Модуль Юнга и коэффициент Пуассона для 7-константных тетрагональных кристаллов и нано/микротрубок из них Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.32, 539.313

Модуль Юнга и коэффициент Пуассона для 7-константных тетрагональных кристаллов и нано/микротрубок из них

Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, Д.С. Лисовенко

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия

В рамках теории упругости дано сравнение описания механических свойств прямолинейно анизотропных 7-константных кристаллов тетрагональной системы и цилиндрически анизотропных нано/микротрубок из них с углом и без угла хиральности (угла между кристаллографической осью симметрии и осью продольно растягиваемой трубки). Установлено, что при прямолинейной анизотропии число кристаллов с отрицательным коэффициентом Пуассона невелико. При криволинейной анизотропии случаев с отрицательным коэффициентом Пуассона существенно больше, а при ненулевом угле хиральности все нано/микротрубки могут иметь отрицательный коэффициент Пуассона. Решение задачи теории упругости о продольном растяжении цилиндрических нано/микротрубок найдено при радиально неоднородных трех нормальных и одном сдвиговом напряжениях.

Ключевые слова: 7-константные тетрагональные кристаллы, прямолинейная анизотропия, цилиндрическая анизотропия, модуль Юнга, коэффициенты Пуассона, коэффициенты податливости, продольное растяжение, нано/микротрубки, хиральность, отрицательный коэффициент Пуассона, ауксетики

Young's modulus and Poisson's ratio for seven-constant tetragonal crystals and their nano/microtubes

R.V. Goldstein, V.A. Gorodtsov and D.S. Lisovenko A.Yu. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia

In the work, the mechanical properties of rectilinearly anisotropic seven-constant tetragonal crystals and their cylindrically anisotropic nano/microtubes with and with no chiral angle, being the angle between the crystallographic symmetry axis and axis of elongated tube are considered in the framework of elasticity theory. It is found that the number of crystals with negative Poisson's ratio is the least for rectilinear anisotropy and is much larger for curvilinear anisotropy. With a nonzero chiral angle, all nano/microtubes can have negative Poisson's ratio. The elastic problem on axial tension of cylindrical nano/microtubes is solved for radially inhomogeneous stresses: three normal stresses and one shear stress.

Keywords: seven-constant tetragonal crystals, rectilinear anisotropy, cylindrical anisotropy, Young's modulus, Poisson's ratio, compliance coefficients, axial tension, nano/microtubes, chirality, negative Poisson's ratio, auxetics

1. Введение

Многочисленными исследованиями установлено, что нано/микротрубки могут быть образованы из многих кристаллических материалов [1-6]. Особенностью механических свойств кристаллов и трубок является изменение знака коэффициентов Пуассона с изменением ориентации растягиваемой кристаллической структуры и, в частности, с изменением угла хиральности трубок (угла между кристаллографической осью симметрии и осью продольно растягиваемой трубки). О таких анизотропных материалах говорят как о частичных ауксетиках. В работе [7] было показано, что при

сворачивании пластин из кубических кристаллов в нано/ микротрубки с ненулевым углом хиральности образуются криволинейно анизотропные трубки с 7-кон-стантной тетрагональной упругостью, и подавляющее большинство нано/микротрубок оказываются частичными ауксетиками. В этой статье будет уделено основное внимание анализу коэффициентов Пуассона для прямолинейно анизотропных 7-константных кристаллов тетрагональной системы и нано/микротрубок из них. Будет показано, что при сворачивании таких кристаллов в нано/микротрубки упругость последних по-прежнему относится к 7-константной тетрагональной

© Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., 2014

системе, но с коэффициентами упругости, зависящими от угла хиральности.

2. Растяжение кристаллов с прямолинейной 7-константной тетрагональной анизотропией

При характеристике направления растяжения 7-кон-стантного тетрагонального кристалла единичным вектором n и использовании поперечного единичного вектора m модуль Юнга и коэффициент Пуассона могут быть выражены через компоненты этих векторов и матричные коэффициенты податливости sn = s22, s12, s13 = s23, s33, s44 = s55, s66, s16 =-s26 следующим образом:

V = s11 («12m1 + n2m2 ) + s12 (n12m2 + n2m1 ) + E

+ s13(n| + m3¡ - 2n|m|) + s33n3m3 + + s44(n1m1 + n2 m2)n3m3 + s66 n1n2 m1m2 + + s16[(n^ - n^)m1m2 + (m2 - m^)n1n2],

