Наблюдаемость и упорядоченность структуры систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 622.817: 621.311

В.Н. Матвеев

НАБЛЮДАЕМОСТЬ И УПОРЯДОЧЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ СИСТЕМ

Проведенный анализ травматизма и аварийности при эксплуатации шахтных систем электроснабжения показал, что одними из системных характеристик, определяющих безопасность функционирования, являются наблюдаемость и упорядоченность структуры систем [1]. Принято считать, что система безопасна, если каждое возможное ее состояние прогнозируемо, а неисправные состояния системы приводят к немедленному прекращению ее функционирования [2].

Понятие «наблюдаемости системы» (введенное Р. Калма-ном) является внутренним структурным свойством системы и применяется по отношению к ней, если по измерениям выходных сигналов можно определить состояние данной системы [3].

Рассмотрим математическую модель системы с управляющими воздействиями, которая может быть представлена следующим образом:

х(к)=Л х(к-1)+Б и у(к)=С х(к) (1)

где у(к) - вектор-столбец сигналов наблюдения 7-х элементов системы (7 = 1,2,..., п); х(к) -вектор-столбец внутренних параметров системы; и - вектор-столбец управляющих воздействий; Л - матрица системы; Б-распределительная матрица; С-матрица наблюдений; к, к-1 ... -шаги интегрирования.

Коэффициенты матрицы системы описывают изменения параметров элементов системы во времени, коэффициенты распределительной матрицы описывают изменение возмущающих воздействий на систему.

Согласно теореме Р. Калма-на [3], система является полностью наблюдаемой, когда ранг матрицы

rank K=rank[CT,ATCT, (AT)2, (AT)n-1CT] (2)

равен порядку системы n, в условиях неполной наблюдаемости rank K < n.

Сигнал наблюдения у, в системе образуется при оценке внутренних параметров Xj системы в различные моменты времени, как это показано на рис. 1, а. Наблюдаемый сигнал у, в общем случае определится через выходные (входные) сигналы элементов системы по формуле:

n yi = I cijxj , j=1

где n - общее количество учитываемых параметров; cij - частичные передаточные коэффициенты от j -го параметра системы Xj к i-му регистрирующему устройству наблюдателя.

Для оценки степени наблюдаемости системы используются не величины внутренних параметров, а лишь сама возможность их потенциального наблюдения, определяемая соединением входов (выходов) элементов системы с регистрирующими устройствами.

Наиболее полно структура системы может быть отражена с помощью ориентированного графа, вершины которого соответствуют элементам системы, ребра - ориентированным связям. Каждое ребро графа соединяет выход одной вершины с входом другой. Число всех подходящих к вершине ребер назовем входной связностью вершины, а всех отходящих - выходной связностью вершины.

Под понятием «наблюдаемость элемента» будем понимать входную связность соответствующей ему вершины графа системы. Общая наблюдаемость структуры системы со-

стоит из совокупности наблюдаемостей ее отдельных элементов, т.е. под понятием «наблюдаемость структуры» понимается насыщенность соответствующего ей графа путями -конечными чередующимися последовательностями вершин и ребер вдоль их направлений. Чем больше путей в графе системы, тем выше потенциальная возможность определения технического состояния каждого из элементов и системы в целом.

Таким образом, структурный сигнал наблюдения за элементом совмещен с соответствующей вершиной графа структуры при абстрагировании от существа внутренних сигналов (как и при определении наблюдаемости системы).

Знание структурного сигнала наблюдения позволяет контролировать прохождение информационных сигналов по структуре. В частности, для обеспечения безопасности функционирования системы необходима реализация функции самоидентификации ее элементов. Обладать данной функцией элемент может, например, при его охватывании обратной связью. В то же время центральный элемент сложной системы (человек, блок управления технической системы) с помощью обратных связей (информационных каналов) должен контролировать состояние периферийных элементов и при необходимости блокировать работу неисправных элементов системы. Для описания неизменной во времени структуры стационарной системы при отсутствии внешних воздействий (возмущающих и управляющих) достаточно матричного уравнения

у(к) =М х(к) , (3)

где у(к) - вектор-столбец сигналов наблюдения за структурой; х(к) - вектор-столбец единич-

26

В.Н. Матвеев

ных внутренних параметров элементов; М=[ту] - матрица, характеризующая постоянную во времени входную связность элементов структуры системы.

Понятие «наблюдаемость

структуры» системы пояснено с помощью схемы, приведенной на рис. 1, б. Система уравнений наблюдения следующая:

У1 = т11Х1 + т12Х2 + т13Х3

У2 = т 21Х1

У3 = °

Коэффициенты передачи

У

наблюдения

та

принимают

значения «0» (при отсутствии связи от у - го элемента к 7 -му) или «1» (при наличии такой связи). Параметры Ху пред-

ставляют в данном случае элементы единичной матрицы.

