CC BY
11СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Муртазина Е.П. Функциональные особенности выполнения стабилографических тестов у испытуемых с различными антропометрическими данными // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2009. № 9(98). 123-127.
2. Шлыков В.Ю., Киреева Т.Е., Левик Ю.С. Изменения стабилографических показателей у больных паркинсонизмом // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2008. № 6(83). 112-114.
3. Horak F.B., Hlavacka F. Somatosensory loss increases vestibulospinal sensitivity //J. Neurophysiol. 2001. 86. 575-585.
4. Smetanin B.N., Popov K.E., Kozhina G. V. Specific and nonspecific visual influences on the stability of the vertical posture in humans // Neurophysiol. 2004. 36, N 1. 65-72.
5. Кручинин П.А. Механические модели в стабилометрии // Рос. журн. биомехан. 2014. 18, № 2. 184-193.
6. Белецкий В.В. Двуногая ходьба. М.: Наука, 1984.
7. Наррее R. Time optimality in the control of human movements // Biol. Cybern. 1992. 66. 357-366.
8. Kuo A.D. An optimal control model for analyzing human postural balance // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1995. 42, N 1. 87-101.
9. Bonnet V., Ramdani S., Fraisse P., at al. A structurally optimal control model for predicting and analyzing human postural coordination //J. Biomech. 2011. 44, N 11. 2123-2128.
10. Кручинин П.А., Касаткин E.A. Стабилометрический тест со ступенчатым воздействием и задача оптимального быстродействия // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2014. № 10(159). 254-260.
11. Кручинин П.А., Касаткин Е.А., Троицкий К.А. Некоторые задачи оптимального управления и анализ результатов стабилометрического "теста со ступенчатым воздействием" // Биомеханика-2014: Мат-лы XI Всерос. конф. Пермь, 2014. 130-133.
12. Александров В.В., Злочевский С.И, Лемак С.С., Парусников Н.А. Введение в динамику управляемых систем. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 1993.
13. Hof A.L. Muscle mechanics and neuromuscular control //J. Biomech. 2003. 36, N 7. 1031-1038.
14. Thompson B.J., Ryan E.D.., Herda T.J., at al. Consistency of rapid muscle force characteristics: influence of
muscle contraction onset detection methodology //J. Electromyogr. and Kines. 2012. 22, N 6. 893-900.
Поступила в редакцию 11.02.2015
УДК 539.3
НАБОРЫ УСТАНОВОЧНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ В ТЕНЗОРНО-НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕОРИЯХ МСС
Д. В. Георгиевский1
Описывается принципиальная схема установочных экспериментов для нахождения трех материальных функций тензорно-нелинейных определяющих соотношений в механике сплошной среды. Данные материальные функции зависят от трех инвариантов напряженного состояния. Предлагается использовать длинные цилиндрические полые образцы, в которых можно осуществлять любую комбинацию следующих четырех реализуемых в эксперименте базисных напряженных состояний: одноосное растяжение, кручение, продольный сдвиг, всестороннее сжатие.
Ключевые слова: определяющее соотношение, материальная функция, установочный эксперимент, тензорная нелинейность, инвариант, растяжение, кручение, сдвиг, сжатие.
A principal scheme of the establishing experiments for finding three material functions of tensor nonlinear constitutive relations in continuum mechanics is described. These material functions are the functions of three invariants of stress state. It is proposed to use the long cylindrical hollow rods for which one can implement any combination of the following realizable in experiments basic stress states: uniaxial extension, torsion, longitudinal shear, compression.
Key words: constitutive relation, material function, establishing experiment, tensor non-linearity, invariant, extension, torsion, shear, compression.
Рассмотрим класс взаимообратных тензорно-нелинейных определяющих соотношений изотропных сплошных сред
а = А01 + А1е + А2е2, е = В01 + В1а + В2а2, (1)
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та
МГУ, e-mail: georgievQmech.math.msu.su.
связывающих между собой пару симметричных тензоров второго ранга — силового а и кинематического е. Будем вести изложение на примере нелинейной теории упругости, в которой (а,е) — некоторая сопряженная пара тензоров напряжений и конечных деформаций. В (1) X — единичный тензор; Ао, А\ т А2 — материальные функции трех независимых инвариантов е, в качестве которых можно взять
1е 1 = Ье, 1е2 = 1£3 = (2)
материальные функции трех аналогичных (2) независимых инвариантов а:
1а 1 = ^а, 1а2 = аАГ О2, 1а3 = \Аг<73. (3)
а Во, В1 и В2
Нелинейные изотропные тензор-функции (1) представляют собой довольно общую тензорно-нелинейную связь в теории определяющих соотношений (см. обзоры по данной тематике в работах [1, 2]) и описывают многие известные явления второго порядка, демонстрирующие несоосность силового и кинематического состояний в деформируемой сплошной среде. В [3] такие эффекты названы ортогональными. Тройки материальных функций {Ао, А\, А2} и {Во, В\,В2} не являются независимыми и сложным образом алгебраически выражаются друг через друга [1]. Поэтому достаточно определить одну из этих троек, например {Во, В\, В2}, как функции инвариантов (3) для идентификации тензорных соотношений (1).
