CC BY
192
Мониторинг сложных технических систем по средствам структурно-интегрированных индикаторов
Сомов Д.С., Кочкаров А.А.
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН [email protected], [email protected]
Введение
С каждым годом повышается уровень сложности технических систем, используемых в человеческой деятельности. При этом происходит одновременное увеличение числа задействованных элементов в системе (размерная сложность), повышение разнообразия структур размещения элементов (структурная сложность) и повышение разнообразия взаимодействия элементов системы (функциональная сложность). Процесс увеличения сложности систем неизбежно приводит к увеличению количества и разнообразия различных типов рисков, сопутствующих наладке и эксплуатации этих систем. В зависимости от конкретной системы и ситуации проявление этих рисков может быть различным. Риск может заключаться в возможности нарушения нормального функционирования или выхода из строя отдельного узла или всей системы в целом. Риски можно классифицировать не только по масштабам нарушений функционирования системы, но и по последствиям, вызываемым этим риском. В процессе эксплуатации технической системы очень важно иметь точную информацию о текущем состоянии системы и ее отдельных узлов. Эта информация необходима для своевременного распознавания отклонений состояния системы от нормального и для принятия решений по исправлению этих отклонений. В сложных технических системах для получения информации об их состоянии используются специальные системы мониторинга различной степени автоматизации. Чем сложнее система, тем выше должен быть уровень автоматизации системы мониторинга.
Для описания и моделирования сложно-структурированных систем используют матричный анализ, теорию графов [1-3] и т.д. Это позволяет подробно и глубоко исследовать такие потоковые (сетевые) системы, как транспортные, информационно-управляющие, электроэнергетические и т.д. Существуют также работы, моделирующие распределение нагрузки на узлы сети и последовательный выход из строя элементов систем4. Но в этих работах не рассматривается вопрос об оповещении оператора о надвигающейся опасности.
В данной работе представлена графовая логико-информационная модель распространения возмущения в системе. Элементами модели являются элементарные события, происходящие в системе, или связанные с ней, а также различные логические комбинации таких событий. В набор элементов модели обязательно входят элементарные события срабатывания датчиков, например, событие «Сработал датчик падения напряжения в электросети». При этом будем считать, что все датчики регистрируют повышение опасности. Т.е. срабатывание датчика означает выход некоторого параметра системы за пределы нормы. Элементы модели связаны в единый граф, отображающий взаимосвязи между элементарными событиями. Связь
может быть чисто логической, например, событие «Снижение напряжения в электросети более чем на 20%» обязательно влечет за собой событие «Снижение напряжения в электросети более чем на 10%», элементы модели, отвечающие этим двум событиям, соединены в графе. Или связь может носить семантический характер, например, если мы знаем, что электродвигатель телескопа расположен в первом отсеке космической станции, то элементы модели, отвечающие событиям «Отключение электроэнергии в первом отсеке» и «Отключение электродвигателя телескопа» взаимосвязаны и, следовательно, соединены в графе.
В рамках модели оператор априори не имеет информации о состоянии элементов модели. Для передачи информации о состоянии системы оператору среди элементов модели выбирается подмножество индикаторов - элементов модели, информация о состоянии которых доступна оператору. Другими словами, выбирается множество элементарных событий, наступление которых оператор может контролировать.
В данной работе рассматривается критерий оптимального выбора индикаторов в заданной структуре элементов модели. Приводится решение задачи оптимизации на примере структурной модели солнечной батареи.
Математическое описание модели
Пусть A = {,a2,...,an} - множество элементов модели, то есть элементарных событий и их логических комбинаций, наступление которых возможно в ходе работы системы, п - их количество. Все элементы модели делятся на два подмножества (типа): подмножество элементов-И AAND и подмножество элементов-ИЛИ AOR. Смысл такого разделения станет ясным при определении графа взаимосвязи элементов модели. На графическом изображении графов взаимосвязи элементы «И» будем обозначать знаком Д. Элементы «ИЛИ» будем обозначать V.
