Модифицированный метод прямого поиска в оптимизационных задачах специальной структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2016, 9(8), 1229-1237

УДК 519.8:355

The Modified Method of Direct Search in Optimising Tasks of Special Structure

Alexey A. Borodina, Alexander S. Kanishcheva and Igor V. Lyutikovb*

aMilitary Education and Research Centre of Military-Air Forces

«Military-Air Academy Named After Professor N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin» 54а Starykh Bolshevikov Str., Voronezh, 394064, Russia

bSiberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Russia

Received 18.05.2016, received in revised form 26.09.2016, accepted 14.11.2016

In article approach to the solution of optimizing tasks of special structure is considered: conditional optimization of material nonlinear criterion function of n - measured argument with implicitly set nonlinear restrictions. The presented methodical approach, on the basis of the modified Hook-Dzhivsa's method, will allow to determine optimum sets of values of characteristics of the military systems functioning in various conditions of a situation by criterion of the minimum cost at restriction on the demanded efficiency level for the located time.

Keywords: optimization, vector, external options area, system specifications, method.

Citation: Borodin A.A., Kanishchev A.S., Lyutikov I.V. The modified method of direct search in optimising tasks of special structure, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2016, 9(8), 1229-1237. DOI: 10.17516/1999-494X-2016-9-8-1229-1237.

© Siberian Federal University. All rights reserved Corresponding author E-mail address: [email protected]

*

Модифицированный метод прямого поиска в оптимизационных задачах специальной структуры

А.А. Бородин", А.С. Канищева, И.В. Лютиков6

аВоенный учебно-научный центр Военно-воздушных сил

«Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» Россия, 394064, Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а бСибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79

В статье рассмотрен подход к решению оптимизационных задач специальной структуры: условной оптимизации вещественной нелинейной целевой функции п-мерного аргумента с неявно заданными нелинейными ограничениями. Представленный методический подход на основе модифицированного методаХука-Дживса позволит определить оптимальные наборы значений характеристик систем военного назначения, функционирующих в различных условиях обстановки, по критерию минимальной стоимости при ограничении на требуемый уровень эффективности за располагаемое время.

Ключевые слова: оптимизация, вектор, варианты внешней среды, характеристики системы, метод.

В практике научных исследований процессов функционирования систем военного назначения зачастую возникает необходимость решения задачи оптимизации значений характеристик этих систем, функционирующих в различных условиях обстановки, по критерию минимальной стоимости при ограничении на требуемый уровень эффективности за располагаемое время. В общем виде математическая постановка подобных задач может быть представлена в виде

С(Х0ПТ, Хср) ^ min ,

ХОПГ '"х (1)

э(Х0ПТ, Хср) > Этр, Т(Хош,, Хср) < Tpscn, Хопт е ПхХф е ,

где С (X опт, X ср), Э (X опт, X ср), Т (Xопт, Xср) - функции стоимости, эффективности и времени соответственно; Этр, Трапр - требуемые значения эффективности и располагаемого времени функционирования систем военного назначения; Хопт = (хопт1,...,хопт0,..., хопт0) - вектор значений оптимизируемых переменных; Хср - вектор значений характеристик внешней среды; ßX, - область допустимых значений оптимизируемых переменных и значений характери-

ср

стик внешней среды.

Анализ подобных задач показывает, что их особенность, как правило, состоит в том, что функции стоимости С(Хопт,Хср) и эффективности Э(Хопт,Хср) нелинейные. При этом чаще всего функция ограничений Э(Хопт,Хср) не может быть получена в явном виде, поскольку ее значения определяются на основе моделирования процессов функционирования исследуемых систем

военного назначения, являющихся по своей сути сложными военно-техническими системами, при различных характеристиках внешней среды.

Механизм формирования вариантов внешней среды, принимаемых для моделирования, определяется спецификой функционирования рассматриваемых сложных военно-технических систем.

Внешняя среда характеризуется набором параметров различной природы. В военных системах военного назначения параметры могут быть сведены к основополагающим группам характеристик: характеристики противника, района военных действий и своих войск.

Группу характеристик противника составляют технические характеристики средств нападения и пространственно-временные характеристики операций противника. К характеристикам этой группы могут быть отнесены такие физические характеристики, как тактико-технические характеристики средств нападения, характеристики обеспечивающих сил и средств и т. д.

