CC BY
59
УДК 681.516.42 ББК 32.965.4
Е. Г. Кревенцов
МОДИФИКАЦИЯ РАСЧЕТА МАТРИЦЫ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО СОСТОЯНИЮ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫ1Х МНОГОМЕРНЫ1Х ОБЪЕКТОВ
E. G. Kreventsov
UPDATING OF CALCULATION OF MATRIX OF THE FEEDBACK BY THE CONDITION FOR LINEAR MULTIVARIABLE OBJECTS
Предлагается вариант модификации алгоритма расчета матрицы обратной связи по вектору координат состояния системы модального управления для линейных многомерных, управляемых и наблюдаемых объектов с равным числом входов и выходов, представленных в пространстве состояния. Полученная многомерная система обеспечивает монотонность переходной характеристики за счет компенсации множества нулей собственных и взаимных передаточных функций в системе модального управления.
Ключевые слова: модальное управление, компенсация нулей, модификация алгоритма расчёта обратной связи, монотонность переходной характеристики.
The variant of updating of the algorithm of calculation of the feedback matrix by a vector of coordinates of the condition of the modal control system for linear multivariable, controlled and observable objects with equal number of inputs and outputs submitted in space of the condition is offered. The received multivariable system provides monotony of the transitive characteristic due to indemnification of a set of zeros of the own and mutual transfer functions in the system of modal control.
Key words: modal control, indemnification of zeros, updating of algorithm of feedback calculation, monotony of transitive characteristic.
В современной теории автоматического управления, базирующейся на методах пространства состояний [1], наиболее распространены системы с модальным управлением (СМУ) [1-10] как для одномерных, так и для многомерных объектов управления. Однако в СМУ матрица обратной связи по состоянию (ОСС) удовлетворяет лишь одному требованию - размещению корней характеристического уравнения (известна как задача об управлении спектром полюсов [2]). Остальные требования, предъявляемые к системе управления, игнорируются при расчете матрицы ОСС многомерной системы. В системах модального управления до конца не решен вопрос
о компенсации нулей собственных и взаимных передаточных функций [3]. В отечественной и зарубежной литературе методам компенсации таких нулей и управления ими уделено мало внимания применительно к СМУ [1, 2, 9]. Нескомпенсированные нули искажают результирующую переходную характеристику системы управления [9]. Избежать подобных недостатков позволяют различного рода модификации алгоритма вычисления матрицы ОСС, в которых вышеупомянутые нули передаточных функций скомпенсированы без ухудшения остальных показателей качества системы управления.
Постановка задачи
Рассмотрим многосвязный, полностью управляемый и наблюдаемый объект управления (ОУ) с равным числом входов и выходов, описываемый системой уравнений в пространстве состояний
где х - п -мерный вектор координат состояния; и - т -мерный вектор управляющих воздействий; у - т -мерный вектор выходных переменных, п > т ; А - собственная матрица объекта,
В - матрица управлений, С □ матрица выхода; х є Яп , и, у є Ят , А є ЯпХп, В є ЯпХт ,
Введение
x = Ax + Bu, У = Cx,
(1)
С е Ятхп . Предполагается, что вектор координат состояния х полностью доступен прямому измерению. Пусть для объекта (1) обратная связь по состоянию представима в виде
и = Кх + и , (2)
где К - матрица ОСС, К е Ятхп, а и е Ят - т -мерный вектор входа СМУ.
Задача нахождения матрицы К в законе управления (2) для многомерного случая имеет неединственное решение [1, 6, 7], при этом могут быть предложены различные алгоритмы её вычисления.
Рассмотрим передаточную матрицу для объекта управления, описанного системой (1), замкнутого обратной связью (2) — СМУ. В её состав входит тт передаточных функций. Потребуем, чтобы передаточные функции были сократимыми. В результате нули собственных и взаимных передаточных функций будут «скомпенсированными» для СМУ. Полюса зададим совпадающими и лежащими в точке О (рис. 1), на левой действительной оси комплексной плоскости, чтобы обеспечить монотонность переходной характеристики.
і : / чТт
Ее
Iе у 1 О 1 1 : ?