В множестве элементов модели обязательно есть подмножество, взаимнооднозначно соответствующее множеству датчиков в системе. Каждому датчику в нем соответствует элементарное событие его срабатывания. Это подмножество элементов модели назовем множеством элементов-датчиков. Будем обозначать это множество через D = {^,d2,...,dnD}, D е A, где пГ) - количество элементов-датчиков. Графически
элементы-датчики будем обозначать окружностью О. При этом чаще всего для элементов-датчиков не будет иметь значение, к какому типу они относятся. Но если нам нужно будет подчеркнуть, что элемент-датчик относится к какому-либо конкретному типу, в качестве графического изображения будем использовать окружность с вписанным в нее соответствующим треугольником.
В ходе решения задачи среди элементов модели будет выбираться подмножество индикаторов. Это подмножество будем обозначать I = {1,i2,...,i }I е A. Аналогично
множеству элементов-датчиков, количество индикаторов будем обозначать п1. Графически будем обозначать индикаторы ромбом с вписанным в него соответствующим обозначением элемента модели. Например, индикатор типа И
будем обозначать символом <^.
Графом взаимосвязи элементов модели является ориентированный граф G (M), вершинам которого соответствуют элементы модели. Матрицу смежности
M графа G будем называть матрицей взаимосвязи. Матрица M - это квадратная матрица M(п х п), строки и столбцы которой соответствуют элементам модели. Элементы матрицы могут принимать значения ноль и единица. Элемент матрицы M,
- 245 -
Рис. 1. Элементы-И и элементы-ИЛИ
стоящим на пересечении I -ои строки и 7 -го
столбца будем обозначать т7. Элемент матрицы ч 0 1 ,0 ч 0 1 /0
т7 равен единице, если на графе взаимосвязи есть
дуга из элемента модели а1 в элемент модели а7.
И наоборот, он равен нулю, если такоИ дуги на графе нет. Будем говорить, что элемент модели а предшествует элементу модели Ь, если они соединены дугой (а, Ь), в котороИ а является
началом, а Ь - концом.
В зависимости от типа элемента модели (И или ИЛИ) зависит заданная дугами графа G логическая связь с другими вершинами. Если элемент модели является элементом ИЛИ, то считается, что его логическое выражение принимает значение «Истина», если хотя бы один из предшествующих ему на графе элементов
принял значение «Истина». Элемент И принимает значение «Истина», когда значение «Истина» принимают все предшествующие ему элементы. Кроме того, если элемент является элементом-датчиком, он может принять значение «Истина» независимо от предшествующих ему элементов. Это будет соответствовать ситуации, когда срабатывает реальный датчик в системе. Но принять значение «Ложь» в случае, когда по логике, заданной графом, он должен принять значение «Истина» он не может. В дальнейшем, если элемент модели принял значение «Истина» будем говорить, что он принял значение 1, а если «Ложь», то 0.
Таким образом, элементы модели «И» и «ИЛИ» выполняют роль соответствующих элементарных логических функций. При этом полученный граф взаимосвязи можно интерпретировать как схему распространения сигнала от датчиков. А поскольку в системе есть элементы, представляющие собой только монотонно возрастающие логические функции, то распределение сигнала на датчиках однозначным образом задает распределение сигнала на остальных элементах системы.
Рассмотрим некоторые ограничения,
накладываемые на множества элементов модели.
1. Поскольку элементы-датчики являются источниками не зависимого от остальных элементов сигнала, то будем считать, что в графе взаимосвязей нет дуг, входящих в элементы системы, являющиеся датчиками. Именно по этой причине нет смысла разделять элементы, являющиеся датчиками на элементы «И» и «ИЛИ». Хотя формально такое разделение все же проводится, графически датчики «И» и «ИЛИ» обозначены одинаково, поскольку поведение таких датчиков в системе неразличимо.
2. Будем считать, что в модели нет элементов (кроме датчиков), у которых нет входящих в них ребер,
т.к. значение таких элементов всегда будет оставаться равным нулю и рассматривать
такие элементы не имеет смысла. Кроме того, по аналогичной причине будем считать, что в системе нет элементов (кроме датчиков), в которые нельзя прийти никаким путем ни из какого датчика.