Группа характеристик района военных действий включает метеорологические характеристики, характеристики коммуникаций, характеристики объектов, имеющих повышенную опасность, и т. д.

Группу характеристик своих войск составляют тактико-технические характеристики образцов оружия, характеристики боевых порядков, вариантов применения своих войск и т. д.

Учитывая вышеизложенные положения, вектор характеристик среды Хср можно представить как

X „ = (X пр, X р, Хсв), (2)

где Хср = (Хпр, Хр, Хсв) - векторы характеристик противника, района военных действий и своих войск соответственно.

В этом случае вектор значений характеристик противника будет иметь вид

ХПр = (хпр1'---'хпрп'---' ХпрЫ ), (3)

где х„р1,---,х„рп,---, х„рК - значения характеристик противника; N - общее количество характеристик противника.

Аналогично можно записать вектор значений характеристик района военных действий:

Xр = (хр1,...,хрк,..„ хрК), (4)

где .хр1,...,хрк,..., хрК - значения характеристики района военных действий; К - общее количество характеристик района военных действий.

Аналогично вектор характеристик своих войск будет иметь вид

Хсв = (хсв1,...,хсе1,..., хсв1), (5)

где хсе1,...,хсе1,..., хсеЬ - значения характеристик своих войск; Ь - общее количество характеристик своих войск.

В выражениях (3-5) каждая из характеристик может принимать значения в следующих интервалах:

x ^ x ^ x ^n g 1 N

npnmin — npn — npnmax' ' '

Xpkm,n ^ Xpk < Xpkmax' Vk e 1Л, Xcelmin — Xcel — Xcelmax> G

(6)

где x,

npnmin' npnmax' pkmin' pkmax' celmin

■ Xceimax - минимальное и максимальное значения «-ой.

и = 1, N характеристики противника, к-той, к = 1, ^ характеристики района военных действий и /-той, I = 1, £ характеристики своих войск.

В дальнейшем допустим, что характеристики противника, района военных действий и своих войск могут принимать счетное количество значений в интервалах (6) так, что п-я характеристика противника принимает Ап значений Vn е , к-я характеристика района военных действий - Вк значений Vk е 1,К, /-я характеристика своих войск - С, значений V/ е 1,1.

В результате для всех характеристик противника имеем суммарное число значений

N

A„pi = 2 Ап

(7)

для всех характеристик района военных действий имеем суммарное число значений

^ = I Вк (8)

у к=1

и для всех характеристик своих войск имеем суммарное число значений

= 2 С, . (9)

I=1

Кроме того, для упрощения рассуждений в дальнейшем будем полагать, что возможны любые сочетания рассматриваемых характеристик (на практике это не всегда выполняется).

На рис. 1 показан механизм формирования вариантов среды с различными значениями параметров противника.

Мы видим, что число возможных вариантов среды равно числу сочетаний из общего числа возможных значений всех переменных ЛпрЕ (выражение 6) по числу временных параметров N т.е.:

^ ^ 4

X ^ А

npn n

X ^ А

^ npN N

Рис. 1. Механизм формирования вариантов среды с различными значениями характеристик противника

CN . (10)

npL

Аналогично формируются варианты среды района военных действий:

= с^ (11)

и параметров своих войск:

С^. (12)

Каждый /-й, I е 1, N ^, вариант среды с различными значениями характеристик противника является элементом множества возможных вариантов - ^пр. Аналогично каждый /-й, ] е 1, NрЪ, вариант среды с различными значениями параметров района военных действий есть элемент множества возможных вариантов - и каждый д-й, д е 1, ^^ , вариант среды с различными значениями пространственных параметров своих войск - элемент множества возможных вариантов ^св.

Полагая, что значения характеристик противника, района военных действий и своих войск принимают значения независимо друг от друга, можно рассчитать число возможных вариантов внешней среды

N = С3 (13)

-"Е (N + N + N V У*-1-1

пръ сеЕ

На рис. 2 схематично показан механизм формирования варианта внешней среды.

Мы видим, что формирование вариантов внешней среды осуществляется на основе выбора и объединения единичных элементов множеств ^пр, ^св. В качестве примера на рис. 2 (замкнутый контур) показан вариант внешней среды Бт, имеющий /-й вариант характеристик противника, /-тый вариант характеристик района военных действий и д-й вариант характеристик своих войск.

