Монотонная схема Самарского для обыкновенного уравнения второго порядка с малым параметром в случае третьей краевой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 2, № 5, 1997

МОНОТОННАЯ СХЕМА САМАРСКОГО ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ В СЛУЧАЕ ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

А.И.ЗАДОРИН

Институт информационных технологий и прикладной математики

СО РАН, Омск, Россия e-mail: [email protected]

The third boundary problem is considered fro an ordinary weakly non-linear differential equation of the second order with a small parameter of the highest derivative. The problem solution does not contain an explicit boundary layer and in order to solve it on a uniform grid it is suggested that the Samarskii scheme be employed. The uniform convergence of the scheme is substantiated. The possibility to make use of this scheme for solving a boundary problem on a semi-infinite material is studied.

Для слабо нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка рассмотрим краевую задачу:

en" — a(x)u' — f (x,u) = 0, (1)

n(0) = A, Ren = nu(1) + 5n'(1) = B, (2)

где

a E C*[0,1], f G C*([0,1] x R), a(x) > a > 0,e G (0,1], df/dn > — в, в > 0, a2 — 4ве > Y > 0, n > 0,5 > 0. (3)

Решение задачи (1)-(2) не содержит выраженный пограничный слой (первая производная решения ограничена равномерно по параметру e), поэтому для нахождения решения схема, учитывающая погранслойный рост решения [1-3], не используется. Для аппроксимации дифференциального уравнения на равномерной сетке применяется монотонная схема Самарского [4] второго порядка точности.

В случае линейной сингулярно-возмущенной первой краевой задачи с экспоненциальным пограничным слоем схема Самарского исследовалась в [5, 6], где показано, что эта схема не сходится в пограничном слое. В работе [7] для случая линейной первой краевой задачи рассмотрена модификация схемы Самарского и на специальной сетке с кусочно-постоянным шагом, мелким в пограничном слое, обоснован второй порядок сходимости схемы с точностью до логарифмического множителя от числа узлов. В [8] на такой же

© А. И. Задорин, 1977.

неравномерной сетке рассмотрена третья краевая задача, причем краевые условия таковы, что решение имеет экспоненциальный пограничный слой. Доказательство сходимости основано на равномерной ограниченности функции Грина для разностной схемы.

В данной работе вводится аппроксимация краевого условия, соответствующая порядку аппроксимации самого уравнения. Доказывается, что анализируемая схема имеет точность 0(Л,2/(Л, + е)). Исследуется возможность применения этой схемы к решению уравнения на полубесконечном интервале. Показывается, что схема устойчива к погрешностям, возникающим при переносе краевого условия с бесконечности. Предварительно исследуются условия, при которых выполняется принцип максимума для трехточечного разностного оператора с краевым условием, соответствующим аппроксимации производной со вторым порядком.

Всюду под С и Сг будем понимать положительные постоянные, не зависящие от е и шагов сетки. Определим норму сеточной функции р": ||р"|| = тах Под неравенством

г

векторов будем подразумевать соответствующее покомпонентное неравенство.

1. Анализ монотонности трехточечных разностных схем

Рассмотрим трехточечную разностную схему:

= - + Сп<-1 = /п, п =1, 2,..., N - 1, (1.1)

= А, = п^у + ¿Му - -1 + «м-2]/(2й) = В. (1.2)

Предполагаем, что при всех п > 0, Сп > 0. Сформулируем условие, когда для схемы (1.1)—(1.2) справедлив принцип максимума.

Лемма 1. Пусть существует сеточная функция фн:

фн > 0, ^ < 0, п =1, 2,..., N - 1, фУ > фУ-1 > фУ-2,

фУ - 4фУ-1 + фУ-2 < 0, Зфу - 4фУ-1 + фУ-2 > 0. (1.3)

Су-1

'И-1

Тогда из условий

¿Х < 0, п =1, 2,..., N - 1, ^ > 0, Дм" > 0 (1.4)

следует > 0.