Критерии и ограничения размещения индикаторов
1. Полнота. Основная задача размещения индикаторов - иметь возможность передать информацию о возникшей угрозе оператору. При этом реакция индикаторов на датчики может быть различной. Индикаторы могут реагировать на любое срабатывание датчиков, а могут реагировать лишь на часть датчиков, или на определенные комбинации датчиков. За то, насколько «чутким» должен быть набор индикаторов отвечает полнота размещения индикаторов. Полноту можно определять в процентном соотношении той части угроз, для которой должна быть обеспечена реакция индикаторов. Можно определять полноту различными комбинаторными требованиями (например, «на срабатывание любых двух датчиков должна быть реакция хотя бы одного индикатора»). Также можно определять полноту размещения индикаторов с использованием критических элементов - элементов модели, выделенных разработчиком системы, на принятие значения 1 которыми, обязательно должна быть реакция индикаторов. В данной работе рассмотрен пример задания полноты при помощи критических элементов, а также при помощи процентного соотношения на уровне 100% реакции.
2. Распознаваемость. Целью индикации (передачи информации оператору системы) является обеспечение возможности принятия оператором мер по предотвращению или выходу из критической ситуации. Для этого недостаточно просто знать, о наличии угрозы. Необходима информация о самой угрозе. В рамках модели это означает, что индикаторы нужно размещать таким образом, чтобы по их показаниям можно было судить о показаниях датчиков. Ясно, что для обеспечения абсолютной распознаваемости необходимо разместить индикаторы в каждом элементе-датчике, что является невозможным в силу огромного числа датчиков в системе. Поэтому в работе введена величина, характеризующая сложность определения конкретного датчика, от которого поступил сигнал. Рассматривается два подхода к определению такой величины. Первый определяет эту величину относительно количества датчиков, которые могут активировать индикатор. При этом если все элементы модели являются элементами-ИЛИ, то сложность индикатора будет совпадать с количеством датчиков, которые могут активировать индикатор. В случае если в модели присутствуют элементы-И, сложность индикатора может быть ниже, поскольку может быть ситуация, когда одного датчика недостаточно для активации индикатора. Второй подход является комбинаторным и определяет сложность индикатора, как количество комбинаций датчиков, которые могут активировать данный индикатор. В любом случае, чем выше сложность индикатора, тем сложнее определить источник угрозы. Соответственно, размещать индикаторы нужно таким образом, чтобы сложность была минимальной.
3. Количество индикаторов. Возможности оператора системы, каналов передачи информации, устройств по ее обработке ограничены. На космических аппаратах эти ограничения подкрепляются еще и жестким ограничением по размеру пространства и весу размещаемых устройств и средств передачи информации между ними. Поэтому всегда должно присутствовать жесткое ограничение на количество размещаемых в модели индикаторов.
¥
Рис. 4. Ограничение на критические элементы 1
Рис. 5. Ограничение на критические элементы 2
Задача оптимизации 1. Критические элементы.
Рассмотрим подробнее подход к определению полноты размещения индикаторов при помощи критических элементов.
Критические элементы модели - активация (принятие значения 1) которых должна обязательно быть сигнализирована хотя бы одним индикатором. Набор критических элементов предоставляется разработчиком системы на основе данных о ее функционировании и критических для ее функционирования условий. Множество критических элементов системы будем обозначать К = {^1,к2,...,кПк}, К ^ А.
Количество критических элементов обозначим через пК. Графически критические элементы будем обозначать квадратом, описанным вокруг знака соответствующего элемента, и 0.
Для критических элементов модели существуют ограничения на размещение их в структуре:
1. Будем считать, что из критических
элементов системы не выходит никаких дуг,
поскольку для передачи сигнала по такой дуге необходимо, чтобы критический элемент принял значение 1, что уже будет означать наступление чрезвычайной ситуации в системе.
2. Будем считать, что в системе нет датчиков, из которых нет путей ни в один критический элемент, поскольку возникновение угрозы (сигнала 1) на таких датчиках ни при каких условиях не может привести к оповещению чрезвычайной ситуации.
Рассмотрим теперь подробнее первый подход к определению сложности индикатора.