Каждый Б//д-вариант внешней среды представляет собой вполне конкретную ситуацию для моделирования. Однако даже при самом приблизительном рассмотрении приходим к выводу о существовании большого множества таких ситуаций.

Рис. 2. Механизм формирования вариантов внешней среды

Так, например, допустим, что внешняя среда содержит по три (Ы=К=Ь=3) характеристики, каждая из которых может принимать по три значения ^4фЕ = ^4врЕ = ^4прЕ = 9, в этом случае число возможных физических (временных, пространственных) вариантов среды согласно (10-12) составит

N. = ^ = ^ = С^ = С^ = С^ = С93 = 84. (14)

Тогда число вариантов внешней среды (ситуаций) согласно (13) будет равно

^ = ) = ^84+84+84) = 2 635 500. (15)

Естественно предположить, что в условиях такого числа ситуаций принять адекватное единственно правильное решение крайне затруднительно. При большем числе характеристик противника, района военных действий и характеристик своих войск, а также при возрастании количества значений каждой из них общее число ситуаций резко возрастает, приводя к невозможности получения хотя бы какого-то рационального решения.

Аналогичные рассуждения можно провести для составляющих вектора оптимизируемых переменных. В этих условиях зачастую прибегают к формированию счетного числа вариантов, в наибольшей степени отражающих характеристики внешней среды для рассматриваемой задачи, что равносильно декомпозиции оптимизационной задачи (1) на ряд самостоятельных задач.

Для каждого варианта значений характеристик внешней среды в результате решения оптимизационной задачи (1) может быть получено единственное множество оптимальных значений оптимизируемых переменных, в рамках принятых ограничений, в точке (° ) 0 - мерного гиперкуба, ограниченного областью вида

Хопт = (х опт1,...,Х опт9 ,..., X опт© ) . (16)

При этом границы гиперкуба определяются в 0 - мерном пространстве минимальными и максимальными значениями вектора Хопт:

Хотвтт ^ ^опхб ^ ХотвтХ ^ ^ Л © . (17)

Отмеченные обстоятельства свидетельствуют о значительной размерности задач подобного типа, а невозможность получения целевой функции С(Хопт,Хср) и функции ограничений Э(Хопт,Хср) в явном виде свидетельствуют о том, что единственным методом получения решения для подобных задач выступает метод прямого поиска, предполагающий на каждом шаге моделирования вычисление значения целевой функции и проверке результатов на удовлетворение ограничениям.

Среди методов прямого поиска зачастую применяются методы симплексов (Нелдера-Мида, модифицированные методы Нелдера-Мида), методы поиска Хука-Дживса, методы сопряженных направлений Пауэлла и др. [1-4]. Уже при размерности задачи 0 > 10 требуются значительные затраты машинного времени.

В этих условиях методы симплексов значительно уступают методу Хука-Дживса по объемам требующихся вычислительных мощностей.

Сущность метода Хука-Дживса заключается в том, что из допустимой точки Хопт е по каждой характеристике исследуемой системы осуществляется последовательность шагов в сто- 1234 -

рону уменьшения и увеличения значений, составляющих вектора Хопт = (*опг1,...,хопге,■■■, хош@), на величину ДхотП1. При этом значение характеристики снижающей значение целевой функции С(Хопт,Хср) и удовлетворяющей функции ограничений Э(Хопт,Хср) фиксируется и с этой точки, по следующей характеристике осуществляется уменьшение и увеличение ее значений на величину Дхотп2. Значение 2-й характеристики снижающей значение целевой функции С(Хопт,Хср) и удовлетворяющей функции ограничений Э(Хопт,Хср) снова фиксируется и процедура повторяется 0 раз. В результате через 0 шагов получаем точку, из которой продолжается движение к минимуму целевой функции. Окончанием процедуры поиска минимума целевой функции является отклонение функции ограничений от требуемого значения на малую наперед заданную величину е такую, что

I Этр -Э(X0П1,Xср) |<е. (18)

Из физической сущности задачи (1) можно заметить, что возрастание значений каждой из оптимизируемых переменных приводит к возрастанию значений функций С(Хопт,Хср) и Э(Хопт,Хср), что указывает на их монотонный характер. Это обстоятельство позволяет снизить объемы вычислений по сравнению с классическим методом Хука-Дживса.