1 = s11 (n14 + n4 ) + s33n3 + (2s12 + s66 )n12 n2 +

E

+ (2s13 + s44 )(1 - n32 )n32 + 2s16 (n12 - n2 )n1n2 •

Если использовать параметризацию с помощью углов Эйлера ф, 6, у, то для единичных векторов n и m будем иметь

( sin ф sin 6 ) n = - cos ф sin 6 cos 6

ч У

- sin ф cos 6 sin у + cos ф cos у) m = cos ф cos 6 sin у + sin ф cos у

sin 6 sin у

V /

и соответственно для модуля Юнга E и коэффициента Пуассона v получим

— = (sn -S/2sin2(2ф) + s16/2sin(49))sin4 6 + E

+ (s33 - (s33 - 2s13 - s44) sin2 6) cos2 6,

V 2 2

--= А(ф, 6) cos2 у+ В(ф, 6) sin2 у +

E

+ ^(ф, 6) sin у cos у, А(ф, 6) = s12 sin2 6+ s13 cos2 6 +

+ (2sin2 (2ф) - s1j2sin(4<p)) sin2 6, В(ф, 6) = s13 +1/4 (s33 + s11 - s44 - 2s13 -

- S2 sin2 (2ф) + s16/2 sin(4^)) sin2 (26), D(ф, 6) = (S/2 sin^) - s16 cos(4ф)) sin2 6cos 6, S = s11 -s12 -1/2 s66.

Модуль Юнга является периодической функцией с периодами Тф = л/2, Те =п, а коэффициент Пуассона имеет периоды Тф = П 2, Те = 2п, Ту = п.

Количество изученных 7-константных тетрагональных кристаллов, как можно видеть из данных энциклопедического справочника Landolt-Bбrstem [8], мало. Оно гораздо меньше количества кристаллов других систем. Численный анализ коэффициента Пуассона на базе вышеуказанных формул и данных об упругих коэффициентах, собранных в справочнике [8], показал, что среди четырнадцати 7-константных тетрагональных кристаллов четыре, а именно: кристаллы LiY0 5ТЬ0 5Б4, С14Н804, InPS4, LiYF4, являются частичными ауксетика-ми, т.е. имеют отрицательный коэффициент Пуассона при некоторых ориентациях этих кристаллов. В табл. 1 приведены экстремальные и средние по трем углам значения коэффициентов Пуассона всех четырнадцати кристаллов. Экстремальные значения определялись по изменению поверхностей уровня v(ф, е, у) = с при изменении величины с. Средний коэффициент Пуассона оказался отрицательным (^)= -0.13) только у кристалла С14Н804. У остальных тринадцати кристаллов он изменяется в диапазоне от 0.27 до 0.41 (табл. 1).

Зоны угловых ориентаций частичных ауксетиков, характеризуемые отрицательными значениями коэффициента Пуассона, отделяются от зон с положительны-

Таблица 1

Минимальные и максимальные значения коэффициента Пуассона, а также значения коэффициента Пуассона усредненного по всем направления (V)

Кристалл v • min v max <v>

AgClO3 0.24 0.54 0.39

C(CH2OH)4 0.02 0.93 0.41

C14H8O4 -0.50 0.20 -0.13

CaMoO4 0.18 0.51 0.29

CaWO4 0.14 0.58 0.29

InPS4 -0.32 0.86 0.30

-0.17 0.68 0.27

LiBi(MoO4)2 0.16 0.55 0.32

LiY0.5Tb0.5F4 -0.64 1.41 0.38

LiYF4 -0.01 0.71 0.33

NaBi(MoO4)2 0.18 0.40 0.29

NaBi(WO4)2 0.13 0.52 0.30

NbO2 0.04 0.54 0.32

0.04 0.54 0.32

PbMoO4 0.08 0.67 0.35

SrMoO4 0.13 0.48 0.29

ми коэффициентами «поверхностью ауксетичности» v(9, 6, у) = 0, вид которой в соответствии с предыдущими формулами может быть описан аналитически следующим образом:

Дф, 6) cos2 у + В(ф, 6) sin2 у + Дф, 6) sin у cos у = 0. Топологическая структура этой поверхности оказывается различной для разных ауксетических кристаллов (рис. 1). Для кристалла C14H8O4 ауксетическая поверхность имеет открытый трубчатый характер (проходит через все ячейки угловой периодичности) и одни ее части оказываются вложенными в другие. При этом зоны угловой ориентации с отрицательным коэффициентом Пуассона располагаются между внешней и внутренними частями ауксетической поверхности. Для кристалла LiY0 5Tb0 5F4 ауксетическая поверхность рассыпается на части, замкнутость которых очевидна при учете соседних периодических угловых ячеек. В этом случае угловые зоны с отрицательным коэффициентом Пуассона находятся внутри этих замкнутых частей. Наконец, для кристалла InPS4 угловые зоны с отрицательным коэффициентом Пуассона оказываются внутри как малых замкнутых, так и открытых трубкообразных частей ауксетической поверхности (рис. 1, б). Для большей наглядности ячейки периодичности на рис. 1 выбраны разными.

