в + 8л/2 3
+ (a20 + a02) г2в + [(- 9a0l + ^10) С08в - (2% + 9al0) 81п в] гИв
+
+ 112 ^0 - 8aloaol)С08 в - ^ + 4aloaol - 5a2l)81п в]
Учитывая, что уравнение (1) автономное, 2(¿, в, 0 ) в (16) - приближенное решение этого уравнения, то приближенным решением уравнения (1) также будет
+ С,в,0), где С еЯ, в = в(t + С> и,0) = (1 + И)(t + С) + 0 . (17)
Таким образом, мы получили двухпараметрическое семейство приближенных решений уравнения (1).
1
1
0
1
ЛИТЕРАТУРА
1. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 528 с.
2. Кочуров В. В. Модельный пример бифуркации Андронова-Хопфа // Механика и процессы управления: сб. науч. тр. - Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С. 37-40.
3. Треногин В. А. Периодические решения и решения типа перехода абстрактных уравнений реакции-диффузии // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: сб. науч. тр. - Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1988. - С. 134-140.
