Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска Лява Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА - ЛЯВА

А.А. Замышляева

THE INITIAL-FINISH VALUE PROBLEM FOR NONHOMOGENIOUS BOUSSINESQUE - LOVE EQUATION

A.A. Zamyshlyaeva

Рассматривается начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява. Проводится редукция к абстрактной начальноконечной задаче для уравнения соболевского типа второго порядка. Получены достаточные условия для однозначной разрешимости исходной и абстрактной задач.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, MjN-функции,

начально-конечная задача.

We investigate the initial-finish value problem for the Boussinesque-Love equation by reducing it to the initial-finish value problem for the Sobolev type equation of the second order. We obtain sufficient conditions about the unique solvability of original and abstract problems.

Keywords: the Sobolev type equations, the M,N-functions, the initial-finish value problem.

Введение

Рассмотрим уравнение Буссинеска - Лява [1]

(А — A)utt = а(Д — A r)ut + в(Д — А ")и + /, (1)

описывающее продольные колебания упругого стержня с учетом поперечной инерции и при внешней нагрузке, где параметры А, А', А" € R, а > 0, в > 0 характеризуют среду, причем отрицательные значения параметра А не противоречат физическому смыслу.

Задачу Дирихле для уравнения (1) удается в подходящих банаховых пространствах редуцировать к абстрактному уравнению соболевского типа [2]

AV = B\v + B0v + /. (2)

Нашей целью является изучение начально-конечной задачи для такого уравнения. Термин «начально-конечная задача> появился относительно недавно, и отражает тот факт, что при постановке такой задачи для уравнения (1) часть данных задается в начале временного промежутка [0,T], а другая часть - в конце. Первоначально такая задача называлась «задачей

сопряжения> и рассматривалась как обобщение задачи с данными на свободной поверхно-

сти. Именно в этом контексте была построена теория таких задач для линейных уравнений

соболевского типа первого порядка и разработаны приложения этой теории [3],[4]. Мы распространим эти идеи и методы на случай уравнений соболевского типа второго порядка.

В статье кроме Введения и Списка литературы содержится три параграфа. В п.1 приведены основные результаты теории операторных вырожденных М, N-функций [5]. В п.2, следуя [3], изучается абстрактная начально-конечная задача. П.3 посвящен постановке и исследованию начально-конечной задачи для уравнения (1).

1. Вырожденные М, Ж-функции и задача Шоуолтера — Сидорова

Пусть V и © - банаховы пространства, операторы А, Б\, Во Є С(0; ©). Обозначим через В пучок операторов Ві и Во.

Определение 1. Множества рА(Б) = {ц Є С : (ц2А — цВ1 — В0) 1 Є £(©; V)} и аА(В) = С\рА(В) будем называть А-резольвентным множеством, и А-спектром пучка

В.

Заметим, что множество рА(В) всегда открыто, поэтому А-спектр аА(В) пучка В всегда замкнут.

Определение 2. Оператор-функцию ЯА(В) = (ц2А — цВі — Во)-1 с областью определения рА(В) будем называть А-резольвентой пучка В.

А-резольвента пучка В всегда аналитична в своей области определения.

Определение 3. Пучок операторов В называется полиномиально ограниченным относительно оператора А (или просто полиномиально А-ограниченным), если

За Є М+ Уц Є С (|ц| >а) ^ (ЯА(В) Є £(©; V)).

Если существует оператор А-1 Є £(©; V), то пучок В полиномиально А-ограничен. і

Если кег АР|( Р| кег Вк) = {0}, то пучок В не будет полиномиально А-ограниченным.

к=0

Зафиксируем 7 = {ц Є С : |ц| = г > а} - контур, ограничивающий круг, содержащий аА(В). Введем и обсудим одно важное в дальнейшем условие. Если пучок В полиномиально А-ограничен, то можно потребовать, что

IКА (В)йц = О. (А)

7

Это условие, впервые введенное в [5], оказалось ключевым при рассмотрении уравнений соболевского типа высокого порядка. Заметим, что если существует оператор А-1 Є С(©; V) или оператор В1 = О (уравнение неполное), то условие (А) выполняется; а если оператор А = О и существует оператор В-1 Є £(©; V), то нет.

Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено (А). Тогда имеют смысл следующие операторы как интегралы от аналитических оператор-функций:

Р = 2- / К0)АЛц, Я = 2—^ цАЕА(В)йц.

і і

Лемма 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено условие (А).Тогда операторы Р Є £(©) и ^ Є £(©) — проекторы.

Положим V0 = кег Р, ©0 = кег Я, V1 = ш Р, ©1 = 1ш Из леммы следует, что V = V0 ф V1, © = ©° ф 01. Через Ак (Вк) обозначим сужение оператора А (В^) на Vk, к, I = 0,1.