Численные оценки максимального и минимального значений модуля Юнга, полученные из анализа вышеуказанных формул для E и данных об упругих коэффициентах из [8], собраны в табл. 2. Из этой таблицы, в частности, можно видеть, что наименьшей изменчивостью модуля Юнга (10 %) при изменении ориентации обладают кристаллы InPS^ C14H8O4. Невелика она и для кристалла AgClO3 (30 %). Большим различием максимального и минимального значений модуля Юнга характеризуются кристаллы C(CH2OH)4 и LiY0 5Tb0 5F4 (более чем в 7 раз). Для остальных девяти кристаллов имеет место различие в 1.6-2.6 раза. Какой-либо связи между изменчивостью модуля Юнга и отрицательностью коэффициента Пуассона для 7-константных тетрагональных кристаллов не обнаружено.

Таблица 2

Границы изменчивости модулей Юнга для 7-константных тетрагональных кристаллов в случае прямолинейной анизотропии

Кристалл E max E min

AgClO3 31 23.8

C(CH2OH)4 26 3.48

C14H8O4 11 10.2

CaMoO4 138 86.4

CaWO4 138 73.1

InPS4 23.7 21.6

29 26.1

LiBi(MoO4)2 85 49.3

LiY0.5Tb0.5F4 105 14.6

LiYF4 92.4 47

NaBi(MoO4)2 93.9 68.9

NaBi(WO4)2 110 61.9

NbO2 355 170

354 169

PbMoO4 100 38.7

SrMoO4 116 69.9

3. От кристаллов с прямолинейной 7-константной тетрагональной упругостью к нано/микротрубкам с криволинейной анизотропией

Метод сворачивания тонких кристаллических пластин из различных кристаллических материалов является одним из эффективных методов получения нано/микро-трубок [3-6]. Это позволяет в предположении о толщинах трубок, существенно превосходящих атомные масштабы, т.е. по крайней мере больше единиц нанометров, описывать механические свойства таких на-нотрубок и тем более микротрубок в рамках теории криволинейно анизотропной упругости [9].

Закон Гука в линейной теории прямолинейно анизотропной упругости при тензорной записи имеет вид иу = ЯуН ам •

у п/2

3п/4

у п/ 4

-п/4

Рис. 1. Поверхности ауксетичности v^, 6, у) = 0 для C14H8O4 (а), InPS4 (б), LiY0 5Tb0 5F4 (в)

i

2п

При повороте системы координат (от системы с базисом еу к системе с базисом е' = 1уеу-) тензорные коэффициенты податливости преобразуются по формуле

= Ьа 1£у 5а|3уу.

При использовании матричной формы записи закона Гука 8г- = 5у а у симметричные матричные коэффициенты податливости б у преобразуются с помощью соответствующей несимметричной матрицы || д у ||: / _

8у = д1а 5а|3

с матричными коэффициентами, нелинейным образом связанными с коэффициентами 1у [10]. В частном случае поворота вокруг главной оси кристалла (оси 3) на угол а матрица || дау || выглядит следующим образом:

еф, ег будет иметь место соответствие е1 ^ ег, е2 ^

I д а II =

а

sin2 а

sin2 а

cos2 а

^т(2а) sin(2а)

0 0 0

cos а sin а 0

0 0 0

- sin а cos а 0

0.5sin(2а) -0.5sin(2а) 0 0 0

^(2а)

При таком повороте 7-константная матрица тетраго-

нального кристалла || константной матрицы

5 1 512 513 0 0 516

512

513 0 0

- 5

16

513 513

г

533 0 0 0

не меняет общего вида 7-

0

0

0 /

544 0 0

0

0

0

0 /

544 0

516 /

- 516 0 0 0

с матричными коэффициентами податливости 5 ', линейно зависящими от 5 у и нелинейно от угла поворота а следующим образом:

5п = 511 -12 5 sin2(2a) +1/2 5^т(4а),

= 512 +1/25 sin2(2а) -12516 sin(4а),

512

566

516

= 566 + 25 sin2 (2а) - 2516 sin(4а) = 516 cos(4а) -1/25 sin(4а),

(1)

5 =,

513 = 513, 533 = 533, 544 = 544, 5 " 511 - 512 - V2566 .

