Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно (l,р)-радиальным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА С СИЛЬНО (Ь,р)-РАДИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ

С, А. Загребина

Пусть — банаховы пространства, операторы Ь £ % (Я; 5)

(т. е. линеен и непрерывен) и М £ сё"1{Я; 5) (т. е. линеен, замкнут и плотно определен), причем оператор М сильно (Ь,р)-радиалеп. Целью нашего исследования является разрешимость так называемой начально-конечной задачи [1]

РгЛ«(0) - и0) = 0, РМи(т) - ит) = 0 (0.1)

для уравнения соболевского типа [2]

Ьй = Ми + /. (0.2)

Здесь т £ М+, щ, ит £ Я, а Рт, Р^п — относительно спектральные проекторы, которые будут определены позже.

История задачи (0.1), (0.2) начинается, с одной стороны, в [3], где она названа задачей Веригина, а с другой стороны и независимо — в [4, гл. 4], где она названа задачей сопряжения. Однако в обоих случаях вместо относительно спектральных проекторов Р^п и Р^п рассматрива-

ЬЬ

самосопряженным. Наш подход основан на концепции относительного спектра, предложенной Г. А. Свиридюком [5, гл. 3], и развитой его учениками, в частности, В. Е. Федоровым. Первые результаты в этом направлении изложены в [6], где рассмотрен частный случай задачи

© 2012 Загребина С. А.

(0.1), причем с более жесткими, чем здесь, условиями на Ь-спектр оператора М. В [7] рассмотрена задача (0.1), но для тех же условий на Ь-спектр оператора М, что ив [6], однако в этом случае отмечена возможность большего произвола в относительно спектральных условиях.

Необходимо отметить, что в настоящее время начально-конечные задачи для неклассических уравнений математической физики активно изучаются [8-10], в том числе и на множествах различной геометрической структуры. Заметим еще, что если М) = 0, то задача (0.2) превращается в задачу Шоуолтера — Сидорова Р(м(0) — щ) = 0 и поэтому считается естественным обобщением последней [11], которая, в свою очередь, обобщает задачу Коши.

Статья кроме вводной части и списка литературы содержит три параграфа. Первый параграф посвящен постановке задачи (0.1). Во-втором содержится основной результат статьи — теорема о разрешимости задачи (0.1), (0.2). Абстрактные результаты снабжены конкретным примером, имеющим прикладное значение, рассмотрению которого посвящен третий параграф.

Наконец заметим, что все рассмотрения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении «спектральных вопросов» вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированы движением против часовой стрелки и ограничивают области, лежащие слева при таком движении.

§ 1. Постановка задачи

Пусть — банаховы пространства, операторы Ь £ % (Я; 5)

(т. е. линеен и непрерывен) и М £ сё"1{Я; 5) (т. е. линеен, замкнут и плотно определен). Обозначим через рь(М) = (^ £ С : (^Ь — М)— £ } ^резольвентное множество оператора М, через М) = (^Ь — М)— Ь — правую Ь-резольвенту оператора М, а через Ь^(М) = Ь(мЬ — М)— — левую.

Определение 1.1 [12]. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, р £ (0} и М, если

(i) За € R (а, +то) С pL(M);

(ii) ЗК > О Vm € (а, +то) Vn € N

max{II (RL(M)"(p+1} L(u, I (LL(m)n(p+1} L(f} < Км - а-n(p+1);

о

(iii) существует плотный в F линеал F такой, что ||M(ML - M)— (LL(Mf ||f < (м - а• const(f)

о

Vf € F, Vm € (а,+то);

(iv) ||(LL(M))p+1 (mL - M)L№u ^ К(м - а-p"2 Vm € (а,+то.