Теорема 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено условие (А).Тогда действия операторов расщепляются:

(г) Ак €С(^к; ©к), к = 0,1;

(гг) Вк € С^к; ©к), к, I = 0,1;

(ггг) существует оператор (А1)-1 € £(©1; V1);

(т) существует оператор (В°)-1 € £(©°; V0).

Теперь рассмотрим уравнение соболевского типа второго порядка

Ау = В1{) + В0у. (3)

Вектор-функцию у € С2(М; V) назовем решением, уравнения (3), если оно обращает его

в тождество. Решение у = у(Ь) уравнения (3) называется решением задачи Шоуолтера -

Сидорова, если

Р(У(0) — у1) = 0, Р(у(0) — у0) = 0, (4)

Определение 4. Оператор-функцию V* € С^(М; £(©)) будем, называть пропагатором уравнения (3), если для любого V € V вектор-функция у(Ь) = V1V будет решением этого уравнения.

Рассмотрим семейства операторов

V/ = 2- / )Ае^й^, Ь € М,

1

V0 = т^ [ вА(В)(М — в^й^,г € м.

2пг ] ^

Как показано в [5], оба эти семейства являются пропагаторами уравнения (3). Причем если контур 7 С рА(В) и ограничивает область Г, такую, что аА(В) П Г = 0, то в силу теоремы Коши V/ = V°t = О при всех Ь € М, и утверждение очевидно.

Определение 5. Семейства М*,№* : М ^ £^) называются семейством, вырожденных М,№-функций уравнения (3), если

(г) М * и N * — пропагаторы уравнения (3);

(И) М0 = № = О; М0 = № = Р.

Теорема 2. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, выполнено условие (А). Тогда существует единственное семейство вырожденных М,№-функций уравнения (3), причем

М = V°j, № = VI.

Определение 6. Определим семейство операторов {К^К^} следующим образом:

К = О, К2 = I К1 = Н0, К2 = —Н1 К = К-1Н0, К2 = К-1 — К2-1 Н1,д = 1, 2,...

Определение 7. Точка то называется

(1) устранимой особой точкой А-резольвенты пучка В, если К\ = К2 = О;

——

(и) полюсом порядка р € N А-резольвенты пучка В, если Кр = О, при некотором в, но Кр+ 1 = О, при любом в = 1, 2;

(ш) существенно особой точкой А-резольвенты пучка В, если Кр2 = О при любом р € N.

Замечание 1. В дальнейшем, если пучок В полиномиально А-ограничен, выполнено условие (А) и то является полюсом порядка р € {0} и N его А-резольвенты, будем говорить, что пучок В (А, р)-ограничен.

Теорема 3. Пусть пучок В (А, р)-ограничен. Тогда при любых Ук € V,k = 0,1, существует единственное решение задачи (3), (4), представимое в виде: у(Ь) = МгРу 1 + NгРУ0.

2. Абстрактная начально-конечная задача

Пусть V и © - банаховы пространства, операторы А, В1,В0 € £^; ©). Рассмотрим уравнение соболевского типа

АУ = В1{) + В0 V + /. (5)

Если пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено условие (А), то, как следует из теоремы 2, существует единственное семейство вырожденных М, N-функций однородного уравнения (5). Пусть выполнено следующее условие:

А-спектр пучка В аА(В) = &А(В) У &А(В), причем ак(В) = 0, к = 0,1; и существует контур 70 С С, ограничивающий область Го С С такую, что Го П *£(В) = аА(В), Го П ^А(В)= 0.

Тогда существует оператор

1 2пі

(B)

Pin = 2-1 pRA(B)Adp Є L(V).

Yo

Потребуем выполнение еще одного условия

A

J R£(B)dp = O. (A°)

Y0

Аналогично лемме 1 можно получить следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть пучок В полиномиально A-ограничен, и выполнены условия (A), (В), (A°). Тогда Pin - проектор, причем PinP = PPin = Pin.

Построим оператор Pex = P — Pin € L(V). В силу леммы 2 оператор Pex - проектор,

причем PinPex = PeXPin = O. Возьмем произвольные векторы v°, v°, , vT € V. Решение

v = v(t) уравнения (5) назовем решением начально-конечной задачи для уравнения (5), если оно удовлетворяет следующим условиям:

Pex(v(0) — v°) = 0, Pex(v(0) — v°) = 0; (6)

Pin(v(T) — vT) = 0, Pin(v(T) — v°T) = 0. (6)

Заметим, что если аА(В) = 0, то Рех = О и Р^п = Р. Тогда задача (6) для уравнения (5) превращается в задачу (4), (5).