Доказательство. Предположим, что при каких-то п оказалось «П < 0, и получим противоречие. Определим Vн : «П = фП^П". Тогда

= С„фП-1^-1 - [-¿Пф^ + СпфП-1 + АпфПЖ + АпфП+1 ^. (1.5)

Предположим, что < > 0. Тогда > 0 и сеточная функция V" имеет локальный от-

н 1 > V'1, > V'1,

т-1 — т> т+1 — т>

рицательный минимум, для некоторого т будет > ^+1 > что противоречит

неравенству

Стфт-1 (vm-l - vm)+Атфт+л^ - vm) < 0. (1.6)

Предположим теперь, что < 0. Если > -1, то существует точка локального отрицательного минимума, и снова получим противоречие.

Пусть мУ < мУ_1 • Из условия > 0 следует мУ-2 > мУНаконец, осталось

рассмотреть случай мУ < мУ_1 < мУ_2 < 0. В силу условий (1.3) выполнится УУ < Уу^ < УУ_2 < 0. Из (1.3)-(1.4) следует:

3фУУУ - 4фУ_1УУ + фУ_2УУ < 0, 3фУУУ - 4фУ_1УУ_1 + фУ_2УУ_2 > 0,

значит,

4фУ_1(УУ - УУ_1) + фУ_2(УУ_2 - УУ) > 0.

Это неравенство можно записать в виде

(4фУ_1 - фУ _2)(УУ - УУ_1) + ФУ_2(УУ_2 - УУ_1) > 0. (1.7)

С другой стороны, из (1.5) получим

Ау_1фУ (УУ - УУ_1) + Су_1фУ _2(Уу_2 - УУ_1) < 0. (1.8)

Из (1.7)-(1.8) вытекает

(УУ_2 - УУ_1)[Ау_1фУ - Су_1(4фУ _1 - фУ_2)] > 0,

что противоречит условиям (1.3). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть для некоторой сеточной функции фу выполнены условия (1.3). Тогда для произвольной сеточной функции при всех п справедлива оценка

|г£| < МфП, М = шах< тах

, , ф;

у

(1.9).

Доказательство. Определим сеточную функцию Фу:

ФП = МфП ± гУ.

Тогда, как нетрудно убедиться, для Фу выполнятся соотношения (1.4) и в силу леммы 1 Фу > 0. Это доказывает лемму.

Эта лемма, при соблюдении ее условий, дает единственность и ограниченность решения схемы (1. 1)-(1.2).

2. Анализ монотонной схемы Самарского

Для задачи (1)-(2) на равномерной сетке П выпишем разностную схему:

Тпм £пЛжж,пм апЛж,пм У (хга,мга) 0, (2.1)

мУ = А, = пмУ + ¿[3мУ - 4мУ_1 + мУ_2]/(2П) = В, (2.2)

где п = 1, - 1, ап = а(хп)

л У = мп+1 2мп + мп_1 л у = мп мп_1 _ = _£_

ЛЖЖ,пм 7 о , ЛЖ,пм 7 , £п , 7 //П \ .

п2 п 1 + апд/(2е)

п

Лемма 3. Пусть д//ди > 0, рь и дь — две произвольные сеточные функции. Тогда при всех п

- яШ < а-1||Тьрь - Тьдь|| + |р& - дЫ + +Г1 а-1(е + ай)|Яьрь - Я VI ехр[а(е + ай)-1 (жга - 1)]. Доказательство. Пусть гн = рь - дь. Из (2.1)-(2.2) получим:

Г^ ь = е л Ь, - а л ь - / (хп,рП) / (хп,дП) Ь = грНК - Т ь , ^п^ епЛхх,п6 ь ь ГПр ГП д

л _ь „ л „ь 1 у-^п^ „ь _ г^ь^ь грь^ь

рп дп

*о = рь - , = льрь - Дьдь, П =1, 2,..., N - 1.

Покажем, что при выполнении условий леммы для оператора Ьь справедлив принцип максимума. Определим

фп = (1 + е-1ай)п-м.