; }
Рис. 1. Спектр полюсов СМУ
Классическая процедура расчёта матрицы К в законе (2) подразумевает нахождение матрицы преобразования от исходного базиса модели (1) к заданному базису [6, 7]. Потребуем, чтобы имелась возможность вычисления матрицы ОСС в законе (2) через матрицы А, В, С объекта (1), т. е. в исходном базисе, для упрощения процедуры реализации полученного соотношения для матрицы К на ЭВМ.
Метод решения
Рассмотрим і -ю компоненту у; = С; А0х вектора выхода у в (1), где - ег- і -я строка,
і = 1,т , матрицы С в модели (1). Учитывая, что уі = еіА0Х , А0 = 1п, 1п □ единичная матрица, Iп є Япхп. Подставим у { в первое уравнение системы (1). Замкнем ОУ, описанный системой уравнений (1), обратной связью (2):
У /,+1)1.пт = [с, а 1 +1 + Сі А'ВК 1,1т х+[е, А лв]„— и . (3)
В (3) индекс 1 назовём минимальным индексом произведения матриц, который является целым положительным числом, ]і є Z>0. Потребуем, чтобы произведение матриц с А1В относительно вектора входа давало ненулевую блочную строку при одном из значений индекса 1 из
промежутка
0, п -1
[5].
Перепишем дифференциальные уравнения, представленные выражением (3), учитывая теорему Келли - Гамильтона, записанную в следующем виде:
і=1, т
1
+ (С — с £ акАк
-1 і=1, т к—0
Имеем
1 к а ад і = С АЛ +1 + с X акА + сА J
_ к=0 _ і =1, т _ к=0
X а к/) Гк=0 _ = тИ п Аі сі і ак (А + ВК)кВ
і=1,т Г к=0 _
х + Гсг-АЛВ_ ____и
І_ _і=1, т
і=1,т
(4)
(к—п— Ї,-1) . Л
и 31 \ і = 1,
т,
і=1,т
где ак - коэффициенты, величина которых неизвестна и может быть задана при синтезе СМУ.
Коэффициенты ак будем задавать для биномиального разложения [6], тогда переходные процессы на выходе системы управления будут носить монотонный характер и свидетельствовать
о подавлении действия нулей собственных и взаимных передаточных функций СМУ:
а к = Ск+і-^к =
(2,4п) •( Л +1)! к = 1, (и +1)
•к К л +1—к) !’
где С^ +1 □ биномиальные коэффициенты (могут быть определены по схеме треугольника Паскаля); О □ среднегеометрический корень, О = 2, 4р/ 1п , определяющий быстродействие 1П
в синтезируемой системе [6].
Для нахождения матрицы обратной связи К в законе управления (2) будем рассматривать выражение для матриц относительно вектора х в (4), имеем:
К =
— 1
і=1, т
Л (
к=0
2,4п
V-
+1—к
(л +1)!
(Л + 1 — к) !• к!
Л " л
сі
/ _ і=1,т V
(5)
В результате получено соотношение для матрицы обратной связи, которое вычисляется напрямую через матрицы А, В, С объекта (1), представленного в пространстве состояний в исходном базисе. По соотношению (5) матрица К в законе управления (2) может быть «легко» вычислена при помощи ЭВМ [10].
Остаётся открытым вопрос - для какого класса объектов управления вида (1) выражение (5) может быть вычислено? Для этого будем рассматривать передаточную матрицу СМУ □ '( р), учитывая (4):
' (Р ) = Т^л •с (Р ) = Vі
0 ( Р )
X акР
к=0
( п—Лі—1 Л
С. А Л і X акРк В
1 к=0 V
(6)
і=1, т
где С(р) □ матричный полином СМУ, т X т - мерная полиномиальная матрица; О(р) - характеристический полином СМУ; &шБ(р) = п . Из правой части выражения (6) видно, что нули собственных и взаимных передаточных функций и полюса являются сократимыми. При этом число полюсов, по / -й строке W(р), равно +1, / = 1, т .
