Начальная задача для линейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО АБСТРАКТНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

© Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский (Тамбов)

Большинство результатов теории обыкновенного дифференциального уравнения либо посвящено исследованию начальной задачи, либо использует результаты таких исследований. Это можно объяснить и практическими запросами, но, пожалуй, прежде всего свойствами оператора Немыц-кого, порождающего такие уравнения. Аналогичные причины заставляют называть задачу Коши ”главной” [1] для функционально-дифференциальных уравнений Zx = /, с вольтерровым оператором г, действующим из пространства О абсолютно непрерывных на [а, Ь] функций в пространство Ь суммируемых функций. Многочисленные результаты исследований [2 - 4] обобщенно вольтер-ровых операторов, действующих в различных пространствах, позволяют распространить многие понятия, методы на абстрактные функционально-дифференциальные уравнения и рассмотреть для них начальную задачу.

Сформулируем определение вольтеррового оператора. Поставим в соответствие каждому 7 € € [0, Ь - а] измеримое множество е7 с мерой д(е7) = 7 таким образом, что N/7,77 € [0, Ь - а] 7 < 77 => => е7 С е-ц. Обозначим V = {е7}. Пусть X, У - линейные пространства функций / : [а, 6] —> Ят. Линейное отображение Р : X —> У будем называть вольтерровым на системе V, если для каждого е7 € и и любого х е X из х(з) = 0 на е7 следует (.Ра;)(в) = 0 на е7. Вектор-функционал г : X -» Я.71 назовем функционалом Коши, если \/е > 0 Ух € X (х(£) = 0, £ 6 ее => гх = 0).

Рассмотрим некоторые понятия теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений. Пусть И, В - банаховы пространства функций у : [а, Ь\ -> /?т, О изоморфно и изо-метрично прямому произведению 5 х Д". Систему уравнений

где Z : В -> В - линейный ограниченный вольтерровый на V оператор, г : И —> Яп - линейный ограниченный функционал Коши, / € В, а е Яп, назовем начальной задачей (задачей Коши) для функционально-дифференциального уравнения (1). Пусть изоморфизм I) = В х Дп задан отображением со1(6,г) : £) —> В х Яп, (А, У) = (со1(6, г))-1 : В х Еп —> £), где <5, А - вольтерровые на V операторы. Запишем уравнение (1) в виде

Здесь г А = С? : В —> В - вольтерровый на V оператор, ZУ : К11 —> В. Согласно [1, с. 104], для однозначной разрешимости задачи (2, 3) необходимо и достаточно, чтобы оператор <2 был обратим. Получим условия обратимости оператора (}. Будем говорить, что в пространстве В выполнено У-условие, если для любого множеста е-> € V из того, что для всех членов каждой сходящейся последовательности {у;} С В, уI у имеет место у*(£) = 0 при ^ 6 е7, то и предельная функция у(Ь) = 0 при < € е7. Обозначим В(е7) - пространство сужений функций из В на множество е7. Норму в пространстве В(е1) можно задать формулой ||2/7||в(е^) = т£||у||в, где нижняя грань берется по всевозможным продолжениям у е В функции у7 € -£?(е7). Если выполнено У-условие, то при таком определении нормы пространство В{е~1) является банаховым. Определим оператор П. : В —> В{е1) равенством (П7у)(£) = у(£) при всех £ € е7. Будем говорить, что в пространстве В выполнено С-условие, если для каждого у € В норма ||у7||в(е7) = ||П72/||в(е-,) является непрерывной функцией аргумента 7.

гх = /,

гх — а,

(1)

(2)

г\бх + гУгх = /.

(з)

Оператор Р : В —> В назовем улучшающим, если образом любого ограниченного множества 17 является множество элементов с равностепенно непрерывными нормами, т. е. Уб > 0 3(5 > 0 Ух Є Є и Утл \т — 7| < д' ==* |||ПТ.Рх\\в(Єт) ~ ||ЩРх||в(е^)| < е; |т| < 6 => ||ПтРа;||в(Ст) < б.

Теорема 1. Пусть в пространстве В выполнены условия У,С, оператор (} : В —> В представим в виде ф = I — К, где I - тождественный оператор, К - линейный улучшаюший вольтерровый на V оператор. Тогда оператор ф обратим и оператор ф-1 является вольтерровым ограниченным.

В случае однозначной разрешимости задачи (2, 3) ее решение представимо [1] в виде х = = Ха+С/. Конечномерный оператор X : Яп -> О определяется фундаментальной системой X Є Пп решений однородного уравнения. Линейный ограниченный оператор С — Лф-1 : В —> И назовем оператором Коши. В условиях теоремы 1 оператор Коши является вольтерровым на системе V. Предположим, что для любой последовательности {уі} С И из ||Уі|і£> —> 0 при г —> оо следует І2/і(і)| —> 0 для всех і Є [а, Ь]. В этом случае оператор Коши можно записать в виде (С/)(£) = = (с(£),/), где компоненты т-мерного вектора с(£) являются элементами сопряженного пространства В*. Пусть сопряженное пространство В* является пространством функций [а, Ь] —> і?т, и выполнено следующее условие: при любом 7 Є [0,6 - а], если элемент д Є В* принадлежит ортогональному дополнению к подпространству Л/7 = {у Є В\у(з) = 0 при всех в Є е7}, то 5(5) = 0 на [а, 6]\е7. Обозначим значение функции с(£) : [а, 6] -* Ятхт при в Є [а, 6] через с(£, з) и назовем его значением функции Коши уравнения (3) в точке (і,«).

Теорема 2. Для вольтеррового на V оператора Коши С : В -» И при любом е7 Є V, если £ Є е7, в Є [а, 6]\е7, то с(і, в) = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аэбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактные функционально-дифференциальные уравнения // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь, 1987. С. 3-11.

2. Сумин В. И. Функциональные вольтерровые уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Нижний Новгород: Изд-во ННГ'У, 1992. 110 с.

3. Гусаренко С.А. Об одном обобщении понятия вольтеррова оператора // ДАН СССР. 1987. Т. 295. № 5. С. 1046-1049.

4. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 9. С. 1599-1605.

К ТЕОРИИ ГИБРИДНЫХ РАВНОВЕСИЙ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ © В.И. Жуковский, В.В. Золотарев (Москва)

1. ” Бескоалиционный характер” игры подразумевает также возможность игроков (при выборе своих стратегий) следовать различным концепциям оптимальности из теории бескоалиционных игр: равновесиям по Нэшу, по Бержу, угроз и контругроз, активным равновесиям, максиминным стратегиям [1.2]. В этом случае возникают новые ’’гибридные” равновесия, в которых часть игроков выбирает свои стратегии на основе, например, концепции равновесности по Нэшу, другая - на основе равновесности по Бержу, третья использует равновесие угроз и контругроз и т. д.

2. В современных задачах экономики появляется необходимость учета неопределенных факторов, о которых известны лишь границы изменений, а какие-либо статистические характеристики просто отсутствуют. К ним относятся изменение количества и номенклатуры договорных поставок, непредсказуемые скачки спроса, погодные условия, неожиданное появление конкурентов на рынке