Будем предполагать, что главная ось прямолинейно анизотропного кристалла (ось 3) перпендикулярна плоскости тонкой кристаллической пластины и при сворачивании пластины в круговой цилиндр эта ось сохраняется в качестве радиальной. При этом две другие кристаллографические оси 1 и 2 поворачиваются вокруг главной оси на угол а еще до сворачивания пластины. Тогда между повернутым базисом исходной прямоугольной пластины е1, е'2, е 3 и локальным ортогональным базисом свернутой цилиндрической нано/микротрубки е ,

ф е

,ф, е3 ^ ег, которое наглядно иллюстрируется на рис. 2. В итоге криволинейно анизотропная упругость спирально закрученной «хиральной нано/микротрубки» (с углом хиральности а) будет описываться законом Гука

_ / / / /

игг = 511агг + 512афф + 513агг - 516афг ,

ифф = 512агг + 511афф + 513агг + 516афг ,

игг = 513агг + 513 афф + 533агг>

2ифг = 516[афф -агг ] + 566 афг >

2игг = 544агг , 2игф = 544агф.

В частном случае однородного растяжения трубки удельным усилием Р вдоль оси z напряженное состояние оказывается простым агг = Р, агг = афф = агф = агг = = афг = 0 и соответствующая однородная деформация при этом законе Гука будет

' = ' о ' = ' р ' = 'р

игг = 511Р, игг = 513Р, ифф = 512Р,

2ифг = -516Р , и гф = игг = 0.

Поле смещений оказывается в этом случае физически однозначным лишь при вырожденных ограничениях на коэффициенты податливости: з[2 = ^, 6 = 0, т.е. ограничениях 512 = 513, 516 = 0 при нулевом угле хиральности а и условиях

5 sin(4а) = 2516 cos(4а),

5sin2(2а)-516 sin(4а) = 2(513 -512)5

для хиральных нано/микротрубок. Обычно такие жесткие ограничения на коэффициенты податливости тетрагональных материалов не выполняются.

4. Неоднородное растяжение нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов

Из предыдущего раздела ясно, что в общей ситуации как хиральных (а Ф 0), так и нехиральных нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов деформация продольного растяжения не может быть однородной. Обратимся поэтому к рассмотрению неоднородной деформации и ограничимся в дальнейшем анализом радиально неоднородного деформирования. При продольном растяжении круглой трубки с внешним радиусом К0, внутренним радиусом г0 и удельной силой Р в отсутствие скручивающего момента должны выпол-

Рис. 2. Сворачивание кристаллической пластины вокруг оси Г в цилиндрическую нано/микротрубку

няться условия

с„ (г)| г=, = 0, а„. (г)|

R°

г=R

2 2

= 0, Ro

| (г) = р- г02), I ёгг^ (г) = 0.

(2) (3)

Уравнения равновесия вместе с условиями отсутствия радиальных компонент напряжений на внутренней и внешней поверхностях круглых трубок приводят к упрощению: сгф (г) = сг2 (г) = 0 (подробности см. в [7]). В итоге остаются три нормальных напряжения сгг (г), сфф (г), (г) и одно касательное напряжение сф2 (г), и закон Гука для криволинейно анизотропных цилиндрических нано/микротрубок примет вид

игг (г) = ^пС* (г) + Я12Сфф (г) + %!Сгг (г) - Я|6Сф2 ( г)>

ифф (г) = (г) + Я11Сфф (г) + Я13Сгг (г) + ¿16Сф2 ( г)>

игг (г) = (г) + Я13Сфф (г) + 4Сгг (г)> (4)

2иф2 (г) = Я1б[сфф (г) - с(г)] + 4вСф? (г)>

игг = 0 игф =

Смещения, восстановленные по таким неоднородным деформациям, оказываются физически однозначными лишь при выполнении дополнительных условий

и2г (г) = е = С0П^ игг (г) = [гифф (г)]>

2ифг (г) = С0г.

Уравнения равновесия дают еще одно условие

сфф(г)=£ [ гсгг(г)].

С помощью системы уравнений закона Гука (4) и этих условий все компоненты напряжений можно выразить через одну компоненту сгг (г). Для последней получается дифференциальное уравнение второго порядка

dr

г — ( гсгг (г))

d г

+ а1сгг(г) + Д2е+ а3 С0г = 0.

