Модификация нового подхода к решениюкраевой задачи Гильберта для аналитических функций в многосвязной круговой области Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2. Оператор Л является генератором ограниченной полугруппы операторов Т класса С0, удовлетворяющей оценке (5), с резольвентой, удовлетворяющей оценке (6), а его числовая область 0(Л) совпадает со всей комплексной плоскостью С.

Библиографический список

1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 739 с.

2. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

3. Engel K., Nagel R. One-parameter semigroups for

УДК 517.54

linear evolution equations. N.Y.: Springer, 1999. 586 p. 4. Баскаков А. Г., Воробьёв А. А., Романова М. Ю. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова // Мат. заметки. 2011. Т. 89, № 2. С. 190— 203.

МОДИФИКАЦИЯ НОВОГО ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В МНОГОСВЯЗНОЙ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ

Р. Б. Салимов

Казанский государственный архитектурно-строительный университет,

кафедра высшей математики E-mail: [email protected]

Предлагается модификация нового подхода к решению краевой задачи Гильберта для аналитической функции в многосвязной области, основанное на построении решения соответствующей однородной задачи, когда определяется аналитическая в области функция по известным граничным значениям ее аргумента применительно к случаю, когда область является круговой.

Ключевые слова: краевая задача Гильберта, индекс задачи, оператор Шварца.

Modification of New Approach to Solution of the Hilbert Boundary Value Problem for Analytic Function in Multi-Connected Circular Domain

R. B. Salimov

Kazan State University of Architecture and Engineering,

Chair of Higher Mathematics E-mail: [email protected]

The author offers a new approach to the Riemann - Hilbert boundary value problem in multiconnected domain. The approach bases on certain construction of solution of corresponding homogeneous problem including determination of analytic function by known boundary values of its argument circular domain.

Key words: Riemann - Hilbert boundary value problem, index of a problem, Schwarz’s operator.

Предлагается модификация рассмотренного в работе [1] нового подхода к решению краевой задачи Гильберта для аналитической в многосвязной круговой области функции.

Пусть Б является (т + 1)-связной круговой областью, ограниченной полными окружностями Ь0, Ь\,..., Ьт без общих точек, расположенными в плоскости комплексного переменного г = х + гу, из которых Ь0 охватывает остальные.

Требуется найти функцию Е(г) = и(г) + гь(г), аналитическую и однозначную в области Б, непре-

т

рывно продолжимую на её границу Ь = и Ь3- по краевому условию

3=0

Ие [(а(Ь) + гЬ(Ь))Е(Ь)] = а(Ь)и(Ь) — Ь(Ь)у(Ь) = с(Ь), (1)

где а(Ь),Ь(Ь), с(Ь) — заданные на Ь действительные функции точки Ь контура Ь, удовлетворяющие условию Гёльдера, — функции класса Н на Ь, причем а2(Ь) + Ь2(Ь) = 0 всюду на Ь.

На Ь установим положительное направление обхода, при котором область Б остается слева. Пусть Ьз0 — фиксированная точка кривой Ь3-. В дальнейшем для функции / (Ь), заданной на Ь3-, под / (Ьз0+0) и /(Ьз0 — 0) будем понимать пределы, к которым стремится /(Ь), когда точка Ь стремится к Ь3о соответственно в отрицательном и положительном направлениях.

Краевое условие (1) запишем так

Ие [е-МЕ(Ь)] = с(Ь)/1С(Ь)\, (2)

© Салимов Р. Б., 2G12

где С(Ь) = а(Ь) — іЬ(Ь), V(Ь) = arg Є(Ь) — ветвь, непрерывная всюду на Ь, за исключением, быть может, точек Ь^о, для которых

V (іцо — 0) — V (tjо +0) = 2п -2-,

причем к-/2— целое число, з = 0, т.

т

Число к = ^2 к- назовем индексом задачи Гильберта (2), следуя Н. И. Мусхелишвили [2, с. 144] з=о

(заметим, что в книге [3, с. 144] индексом этой задачи называется число к/2).

к

Для простоты здесь ограничимся рассмотрением случая, когда ^ > т.