Рассматривая методику вычисления полного множества нулей (см. например, [10]) для управляемого, наблюдаемого ОУ (1), имеющего равное число входов и выходов, имеем
(р) = X ^кРк =^ к=0
det 1 И г 1 ь 1 £ NN Р 1 = det " РІ — А — ВК —В" г п г “I
1 С 1_0__ _ С м_
(7)
п
I
В выражении (7) у (р) □ нулевой полином; у (р )е Я р~^ ; [•] □ (п + т )х( п + т) -
мерная матрица Розенброка [8]; ц = (п — т) □ число нулей (1) [8]. Учитывая (7) и вышевведён-ные обозначения: В(р), С(р) для (6), можно записать тождество конечных нулей:
С(р)] = у(р)• От—1 (р).
det
(8)
Перепишем тождество (8), учитывая (6). При этом рассматривается любая і -я строка для матричного полинома С(р), і = 1, т :
П - І -1
•'і
с,А]і Е акРкв = Ё ^кРк.
(9)
к=0
к=0
Далее рассмотрим порядки полиномов в левой и правой частях выражения (9). Всего таких полиномов в системе т
+ т
і=1
= т
I •
(10)
Если ОУ вида (1) является управляемым и наблюдаемым и имеет ц нулей, то число «свободных» полюсов %1 в ц раз меньше. В результате ц полюсов не подлежат сдвигу и являются
инвариантными относительно ОСС, поэтому целесообразно выбирать такой класс ОУ вида (1) для которого ц = 0. При этом все полюса системы с ОСС и матрицей (5) будут свободными и могут быть помещены в заданную точку О на комплексной плоскости. Из выражения (7) видно, что если матрица Розенброка является унимодальной, то степень полинома у (р) равна
нулю (ц = 0). Наличие унимодальной матрицы Розенброка свидетельствует об отсутствии развязанных нулей, т. е. СМУ не имеет неуправляемых и ненаблюдаемых подсистем. Выражение (10) окончательно определяет класс рассматриваемых объектов вида (1), для которого может быть найдено выражение (5).
На завершающем этапе алгоритма расчёта матрицы обратной связи по состоянию можно предложить блок-схему алгоритма расчета (рис. 2) в общем виде [10].
Рис. 2. Блок-схема алгоритма расчёта многоканальной системы с матричным регулятором
На первом этапе производим ввод матриц объекта управления согласно модели (1). На втором этапе производится оценка унимодальности матрицы Розенброка для (1). На третьем этапе выполняется расчёт матрицы K ОСС по выражению (5) и выход из алгоритма расчета.
Выводы
Рассмотренная методика синтеза ОСС для многомерных ОУ позволяет помещать полюса в заданную точку W на левой действительной оси комплексной плоскости. При этом вид переходной характеристики определяется совокупностью «желаемых» полюсов и не зависит от действия нулей собственных и взаимных передаточных функций, т. к. методика подразумевает их компенсацию. Это обстоятельство обеспечивает монотонность переходной характеристики на выходе СМУ, порождаемую биномиальным разложением.
Преимущества данной методики заключаются в том, что она не требует вычисления матрицы перехода к канонической форме управляемости и построения ОУ в «новом базисе», как рекомендуется при классическом подходе к решению данной задачи [7]. Матрица обратной связи по вектору координат состояния вычисляется напрямую через матрицы A, B, C объекта (1), представленного в пространстве состояний в исходном базисе.
Апробация вышеизложенного алгоритма расчёта заключалась в составлении программного кода на языке MATLAB для расчета произвольных ОУ с равным числом входов и выходов [10]. При этом переходные характеристики всех тестируемых объектов, замкнутых ОСС, имели монотонный характер протекания. Это обстоятельство превосходит существующий ранее классический подход к решению данной задачи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреев Ю. Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами // Автоматика и телемеханика. - 1977. - № 3. - С. 5-49.
2. Борковская И. М., Марченко В. М. Модальное управление системами с распределенным запаздыванием // Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 8. - С. 40-52.
3. Воронов А. А. Синтез минимальных модальных регуляторов, действующих от измеримых входа и выхода линейного объекта // Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 2. - С. 34-51.
4. Губарев В. Ф. Модальный анализ и синтез управления в системах с неизвестной априори моделью // Теория и системы управления. - 2003. - № 2. - С. 20-33.
5. Кревенцов Е. Г. Компенсация множества конечных нулей многомерных объектов с равным числом входов и выходов при синтезе модальным методом // Актуальные проблемы электронного приборостроения. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. - Т. 7. - С. 178-181.
6. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. - М.: Машиностроение, 1976. - 112 с.
