CC BY
32
Применение общей термодинамической теории к решению проблем механики
УДК 539.3
В.И. Ерофеев , З.Л. Колина
Нижегородский филиал института машиноведения РАН , Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
МОДУЛЯЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СДВИГОВЫХ ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СРЕДАХ С ДИСЛОКАЦИЯМИ
Abstract
Propagation of the moving waves in geometrical - nonlinear continuum with dislocations have been analyzed in this work. A diagram which shows us with which frequency and wave number it is possible the modulation unstable of the waves has been drawn.
Динамику конденсированной среды с дислокациями можно описать с помощью способа, основанного на идеях калибровочной теории поля [1-3]. Основная идея калибровочной теории состоит в следующем: лагранжиан изотропного упругого тела инвариантен относительно глобальных преобразований сдвига и поворота твердого тела как целого. Если рассмотреть локальные преобразования, зависящие от координат, то инвариантность лагранжиана нарушится, и для её восстановления нужно ввести калибровочные поля [4] .
Уравнения среды с дислокациями получаются путем варьирования калибровочноинвариантного лагранжиана Ьа
^ - pi [5-7L состоящего го двух частей Lel - pl = L{Iel - pl + L',
первая из которых
L(I) =
el - pl
i dV I
1 ( dudu^ x( du
2
P
dt dt
2
dx,
-Pi
^( duk e ^
dT -в kk
Kdxk j
du,
Y
dx
-P k
k
du
Л
Kdxk
-P k
( du t
\dxk
-P k
^(duk ^
k -e,k
j
dx.
j
описывает кинетическую энергию полных смещений и потенциальную энергию упругих полей в среде, а вторая
В кт кт _ С '
2 Ы Ы 2
V = \ dV \
-----------а km а km
описывает кинетическую и потенциальную энергии дислокации.
Здесь р - плотность материала; X, ц - константы Ламе; В и С - константы материала, первая из которых определяет инерционные своИства дислокационного континуума (пропорциональна эффективной массе дислокаций, находящихся в единице объема), а вторая - прочностные. В работе [4] показано, что В = р/12, С = д/%, где /і,2 -характерные масштабы дислокационной структуры материала, при этом /1 « 100 мкм -совпадает по порядку величины с размером области локализованной деформации, а
12 « 0,1 ^ 1 мкм - определяется средним расстоянием между плоскостями скольжения,
кт
др
кт кЦ
дхі
- тензор плотности дислокаций, ёУ - дифференциал объема.
Материал при пластической деформации предполагается несжимаемым, то есть §рРу _ Ркк _ 0.
Динамические уравнения упруго-пластического континуума, получаемые путем варьирования лагранжиана, имеют вид:
д 2и да і
Р
В
ік
ді2 дхк
ді2
_а и _ 2П
ді
(1)
Ранее в [12] рассматривалось распространение акустических солитонов и нелинейных периодических стационарных волн в упруго-пластической среде с дислокациями, а в данной работе рассмотрим распространение сдвиговых волн в геометрически-нелинейном континууме. Выделим из системы (1) подсистему, полагая в ней и1 = 0 . Эта подсистема будет иметь вид
Р
д 2 и2
ді2
дх1
|Д
(д 2 и 2
V
дх1
-в
21
В д в 21 _ с д в 21
ді2 ах2
_д_ дх1
Гди2 _в ^
У
(ди2 Л дх1
дх1
21
= 0.
(2)
(3)
У
Из второго уравнения можно выразить -----------, подставив полученное соотношение в
дх1
первое уравнение, продифференцировав по Х]. Это позволит представить (2) - (3) в
Гр
1 в ’
виде одного уравнения, которое в безразмерных переменных х = х1л — , т = іст,
V в
V _ ^2, р= Р 21
имеет вид
и
ип
д2в с2 д^р
дт 2 ст2 дх4
1 +
с2 Л д4р д^_ и|р с£ ^
дт4 В ст2 дх2
с
2
т У
дх 2 дт 2
2
„2 ~,20У
д 2р с*^ д^р
дт 2 ст2 дх2
2
+ 3
2 2 2
д 2р с*^ д^р дт 2 ст2 дх2
+ 3
(д2р с*2 д2рЛ
чдт2 сх2 дх2 у
р 2 +р3
где с* _
р+
(4)
Будем искать решение уравнения (4) в виде гармонической волны с медленно меняющимися в пространстве и времени амплитудой и фазой:
в(х, і) _ А(єх, єі)і(ші-кх) + к.с , где А(х,і) - комплексная амплитуда, ю и к удовлетворяют
дисперсионному соотношению:
( „2 Л
ш4 _
1 + -
с*
ш2 к2 _ш2 + с*г к 4 _ 0.