Поскольку сложность индикатора - величина, характеризующая сложность определения источника сигнала, поступившего на индикатор, то целесообразно такую величину принять близкой по смыслу количеству датчиков, которые могут передать на индикатор сигнал
1. Но с учетом неравнозначности узлов в модели (в модели присутствуют как элементы «И», так и элементы «ИЛИ», соответствующие одноименным логическим операциям) выбор просто количества датчиков, соединенных путем с индикатором представляется неверным. Это можно легко увидеть на примере простейшей структуры, представленной на рисунке 6. В приведенном фрагменте модели присутствует индикатор на элементе типа «И», и три датчика, соединенные с индикатором дугами. Для того чтобы данный индикатор
принял значение 1 необходимо, чтобы все 3 датчика приняли значение 1. Соответственно, если индикатор принял значение 1, то мы можем с уверенностью утверждать, что все три датчика приняли значение 1.
Предположим теперь, что в описанном примере индикатор был бы на элементе «ИЛИ», а не на элементе «И» (рис. 7.). Тогда активировать индикатор мог бы любой
Рис. 7. Индикатор на элементе «ИЛИ»
из трех датчиков. Соответственно, для определения настоящего источника сигнала необходимо было бы провести проверку всех трех датчиков.
Соответственно, сложность индикатора в этом случае будем считать равной трем.
В первом же случае ситуация эквивалентна наличию всего лишь одного датчика. Поэтому сложность индикатора в первом случае равна 1.
Приведем алгоритмическое определение сложности индикаторов. В ходе алгоритма будем пользоваться очередью выполняемых операций.
Алгоритм будет состоять в последовательном выполнении операций, записанных в очереди. Также каждый шаг алгоритма будет пополнять очередь операций.
Помимо очереди операций будем вести множество обработанных датчиков, и изменять сложность индикатора.
В качестве операции может быть записан элемент модели (например, а3) или «элемент модели минус 1» (например, а5 -1).
Опишем шаг алгоритма, выполняемого для индикатора .
На вход данного шага дан элемент модели ai.
1. Если элемент ai является датчиком, и этот датчик еще не обрабатывался, то прибавим к вычисляемой сложности ) единицу.
2. Если элемент модели а1 является элементом-ИЛИ, то запишем в конец очереди операций все элементы модели, из которых есть дуги в элемент ai, если они
еще не были записаны в очередь ранее.
3. Если элемент ai является элементом-И, то запишем в конец очереди
операций все элементы, из которых есть дуги в элемент модели ai с вычитанием единицы (aj -1), если они еще не были записаны в очередь ранее и увеличим вычисляемую сложность res{i]) на единицу.
4. Если элемент модели ai был записан в очереди с вычитанием единицы, то вычтем из вычисляемой сложности индикатора res(ij) единицу.
Перед выполнением алгоритма поместим в очередь операций индикатор, для которого выполняется расчет сложности, и запустим алгоритм.
Заметим, что приведенный алгоритм конечен в силу конечности количества элементов системы и того факта, что каждый элемент в ходе алгоритма используется не более одного раза.
Введем определение входящей подсистемы элемента. Входящей подсистемой элемента назовем подграф модели, состоящий из самого элемента, всех вершин, из которых достижим данный элемент, а также всех дуг, входящих во всевозможные пути из этих вершин в данный элемент.
На рисунке 8 непрерывной линией отмечена входящая подсистема элемента 1, а пунктирной - элемента 2.
Рассмотрим поведение алгоритма в частных случаях наличия во входящей подсистеме индикатора элементов только одного типа.
Лемма 1. Если во входящей системе индикатора ij все элементы кроме датчиков
являются элементами-ИЛИ, то сложность такого индикатора res (ij) равна количеству
датчиков в его входящей подсистеме.
Доказательство.
Очевидно, что алгоритм вычисления сложности индикатора затрагивает все элементы его входящей подсистемы, и только их. Поэтому, т.к. в ней присутствуют только элементы-ИЛИ, то в алгоритме будут работать только пункты 1 и 2. Пункт 3 не будет работать, поскольку во входящей подсистеме нет элементов типа «И», а пункт 4 не будет работать, поскольку запись операции типа at -1 возможна только при работе пункта 3. Отсюда, элементы, не являющиеся датчиками, не изменяют сложности индикатора (п. 2), а каждый датчик прибавит к сложности индикатора по единице (п. 1). Таким образом, поскольку алгоритм затрагивает все элементы входящей подсистемы индикатора по одному разу, то сложность индикатора будет равняться количеству датчиков в его входящей подсистеме.