Введем в рассмотрение следующие семейства операторов:

N*п = 2^/ КА(В)Ае^є м,

70

МІ = ^ / е£0)(М - Б1)е^й^і є м.

70

Оба семейства хоть и не являются семейством вырожденных М, N-функций в смысле определения 5 (так как не удовлетворяют условию (іі)), но тем не менее обладают рядом полезных свойств.

Лемма 3. Пусть пучок Б полиномиально А-ограничен, и выполнены условия (Б), (Ао). Тогда

(і) М*п и ^п - пропагаторы уравнения (5);

(т0п = М0п = О^0п = М°п = Ргп.

Далее, построим семейства операторов М\х = МЬ — М*п, ^х = N — Nп.

Лемма 4. Пусть пучок Б полиномиально А-ограничен, и выполнены условия (А), (Б), (Ао). Тогда

(і)М’ех и ^ех - пропагаторы уравнения (5);

(т0х = МОх = о, N0 = М0х = Рех.

Теорема 4. Пусть пучок Б (А,р)-ограничен, и выполнены условия (Б), (Ао). Тогда для любых Т Є М,-и°,ут Є V, к = 0,1, вектор-функции / = /(і), і Є [0,Т], такой, что /° = (I — Я)/ Є Ср+1([0,Т]; 5°) П Ср+2((0, Т ]; 50), /гп = Ягп / Є С([0,Т]; 5гп), /ех = Яех/ Є С([0,Т];5ех) существует единственное решение V = v(і) задачи (5), (6), которое к тому же имеет следующий вид:

Р й

^2/тз0Л — 1 й ?°/+\ і ц/гЬ—Т„,Т\ и/гЬ „,0 і лтЬ—Т„,Т , дтЬ „,0

(Ш'

v(і) = — ^ К2 (Б° ) 1 (Ц /0 (і) + Т^ + Мех^ + ^гп Т^ + ^х^1 +

q=0

+ I к~х3гШв — і яіп3гШз, (7)

гг гТ

уЬ—в.рехґ„\л„ I Ы—впп/

гп

где К1п = 2П / пА(Б)e|лtйV■, Щ = 2П / еА(Б)Ае^й^ Віх = Щ —

70 7

Заметим, что если Т = 0, то задача (6) превращается в задачу (4).

3. Начально-конечная задача

для уравнения Буссинеска — Лява

Пусть О С Мп - ограниченная область с границей дО класса Сте. Введем в рассмотрение пространства V = {V Є ^|(О) : v(x) =0,х Є дО} и © = І2(О). Простанство V — банахово с нормой

п

ІМІШ = (^ V2кх1 + ^ ^хк + v‘2)йx,

П к,1=1 к=1

а пространство © — гильбертово со скалярным произведением {■, ■). Формулой

п „

{IV, w) = ^ / Vxkхк^йх, V, w Є V,

к=1 п

0

п

зададим оператор Ь : V ^ ©. Справедлива

Теорема 5. [6] Оператор Ь Є С(0; ©), его спектр <г(Ь) вещественен, отрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке —ж.

Обозначим через [Хк} множество собственных значений оператора Ь, занумерованных по невозрастанию с учетом кратности, а через рк - множество соответствующих собственных функций, ортонормированных в смысле ©. Положим А = Х — Ь, Б1 = а(Ь — Х'),Б0 = в(Ь — Х"). Имеет место

Теорема 6. [5] Пусть выполнено одно из следующих условий:

(і) Х Є [Хк};

(ii) (Х Є [Хк} Л (Х = Х');

(iii) (Х Є [Хк}) Л (Х = Х/) Л (Х = Х>/). ^

Тогда при любых а, в Є М\ [0} пучок Б полиномиально А-ограничен.

Доказательство заключается в изучении А-спектра пучка Б. Во всех случаях А-спектр пучка Б составляют решения уравнений

(Х — Хк)^2 + а(Х' — Хк)р + в(Х'' — Хк) = 0, к Є N.

Рассмотрим А-спектр пучка Б в зависимости от ситуации.

(i) аЛ(Б) = (^2 = а(Хк — Х') ^а2(Х' — Хк)2 — 4в(Х — Хк)(Х'' — Хк) : к є N} .

2(Х — Хк)

(ii) ^(Б) = {/4’2 : к Є N\ [I : Х = Хг}№ — ^) : Х = Х^ .

(iii) аЛ(Б) = {^2 : к Є N4* : Х = Хг}} .

Замечание 2. Как нетрудно показать, в случае ( Х Є [Хк}) Л ( Х = Х' = Х'') пучок Б не будет полиномиально А-ограниченным.

Следствие 1. [5] Пусть выполнено условие либо (і), либо (ііі) теоремы 6. Тогда при любых а, в Є М\ [0} имеет место условие (А), причем ж - устранимая особая точка А-резольвенты пучка Б.