Здесь коэффициенты ап выражаются следующим образом через эффективные коэффициенты податливости у которые, в свою очередь, зависят от коэффициентов податливости Яу и угла хиральности а, согласно (1):

а0 - (% + Я12)[(- 4)Я66 - 2^6 ]>

= /■'2—' ' Л ' 4- ' '2

а1 = (51 3 - 1533) Я66 + Я33 6,

а2 - (я1 2 - 3 )я66 + 6 , а3 - 6 (21 1 + 2я1 2 - 3

Уравнение для сгг (г) имеет решение степенного вида

Сгг (г) = —

а2

-е--

а0 + а1

4а0 + а1

С0 г +

+ А+

г + А_ г

, г0 , г0 ,

с показателями степени А± = — 1 ± Н, Н - а1 /а0 • Аналогичную структуру имеют степенные решения для остальных напряжений сфф (г), (г), с (г). Тогда в

силу линейности закона Гука такую же степенную структуру будут иметь и деформации игг (г), ифф (г), и22 (г),

V(г).

Два из четырех параметрических коэффициентов е, С0, А+, А_ выражаются через остальные на основании отсутствия нормальных напряжений сгг (г) на внутренней (при г = г0) и внешней (при г = Я0 - р г0) поверхностях нано/микротрубки (2). Третий определяется из условия отсутствия скручивающего момента (3), и в итоге можно выразить С0, А+, А_ через один параметр е:

М

С0 =-е, А+ = а+е, А_ = а_е.

г0 N

При этом М, N, а+, а_ имеют вид / |р3 _ 1 а2

М = _ 6 +

в 1 _рн

а0 + а1

(р3+Я+ _ 1)(р-Я_ _ 1) (3 + А+ )(рЯ+-Я--1)

_Р-

(р3+Я_ -1)(р-Я+ -1) Н (3+ Х_ )(ря--я+ -1)

дт ' р4 -1 + ' а

N = Я11 —— + Я16

4а0 + а1

о р4 _ 1 о (р3+Я+_ 1)(р1-Я_- 1)

в2 —:— Рн ■

(3 + А+ )(ря+-я_-1)

-в-

(р3+я_ -1)(р1-Я+ _ 1)

(3+х_ )(р

я_-я+

_1)

-1

р1-Я_ -1 М

а0 + а1 р

я+-я_

а_ = -

р-Я+ -1

-1 4а0 + а1 р'

а3

я+-я_

-1 N

р1-Я+ -1 М

а-я+

-1 4а0 + а1 ря__я+-1 N

а0 + а1 рЛ Здесь и далее

Рд - ^13 + д(+ q = 1 2, ± к. С помощью (3), (4) и вышеприведенных формул находим зависимость модуля Юнга Е = Р/е от отношения внешнего и внутреннего радиусов нано/микро-трубок («параметра толщины») р - R0/г0 (или отношений толщины стенок к радиусам р - 1, (р-1)/р), упругих податливостей Яу и угла хиральности а:

Е = -

1

(

S

-2ана.

Я66 +

а0 + а1

Я16 +

4а0 + а1

-а

) 22 р3 -1

(А++ 2)(р2 -1) Здесь и далее

рЯ++ 2 _ 1 р - 2а_на_

/

Я_+2

3N р2 -1 -1

(А_ + 2)(р2 -1)

х

а+ =

о _ ' ' _ '2 л = ^11^66 - 516>

ад = ^Э^ + ^(^12^66 + %)> Ч = 1 2 ± С помощью выражений для деформаций игг (г), ифф (г) фактически находятся зависимости коэффициента ПуаССона vг, = - игг (гVи22 (Г) = - игг (/)/Е и Vфz = = - ифф (г)/и22 (г) = - ифф (г)/Е от Радиальной координаты, радиуса и толщины стенок нано/микротрубок, упругих податливостей и угла хиральности:

v = —-

S]3S(

13s66

s13s16 M

( „ )

S N

a0 + a1

-X

s13

a,

4a0 + a1

i , „ , s13 ) M x| s33 + 2s13 —13a2 I—

33 13 S IN

s13

S a k — ks13 — s33

S a—k + ks13 — s3J

( „ )

vr0y ( r )

\ro y

( r )

v = —

ф2 C

(s12s66 + s16) s16(s11 + s12) ~M

( r, )

+ (s11s66 s12 s66 2s16) a3 M

Pr

a0 + a1

\Я+

+ P

4a0 + a1 N

r —Pka+ r

— —

r0 r0

— P—ka—

( r )

5. Неоднородное растяжение нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов при нулевой хиральности

В ситуации с нулевым углом хиральности имеет место упрощение формул предыдущего раздела, заключающееся в замене s' на Sj. Численные расчеты по таким формулам коэффициентов Пуассона vrz, v выявили десять нано/микротрубок с цилиндрической анизотропией, имеющих отрицательный коэффициент Пуассона, что составляет больше половины всех рассмотренных 7-константных тетрагональных кристаллов. Это также превосходит количество ауксетиков с прямолинейной анизотропией. Причем прямолинейно анизотропные ауксетики остаются ауксетиками и для криволинейно анизотропных нано/микротрубок из тех же материалов.