Лемма 2. Если во входящей системе индикатора ij все элементы кроме датчиков
являются элементами типа «И», то сложность такого индикатора res(ij) равна
единице.
Доказательство.
Если сам индикатор является датчиком, и, следовательно, его входящая подсистема состоит из одного элемента - его самого, то утверждение леммы очевидно.
Пусть теперь индикатор не является датчиком, следовательно, индикатор -элемент типа «И». Рассмотрим действия алгоритма на каждом из элементов, входящих во входящую подсистему индикатора.
При обработке самого индикатора вычисляемая сложность увеличится на 1 согласно п.3 алгоритма. Все остальные элементы встретятся в очереди операции только с вычитанием единицы, поскольку из пунктов, добавляющих новые элементы в очередь операций (2 и 3), работать будет только пункт 3. Поэтому при обработке остальных элементов, не являющихся датчиками, изменений вычисляемой сложности не будет, поскольку п.3 требует увеличения на 1, а пункт 4 - уменьшения. Датчики в очереди тоже будут записаны с вычитанием единицы, следовательно, они тоже не изменят сложность (будут работать пункты 1 и 4 алгоритма).
Таким образом, доказано, что сложность индикатора в данном случае будет равняться единице.
Рассмотренное выше определение сложности индикатора соответствует алгоритму поиска источника сигнала, состоящему из перебора набора датчиков (или их наборов, если в системе присутствуют элементы типа «И»), способных активировать данный индикатор.
Сформулируем теперь полностью задачу оптимального размещения индикаторов в модели.
Пусть дано множество элементов модели A = {а:, a2,..., an} с заданными
подмножествами элементов типа «ИЛИ» AOR и типа «И» Aand . Между элементами
модели заданы связи матрицей взаимосвязи M. Используя множество элементов модели как множество вершин, а матрицу взаимосвязи как матрицу смежности,
построен граф взаимосвязи G (A,M). На множестве элементов модели выделены
подмножества датчиков D = {dx,d2,...,dnD} и критических элементов K = {кх,k2,...,кПк}.
Множество элементов модели A, их взаимосвязь M, подмножество датчиков D и критических элементов K удовлетворяют ограничениям, указанным выше. Задано максимально возможное количество индикаторов в системе N.
Требуется найти такое подмножество индикаторов I ^ A, что:
1. щ < Nj,
2. У к е K3i е I: (к = 1 ^ i = 1),
3. В множестве I нет индикаторов, которые не принимают значение 1 ни при каком распределении значений по датчикам или, что тоже самое: ^i е I: i = 0.
4. f (I)^ min, где f (I)= max (res(/'.)).
J V ’ Ie2A J V ’ 1<jЩ =I^ V J))
Рассмотрим алгоритм решения задачи.
Шаг 1. Разместим индикаторы во всех критических элементах. Если критических элементов больше, чем максимальное количество индикаторов, то задача не имеет решения.
Шаг 2. Рассчитаем сложности каждого индикатора.
Шаг 3. Выделим из множества индикаторов любой индикатор с максимальной сложностью. Если число предшествующих ему элементов модели плюс (nj -1)
больше максимального числа индикаторов, или у него нет предшествующих элементов, то работа алгоритма завершена.
Шаг 4. Удалим выделенный индикатор из множества индикаторов. Если этот индикатор был элементом-ИЛИ, то вместо него в множество индикаторов включим все элементы модели, предшествующие удаленному индикатору. Если удаленный индикатор был элементом-И, то рассчитаем сложности всех предшествующих ему элементов модели, и добавим в множество индикаторов предшествующий ему элемент с минимальной сложностью.
Шаг 5. Рассчитаем сложности добавленных индикаторов.
Далее необходимо повторять шаги 3-5 до завершения алгоритма.