7. Пупков К. А., Егупов Н. Д. Методы классической и современной теории автоматического управления. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. - Т. 1. - 400 с.
8. Смагина Е. М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы / Томск. гос. ун-т. - Томск, 1990. - 160 с.
9. Суровцев В. Н., Донской Н. В. Теория автоматического управления: учеб. пособие.- Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2005. - 184 с.
10. А. с. о государственной регистрации программы для ЭВМ. Программа расчета астатической САЦ с матричным регулятором в обратной связи по вектору координат состояния / Е. Г. Кревенцов (Россия). - № 2011614126; заявл. 10.02.201; опубл. 26.05.2011.
REFERENCES
1. Andreev Iu. N. Algebraicheskie metody prostranstva sostoianii v teorii upravleniia lineinymi ob"ektami [Algebraic methods of state space in the theory of control of linear objects]. Avtomatika i telemekhanika, 1977, no. 3, pp. 5-49.
2. Borkovskaia I. M., Marchenko V. M. Modal'noe upravlenie sistemami s raspredelennym zapazdyvaniem [Modal control of the systems with the distributional delay]. Avtomatika i telemekhanika, 1993, no. 8, pp. 40-52.
3. Voronov A. A. Sintez minimal'nykh modal'nykh reguliatorov, deistvuiushchikh ot izmerimykh vkhoda
i vykhoda lineinogo ob"ekta [Synthesis of minimal modal regulators operating at measurable input and output of the linear object]. Avtomatika i telemekhanika, 1993, no. 2, pp. 34-51.
4. Gubarev V. F. Modal'nyi analiz i sintez upravleniia v sistemakh s neizvestnoi apriori model'iu [Modal analysis and synthesis of control of the systems with unknown a priori model/. Teoriia i sistemy upravleniia, 2003, no. 2, pp. 20-33.
5. Kreventsov E. G. Kompensatsiia mnozhestva konechnykh nulei mnogomernykh ob"ektov s ravnym chislom vkhodov i vykhodov pri sinteze modal'nym metodom [Indemnification of a number of finite zeros of multivariable objects with equal number of inputs and outputs at synthesis using modal method]. Aktual'nye problemy elektronnogo priborostroeniia. Novosibirsk: NGTU Publ., 2008, vol. 7, pp. 178-181.
6. Kuzovkov N. T. Modal’noe upravlenie i nabliudaiushchie ustroistva [Modal control and observing devices]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1976. 112 p.
7. Pupkov K. A., Egupov N. D. Metody klassicheskoi i sovremennoi teorii avtomaticheskogo upravleniia [Methods of classical and modern theories of automated control]. Moscow, MGTU im. N. E. Baumana, 2004. Vol. 1. 400 p.
8. Smagina E. M. Voprosy analiza lineinykh mnogomernykh ob"ektov s ispol’zovaniem poniatiia nulia sis-temy [Problems of analysis of linear multidimensional objects using the notion of system zero]. Tomsk, Tomskii gosudarstvennyi universitet, 1990. 160 p.
9. Surovtsev V. N., Donskoi N. V. Teoriia avtomaticheskogo upravleniia [Theory of automated control]. Cheboksary, Izd-vo Chuvash. un-ta, 2005. 184 p.
10. Avtorskoe svidetel'stvo o gosudarstvennoi registratsii programmy dlia EVM. Programma rascheta as-taticheskoi SATs s matrichnym reguliatorom v obratnoi sviazi po vektoru koordinat sostoianiia [Authorised license on state registration of the program for ECM. The program of calculation of astatic automatic target detection (ATD) with matrix regulator in feedback connection by vector of state coordinates]. E. G. Kreventsov (Ros-siia). No 2011614126; zaiavl. 10.02.201; opubl. 26.05.2011.
Статья поступила в редакцию 07.08.2012
ИНФОРМАЦИЯ ОБАВТОРЕ
Кревенцов Евгений Георгиевич — ОАО «НИИ измерительных приборов - Новосибирский завод им. Коминтерна»; зав. лабораторией теплотехнических и физико-химических измерений; [email protected].
Kreventsov Evgeniy Georgievich — JSC "SRI of Measuring Devices - Novosibirsk plant named after Komintern"; Chief of the Laboratory of Engineering and physical and Chemical Measurements; [email protected].
