Нахождение коэффициентов асимптотического ряда для спектра краевой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.25

Л.Н. ШЕГАЙ

НАХОЖДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЯДА ДЛЯ СПЕКТРА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Рассмотрим на полуоси [0,+да] дифференциальное уравнение с точкой поворота

У = 0,

(1)

Ьу = у" + X ц(х) + Я(х) где д(х) = хаг(х), г(х) > 0, а > 0.

Такое уравнение на конечных и бесконечных интервалах изучалось в ряде работ ([1-4] и др.), методы которых здесь используются.

Пусть

г(х) є С [0,+да), Л(х)єС[0,+да),

+да

ііш д( х) = 0, Ід/ д( x)dx < +да .

х^+да Л

0

(2)

(3)

Введем функции [1]

х _____ !

£, (х) = І ^4(0& , а(х) = [(х)] , V:

а + 2

И =

а + 2

^)(х) = -<[& (х)

£

ю (х)

, ^(х) = Я(х) - ^0 (х)

и будем считать, что

+о№(х) . ч . .

\^=Ых <+о , ц (х) = о(ц(х)) при х ^ +о.

0 Vц(х)

На концах полуоси зададим условия

у(0, X) = 0,

у(о, X) = 0 ,

Здесь

(4)

(5)

(6)

у(о, Х)= Нш у(х, Х)= Нш д/ю (x)y(x, х). (7)

х^+да х^+да

Целью настоящей работы является нахождение коэффициентов асимптотического ряда для спектра краевой задачи (1), (5), (6).

Известно [1], что эталонное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению

1

2

1

хх

'' 2

и + [X ц(х) + Я0 (х)]и = 0 , имеет два линейно независимых решения

и(х, X) =—^[Х^(х)]ц Я())[Х^(х)], ] = 1,2,

)/ю (х)

где Н(^ - функции Бесселя третьего рода, функции Ганкеля. Уравнение (1) представимо в виде:

у + X2ц(х) + ^0 (х) У = -^(х)у. (8)

Для решений уравнения Ьу=0 введем обозначения: у 0 (х, X ) - решение, удовлетворяющее условиям

У0 (0, X) 0, У0>, X) 1, (9)

У0 (х, Л) - решение, удовлетворяющее условиям

У 0 (о, X) = 0, У 0^ (о, X) = с ф 0 .

Изучим решение у0 (х, X) этого уравнения при х ^+о . Перейдем от (8), (9) к соответствующему интегральному уравнению:

х

у 0 (х, X) = и 0 (х, X) \ К(х, г, X)()у 0 (, X)dt,

0

где и0 (х, Л)= —[и2 (0, X) 1 (х, X)- и 1 (0, X)2 (х, X)],

С 0 X^

К(х, г, X) = —[и! (х, X) 2 (г, X) - и 2 (х, X) 1 (г, X)].

С 0 x 0 и

Анализируя интегральное уравнение (9), получим [2], что решение у0 (х, X) существует и существует предел (7). При этом у0 (х, X) является целой функцией при фиксированном х и у0 (со, X) является целой функцией по X. Предел (7) существует и для произвольного решения у(х, X) уравнения (1). Отсюда следует, что краевое условие на бесконечности можно задавать в виде (6).

Для решения У0 (х, X) уравнения (8) рассматриваем соответствующее интегральное уравнение

+о>

У (х, X) = У0 (х, X) - \ К(х, г, X)(г) (г, X) , (10)

где

V ( х) и2 (да, X) (х, Х)-и1 (со, X)2 (х, х)

C 0

Из (10) следует, что при фиксированном х решение Y0 (х, X) - аналитическая функция по X в комплексной плоскости С.

Чтобы определить характер спектра задачи (1), (5), (6), рассмотрим его резольвенту

-1 f = | G (х, і, X) f (і) йі .

Ядро G(x,і,X) резольвенты (функция Грина) находится по формуле:

К ,1)= 1 /У0(хх)Y0(і,4х <t,

( , Ф[у0;Г0 ]{У0( ^(x, 4х >,.

Спектром оператора называют совокупность точек X, в которых резольвента имеет особенности. Так как функции у0 (х, X) и Y0 (х, X) являются аналитическими по X в комплексной плоскости С, то особенности может дать только определитель Вронского

ФУ0^0 ] = Л(!),

который называется характеристическим определителем. При этом

Л^) = У 0 (да, X) - Yo (0, X).