Будем рассматривать случай, когда оператор M сильно (L,p)-pa-диален. Из [5, гл. 3] известно, что при условии сильной (Х,р)-радиаль-ности существует единица разрешающей полугруппы однородного уравнения (0.2), которая является проектором, расщепляющим пространство U:

P=U° = s- lim U\ Uг = s- lim (Rl (МЛ {P+ ] .

k—>oo \ t t J

Аналогично можно построить проектор для пространства F

Q = F° = s- lim F\ Ff = s- lim (+ 1 hLk{p+1) (M)) ^ ] .

t >0+ k^oo у t t )

Введем в рассмотрение ядра kerU• = U0, kerF• = F0 и образы im U• = U1, imF• = F1 этих полугрупп. В силу сильной (L,p)-радиальности оператора M [12]

U © U=U (F0 © F1 =F). (AI)

Обозначим через Lk (Mk) сужение оператора L (M) на Uk (domMnUk), k = 0,1. Если оператор M сильно ^,р)-радиалеп, p € {0} U N, то Lk € Jf (Uk; Fk), Mk € %Jl(Uk; Fk), k = 0,1, причем существует оператор M—1 € Jz? (F0;U0). В случае сильпой ^,р)-радиадьпости оператора M, p € { } U N

существует оператор L—1 € J?(F^U1). (A2)

Наконец, введем еще одно важное условие:

L-спектр oL(M) оператора M

представим в виде oL(M) = ojin(M) U oLn(M),

L (A3)

причем oLin(M) содержится в ограниченной области D С C

с кусочно гладкой границей 7, где 7 П <rL(M) = 0.

Построим относительно спектральный проектор P/in = ¿¡ /

Y

при этом в случае сильной (Ь,р)-радпадьности оператора M справа выполняется PfinP = PPfin = P/m- Значит, в данном случае существует проектор Pin = P - P/in• Положим Hin(/in) = imPin/in), Fin(/in)= im Qin(/in) и чеpез bin/n (Mi^/in)) обозначим сужение оператора L (M) на подпространства Иц/in^ соответственно.

Итак, пусть выполнены условия (Al)—(A3), фиксируем т £ R+, щ, uT £ И.

Определение 1.2. Вектор-функцию u £ C([0, т]; И) пС((0, т); И), удовлетворяющую уравнению (0.2), назовем решением начально-конечной задачи (0.1), (0.2), если она удовлетворяет уравнению (0.2) и

lim Pin(u(í) - u(0)) = 0, lim P/in(u(t) - и(т)) = 0.

t—>0+ t—>T —

§ 2. Начально-конечная задача

Пусть И и F — банаховы пространства, операторы L £ J? (И F), M £ U;F)j причем оператор M сильно (Ь,р)-радиалеп. Кроме того, пусть часть спектра fin(M) ограничена. Тогда

(i) операторы Linfin) принадлежат Jf (Hin(/in) ;3jn(/in)), причем существуют операторы í—jn) £ &($1/п)5 UL(/in)) [5> гл-3];

(ii) операторы Minfin) принадлежат 3¿n(/in)) [5, гл. 3];

(iii) семейство {Ujin : t G Щ, Ujin = UVfme&if) является однопараметрической аналитической разрешающей группой однородного уравнения (0.2) аналитически продолжимой во всю комплексную плоскость, причем Pfin = Ufin [5, гл. 3];

(iv) семейство {Uin : t > 0}, Uin = U^yi ^l ^ является однопараметрической разрешающей сильно непрерывной полугруппой однородного уравнения (0.2), причем Pin = Uin = s- tlim^ U|n [5, гл. 3];

(v) семейство {Rfin : t G M},

R)in = ¿T J (^Lfin - M fin)-1 e»* dp, t G R,

fin

экспоненциально ограничено и аналитически продолжпмо во всю комплексную плоскость [14, гл. 2];

(vi) семейство {R|n G Jf (Fjn; U}n) : t > О}, где

-i \ Hp+1)

Lin I

экспоненциально ограничено и сильно непрерывно [14, гл. 2].

Кроме ТОГО, Ufiniin)Rfin(in) = Rfftni(in)-' Rin(fin)= Kifin)Qin(fin).