Таблица 3

Значения коэффициентов Пуассона vгz и vфz для тонкостенных 7-константных тетрагональных нано/ микротрубок и критические значения параметра толщины рсг для смены знака этих коэффициентов на внутренней и внешней поверхностях при нулевом угле хиральности

Кристалл V rz v фг Pcr при v rz = 0 Pcr при v<pz = 0

(p—1 <<1) (P—1 <<1) r II О r = Ro r I О r = Ro

AgClO4 0.36 0.44 - - - -

C(CH2OH)4 0.16 0.79 2.20; 40 - - -

C14H8O4 0.11 -0.48 - - - -

CaMoO4 0.21 0.42 110 - - -

CaWO4 0.18 0.45 54.4 - - -

InPS4 0.86 -0.32 - - - 2.00

0.68 -0.16 - - - 1.60

LiBi(MoO4)2 0.26 0.39 - - - -

LiY0.5Tb0.5F4 0.12 0.64 10.6 - - -

LiYF4 0.18 0.47 11.4 - - -

NaBi(MoO4)2 0.31 0.34 - - - -

NaBi(WO4)2 0.18 0.45 - - - -

NbO2 0.43 0.03 - - 1.20 -

0.21 0.54 6 - - -

PbMoO4 0.24 0.57 60.6 - - -

SrMoO4 0.25 0.43 238 - - -

Рис. 3. Изменение коэффициентов Пуассона VГ2, на внутренней и внешней поверхностях нано/микротрубок из материалов, у которых смена знака коэффициента Пуассона наблюдается при р < 15 для InPS4 (1), С14Н804 (2), №02 (5), LiY0 5ТЬ0 (4), LiYF4 (5) (а) и при больших значениях р для CaW04 (1), СаМо04 (2), SrMo04 (5), РЬМо04 (4), С(СН20Н)4 (5) (б)

В табл. 3 приведены численные значения коэффициентов Пуассона для всех нехиральных тонкостенных нано/микротрубок (с р-1 << 1) из 7-константных тетрагональных кристаллов, а также критические значения параметра толщины рсг, при которых меняется знак коэффициента Пуассона на внутренней и внешней поверхностях нано/микротрубок. Согласно результатам, собранным в табл. 3, у каждой ауксетической нано/мик-ротрубки отрицательным бывает только один из двух коэффициентов Пуассона VГ2, vфz. В частности можно видеть, что для нано/микротрубок из кристаллов С(СН20Н)4, СаМо04, Са^№04, ^а5ТЬ0^4, LiYF4, РЬМо04, SrMo04 отрицательным может быть только коэффициент VГ2 и только на внутренней поверхности нано/микротрубки. Кроме того, для подобных тонкостенных трубок он всегда положителен. Здесь следует отметить немонотонность изменений коэффициента Пуассона VГ2 в случае кристалла С(СН20Н)4. Положительный при малых р, он становится отрицательным в интервале 2.2 < р < 40 (достигая минимального значения V Г2 = 0.05 при р = 5.7), а затем меняет знак снова на положительный. Положительный коэффициент vфz также меняется на внутренней поверхности немонотонным образом, достигая максимума при том же значении параметра толщины р = 5.7.

Коэффициент Пуассона vфz оказался отрицательным у нано/микротрубок из двух кристаллов InPS4, С14Н804. Для С14Н804на внутренней и внешней поверхностях трубок при любом параметре их толщины р, а в случае InPS4 всегда на внутренней поверхности и при р < 1.6 (или р < 2 при другом экспериментальном наборе упругих констант) на внешней поверхности трубок. Для кристаллов InPS4, С14Н804коэффициент Пуассона vфz оказывается отрицательным в пределе тонкостенных нано/микротрубок. Что касается нано/микротрубок из ЫЪ02, то при одном экспериментальном наборе упругих констант из [8] должен быть отрицательным

коэффициент Пуассона на внутренней поверхности трубок при р > 6, а при другом наборе ожидается отрицательность на внутренней поверхности при р > 1.2 (табл. 3).