Поскольку функции Э(Хопт,Хср) и С(Хопт,Хср) являются монотонными функциями оптимизируемых переменных, Парето-оптимальная область решений имеет вид, представленный на рис. 3.

Парето-оптимальная область, изображенная на рис. 3, получается за счет многократного решения задачи (1) для различных значений Этр. Сущность модифицированного метода прямого поиска решения оптимизационной задачи (1) заключается в том, что каждая 9-я оптимизируемая переменная разбивается на N равных частей Дхопт0, V 0 = 1, © , как показано на рис. 4.

Рис. 3. Парето-оптимальная область решений

Рис. 4. Разбиение значений оптимизируемых переменных на равные части

Для целочисленных оптимизируемых переменных их значения составляют числа 0, 1, 2, ..N0-1, N0. Для непрерывных оптимизируемых переменных производится разбиение вида

0, Дг ,2Дх ,...,К0Дг , (19)

' опт' опт' ' 9 опт ' V /

где Дхопт - длительность единичного интервала разбиения.

Движение к минимуму стоимости осуществляется пошагово из точки X¡та*"1 в пространстве оптимизируемых параметров (рис. 3, 4), соответствующей максимальным значениям каждой из оптимизируемых переменных Дх^^-1 (для каждого интервала с номером Ке, = 1©):

= (20)

Изменение значений оптимизируемых переменных в сторону уменьшения приводит к снижению значений стоимости системы военного назначения (в силу монотонности функции стоимости С(Хопт,Хср) (рис. 3), поэтому Парето-оптимальная область имеет монотонный убывающий характер. При этом соответственно снижается и значение показателя эффективности системы.

Далее последовательно осуществляется снижение значений каждого из оптимизируемых переменных на одну дискрету (Ах^"1') и производится моделирование функционирования исследуемой системы военного назначения в течение времени Трасп с полученными значениями оптимизируемых переменных. При этом значение стоимости системы С( Дх^1'), = 1, © и значение ее эффективности Э( Дх^"1-1) запоминается. На каждом шаге снижения значений каждого из оптимизируемых переменных значение эффективности проверяется на удовлетворение условию

Э( Д х ^ 1)) > Э тр. (21)

Если условие (21) выполняется, то из полученного ряда значений стоимости системы выбирается ее минимальное значение, а значение переменной, соответствующей минимальному значению стоимости, фиксируется, и процедура снижения значений остальных переменных повторяется. На каждом последующем шаге из полученного ряда значений стоимости системы

выбирается ее минимальное значение и производится проверка на удовлетворение условию (21).

Процедуры проводятся до момента, когда начинает выполняться условие (18):

|Этр -Э(Xопт,Xср) |<е. (22)

Модификация метода заключается в том, что в отличие от классического алгоритма метода Хука-Дживса движение в направлении минимума стоимости осуществляется путем изменения значений характеристик систем только в сторону уменьшения.

Известное направление поиска в сторону уменьшения значений характеристик системы и проверка удовлетворения ограничению по эффективности функционирования системы на каждом шаге позволяют значительно сократить область поиска значений

Хопт = (X опт1,...,Х опт9 ,..., X опт© ).

Таким образом, представленный метод решения оптимизационной задачи (1) дает возможность определить множество значений характеристик исследуемой системы, обеспечивающих требуемую эффективность этих систем в заданных условиях при минимуме суммарных затрат на создание и функционирование в пределах располагаемого времени.

Список литературы

[1] RekMtis G.V., Revindran A., Regsdell K.M. Engineering Optimization. Methods and Applications. New York, 1983. Book 1. 346 p.

[2] RekMtis G.V., Revindran A., Regsdell K.M. Engineering Optimization. Methods and Applications. New York, 1983. Book 2. 320 p.

[3] Ильичев А.В., Северцев Н.А. Эффективность сложных систем. Динамические модели. М.: Наука, 1989. 285 с. [Ilyichev A. V., Severtsev N. A. Effektivnost of difficult systems. Dynamic models. Moscow, Science, 1989, 285 p. (in Russian)]

[4] Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Киев.: Техника, 1977. 768 с. [Sigorsky V.P. Mathematical apparatus of the engineer. Kiev, Tekhnika, 1977, 768 p. (in Russian)]