Действуя на уравнение (0.2) последовательно проекторами I — Q и Qin(fin), сведем его к эквивалентной системе из трех независимых уравнений

HU0 = u0 + M0-1 f0, (2.1)

Un = Sinuln + L-n fin, (2.2)

ufin = Sfin ufin + L fin ffin, (2-3)

где H = M—1 L G Jz?(U0) пильпотептеп степени p G {0} U N Sin(fin) = L-n(fin)Min(fin) G&(Ulin(fin)h причем спектр ^Sinfn)) = ^fn(fin)M

f0 = (I — Q)f, fin(fin) = Qin(fin) f u° = (! — PK uin(fin) = Pin(fin)u

Ritn

Lin

Mp+i)Min

Лемма 2.1. Пусть оператор M сильно (Ь,р)-радиален и часть спектра fjn(M) ограничена. Тогда для любой вектор-функции f° G Cp+1((0, т); F0) существует единственное решение u° G ^([0, т]; U0) уравнения (2.1), которое к тому же имеет вид

p dq

u0(t) = -YJH"MQ1 — f(t). (2.4)

q=o

Доказательство. Подстановкой вектор-функции U = u0(t) в (2.1) убеждаемся в существовании решения. Единственность получается последовательным дифференцированием однородного уравнения (2.1): 0 = Hpu0= ... = HU = u0. Лемма доказана.

Лемма 2.2. В условиях леммы 2.1 для любого вектора щ G U н для любой вектор-функции fjn G C([0, т]; Fjn) существует единственное решение ujn G С([0,т];Ujn)П^(((^т));Ujn) задачиPjn(u(0)-u0) = 0 для уравнения (2.2), которое к тому же имеет вид

t

u\n{t) = Ulu0 + j R-f(s) ds. (2.5)

о

Доказательство. Утверждение леммы 2.2 в силу радиальности оператора Sjn — классический результат [5]. Лемма доказана.

Лемма 2.3. В условиях леммы 2.1 для любого вектора uT G U и для любой вектор-функции ffjn G C([0, т]; Ffjn) существует единственное решение ufjn G С([0,т]; Ufjn) П С((0,т);Ufjn) задачи P/jn(Цт) -uT) = 0, для уравнения (2.3), которое к тому же имеет вид

T

uf jn(t) = f ut -J ff s) ds. (2.6)

t

Доказательство. Убеждаемся подстановкой, что вектор-функция ufjn = ufjn(t) является решением данной задачи. Пусть v = v(t), t G [0,т], — другое решение этой задачи. Построим вектор-функцию

£) = Lf^nUt^t¿„^(в). По построению

Значит, = £), т. е. и^— = 0. Лемма доказана.

Итак, доказана

Теорема 2.1. Для любых векторов щ,пт € Ни любой вектор-функцнн / : [0, т] ^ которая удовлетворяет условиям лемм 2.1-2.3, существует единственное решение п € С([0, т]; Н) О С1 ( (0, т); Н), которое к тому же имеет вид п(£) = п0(£) + п.„(¿) + п^„(¿), где слагаемые в правой части определены формулами (2.4)-(2.6) соответственно.

§ 3. Уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости

Пусть П С М" — ограниченная область с границей дП масса С Уравнение

(А -Д)щ = аДп - 3Д2п + /, (3.1)

где А € М, а, 3 € М+, моделирует эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости [15].

Для того чтобы редуцировать уравнение (3.1) к уравнению (0.2) возьмем функциональные пространства Н = {п € : п(х) = 0, х €

8П} и Wгk(П), где к € {0}и N Р € ( 1, + Wq(П) — пространства Соболева.

Определим операторы L € ££ М € формулами

А - Д, М = аД - 3Д2, где <к>тМ = {п € Wгk+2(П) : п(х) = 0, х € <9П}.

Лемма 3.1 [14]. При любых А € М \ {0, а ■ 3 -1} оператор М сильно 0)-радиален.

Обозначим через {Ак} последовательность собственных значений однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа Д в области П. Последовательность {Ак} занумерована по невозрастанию с учетом крат-

ности. Обозначим через |^>к} ортонормированную (в смысле ¿2(0)) последовательность соответствующих собственных функций, ^к € СТО(П), к € N Ь-спектр оператора М имеет вид

о\M) = № =

, k G N \{l-.Xi= A} .