Утверждение 1. Предложенный алгоритм дает решение задачи оптимизации.
Утверждение 2. Приведенный алгоритм конечен и имеет полиномиальную сложность. Количество операций не превосходит Cn3, где C - некоторая константа, а n - количество элементов модели.
Утверждение 3. Поставленная задача оптимизации имеет полиномиальную сложность. Это утверждение напрямую следует из первых двух.
Рассмотрим простой наглядный пример,
позволяющий представить рассмотренную выше модель размещения индикаторов в системе с заданным набором датчиков.
В качестве примера возьмем упрощенную модель солнечной батареи космического аппарата. В примере не будем затрагивать технические детали построения солнечной батареи, а также не будем рассматривать различные аспекты, связанные с развертыванием
■О
Рис. 9. Солнечная батарея
солнечной батареи, ее ориентацией относительно солнца, преобразованием полученной электроэнергии, ее накоплением и т.п.
Наша солнечная батарея состоит из одной панели из 12 фотоэлементов и еще одной такой же резервной панели. Предположим, что на каждом фотоэлементе установлен датчик. Если фотоэлемент выходит из строя, то датчик подает сигнал 1. Будем считать, что выход из строя одного фотоэлемента выводит из строя всю панель солнечной батареи. Критическим условием в данной системе является повреждение любой панели. В случае если повреждена основная панель, то необходимо перевести все устройства - потребители электрической энергии на резервную панель и приступить к ремонтным работам на основной панели. Если повреждена резервная панель, то необходимо приступить к ее ремонту. Разработчиком системы предоставлен граф взаимосвязи, представленный на рисунке 10.
Рассмотрим решения задачи оптимизации для различных NI .
При NI = 1 решение очевидно и единственно - разместить индикатор в
критическом элементе (элемент 35). Любое другое размещение индикатора не удовлетворяет требованию полноты. При этом сложность индикатора res будет равняться общему числу датчиков в системе, res = 24.
При N = 2 требованию полноты удовлетворяет несколько различных размещений индикаторов. Индикаторы можно располагать в следующих парах элементов: 35 и 33, 35 и 34, 33 и 34. Но в первых двух парах максимальная сложность индикатора, как и при N = 1, равна 24. А в последнем случае сложность обоих индикаторов равна 12. Поэтому задача оптимизации дает именно такое решение -разместить индикаторы в элементах 33 и 34.
С увеличением NI индикаторы «переходят» с элементов 33 и 34 на элементы 25
- 32. При NI = 8 решение снова однозначно - разместить индикаторы в элементах 25,
26, 27, 28, 29, 30, 31 и 32. При этом максимальная сложность индикаторов примет значение 3..
Задача оптимизации 2. Комбинаторный подход.
Рассмотрим еще один подход к требованию о полноте размещения индикаторов и к определению сложности размещения индикаторов.
Теперь будем рассматривать 100% полноту
Рис. 10 Граф взаимосвязи для системы «Солнечная батарея»
индикатором.
В качестве сложности индикатора будем рассматривать количество датчиков из входящей подсистемы индикатора, активация которых влечет за собой активацию индикатора.
Пусть у индикатора входящая система, изображенная на рисунке 11. В его входящую подсистему входит три датчика.
Таким образом, сложность индикатора 5 равна 3. Заметим, что при предыдущем определении сложности, сложность равнялась бы 2.
Вторая задача оптимизации будет формулироваться следующим образом.
Пусть дано множество элементов модели A = {al, a2,..., an} с заданными
подмножествами элементов типа «ИЛИ» AOR и типа «И» Aand . Между элементами
модели заданы связи матрицей взаимосвязи M. Используя множество элементов модели как множество вершин, а матрицу взаимосвязи как матрицу смежности, построен ориентированный граф взаимосвязи G (A,M). На множестве элементов
модели выделено подмножество датчиков D = {dj,d2,...,dnD}. Множество элементов
модели A , их взаимосвязь M и подмножество датчиков D удовлетворяют ограничениям, указанным выше. Задано максимально возможное количество индикаторов в системе NI .