Структурный 7-й сигнал наблюдения в общем случае определится по формуле :

^ м

У7 = Е туХу + тиХ1’

У=1 7 * у

где 8М - количество вершин графа; т7у - коэффициент передачи наблюдения за у-м входом 7-го элемента; т77 - коэффициент передачи наблюдения за 7-м входом 7-го элемента.

Учитывая уравнения (1) и (3), выражение (2) для неизменной структуры упрощается: за показатель наблюдаемости структуры принимается ранг матрицы М, которая является транспонированной матрицей смежности вершин после замены ненулевых элементов мат-рицыМ на единицу.

Чем разветвленнее структура системы, чем больше в ней циклов (замкнутых путей по прямым и обратным связям), тем выше наблюдаемость структуры системы. С другой стороны, перенасыщенность

связями может привести к излишнему дублированию, сбоям и ненадежной работе системы, а следовательно, к снижению наблюдаемости структуры.

Уз

а

Рис. 1. Пояснение понятия наблюдаемости: а - системы, б -структуры системы

Для полностью наблюдаемой структуры системы ранг матрицы М равен числу элементов. С точки зрения безопасности полную наблюдаемость структуры системы можно определить как возможность центрального элемента системы контролировать с помощью имеющихся информационных обратных связей состояние периферийных элементов, обладающих, в свою очередь, функцией самоуправления. При полной наблюдаемости центральный элемент может получить информационный сигнал о состоянии каждого элемента системы (этому в полной мере соответствует иерархическая структура).

Повышение уровня наблюдаемости структуры за счет увеличения количества циклов способствует возрастанию упорядоченности структуры, при этом возникает граф, насыщен-

ныи циклами с равномерным распределением ребер между вершинами, что подразумевает возникновение симметричных сотовых ячеек графа.

Упорядоченность структуры системы можно рассчитать по формуле :

„ rank M тт. .

G =----------H(p),

5 м

где H(p) - энтропия графа системы, увеличивающаяся при равномерном распределении ребер между его вершинами [4].

Максимальная упорядоченность возникает при полнои наблюдаемости графа системы с большим количеством вершин:

GM=log2 SM ,

обеспечивая полную децентрализацию структуры.

Безопасность упорядоченных структур объясняется снижением количества связеи чело-века-оператора с остальными элементами, а также взаимоза-

Рис. 2. Примеры усложняющихся графов системы электроснабжения: а - граф без обратных связей (rankM=4, H(p)=1.96 , G=1.3°7 ), б - граф с контролем одного уровня иерархии (rank M=5 , H(p)=2.4, G=2 ), в - граф с контролем двух уровней иерархии (rankM=6, H(p)=2.483 , G=2.483 )

а

меняемостью, а следовательно, повышенной живучестью сотовых ячеек структуры.

Для иллюстрации измене -ния наблюдаемости и упорядо-ченнности структур на рис. 2 показаны примеры графов структуры упрощенной схемы электроснабжения, состоящей из шести элементов, где 1 -трансформаторная подстанция, 2 - автоматический фидерный выключатель, 3 и 4 - пускатели,

5 и 6 - электродвигатели.

На рис. 2.а показан однонаправленный граф системы без защиты токоприемников от аварийных режимов работы. На рис. 2, б приведен вариант графа системы, в которой осуществляется контроль непосредственно отходящих цепей, например, по максимальному току, сопротивлению изоляции при использовании самоконтроли-руемых электрических аппара-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

тах и трансформаторной подстанции.

Граф на рис. 2, в соответствует системе электроснабжения с дифференцированными (более чувствительными) защитами,

наблюдаемость структуры которой повышена. Преимущества схем, представленных на рис. 2,

б и 2, в, очевидны. Реализация данных схем возможна при использовании самоконтролируе-мых компонентов схем [5].

1. Матвеев В.Н. Шахтные коммутационные аппараты нового уровня безопасности / Под общ. ред. Г.И. Разгильдеева. Кемерово: КузГТУ, 2001. 148 с.

2. Разгильдеев Г.И. Серов В.И. Безопасность и надежность взрывозащищенного электрооборудования. М.: Недра, 1992. 207 с.

3. Калман Р., ФалбП., АрбибМ. Очерки по математической теории систем / Пер. с англ. под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Мир, 1971. 400 с.

4. Матвеев В.Н. Информационная оценка системы // Вестн. КузГТУ. 2001. № 2. С.63-68.

5. Матвеев В.Н. Анализ информационных моделей шахтных коммутационных аппаратов // Вестн. КузГТУ. 2001. № 3. С.53-56.

□ Автор статьи:

Матвеев Виктор Николаевич - канд. техн. наук, доцент, зав. каф. общей электротехники