Общий характер зависимостей коэффициентов Пуассона V Г2, Vфz на внутренней (нижние ветви кривых) и внешней (верхние ветви кривых) поверхностях нано/ микротрубок с нулевым углом хиральности от параметра толщины р отражен на рис. 3 (ср. с данными табл. 3). На рис. 3, а приведены результаты для нано/ микротрубок, обладающих отрицательными коэффициентами Пуассона V ^, vфz при значениях параметра толщины, меньших 15. На рис. 3, б приведены случаи с изменением знака коэффициента Пуассона V^ при больших значениях параметра толщины (для С(СН20Н)4 имеет место изменение знака также при р > 2.2) и с небольшими отрицательными значениями коэффициента Пуассона. Из рис. 3 также видно, что имеет место более быстрое изменение коэффициентов Пуассона на внутренних поверхностях нано/микротрубок при не слишком малых значениях параметра толщины.

На рис. 4 показано схематическое изменение поведения поперечного сечения нано/микротрубок из InPS4 при различных параметрах толщины. Сплошной линией изображены границы внешней и внутренней поверхностей трубок до их растяжения, а пунктирной лини-

0 /ГГ^ [б

Рис. 4. Схематическое изменение поведения поперечного сечения нано/микротрубки из InPS4 при р = 1.5 (а) и 6 (б)

10 20 Р

1 -

0 -

-1 "

-2-

Ш

П2

П4

а

10 20 Р

ф2 0

Л4

а

Рис. 5. Изменение коэффициентов Пуассона vгz на внутренней (а) и внешней (б) поверхностях и vфz на внутренней (в) и внешней (г) поверхностях хиральных нано/микротрубок из LiBi(MoO4)2

V

V

ей — после растяжения. Здесь при р = 1.5 коэффициент Пуассона vфz оказывается равным -0.59 на внутренней и -0.11 на внешней поверхностях, а коэффициент V г2 на обеих поверхностях положителен (на внутренней поверхности 1.04, а на внешней поверхности 0.73). При р = 6 коэффициент Пуассона vфz на внешней поверхности принимает положительное значение 0.20, а на внутренней поверхности уменьшается по сравнению со значением при р = 1.5 и становится равным -1.89. Коэффициент Пуассона vгz на внутренней и внешней поверхностях равен 1.89 и 0.52 соответственно.

6. Неоднородное растяжение хиральных нано/ микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов

Численные оценки, основанные на списках экспериментальных коэффициентов упругости кристаллов в [8], показывают, что все хиральные нано/микротрубки из 7-константных тетрагональных кристаллов могут иметь отрицательные коэффициенты Пуассона (см. предыдущий раздел). В этом случае еще из четырех кристаллов получаются частично ауксетические нано/микро-трубки благодаря влиянию дополнительного параметра — ненулевого угла хиральности.

На рис. 5-7 показаны примеры изменчивости коэффициентов Пуассона V, vфz для нано/микротрубок при изменении параметров р, а. Для трубок из LiYF4 (рис. 6) коэффициент Пуассона vгz на внутренней поверхности может быть отрицательным в рассматриваемом диапазоне параметров. Для трубок из LiBi(MoO4)2 (рис. 5) как Vгг, так и vфz могут становиться отрицательными на внутренней поверхности. В случае а = л/ 8 коэффициент Vг2 < 0 при р > 6.3, а для а = 13л/32 коэффициент vфz < 0 при р > 12.1. Для трубок из С14Н804 (рис. 7) коэффициент Пуассона vфz оказывается отрицательным как на внутренней, так и на внешней поверхностях при любых значениях параметров р, а. Обращает на себя внимание сильная изменчивость коэффициента vфz указанных типов трубок на их внутренней поверхности.

Численные оценки модуля Юнга для тонкостенной нано/микротрубки показывают, что он может меняться в несколько раз в зависимости от величины угла хиральности. Наибольшее отношение между максимальным и минимальным значениями модуля Юнга наблюдается у нано/микротрубок из С(СН2ОН)4 (Етах/ Ет|п = 7.47) и LiY05Tb05F4 (Етах/Ет|п = 7.19). Наименьшее изменение выявляется у С14Н804 (Етах/ Ет|п = 1.08) и InPS4

0

-1 -2 -

'УУУУуУУУУ/УУ/УУУУУ//у

ВИЗ

П2

П4

а

2

10 -20 р

б

0

10 20 р

1

ч -1-2

/ /

ттш ; Г;-' У

м тт

/

/ 201 20

0

Рис. 6. Изменение коэффициентов Пуассона vrz на внутренней (а) и внешней (б) поверхностях и vфz на внутренней (в) и внешней (г) поверхностях хиральных нано/микротрубок из LiYF4

10 20 р

П4 0 П2 П4

а а

Рис. 7. Изменение коэффициентов Пуассона vrz на внутренней (а) и внешней (б) поверхностях и vфz на внутренней (в) и внешней (г) поверхностях хиральных нано/микротрубок из С14Н804