Замечание 3. В случае (іі) теоремы 6

1

2П- / 5-/(( Х — Хк)^2 + а(Х' — Хк)№ + в(Х'' — Х к)) 1 {■, рк) ркй^ 7 к=1

V ^к) = о,

л7=л а(Х - Хк) и поэтому условие (А) не выполняется.

Итак, в силу теоремы 6 и следствия 1 в случаях (1), (ш) пучок В (А, 0)-ограничен. Поэтому построим семейства вырожденных М,И-функций уравнения (2):

М = X, ^ - ^ (;фк) рк,

N г = / ук( Х - Хк) + а( Х - X к)

к= V ( Х — Хк )(рк— »к)

+** )Хк 1 {■-) **

где штрих у знака суммы означает отсутствие членов с номерами к такими, что Х = Хк. Кроме М, N-функций для постановки начально-конечной задачи необходимы проекторы Р и Ріп. Построим проектор Р:

{I, если выполнено (і);

I — {■, Рк) Рк, если выполнено (ііі).

Л=Лк

Для построения проектора Ріп выберем область Г0 С С, содержащую конечное множество точек А-спектра аЛ(Б) и такую, что дГ (')аЛ(Б) = 0. Как нетрудно видеть, область Г0 можно выбрать такой, что дГ = 70 - контур. По рецептам п.3 построим проектор

Po = £ ) vk■

Здесь {Л^ = aA(B) П|Г0, Л\ = Лk, где к такое, что \k = Л.

Теперь у нас все готово для постановки и изучения начально-конечной задачи для уравнения (2). В цилиндре Q х (0, T), T € R+ рассмотрим уравнение

(Л - A)vtt = а(Д - X)vt + в(Д - Л> + f (t), (8)

выберем произвольно векторы v0, vT € V, к = 0,1. Решение v = v(t) уравнения (8) назовем решением начально-конечной задачи, если

Pex(v(0) - v0) = 0, Pex(v(0) - v0) = 0; (9)

Pm(v(T) - vj) = 0, Pm(v(T) - vj) = 0. (9)

Здесь Pex = P - Pin.

По рецептам п.2 построим вырожденные Min, N^-функции. Для этого введем в рассмотрение множество индексов K элементов множества {Лк}. Тогда

т, ,t ST^ e^kt - e^kt / V

Min = „1 _ „2 b Pk) Pk,

k€K „k „k

N = ( ук(Х - Хк) + а(Х - Хк) „1 *+

* ^ (Х - Хк)(у2 - у2)

+* ^а -у- )Хк 1 «*) <-к) -к.

Теперь в силу теоремы 4 и следствия 1 имеет место

Теорема 7. При любых а, в € М\ {0} и Х € М таком, что выполнено условие либо (г), либо

(ггг) теоремы 6, и любых Т € М+,у0, € V, к = 0,1, существует единственное решение

задачи (8),(9), которое к тому же имеет вид (7).

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и поддержку в работе.

Литература

1. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М.: Мир, 1977.

2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.

3. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.

4. Манакова, Н.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программированием - 2011. - №17 (234), вып. 8. - С. 113-114.

5. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Вычислит. технологии. - 2003. - Т. 8, № 4. - С.45 - 54.

References

1. Uizem J. Lineynye i nelineynye volny [Linear and nonlinear waves]. Moscow, Mir, 1977.

2. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht, Boston, Koln, Tokyo: VSP, 2003.

3. Zagrebina S.A. On Showalter - Sidorov problem [O zadache Shouoltera - Sidorova] Izvestiya vuzov. Matematika, 2007, no. 3, pp. 22 - 28.

4. Manakova N.A., Dylkov A.G.Optimal control of solutions of initial-finish problem for the linear Sobolev type equations [Optimal’noe upravlenie resheniyami nachal’no-konechnoy zadachi dlya lineynykh uravneniy sobolevskogo tipa] Vestnik Yuzhno-Ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie~>, 2011, no. 17 (234), vyp. 8, pp. 113 - 114.

5. Zamyshlyaeva A.A. The phase spaces of a class of linear sobolev type equations of the second order [Fazovye prostranstva odnogo klassa lineynykh uravneniy sobolevskogo tipa]. Vychislitel’nye tekhnologii, 2003, vol. 8, no. 4, pp.45 - 54.

Алена Александровна Замышляева, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Уравнения математической физики>, Южно-Уральский государственный университет (Россия, г. Челябинск), [email protected].

Alyona Aleksandrovna Zamyshlyaeva, Candidate of Physico-mathematical Sciences, Associate Professor, Department «Equations of Mathematical Physics>, South Ural State University (Russia, Chelyabinsk), [email protected].

Поступила в редакцию 30 августа 2011 г.