1. Обозначим д-, Я- соответственно центр и радиус окружности Ь-, з = 0, т, считая, что д0 = 0, Я0 = 1. Примем Ь00 = 1, ^'о = qj + Я-, 3 = 1,т. Пусть Ь = qj + Я-ег7, 0 < 7 < 2п, есть точка окружности Ь; через 5 будем обозначать дуговую абсциссу указанной точки кривой Ь-, отсчитываемую от точки Ь-0 в положительном направлении, 3 = 0, т, в = (2п — у)Я- при 3 = 1,т. Под arg(z — д-) будем понимать непрерывную ветвь, однозначную в круге |г| < 1, разрезанном по линии, состоящей из отрезка с концами г = д-, г = Ь-0, и линии ', лежащей внутри области Б и соединяющей точки Ь-0, Ьоо, 3 = 0,т, ( при 3 =0 линия ' отсутствует), считаем, что эта ветвь на Ь- принимает значение ащ(Ь — д-) = 7, 0 < у < 2п.

Пусть Ь- = д- + Я-ег7з', 0 < у- < 2п, есть некоторая точка окружности Ь-, положение этой точки, т.е. число у- будем считать незаданным, 3 = 1,т.

Пусть arg(z — Ь-) — непрерывная ветвь, однозначная в круге |г| < 1, разрезанном по линии, состоящей из направленной как Ь- дуги Ь-Ь-0 этой окружности и вышеуказанной кривой '; будем считать, что эта ветвь при у- > 0 на окружности Ь-, включая точки левого берега разреза по дуге Ь-Ь-0, принимает значения

[ (—п + 7 + у-)/2, 0 < у<у-.

^(Ь — )=<^ _______________________________________________

[ (п + 7 + у-)/2, у- <у< 2п, 3 = 1,т.

При у- = 0 эта формула принимает вид

ащ(Ь — Ь'0) = (п + 7)/2, 0 < у< 2п.

Поэтому при вышеуказанном выборе ветвей аргументов непрерывная в области Б ветвь

ащ г—' = ащ(г — Ь-) — arg(z — д-) г —

на Ь- в случае у- > 0 принимает значение

Ь — \ (—п — 1 + ^)/2, 0 < 1<1', arg 7—— = ^ (3)

{ (п — 7 + у')/2, у- <у< 2п.

Г> А ^ — Ь'0 Т

В частности, при у- = 0 заключаем, что arg----------— на Ь- принимает значение

г — д-

arg 1-—Ь° = 1—.!, 0 < у < 2п. (4)

Ь — д' 2

2. Введем в рассмотрение функцию р' (Ь) = 1 на вышеуказанной дуге Ь'Ь'0 окружности Ь', р' (Ь) = 0

на остальной части Ь' и на всех других окружностях — компонентах Ь, 3 = 1,т. Далее краевое

условие (2) запишем в равносильном виде

Ке[е-г^} Р{Ь)\ = с(Ь), (5)

где

т Г ь — ь- 1

с(Ь) = »(Ь) + У] 2пр-(Ь) + 2 ^ ' +(1 + кл/2) arg(Ь — д-) , (6)

л=Л Ь — \

■%) = П

3 = 1

— п .)1+кз/2

(г — Пз )

г — г — Пз

■ Р (г)

т =

с(ь) \ОД\

п

3 = 1

\Ь — п з \1+к,/2 ■ з НО НО 2

з 1 пз НО

(7)

(8)

Будем искать решение Р(г) краевой задачи (5) в классе функций, непрерывных в области Б, вплоть до её границы ( при этом, как видно из формулы (7), функция Р(г) может иметь особенности в точках 1з, 3 = 1,т). Вначале найдем частное решение Р0 (г) соответствующей однородной задачи

Ке[е-гр(-) Ро СО] =0, отличное от нуля всюду на Ь. Из (9) для аргумента

ащ Ро(г) = ф (ь) такого решения, как ив [1], получим выражение

(9)

(10)

(11)

когда I е Ьз, где пз — произвольное целое число, 3 = 0, т, п0 = 0. Таким образом, известны граничные значения ф (Ь) функции arg Р0(г) с точностью до слагаемого ппз при нефиксированных пока значениях уз, 3 = 1,т. Остается найти функцию Р0(г).

В статье [1] при нахождении функции Р0(г) были использованы результаты Э. И. Зверовича [4], связанные с отысканием регуляризующего множителя для решения краевой задачи Гильберта в случае многосвязной области, основанные на сложной теории с использованием аппарата теории функций на римановых поверхностях.