Задача состоит в представлении набора установочных экспериментов, по которым можно было бы найти значения функций Во, В\ и В2 в каждой из точек (Iai, Ia2,1аз) их определения. Для этого предлагается использовать длинные цилиндрические полые образцы, в которых можно осуществлять любую комбинацию следующих четырех реализуемых в эксперименте базисных напряженных состояний (в цилиндрических координатах г, 9, z, связанных с образцом): одноосное растяжение, azz = а = const; кручение, аг$ = Ъ = const; продольное сдвиговое усилие, arz = с = const; всестороннее сжатие, arr = а ее = azz = — d = const. Все остальные компоненты тензора напряжений в каждом из четырех случаев подразумеваются нулевыми. Естественно, предполагается, что связь напряжений и деформаций у образцов в некотором диапазоне изменения нагрузок а, Ъ, с и d с удовлетворительной точностью описывается определяющими соотношениями (1).
Отметим работу [4], где аналогичные установочные эксперименты предложены для случая, когда ре являются девиаторами {1е\ = 0, Ia \ = 0). Тогда в каждой из троек материальных функций {Ао, А\, А2} и {Во, В\, В2} имеется по одной дополнительной связи: Ао = —А2122/3 и Во = —В21^2/3, а следовательно, в установочных экспериментах требуется найти всего две функции В\ и В2 от двух переменных 1а2 и 1а3. Из соображений несжимаемости в [4] объект е интерпретирован как тензор скоростей деформаций в тензорно-нелинейной вязкой несжимаемой жидкости. Возвращаясь к исходной проблеме, запишем
а
1ах= а- М, = а2 + 2 Ъ2 + 2с2 + М2 - 2ad, = а(а2 + Зс2 + М2) - 3 d{a2 + 2 Ъ2 + 2с2 + d2). (4) Из соотношений (4) выразим величины а, Ъ и с через инварианты (3), принимая d как параметр:
—db с 'b2 + с2 + d2 -2 bd c(a — 2d)
b -d 0 , <z2 = -2 bd b2 + d2 bc
с 0 а — d c(a — 2d) bc с2 + (a - d)2_
a = Ia 1 + 3d, Ъ2 = - (/22 - /2! - AIald - 6d2) - с2,
{1аЗ - III - 9/aid - 24Iald2 - 24d3 + 3122d).
(5)
3(7*1 + 3 d)
По формулам (1) найдем компоненты деформаций ezz, еге и erz:
£zz = Во + В\(а — d) + В2 [с2 + (а — d)2], егв = Вф - 2B2bd, erz = В\с + В2с(а — 2d). (6)
Три соотношения (6) можно рассматривать как систему уравнений для определения Во, В\ и В2 по измеренным в эксперименте деформациям ezz, еге и erz. Решение этой системы
Во = £zz + {d2 — а2 — с2) — + (с2 — d2 + ad) 'Щ-, В, = 2d ^ + (а - 2d) Ц, В2 = ^ - Ц (7)
ас ab ас ab ас ab
существует и единственно при условии
а ф 0, b ф 0, с ф 0. (8)
Таким образом, схема установочных экспериментов для идентификации материальных функций Во, В\ и В2 предписывает следующие шаги:
а) выбор трех инвариантов 1а1а2 и 1аз как аргументов функций Во, В\ и В2 из области их определения;
б) вычисление на основании формул (5) величин а, Ъ и с при некотором фиксированном d как параметре;
в) проведение эксперимента на цилиндрическом полом образце с напряжениями а, Ъ, с и d и измерение компонент ezz, егд и erz\
г) вычисление на основании формул (7) искомых значений функций Во, В\ и В2 в выбранной в п. а точке {1а\,1а2,1аз) трехмерного пространства аргументов.
Становится ясной целесообразность введения параметра d, хотя он и не входит в требование (8), а расчетные формулы (5) и (7) выписываются и при d = 0. Управляя этим параметром, можно добиться расширения области в пространстве {1а\,1а2,1аз), где существуют величины а, Ъ и с из формул (5), в частности отличия от нуля знаменателя в (5). Вопросы, касающиеся области определения функций Во, В\ и В2 в пространстве инвариантов (3), а также возможности подстановки любой из точек этой области в соотношения (5) (правые части в выражениях для b2 и с2 должны быть при такой подстановке неотрицательными), требуют дополнительного исследования.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 15-0Ю0848а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Георгиевский Д.В. Тензорно-нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механики. 2002. 1, № 2. 150-176.
2. Георгиевский Д.В. Тензорно-нелинейные сдвиговые течения: материальные функции и диффузионно-вихревые решения // Нелинейная динамика. 2011. 7, № 3. 451-463.
3. Георгиевский Д.В. Об "ортогональных эффектах" напряженно-деформированного состояния в механике сплошной среды // Вестн. Киев, ун-та. Сер. физ.-мат. 2013. № 3. 114-116.
4. Георгиевский Д.В., Мюллер В.Х., Абали Б.Э. Установочные эксперименты для нахождения материальных функций тензорно-нелинейных определяющих соотношений // Изв. РАН. Сер. физ. 2012. 76, № 12. 15341537.
Поступила в редакцию 27.07.2015