аХк - (ЗХ2к Л — Хк

Понятно, что для такого множества можно подобрать контур 7 € С, который бы удовлетворял условию (АЗ). Построим проекторы

= Е ^•'^к) ^к, Р}ы = ) ^к,

Vkecl

фиксируем т € К+ и будем в цилиндре П х (0, т) искать решение уравнения (3.1), удовлетворяющее краевому условию

((x,t) = 0, (x,t) еПх(0,т)

.

и условиям

Pi„(u(0) - щ) = 0, Pfin{u(t) - uT) = О

.

начально-конечной задачи. Для простоты ограничимся случаем, когда f те зависит от t, т. е. f = const. Из теоремы 2.1 и леммы 3.1 вытекает

Теорема 3.1. При любых A, Ak G R \ {0, a • R—} в G R+, u0 G domM, uT G U f G F существует единственное решение u G С1 ([0, т]; U) задачи (3.2), (3.3) для уравнения (3.1), которое имеет вид

t-

(f, Vk)Vk

aAk — RAi

*k=a k и k Vk ecL

exp

exp

VkEc Li,

L

Vk ecLn

aAfc - /ЗЛ| j A — Ak

aAfc - [3X\ A — Ak

(t - т) (Ut, Vk)Vk

t ) (uq, Vk)Vk

aAk - RAk

1 - exp ( —---—-1

A Ak

(f Vk)^k

L

Vk Eff L

-

/ aXk - fiX\

V A — Afc

(t - t)

(f, Vk )Vk •

В заключение автор считает своим приятным долгом поздравить профессора А. И. Кожанова с шестидесятилетним юбилеем и пожелать ему новых творческих успехов. Кроме того, автор выражает свою искреннюю признательность профессору Г. А. Свиридюку за постановку задачи и интерес к работе, а также М. А. Сагадеевой за плодотворные дискуссии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Загребина С .А. Начально-конечная задача для линейной системы Навье — Стокса // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. Челябинск, 2010. № 4, вып. 7. С. 35-39.

2. Demidenko G. V., Uspenskii S. V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative. New York; Basel; Hong Kong, 2003.

3. Панков А. А., Панкова Т. E. Нелинейные эволюционные уравнения с необратимым операторным коэффициентом при производной // Докл. АН Украины. 1993. № 9. С. 18-20.

4. Pvatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2002.

5. Sviridvuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.

6. Свиридюк Г. А., Загребина С. А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальпыми операторами // Диффе-ренц. уравнения. 2002. Т. 38, № 12. С. 1646-1652.

7. Загребина С. А. О задаче Шоуолтера — Сидорова. Изв. вузов. Математика. 2007. № 3. С. 22-28.

8. Загребина С. А., Соловьева Н. П. Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе // Вестн. Юж.-Урал. гос. унта. Сер.: Мат. моделирование и программирование. Челябинск, 2008. № 15, вып. 1. С. 23-26.

9. Замышдяева А. А. Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска — Лява // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. Челябинск, 2011. № 37, вып. 10. С. 22-29.

10. Манакова Н. А., Дыльков А. Г. Об одной задаче оптимального управления с функционалом качества общего вида // Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. Самара, 2011. № 4. С. 18-24.

11. Свиридюк Г. А., Загребина С. А. Задача Шоуолтера — Сидорова как феномен уравнений соболевского типа // Изв. Иркутск, гос. ун-та. Сер. Математика. Иркутск. 2010. Т. 3, № 1. С. 51-72.

12. Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173-200.

13. Федоров В. Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов // Вести. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. Челябинск, 2008. № 15. вып. 1. С. 894)9.

14. Сагадеева М. А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа. Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.

15. Дзекцер Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // Докл. Ан"оССР. 1972. Т. 202. № 5. С. 1031-1033.

г. Челябинск

10 августа 2012 г.