В настоящей работе для нахождения вышеуказанного частного решения Р0(г) задачи (9) предлагается более простой и прозрачный подход. Пусть г0 — заданная точка области Б, ащ(Ь — г0) — граничное значение непрерывной ветви ащ(г — г0), однозначной в области Б, разрезанной по линии, лежащей в области Б и соединяющей точки г0, Ь00. Как видно из формул (6), (11), функция ф(Ь) — (т + к/2) ащ(Ь — г0) непрерывна на каждой из окружностей Ьз, 3 = 0, т, поэтому при обходе Ьз, 3 = 0, т, приращения не получает. Следовательно, в силу принципа аргумента функция Р0(г)/(г — г0)т+к/2 не имеет нулей в области Б. Тогда функция

Ф(г) = —г 1п[Ро(г)/(г — го )т+к/2 ]

(12)

аналитична в области Б, причем действительная часть её граничного значения равна ф(Ь) —

— (т + к/2) ащ(Ь — г0), т.е. согласно (10), (11) на Ьз

Ие Ф(Ь) = V(Ь) + 2 + ппз — (т + к/2) ащ(Ь — г0), 3 = 0, т.

Отсюда в силу (6) с учетом выражений (3) для ащ 1 и рз (Ь) будем иметь при Ь е Ьз, 3 = 1,т

ИеФ(г) = у + ъ + ппз + V(Ь) + ^ Гащ(Ь — пзг) + 2ащ ^ +

з'х=1,зх=^ Пз1'

+ X! з ащ(Ь — Пз1) — (т + к/2) а^(Ь — го^

(13)

з1 =1

при Ь е Ь0 получим

Ие Ф(Ь) = 2+ V (Ь) + ( 2 arg

з=1

+ (1 + кз/2) ащ(Ь — пз) — (т + к/2) ащ(Ь — го). (14)

2

т

т

Поскольку функция Ф(г) должна быть однозначной и аналитической в области Б, то должны выполняться условия (см., например, [3, с. 383])

КеФ(і)ак (і)йв = 0, к = 1,т,

(15)

где ак(Ь) = двк(Ь)/дп есть производная по направлению внутренней для области Б нормали в точке Ь границы Ь области Б, вк(г) — гармоническая в области Б функция, граничные значения которой определяются формулой

1 при Ь е Ьк,

вк (і) =

0 на остальных окружностях,

(16)

к = 1,т. Функции вк(г), ак(Ь) считаем известными, к = 1,т. Условия (15) с учетом (13), (14) запишем так

/ 2 + V СО + (2^

'I, 1 л=і 4

і - 3

і-93

31 + (1 + з /2) ащ(£ - 3)) - (т + к/2) ащ(£ - го)

ак (і)йв+

+Е

3=11,

3п

+ Уз + ппз + V(і) + ^ ( агє(і - 3 ) + 2arg ^ ) +

31 =1,31 =з

+ X! 3 ^(і - 931) - (т + к/2) ^(і - го)

31 =1 2

ак (t)ds = 0, к = 1,т.

Мы получили систему уравнений с неизвестными уз и пз, 3 = 1,т.

Учитывая, что мы ищем частное решение Р0(г) задачи (9), в предыдущих формулах и всюду в дальнейшем будем считать пз = 2пз-, где пз — целое число, 3 = 1,т.

Обозначая

ак3 = J ак(і) ds, к = 1,т, і = 1,т,

@3 = Ъ' + 2пп3-, і = 1, т.

(17)

(18)

последнюю систему представим так

т т „

Т,ак3 @3 +2Х/ /

3= 3=1Г

31 =1,31 =3

ак (t)ds + 2

31 =1

і — і '

і 31

і - 931

ак(t)ds = Вк, к = 1,т, (19)

где

Вк — -

т

+ V(і) + X! (1 + —^) - 931) - (т + Ю aГg(t - го)

ак (і) ds—

3=1ьі

3п

~2

31 =1

+ V(і) + 5] aгg(t - 3) + 5] 3 aгg(t - 931)"

31 =1,31=3

- (т + -) aгg(t - го)

31 =1

ак (і) ds,

(20)

здесь Ьз = пз + Язе 3, 3 = 1, т.

Мы пришли к системе нелинейных уравнений с неизвестными 6з, 3 = 1,т (о решении системы сказано ниже). Определив из неё 6з, 2пЫз- < 6з < 2пЫз +2п, где Ы — целое число, взяв пз = N, по формуле (18) найдем уз = Оз — 2пЫз-, 0 < уз < 2п.

т

2

т

2

т

т

т

Считая, что числа П3, У3, і = 1,т, уже определены (2п3- = П3), по формулам (13), (14) вычислим ВеФ(і) и с помощью оператора Шварца найдем однозначную аналитическую в области Б функцию

Ф(г) = £( Ве Ф(і), г) + іюо,

взяв произвольную действительную постоянную у0 = 0.