Докажем, что для функции фь справедливы соотношения (1.3). Нетрудно убедиться, что ¿пфь < 0. Остановимся на проверке остальных условий. Имеем

См-1 ай ,ь , ,ь ,ь 2аТ

-/-1 > 1 + —, 3фМ - 4фМ-1 + фМ-2 > т+ т > 0,

Ам-1 е е + ат

откуда следует (1.3).

Итак, принцип максимума для Ьь имеет место. Определим сеточную функцию Фь: Фп = а-11|Тьрь - Тьдь|хп + |рь - дЫ + а-1^-1(е + ай)|Яьрь - ±

Тогда для функции Фь выполнены условия (1.4) и в силу принципа максимума Фь > 0. Можно показать:

фп < ехр[а(е + ай)-1 (хп - 1)].

Это доказывает лемму.

Из леммы 3 следует единственность решения схемы (2.1)-(2.2) и оценка устойчивости:

||иь|| < а-1 тах |/(хп, 0)| + |А| + а-1£-1(е + ай)|В|.

п

Исследуем устойчивость схемы (2.1)-(2.2) к возмущению коэффициентов в краевых условиях. От (2.1)-(2.2) перейдем к краевой задаче:

ТЪмь = 0, «ь = А, Яьиь = + - 4«М-1 + им-2]/(2Т) = В.

Лемма 4. Пусть д//ди > 0,

- ¿| < А, |п - п! < А, |В - В| < А, п > 0,5 > 0, тогда найдется С, такое, что при всех п

|«п - «Ш < СА(е + ай) ехр[а(е + ай)-1(хп - 1)] + |А - А|. Доказательство. Пусть гь = иь - иь. Тогда для некоторой сеточной функции вь

ди"

епЛХХ,п6 апЛХ,п6 Г) / Оп, 0, ап ^п^

А - А, Яь= В - В + (п - п)иМ + (<* - 5)[3иМ - 4иМ-1 + иМ-2]/(2й).

/I

6

0

Можно показать, что

< СоД, Со Задавая сеточную функцию Ф^

1 + |B + (Г^ + 1)||uh||.

ФП = CД(е + ah)(1 + ae-ih)n_N + |A - A| ± z;

,h

используя принцип максимума и подбирая подходящую постоянную С, придем к утверждению леммы.

Оценим погрешность аппроксимации правого краевого условия согласно (2.2). Лемма 5. Найдется С такое, что

I

3uN — 4uN _i + uN-2

2h

— u'(1)

< C

h!

;

(2.3)

где ип = и(жп), Ш = max(h, е).

Доказательство. Учитывая, что для произвольной достаточно гладкой функции г (ж) справедливо представление

r(x) = r(x0) + r'(x0)(x — x0) + / (x — s)r"(s)ds,

xo

используя интегрирование по частям, получим:

XN Xn

\2„ ПК I („ ™ \2„ ,'"

2h

Следовательно,

где

2 у (s — xN_1 )V"(s)ds — 0.5 у (s — xN_2)2u'"(s)ds

XN-1 Xn-2

I < Si + S2,

Si = h

XN

[(s — xN_1) — (s — xN_2) /4]u (s)ds

XN-1

S2

4h

XN-1

(s — xN_2) uw(s)ds

XN-2

Можно показать, что

Si

4h

[3(s — 1)2 + 4h(s — 1)]u'"(s)ds

1_h

Для решения задачи (1)-(2) справедливы оценки [9]: ' в? '

u(x)

< C[1 + e1_j exp[ae_1(x — 1)]], j = 1, 2, 3,4.