с;
Используя метод усреднения по “быстрым” переменным [8], от (4) перейдем к укороченному уравнению огибающей квазигармонической волны. В системе
Применение общей термодинамической теории к решению проблем механики
/
координат, движущемся с групповой скоростью (V =—) £ = V - V Т, Т = 8^.
ёк
эволюция огибающих будет описываться нелинейным уравнением Шредингера
,дЛ дvгр д2Л , .,2 , _
I — + —-—--аА Л = 0.
д0 дк д£,2 1
Здесь а =
а о с/
Г Г 1
— 4ш + 2шк с* 1 + ^Г + 2ш
1 ст У
Г
где а0 = 3к2
Л
и6 -30-2и4к2 + 3 4и2к4 -4к6 -3и4 + 64®2к2 -34к4 -34к2 + 3и2 -1
2 4 6 2 2 4
V Ст СТ СТ СТ С С J
Известно, что при определенных условиях квазигармоническая волна может оказаться неустойчивой по отношению к разбиению на отдельные волновые пакеты (модуляционная неустойчивость). Наличие в системе такой неустойчивостью
определяется по критерию Лайтхилла
ду,
гр
дк
а < 0.
Анализ показал, что волны, описываемые верхней дисперсионной ветвью, устойчивы. Волны, описываемые нижней дисперсионной ветвью, в интервале 0 < к < 1,414 неустойчивы.
с
Рис.1. Диаграмма частот и волновых чисел, при которых возможна модуляционная неустойчивость
На рис. 1 изображена диаграмма, показывающая при каких частотах ю и волновых числах к возможна модуляционная неустойчивость. Область неустойчивости отмечена крестами. Расчеты производились при следующих значениях констант: ц=80 ГПа, К=Х+3/2р=160 ГПа, р = 7,8 г/см3, ¡¡ = 100 мкм, 12=1 мкм (сталь) [7].
На спектральном языке эффект самомодуляции характеризуется усилением боковых компонент в спектре модулированной волны. В эти компоненты будет перекачиваться энергия из центральной части спектра возмущения.
На рис.2 схематично изображены процесс самомодуляции квазигармонической волны и эволюция ее спектра.
Величина области модуляционной неустойчивости сдвиговых волн зависит и от инерционных свойств дислокационного континуума.
На рис.3 показано, что область модуляционной неустойчивости увеличивается с увеличением эффективной массы дислокаций.
®0 ®0
Рис.2. Схема процесса самомодуляции квазигармонической волны и эволюция ее
спектра
Рис.3. Увеличение области модуляционной неустойчивости с увеличением эффективной массы дислокаций
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-02-16924, грант № 05-01-00406) и фонда содействия отечественной науке.
Библиографический список
1. Кадич А., Эдилен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций. -М.: Мир, 1987. - 168 с.
2. Lagoudas D.C. A Gauge Theory of Defects in Media with Microstructure //Int. J. Engng. Sci. - 1989. - Vol.27. - P.237-249.
3. Lagoudas D.C., Edelen D.G.B. Material and Spatial Gauge Theories of Solids// Int. J. Engug. Sci. - 1989. - Vol.27. - P.411-431.
Применение общей термодинамической теории к решению проблем механики
4. Киселев С.П., Белай О.В. Континуальная калибровочная теория дефектов при наличии диссипации энергии//Физическая мезомеханика. - 1999. - Т.2. - №5. -С.69-72.
5. Гриняев Ю.В., Попов В. Л. Спектр возбуждения изотропной бездиссипативной упругопластической среды //Изв. Вузов. Физика. - 1990. - №6. -С.64-68.
6. Попов В.Л., Чертова Н.В. Спектр нормальных колебаний упругопластической среды с диссипацией //ПМТФ. - 1993. - №4. - С. 108-112.
7. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е.Панина. - Новосибирск: Наука. - 1995. - Т.1. - 298 с. Т.2. - 320 с.
8. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука, 1984. - 432 с.
9. Попов В. Л. Взаимосвязь упругопластического континуума и континуума Коссера//Изв.вузов. Физика. - 1994. - №4. - С.37-43.
10. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Связь калибровочной модели упругопластической среды с теорией Миндлина //Изв.вузов. Физика. - 1994. - №4. -С.44-48.
11. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. -М.: Изд-во МГУ, 1999. - 328с.
12. Ерофеев В.И., Колина З.Л. Плоские нелинейные стационарные волны в упруго-пластической среде с дислокациями //Акустика неоднородных сред: Ежегодник Российского акустического общества: Труды научной школы проф. С.А. Рыбака. - М. -2003. - С. 93-97.
Получено 20.06.05.