Тогда согласно (12) будем иметь:

Ро(г) = егф(г) (г — го)т+к/2

(21)

— частное решение задачи (9), отличное от нуля всюду на Ь. В силу (9) 1е ги(— Р0 (Ь) — действительная величина, поэтому условие (5) можно записать так

Ве

Р (і) іРо(і)

= С*(і),

(22)

где

С*(і) = с(і)/(іє-ф(і)Ро (і)).

(23)

Как видно из (21), точка г0 является полюсом порядка т + к/2 функции Р(г)/(гР0(г)). Учитывая это, последнюю функцию будем искать в виде

т+к/2

Р(г)/(іРо(г)) = Ф(г) + іво + ^ Л/(г - го)3,

3=1

(24)

где Ф(г)- новая искомая аналитическая и однозначная в области Б функция, во, Л3- произвольные соответственно действительная и комплексная постоянные.

Согласно (22), (24) всюду на Ь имеем

т+к/2

ВеФ(і) = с* (і) - ^ Ве[л3/(і - го)3].

3=1

(25)

Функция ИеФ(Ь) должна удовлетворять условиям, аналогичным (15), поэтому должны выполняться соотношения

т+к/2

Ве [л/(і - го)3]ак(і^,ч = с*(і)ак(t)ds, к = 1,т. 3=1 ь ь

(26)

Эти соотношения представляют собой систему т линейных алгебраических уравнений с (2т+к) неизвестными Ве л3, 1т л3, і = 1,т + -/2. Считая условия (26) выполненными, по значениям ВеФ(і) формулы (25) с помощью оператора Шварца находим Ф(г), тогда в силу (24) будем иметь

Р (г)

іРо (г)

3=1

(і - го )3

3=1 (г - го)3'

(27)

Отсюда, принимая во внимание (21) и выражение (7) для Р(г), получим

т+к/2 £

3=1

(г - 93)

Р(г) = іеіф(г)(г - го)т+к/^ £(й*(і) - ^ Ве (і 3^ + іво+

т+к/2

+

л3

3=1

(г - го)3

П

3=1

- )1 + К3'/2 . ( £-3

г - 93

(28)

Так как мы ищем решение Б (г) краевой задачи (2), непрерывное на Ь, то должны потребовать, чтобы выражение в фигурных скобках (т.е. выражение (27)) последней формулы обращалось в нуль второго порядка в точках 3, ^ = 1,т. С этой целью потребуем, чтобы выполнялось соотношение

т+к/2

1т £ ( о* (і) —

3 = 1

Лз

(і — ^0 )з

-, із^ + Ро +

т+к/2

Е

3 = 1

1т

Лз

(ізі — ^о)з

- = 0, і = 1, т.

(29)

Кроме того, указанное выражение (27), заменив в нем предварительно £ на £* е Ь, запишем для г = £ = (з + Я?! е%1) е Ь?!. Далее, потребуем, чтобы производная по у от него в точке Ь?! обращалась в нуль, и будем иметь

1т

Ііт

7^7з!

£ (о* (і*), і) — £ (о*(і* ),3 )

7 — 1зі

т+к/2

Е

з=і

1т

£ Ие

Лз

(і* — ^о)з

,і

+

7=75

+ Іт Лз-іИ-г I =о

+ (з — го)з+М ’

(30)

здесь = 1,т. Последние условия (29), (30) являются необходимыми для непрерывности функции Б (г) формулы (28) в точках £?!; с учетом (8), (23) можно показать, что они являются и достаточными.

Соотношения (26), (29), (30) представляют собой систему 3т уравнений с к + 2т + 1 действительными неизвестными Ие Лз, 1т Лз, во• Ранг матрицы этой системы равен 3т, в чем убеждаемся, используя результаты, представленные в книге [3, с. 388]. Поэтому при к > 2т решение Б (г), определяемое формулой (28), зависит от к — т + 1 действительных произвольных постоянных.

В случае к < 2т задача рассматривается аналогично тому, как это есть в статье [1].