V

V

Р

а

V

V

V

Рис. 8. Изменение модуля Юнга от угла хиральности при фиксированном параметре толщины р = 1.01 для С14Н804 (1), AgCЮз (2), РЬМо04 (3), LiBi(MoO4)2 (4), LiYF4 (5)

(Етах / Ет|п = 1.10 и 1.11 для второго экспериментального набора упругих констант). На рис. 8 показано поведение модуля Юнга в функции от угла хиральности для тонкостенных нано/микротрубок (р = 1.01). Если рассмотреть изменение модуля Юнга в функции от параметра толщины при фиксированном угле хиральности, то он увеличивается по сравнению со случаем тонкостенной трубки. Для большинства материалов это увеличение не превосходит 10 %.

7. Заключение

Приведенный анализ показал, что при преобразовании 7-константных тетрагональных кристаллов в нано/ микротрубки с различными диаметрами, толщинами стенок и углами хиральности все последние могут обладать отрицательными коэффициентами Пуассона, т.е. являться частичными ауксетиками. При этом число их невелико, поскольку мало количество исходных 7-константных тетрагональных кристаллов (в [8] приведено лишь четырнадцать таких кристаллов). Вместе с тем, как показано в [7], все кубические кристаллы (а их согласно [8] несколько сотен) при свертывании в нано/ микротрубки с ненулевым углом хиральности являются

также трубками с 7-константной тетрагональной криволинейной анизотропией. Все эти нано/микротрубки оказываются, согласно [7], частичными ауксетиками. При такой общей многочисленности и разнообразии нано/ микротрубок-ауксетиков с криволинейной анизотропией можно рассчитывать на их широкое применение.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РИФ в рамках научного проекта № 14-11-00844.

Литература

1. Rao C.N.R., Nath M. Inorganic nanotubes // Dalton Trans. - 2003. -No. 1. - P. 1-24.

2. Tenne R. Inorganic nanotubes and fullerene-like nanoparticles // Nature Nanotechnology. - 2006. - V. 1. - P. 103-111.

3. Schmidt O.G., Eberl K. Thin solid films roll up into nanotubes // Nature. - 2001. - V. 410. - P. 168.

4. Golod S. V., Prinz V.Ya., Mashanov V.I., Gutakovsky A.K. Fabrication of conducting GeSi/Si micro- and nanotubes and helical microcoils // Semicond. Sci. Technol. - 2001. - V. 16. - P. 181-185.

5. Принц В.Я. Трехмерные самоформирующиеся наноструктуры на основе свободных напряженных гетеропленок // Изв. вузов. Физика. - 2003. - № 6. - С. 35-43.

Prinz V.Ya. Three-dimensional self-shaping nanostructures based on free stressed heterofilms // Russ. Phys. J. - 2003. - V. 46. - No. 6. -P. 568-576.

6. Mey Y., Solovev A.A., Sanchez S., Schmidt O.G. Rolled-up nanotech on polymers: from basic perception of self propelled catalic microengines // Chem. Soc. Rev. - 2011. - V. 40. - P. 2109-2119.

7. Голъдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Волков М.А. Отрицательный коэффициент Пуассона для кубических кристаллов и нано/микротрубок // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. -№6. - С. 13-31.

Goldstein R. V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S., Volkov M.A. Negative Poisson's ratio for cubic crystals and nano/microtubes // Phys. Mesomech. - 2014. - V. 17. - No. 2. - P. 97-115.

8. Landolt-Bornstein. Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology. Group III: Crystal and Solid State Physics. Second and Higher Order Constants. - Berlin: Springer, 1992. -V. 29a. - P. 172-174.

9. Goldstein R. V., Gorodtsov V.A., Chentsov A. V., Starikov S. V., Stegai-lov V.V., Norman G.E. Description of mechanical properties of carbon nanotubes. Tube wall thickness problem. Size effect. P. 1 // Письма о материалах. - 2011. - Т. 1. - С. 185-189.

10. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Иаука, 1977. - 416 с.

Lekhnitskii S. G. Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body. -San Francisco: Holden-Day Inc., 1963.

Поступила в редакцию 27.06.2014 г.

Сведения об авторах

Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н., проф., чл.-к. РАН, зав. лаб. ИПМех РАН, [email protected] Городцов Валентин Александрович, д.ф.-м.н., проф., внс ИПМех РАН, [email protected] Лисовенко Дмитрий Сергеевич, к.ф.-м.н., нс ИПМех РАН, [email protected]