Требуется найти такое подмножество индикаторов I ^ A, что:
1. n < Ni ,
2. Vd е D3i е I: (к = 1 ^ i = 1),
3. В множестве I нет индикаторов, которые не принимают значение 1 ни при каком распределении значений по датчикам или, что тоже самое: $i е I: i = 0.
4. f (I)^ min, где f (I)= max (res (i'.)).
V 7 Ie2A ’ 1<jЩ =\V
Решение задачи 2.
Первым этапом решения задачи станет определение множеств датчиков, входящих во входящие множества всех элементов модели. Для этого решим «обратную» задачу - для каждого датчика найдем множество элементов модели, которые активируются при активации только этого датчика. Для этого можно воспользоваться следующим алгоритмом полиномиальной сложности:
1. В начале помечаем активным датчик. Затем для каждого элемента,
соединенного исходящей дугой из датчика проверяем, следует ли его активировать. Если это элемент-ИЛИ, то следует, а если это элемент-И, то необходимо провести проверку всех предшествующих элементов. Если они все активны, то необходимо активировать и этот элемент. Отмечаем датчик обработанным.
2. Берем любой активный, но еще не обработанный элемент модели.
Совершаем для него операцию, описанную в п.1 для датчика. Отмечаем элемент
системы обработанным.
3. Повторяем пункт 2 до тех пор, пока не обработаем все активные
элементы.
Утверждение. Приведенный алгоритм является алгоритмом полиномиальной сложности.
Доказательство. Действительно, поскольку элементов модели ровно n, то и повторять пункт 2 мы будем не более n раз. Далее, для каждого элемента существует
не более п элементов, соединенных с ним исходящей дугой. И для каждого такого элемента, если это элемент-ИЛИ придется сделать не более п проверок активности предшествующих ему элементов. Таким образом даже такая грубая оценка дает количество операций, требуемых для выполнения алгоритма не более чем Сп3, где С
- некоторая константа.
Определив для каждого датчика множество активируемых им элементов модели нетрудно получить и обратную информацию - на какие датчики реагирует тот или иной элемент модели. Одновременно с этой информацией мы получили сложности каждого элемента модели (количество активирующих его датчиков).
Взяв некоторый элемент модели в качестве индикатора, мы тем самым «покрываем» множество датчиков подмножеством датчиков, активирующих данный индикатор.
Каждому элементу модели соответствует некоторое подмножество датчиков, которые его активируют. Мощность этого подмножества равна сложности этого элемента.
Таким образом, задача нахождения оптимального распределения индикаторов свелась к задаче определения покрытия датчиков подмножествами из заданного набора подмножеств. При этом должен достигаться минимум максимума мощности подмножеств, входящих в покрытие, и их количество не должно превышать некоторой заданной константы. Алгоритмы решения таких задач можно найти в работе [4].
Заключение
В работе рассмотрена теоретико-графовая модель системы мониторинга технической системы. Предложенная модель представляет собой логикоинформационное представление структуры размещения датчиков и индикаторов в технической системе и их логической взаимосвязи. Выработаны ограничения на расстановку датчиков и критических элементов в системе. Рассмотрено несколько подходов к определению критериев оптимального размещения индикаторов в заданной логической структуре размещения датчиков. Рассмотрены решения задачи оптимизации для двух случаев определения полноты для двух вариантов определения сложности индикатора. Рассмотренный способ моделирования системы мониторинга представляет собой большую ценность в виду того, что данная модель позволяет оптимизировать и частично автоматизировать процесс выработки решения о размещении индикаторов в системе и выборе набора информации, доступной оператору системы, что позволит значительно упростить и ускорить данный процесс.
Список литературы
1. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. - М.: Наука, 1986.
2. АрхиповаН.И., КульбаВ.В. Управление в чрезвычайных ситуациях. - М.: РГГУ, 1998.
3. Кульба В.В., Микрин Е.А., Павлов Б.В., Платонов В.Н. Теоретические основы проектирования информационно-управляющих систем космических аппаратов. - М.: Наука, 2006.
4. А.В.Еремеев, Л.А.Заозерская, А.А.Колоколов. Задача о покрытии множества: сложность, алгоритмы, экспериментальные исследования. Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. 2000. Т. 7, N 2. С.22-46