Таким образом, спектр краевой задачи (1), (5), (6) является дискретным. Произведя дополнительное исследование интегрального уравнения (10) при ^(х) < N и ^(х) > N, N > 0 - достаточно большое число, получим асимптотическое представление для Л(!)

( ) е'^Р, (!)+еР2 (X)

Л(!) =----------------------------------------^, (11)

С0 хvх-a

( 1 \ 1

где Ру (х) = р0у + О— , ] = 1,2, е = шіи(1,2ц), а = ц--, причем р0у Ф 0,

IXе) 2

числа р0у выражаются через и у (0, X), и у (да, X).

Так как в уравнение (1) входит X2, все рассуждения достаточно провести для X, принадлежащих некоторой полуплоскости

С5 : (-5 < аг§ X < п - 5},

5> 0- достаточно малое число. С помощью (11) находится асимптотическая формула для положительных корней характеристического определителя

Ь

Xп = + о(1) при п ^ С

X0, = йп[ 1 + — I, й = ■

^(да)

Г выражается через р01,

р 02 .

Если предположить, что

д(х)єСда[0,+да), Л(х) єСда [0,да)

4

(п+1) (х)

-----— = о(1), х ^+да , п = 0,1,2,...

4(х)

^(п) (х

(к) т+1

4

(Ф = 0(1), х ^+да , п = 0,1,2,...,

ад+1 V/? ? ? ? ? 5

то получим [2] более детальное асимптотическое представление для У0(х, X) (асимптотические ряды) при XI ^ о и |аг§ X] < п - 5 (8> 0 - достаточно малое число). Используя найденное асимптотические представление и свойства функций Ганкеля в нуле и на бесконечности, получим, что в асимптотической формуле (11) для характеристического определителя функции Ру (X) -

многочлены по отрицательным степеням X, коэффициенты которых Рк ) выражаются через значения коэффициентов асимптотических рядов для

У>(0, X) [5].

Далее применим методы, разработанные В. Б. Лидским и

В. А. Садовничим для целых функций специального класса [6].

/

На лучах Гу находится асимптотика логарифмической производной характеристического определителя

Л' (X)

Л(4

ю

(у)

=0 X

к=0

где коэффициенты

ю

)

к выражаются через коэффициенты р к п

(у)

гу : агБ х = (- 1);Ф 0, 0 <Ф 0 <-7, 7=1,2.

2

Коэффициенты логарифмической производной используются [6] для нахождения коэффициентов асимптотического ряда для спектра.

Теорема. Спектр краевой задачи (1), (5), (6) допускает асимптотическое представление при п ^ да :

X п = Ьп

гк = Ь

1-к

.(2)

,(1)

2 га (к -1)

к=1

\ 1 к-1

)- — У

' к -1 “

к

к=1 п

к-1' к -1 т

У гк1...г

к1+...+к„=к

^(да)-

71

п

к

п

Литература

1. Дороницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // Успехи матем. наук, 1952. 7. Вып. 1. С. 3-96.

2. Lander R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order with special reference to a turning point. Trans. Amer. Math. Soc. 67. 1949. C. 461-490.

3. Стакун А. А. О формулах следов для сингулярного дифференциального оператора с точкой поворота // Дифференциальные уравнения. 1985, XXI, № 4. С. 636-646.

4. Шегай Л.Н. Некоторые спектральные свойства несамосопряженного дифференциального оператора с точкой поворота на полуоси // Качественные и асимптотические методы интегрирования возмущенных дифференциальных уравнений. Саранск, 1987. С. 99-109.

5. Шегай Л. Н. Об алгоритме вычисления регуляризованных следов для одной краевой задачи сточками поворота // Математика в высшем образовании: Материалы XII Международной конференции. Чебоксары, 2004. С. 152.

6. Лидский В. Б, Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функ. анализ и его прилож. 1967. Т. 1, вып. 2. С. 52-59.

ШЕГАЙ ЛЮДМИЛА НИКОЛАЕВНА окончила механико-математический факультет и аспирантуру Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Чувашского государственного университета. Автор 20 научных работ. Сфера научных интересов - дифференциальные уравнения, методика преподавания математики.