(2.4)

(2.5)

Учитывая, что в (2.4) множитель при и'"^) знакопостоянен, подставляя оценку (2.5) в (2.4) и осуществляя интегрирование, несложно показать:

X

1

i

1

Si < Cih2/th2

Можно доказать, что аналогичная оценка справедлива для 52. Это доказывает лемму. Остановимся на вопросе равномерной сходимости схемы (2.1)-(2.2). Теорема 1. Пусть дf/дu > 0, Тогда для решения схемы (2.1)-(2.2) справедлива оценка точности:

Ъ2

\\иН — [и]п\\< С-^-. (2.6)

Ъ + е

Доказательство. Определим %к = ик — [и]п. Тогда для некоторого

к к к к д к к к к к

п% — епЛхх,п% апЛх,п% 7; f (хп, — ТПи Tn[u]П,

ди

%0к = 0, Ккгк = 6(и'(1) — [Зим — 4им-1 + им-2]/(2Ъ)), ип = и(хп). (2.7)

По аналогии с линейным случаем [5] несложно убедиться, что для некоторой постоянной С справедлива оценка

Хп + 1

СЪ

\тк [и]п — ткик \< [е2\и(4)(х)\ + е\и(3)(х)\ + \и(2)(ж)\]^. (2.8)

Ъ + е

хп — 1

Учитывая (2.5), из (2.8) получим:

\Тпк[и]п — ТЩик\ < [1 + th-1 ехр[ае-1(хп+1 — 1)]]. (2.9)

Ъ + е

Определим сеточные функции фк,рк с компонентами:

фп = [1 + аЪ/(2е)]п-м, рп = [1 + аЪ/(2е)]п+1-м. (2.10)

Тогда

0 5а2

Ькпфк < 0, ьпрк < — рп, рп > ехр[ае-1(хп+1 — 1)],

Вкфк > 5а/(2е + аЪ), Екрк > 0. (2.11)

Определим сеточную функцию Фк:

фп = СзЪ2 th-1(фn + рп + Хп) ±

Учитывая лемму 5, соотношения (2.7), (2.9), (2.11), можно показать, что для некоторой постоянной С3 для функции Фк выполнятся условия (1.4). В силу принципа максимума Фк > 0. Следовательно, при всех п < N

\иП — ип\ < С-

Ъ2

Ъ + е

Покажем, что такая же оценка имеет место при п = N. Учитывая (2.3), несложно показать:

к | х3гм 4%м-1 + %м-2

П%М +

Ъ2 - th2

2Ъ

Из этого неравенства следует требуемое при п = N. Теорема доказана.

Остановимся теперь на случае, когда производная д//ди может быть отрицательной.

Лемма 6. Пусть выполнены ограничения (3),

а2 - 4в(е + ак/2) > 7> 0, (2.12)

и пусть рн и дн — две произвольные сеточные функции. Тогда при всех п |рП - < [2а2в-17^Т^Р - Тндн\\ + - д£|] ехр(2ва-1хп) +

+Г1а-1(2е + ак)|ЕУ - Кндн\ехр[а(2е + ак)-1(хп - 1)].

Доказательство. Определим линейный оператор V1 таким же образом, как и в лемме 3. Покажем, что при выполнении условий леммы для оператора Ьн справедлив принцип максимума. Определим фн согласно (2.10), вП = [1 + 2вка-1]п. Тогда при всех п

~ПФН < -Т(4е + 2ак)-1фП < 0, ЬКпвК < -0.5вта-2вП,

вП < ехр[2ва-1 хп], Енвн > 0, Енфн > 8а[2е + ак]-1. (2.13)

пп

Условия (1.3) ограничения выполнены, и для оператора V1 справедлив принцип максимума. Определим функцию Ф^:

ФП = [2а2в-1 ТЧТНРН - Т+ |р& - д^|]вП+

+Г1а-1(2е + ак^Е^ - Енд^фП ± (рП - д£).

Учитывая (2.13), несложно показать, что для функции Ф^ справедливы соотношения (1.4) и в силу принципа максимума, имеющего место согласно лемме 1, Ф^ > 0. Это доказывает лемму.

Остановимся на вопросе обоснования сходимости схемы (2.1)-(2.2) в случае выполнения ограничений (3).