3. Вернемся к вопросу о решении системы (19). Как известно (см. например [3, с. 329]), определитель А' матрицы \\акз || отличен от нуля. Замечая, что акк < 0, к = 1,т (см. например [5, с. 264]), рассмотрим матрицу ||акз-/акк||, определитель которой равен А = А'/(аца22 ••• атт) и отличен от нуля. Обозначим через Ак? алгебраическое дополнение к элементу ак?/акк этого определителя. Разделим уравнение с номером к системы (19) на акк для каждого к = 1,т. Выражая с помощью формул Крамера 6?, входящие в первую сумму левой части каждого уравнения системы (19), запишем:

= дЕ А

кз

к=1

П т

^ — 2У

акк ,

з* =1,

Е

Зі =1,31=3*

і — ізі і — Язі

ак (і) акк

—

—2

Е

зі =1

і — ізі і — Язі

ак (і) акк

ds

І = 1, т,

(31)

здесь, как и выше, із = Яз + Яз ег®5, и согласно (18) в з — любое действительное число. Систему (31) запишем в виде уравнения с оператором А:

х* = А(х*),

(32)

где вектор х* = {вз}т=1 — элемент банахова пространства X с нормой (см., например [6, с. 10,49])

/ \ 1/2 / т \

Ух*|| = ( ^2 в2 ) , А(х*)— вектор, координаты которого равны правым частям соответствующих

з=1

уравнений системы (31), причем А является вполне непрерывным оператором [6, с. 409].

Так как каждая координата вектора А(х*) является функцией периодической с периодом 2п по каждому из аргументов в1 ,в2,...,вт, то ясно, что в пространстве X найдется шар ||х*|| < Я' достаточно большого радиуса Я', который оператор А переводит в себя. Поэтому согласно принципу неподвижной точки Шаудера [6, с. 411] оператор А в указанном шаре имеет неподвижную точку, т.е. уравнение (32) имеет решение.

Итак, справедлива

Теорема 1. Система (31) имеет по крайней мере одно решение.

7

т

Для решения системы нелинейных уравнений (31) можно использовать известные методы решения таких систем. Можно показать, что система (31) имеет единственное решение в случае, когда все Яз, І = 1,т, достаточно малы.

Библиографический список

1. Салимов Р. Б. Новый подход к решению краевой задачи Гильберта для аналитической функции в многосвязной области // Изв. вузов. Математика. 2000. № 2. С. 60-64.

2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М. : Наука, 1968. 511 с.

3. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. : Наука, 1977. 640 с.

4. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровых классах на римановых поверхностях // УМН. 1971. Т. 26, вып. 1. С. 113-179.

5. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М. : Физматгиз, 1959. 628 с.

6. Треногин В. А. Функциональный анализ. М. : Наука, 1980. 495 с.

УДК 517.956.2

РАЗРЕШИМОСТЬ В КЛАССИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ

ЗАДАЧИ ПУАССОНА

ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА

НА ДВУМЕРНЫХ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ

МНОЖЕСТВАХ

С. Л. Семенов

Воронежский государственный университет, кафедра функционального анализа E-mail: [email protected]

Устанавливается разрешимость в классическом смысле задачи Пуассона для оператора Лапласа на двумерных стратифицированных множествах,

Ключевые слова: дифференциальные уравнения,

Solvability of Poisson’s Problem for Laplace Operator on Two Dimensional Stratified Sets in Usual Sense

S. L. Semenov

Voronezh State University,

Chair of Functional Analysis E-mail: [email protected]

Solvability of Poisson’s problem for Laplace operator on two dimensional stratified sets is established in usual sense.

Keywords: differential equations.

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование сложных физических систем часто сводится к исследованию уравнений на стратифицированных множествах (связных объединениях многообразий — стратов различной размерности). Например, задача о малых перемещениях механической системы, составленной из струн, мембран и упругих тел, или задача о диффузии в слоистой среде.

Исследование эллиптических дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах активно проводится в настоящее время О. М. Пенкиным. Основные результаты о разрешимости эллиптических уравнений в этой области изложены в работах [1-3]. В них были получены условия слабой разрешимости для уравнений с «жестким» лапласианом и классической разрешимости для уравнений с «мягким» лапласианом. Было установлено, что для существования решений этих уравнений необходимо, помимо наложения ограничений на гладкость коэффициентов, входящих в уравнение, вводить ограничения на структуру стратифицированного множества. Так, в [1] доказано, что существование слабого решения обеспечивается на множествах, удовлетворяющих условию прочности, которое означает, что для каждого страта существует цепочка из стратов, соединяющая его с границей стратифицированного множества, причем размерности соседних стратов цепочки отличаются не больше чем на единицу и сама цепочка содержит только один страт, принадлежащий границе стратифицированного множества. В то же время условие прочности является недостаточным для существования классического решения. С целью установления существования классического решения для уравнения с «мягким» лапласианом было введено более строгое ограничение на структуру множества [2]. Классическая разрешимость обеспечивается на стратифицированном множестве, у которого достаточно малая окрестность любого страта, размерность которого меньше на 2 или более

© Семенов С. Л., 2G12