Теорема 2. Пусть выполнены ограничения (3), причем шаг сетки удовлетворяет ограничению (2.12). Тогда для решения схемы (2.1)-(2.2) справедлива оценка точности

Цин - [и]п||< С к2

к + е

Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 1, сеточная функция Ф^ при этом имеет вид

ФП = Ск2 Ш-1(фП + рП + вП) ± £

Рассмотрим процедуру нахождения решения схемы (2.1)-(2.2). Аппроксимация производной в краевом условии (2.2) нарушает трехдиагональность матрицы системы разностных уравнений. Учитывая (2.1) при п = N - 1, исключим и*-2 в (2.2). Тогда правое краевое условие в (2.2) примет вид

2М-1щ% + (3 - А*-1С^-1)(инм - и%-1) = 2к5-1Б - /(х*-1 ,и%-^С---,. Определим итерационный метод для нахождения решения схемы (2.1)-(2.2):

1Пик+1 = епЛхх,пик+1 - апЛх,пик+1 - МиП+1 = /(хп,иП) - МиП, и0к+1 = А, Еник+1 = 2к5-1щк+1 + (3 - А*-1С--1)(и*+1 - и*+Л)+

+МС--1и^+Л = 2М-1В + С-^МиМ-1 - /(жм-1,иМ_!)). (2.14)

Лемма 7. Пусть

т < д/ < М. ди

Тогда метод (2.14) сходится и при всех к справедлива оценка

||и^+1 - ил|| < (1 - т/М)||ик - ил||. Доказательство. Определим гк = ик - и^. Тогда для некоторой сеточной функции Шк епАхх;пг"+1 - апАх.п^к+1 - М^1 = (/(Хп, 1ЪП) - М, ^ = 0, 2М-1п4+1 + (3 - Ам_1С_-1)(гМ+1 - 4+Л) + МС--^- =

= С--1(М - /и(жм-1, ^М-1))^М-1.

Выбирая сеточную функцию Ф^ с компонентами

Фп = (1 - т/М)||гк||± ^п+1,

убеждаемся, что

¿пФ^ < 0, > 0, Ф^ > 0.

В силу принципа максимума, справедливого и в этом случае, Ф^ > 0. Это доказывает лемму.

На каждой итерации ик+1 может быть найдено методом прогонки, который в данном случае устойчив [4].

Схема (2.1)-(2.2) может быть использована при решении краевой задачи на полубесконечном интервале.

Рассмотрим краевую задачу для линейного уравнения:

¿и = еи'' - а(ж)и' - с(ж)(и - С) = 0, и(0) = А, и(то) = С. (2.15)

Предполагаем, что функции а(ж) , с(ж) непрерывно дифференцируемы,

Б > а(ж) > а > 0, е € (0,1] с(ж) > в > 0, а(ж) ^ т, с(ж) ^ п, ж ^ то.

Согласно [10], при наложенных ограничениях существует единственное решение задачи (2.15). Вопрос переноса краевого условия с бесконечности в случае линейной задачи рассматривался, например, в [11].

Перейти к конечному интервалу [0, ¿0] можно, задав

и'(£о)= 7(^о)(и(Ьо) - С), (2.16)

где 7(ж) является решением задачи с начальным условием на бесконечности:

е7' - а(ж)7 + е72 - с(ж) = 0, 7(то) = г, (2.17)

где г — отрицательный корень уравнения ед2 - т^ - п = 0. Определим еще го как отрицательный корень уравнения ед2 - Бд - в = 0. Нетрудно убедиться, что 7(ж) < 0, |7(ж)| < ||сП/а.

При решении уравнения (2.15) на конечном интервале [0,Ьо] с помощью схемы (2.1)-(2.2) 7(¿о) из (2.17) может быть найдено с некоторой погрешностью. Оценим влияние этой погрешности на точность решения при использовании схемы (2.1)-(2.2). Итак, рассмотрим схему (2.1 )-(2.2) применительно к задаче (2.15):

£пЛжж,пмУ - апЛж,пмУ - Сп(мп - С) = 0, (2.18)

мУ = А, [3мУ - 4мУ_1 + мУ_2]/(2П) = 7(Ьо)(мУ - С). (2.19)

Теорема 3. Пусть м(х) — решение задачи (2.15), — решение схемы (2.18)-(2.19). Пусть

|7(¿о) - 7(^о)|< А, 7(^0) < 0.

Тогда при всех п

п2

Й - м(хп)| < СА(е + аП)ехр[го^о + а(£ + аП)_1 (жп - ¿о)] + С--. (2.20)

П + £

Доказательство. Пусть — решение схемы (2.18)-(2.19) в случае точного значения 7(¿о). Введем = - Нетрудно убедиться, что тогда

Д/ = [34 - 44_1 + 4_2]/(2П) - 7(^)4 = (7(¿о) - 7(^о))(мУ - С).

На основании принципа максимума, подбирая подходящую барьерную функцию, можно убедиться, что

|м(х) - С| < |А - С| ехр[гох].

Следовательно,

Г К

у| < С А

К + £

Задавая сеточную функцию Фу с компонентами

п2

+ ехр(го^о)

Фп = СА(£ + аК)

п+£

+ ехр[го^о]

(1 + аП£_1)п_У ± 4,

используя принцип максимума для разностного оператора, получим Фу > 0. Учитывая, что

м - м(хп)| < сп2(п + £)_1,

получим утверждение теоремы.

Остановимся на результатах численных экспериментов. Рассматриваемая задача имела вид

£м'' - м' - ехр[-м] - ^(х) = 0,

м(0) = £ ехр(-£_1),м'(1) = 1, (2.21)

где ^(х) соответствует решению

м(х) = £ ехр[£_1(ж - 1)] + 8т(пх/2).

Решение схемы (2.1 )—(2.2) вычислялось с помощью итерационного метода (2.14). Для этого метода задавалось М =1, итерации заканчивались, если

||ик+1 - ик|| < 10-8.

При всех вычислениях требовалось не более 15 итераций. В таблице приведена определенная выше норма погрешности схемы (2.1 )—(2.2) в зависимости от е и к. Результаты вычислений подтверждают справедливость оценки (2.6).

£ h

0.1 0.5E - 1 0.1E - 1 0.5E - 2

1.0 0.25E-2 0.13E-3 0.33E-4 0.74E-5

1.0E-1 0.14E-1 0.79E-3 0.21E-3 0.53E-4

1.0E-2 0.66E-1 0.82E-2 0.28E-2 0.83E-3

1.0E-3 0.82E-1 0.16E-1 0.75E-2 0.32E-2

1.0E-4 0.82E-1 0.18E-1 0.89E-2 0.44E-2

1.0E-5 0.82E-1 0.18E-1 0.91E-2 0.45E-2

1.0E-6 0.82E-1 0.18E-1 0.91E-2 0.45E-2

Список литературы

[1] Ильин А. М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Матем. заметки, 6, №2, 1969, 237-248.

[2] Дулан Э., Миллер Д., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. Мир, М., 1983.

[3] Задорин А. И., Игнатьев В. Н. Численное решение квазилинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 31, №1, 1991, 157-160.

[4] Самарский А. А. Теория разностных схем. Наука, М., 1983.

[5] Kellogg R. В., Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problems without turning points. Math. Comput., 32, №144, 1978, 10251039.

[6] Алексеевский М.В., Алексеевский В. В. О монотонной схеме А. А. Самарского для дифференциального уравнения с малым параметром. В "Межвуз. сб. науч. тр., Сер. 13, Электротехника", Ереванский политехн. ин-т, Ереван, 1979, Вып. 5, 14-19.

[7] Андреев В. Б., Савин И. А. О равномерной по малому параметру сходимости монотонной схемы Самарского и ее модификации. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 35, №5, 1995, 739-752.

[8] Андреев В. Б., Савин И. А. К вычислению граничного потока с равномерной по малому параметру точностью. Там же, 36, №12, 1996, 57-63.

[9] Задорин А. И. Численное решение обыкновенного уравнения второго порядка со слабо выраженным пограничным слоем. Моделирование в механике, ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 5, №1, 1991, 141-152 .

[10] Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во иностр. лит., М., 1958.

[11] Абрамов А. А., Балла К., Конюхова Н. Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Сообщ. по вычисл. матем., ВЦ АН СССР, М., 1981.

Поступила в редакцию 5 мая 1997 г.